高考数学一轮复习 第四章 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角课件 理 苏教版
5．(2013· 金陵中学月考)如果若干个函数的图象经过平移
后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列
函数：
①f(x)＝sin xcos
π x；②f(x)＝2sinx＋4；③f(x)＝sin
x
＋ 3cos x； ④f(x)＝ 2sin 2x＋1.其中“同簇函数”的 是________．
1 解析 因为 f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x， 2 π f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sinx＋ 3 . π π 所以仅 f(x)＝2sinx＋ 4 与 f(x)＝2sinx＋ 3 图象经过平移 可以重合，所以“同簇函数”是②③.
M－ m M＋ m 2π ＝ ， k＝ ， ω 由周期 T 确定， 即由 ω ＝T 求出， 2 2 φ 由特殊点确定．
一个复习指导
本讲复习时，应抓住正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的 “五点法”作图和图象的变换以及应用正弦型函数解析式解 决三角函数的性质问题．通过适量的训练，掌握解决问题 的通性通法．
答案
π 4
π φ＝ . 4
2 ． (2012· 盐 城 摸 底 考 试 ) 若 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋ π φ)A>0，ω>0，|φ|<2 的最小值为－ 2，其图象上相邻 π 最高点与最低点的横坐标之差为 ，且图象过点 (0， 2 3)，则其解析式是________． T π 解析 由题意，得 A＝2， ＝ ，所以 T＝π，ω＝2，所以 2 2
4．(2012· 山东省实验中学模拟)设 ω＞0，函数
π y＝sinωx＋3
4π ＋2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 ω 的 3 最小值是________． 4π π 4π 解 析 由 题 意 ， 得 f x－ 3 ＝ sin ωx－ 3 ＋3 ＋ 2 ＝ π 4π π 4π sinωx＋3－ 3 ω＋2＝sinωx＋3 ＋2， 所以－ ω＝2kπ(k 3 3 ∈Z)．又 ω＞0，所以 ω 的最小值为 . 2 3 答案 2
考点自测
1．(2012· 苏州调研)函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0， φ∈(0，π))的图象如图所示，
则φ＝________.
解析 A＝3，T＝4×2＝8，
π 2π π 所以 ω＝ ＝ ，所以 f(x)＝3sin4x＋φ. 8 4
又
3 f(3)＝3sin4π＋φ＝0，φ∈(0，π)，所以
3π －φ 2 ω 3π 2 －A
2π－φ ω 2π 0
2.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图 象的步骤
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞)) 2π ω 叫做周期， 表示一个振动时，A 叫做振幅，T＝_____ 1 f＝T叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相． 4．图象的对称性 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象既是轴对称 又是中心对称图形，具体如下： (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝xk(其中 π ωxk＋φ＝kπ＋ ，k∈Z)成轴对称图形． 2 (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk ＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
π 初相 φ＝ . 3
π π (2)令 X＝2x＋ ，则 y＝2sin2x＋ 3 ＝2sin X. 3
列表，并描点画出图象：
x X y＝sin X
π y＝2sin2x＋3
π － 6 0 0 0
答案
②③
考向一 作y=Asin(cos x+φ)的图象
【例 1】 已知函数
π y＝2sin2x＋3，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y＝2sin2x＋ 3的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样 的变换而得到． π 2π 解 (1)y＝2sin2x＋3 的振幅 A＝2，周期 T＝ ＝π， 2
5．三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函 数拟合，从而得到函数模型．
【助学· 微博】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)中参数的方 法 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A
第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 及三角函数模型的简单应用
考点梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个特征点 如下表所示
x ωx＋φ y＝Asin(ωx ＋φ)
0－φ ω ______
0 0
π －φ 2 _______ ω
π 2 A
π－ φ ω π 0
π π f(x)＝2sin(2x＋φ)．由 f(0)＝2sinφ＝ 3，|φ|< ，得 φ＝ ， 2 3 从而
π y＝2sin2x＋3 .
答案
π y＝2sin2x＋ 3
3．把函数
π π 5 x － y＝sin 2的图象向右平移4个单位，再把
1 所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，所得 2 的函数解析式为________． π 解析 将原函数的图象向右平移 个单位，得到函数 y 4 π π 7 ＝sin5x－4 －2 ＝sin5x－4π的图象，再把所得函数 1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 y ＝ 2 7π π sin10x－ 4 的图象，即 y＝sin10x＋4 . π 答案 y＝sin10x＋ 4
高考数学大一轮总复习 第四章 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
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22
当 φ＞0 时，y＝sin x 的图象向右平移 φ 个单位可得 y＝sin(x－φ)的图象，可知 C 不正确； 当 φ＜0 时，y＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位可得 y＝sin(x－φ)的图象，故 D 不正确．
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23
【跟踪训练 2】把函数 y＝3sin(2x＋π3)的图象向右平移π6个 单位长度，再向下平移 1 个单位长度，则得到的函数的解析式 是_________.
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9
4. 函数 y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( B )
.
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10
解析：按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
y1 0 121
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：
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5. 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示， 则 ω＝__________．
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【温馨提示】 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的作法：
(1)五点法：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图， 主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，23π， 2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点 后得出图象．
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【思路点拨】 (1)用五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简 图； (2)根据函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，得出结 论．
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【解答过程】 (1)列表：
2x＋π4
0
π 2
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象及其简单应用课件-2025届高三数学一轮复习
3.（2024 · 舒城模拟）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，若在,上为增函数，则 的最大值为( ) .
A
A.2 B.3 C.4 D.
解析 依题意，，由， ，得，即的一个单调递增区间是,，因为在 ,上为增函数，所以,,，故，即 的最大值为2.故选A.
三角函数的实际应用
典例4 （双空题）如图,这是矩形与半圆 的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为 ，点在线段上，且，设 ，则的面积与 的关系式为 _______________________________, 的最大值为_ _____.
1.（多选题）（2024 · 沧州模拟）已知函数为常数， 的图象关于直线对称，函数 ，则下列说法正确的是( ) .
ABC
A.将的图象向左平移个单位长度可以得到 的图象B.的图象关于点, 对称C.在, 上单调递减D. 的最大值为1
解析 由题意， ，， ， 将的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为 ，A正确； ，B正确； 当,时，,,，此时 是减函数，C正确；的最大值为，D错误.故选 .
D
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析 因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数 的图象.故选D.
2.（2024 · 梅州模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) .
A
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
题组3 走向高考
5.（2023 · 新高考Ⅰ卷）已知函数在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围是______.
高考数学一轮总复习 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质精品课件 理 新人教版
3-(-1)
2
3-1
=2,b=
2
=1.又 T=2
π
π
6
3
x= ,y=3 代入上式,得 sin
2
3
π-
π
6
=π,∴ω=
2π
=
2π
π
=2,∴f(x)=2sin(2x+φ)+1.将
+ φ =1,
π
π
π
3
2
6
∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ= +2kπ,k∈Z.
π
π
2
6
又∵|φ|< ,∴φ= ,
∴f(x)=2sin 2 +
【例 2】 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b > 0,|| <
图所示:
(1)求 f(x)的表达式;
(2)试写出 f(x)的对称轴方程.
点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
第十九页，共39页。 diǎn)三
考点(kǎo
π
2
的图象的一部分如
探究
(tànjiū)突
破
解:(1)由图象可知,函数的最大值 M=3,最小值 m=-1,则
与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
具体如下:“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;“第二点”(即
π
图象的“峰点”)为 ωx+φ= ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为
π
4
高考数学复习第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用市赛课公开课一等奖省
Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. (2)周期性:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)含有周期性,其最小正周期为T=
2 .
ω
(3)单调性:依据y=sin x单调性来研究,由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z
2
2
得单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ≤3 +2kπ,k∈Z得单调减区间.
3/31
2.由函数y=sin x图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0)图象步骤
4/31
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))物理意义
(1)振幅为A.
(2)周期T=
2
ω.
1
ω
(3)频率f= T = 2 .
(4)相位是 ωx+φ . (5)初相是φ. 注:本节关于函数y=Asin(ωx+φ)一些方法与结论可类比推理到y=Acos (ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ).
25/31
解析
(1)f(x)=sin 2xcos -cos 2xsin
5
5
=sin2x ,所5 以f(x)最小正周
期T= 2 =π.
2
因为y=sin x图象对称轴方程为x=kπ+ ,k∈Z,
2
所以令2x- = +kπ,k∈Z,
52
得x= 7 + 1 kπ,k∈Z.
20 2
故f(x)图象对称轴方程为x= 7+ k1π,k∈Z.
2x.
6
30/31
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角
1 解析 因为 f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x， 2 π f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sinx＋ 3 . π π 所以仅 f(x)＝2sinx＋ 4 与 f(x)＝2sinx＋ 3 图象经过平移 可以重合，所以“同簇函数”是②③.
5．三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函 数拟合，从而得到函数模型．
【助学· 微博】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)中参数的方 法 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A
第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 及三角函数模型的简单应用
考点梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个特征点 如下表所示
x ωx＋φ y＝Asin(ωx ＋φ)
0－φ ω ______
0 0
π －φ 2 _______ ω
π 2 A
π－φ ω π 0
【训练2】 如图为y＝Asin(ωx＋
φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象
的一段． (1)求其解析式；
π (2)若将 y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移 个单位后得 y＝ 6 f(x)，求 f(x)的对称轴方程．
解
(1)由图象知 A＝ 3，以
π M3，0为第一个零点，
g(x)在
π π x∈－6，3
上的
最大值，并确定此时 x 的值．
T π 2π π 3 解 (1)由题图知 A＝2， ＝ ，则 ω ＝4× ，∴ω＝ . 4 3 3 2 3 π π 又 f － 6 ＝2sin2×－ 6 ＋φ π ＝2sin－4＋φ＝0， π π π π π φ－ ＝0，∵0＜φ＜ ，∴－ ＜φ－ ＜ ， ∴sin 4 2 4 4 4 π π ∴φ－ ＝0，即 φ＝ ， 4 4 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋ 4 .
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一) 复习讲义
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)一、y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的有关概念二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ϕ)在R 上的图象. 三、由函数y=sin x 的图象变换得到y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一法二1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量x ”而言的. 即图象变换要看“自变量x ”发生什么变化,而不是看角“ωx+ϕ”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|ϕ|个单位长度,后者平移|ϕω|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. (3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式y=Asin(ωx+ϕ)+b 中参数相关的结论 (1)求ϕ①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法.确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=0; 选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+ϕ=π2; 选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=π; 选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+ϕ=3π2; 选“第五点”时,令ωx+ϕ=2π. (2)求ω:因为T=2πω,所以求ω即求T.①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是2T.②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为2T.1.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( C )(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意可知,nT=π3(n∈N*),所以n·2πω=π3(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.故选C.2.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin(2x+π6)的图象( B )(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π2个单位长度(D)向右平移π2个单位长度解析:y=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)],y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]=sin[2(x-π4+π12)],所以将y=sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度得到y=sin(2x-π3)的图象.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( C )(A)A=3,T=4π3,ϕ=-π6(B)A=1,T=4π3,ϕ=3π4(C)A=1,T=4π3,ϕ=-3π4(D)A=1,T=4π3,ϕ=-π6解析:由图象知,A=312-=1,2T = 5π6-π6=2π3,则T=4π3,ω=32,由5π6×32+ϕ=π2+2k π,k ∈Z,得ϕ=-3π4+2k π,k ∈Z,令k=0,得ϕ=-3π4.故选C.4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .解析:由图可知4T=7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0) 因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z, 又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3).答案π3)5.将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 .解析12sin x)=2sin(x+π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到y=2sin(x+m+π3)的图象,此图象关于y 轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin(m+π3)=±2,所以m+π3=π2+k π,k ∈Z,即m=π6+k π,k ∈Z,由于m>0,所以m min =π6. 答案:π6(对应学生用书第66～68页)考点一 五点法作图【例1】 设x ∈R,函数y=f(x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,- π2<ϕ<0)的最小正周期为π,且f(π4.(1)求ω和ϕ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若,求x 的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=2πω=π, 所以ω=2,因为f(π4)=cos(2×π4+ϕ)=cos(π2+ϕ)=-sin ϕ且-π2<ϕ<0, 所以ϕ=-π3. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-π3),列表如下:图象如图:(3)因为,即cos(2x-π3,所以2k π-π4<2x-π3<2k π+π4,k ∈Z, 则2k π+π12<2x<2k π+7π12,k ∈Z,即k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z. 所以x 的取值范围是{x|k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z}.用“五点法”作y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为4T ,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),ω>0,|ϕ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,ϕ=- π6,数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin(2x-π6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6), 则g(x)=5sin(2x+2θ-π6). 因为函数y=sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z,令2x+2θ-π6=k π,k ∈Z,解得x=π2k +π12-θ,k ∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令π2k +π12-θ=5π12,解得θ=π2k -π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6. (3)把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到y=sin(x-π6)的图象,再把y=sin(x-π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x-π6)的图象,最后把y=sin(2x-π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-π6)的图象. 考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象变换【例2】 (1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π4对称,则ϕ的最小值为( )(A)18π (B)12π (C)34π (D)38π(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象关于原点对称,则ϕ的一个可能取值为( )(A)-π3 (B)π6 (C)π3 (D)5π6解析:(1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,可得函数y=2sin[2(x-ϕ)+π4]=2sin(2x+π4-2ϕ)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+π4-2ϕ)的图象;再根据所得图象关于直线x=π4对称,可得π+π4-2ϕ=k π+π2(k ∈Z),即ϕ=3π8-π2k ,k ∈Z,所以ϕ的最小值为3π8,故选D.(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象对应的解析式为y=cos[2(x-π6)+ϕ]=cos(2x-π3+ϕ).再根据得到的图象关于原点对称,则-π3+ϕ=k π+π2,k ∈Z,即ϕ=k π+5π6,k ∈Z.结合所给的选项,故选D.(1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则ϕ的值可以是( B )(A)5π3 (B)5π6 (C)π2 (D)π6解析:因为函数f(x)的图象过点P,所以θ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).又函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-ϕ)+π3]的图象,所以sin(π3-2ϕ所以ϕ可以为5π6.故选B.考点三求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的解析式【例3】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )π6)π3)π3)π6)(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M(2π3,-2),则f(x)的解析式为.解析:(1)由题图知f(x)在x=512π且最小正周期T满足34T=512π+π3.故34×2πω=3π4,ω×5π12+θ5π6+θ)=1,5π6+θ=2kπ+π2,k∈Z,θ=2kπ-π3,k∈Z.所以f(x)的解析式可为π3).故选B.(2)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由题意得2T=π2,即T=π,ω=2πT=2ππ=2, 由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(2×2π3+ϕ)=-2, 即sin(4π3+ϕ)=-1,故4π3+ϕ=2k π-π2,k ∈Z, 所以ϕ=2k π-11π6,k ∈Z,又ϕ∈(0,π2), 所以ϕ=π6, 故f(x)=2sin(2x+π6). 答案:(1)B (2)f(x)=2sin(2x+π6)确定y=Asin(ωx+ϕ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M 和最小值m,则A=2M m -,b=2M m+.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT. (3)求ϕ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)等于( B )解析:由图象可知T=2(3π8-π8)=π2,所以ω=2,所以2×π8+ϕ=k π+π2,k ∈Z,得ϕ=π4+k π,k ∈Z, 又|ϕ|<π2, 所以ϕ=π4. 又f(0)=1,所以Atan π4=1,得A=1, 所以f(x)=tan(2x+π4), 所以f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.考点四 易错辨析【例4】 (2018·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(x ∈R,ω>0)与g(x)=cos(2x+ϕ)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cos(ωx+π3)的图象,只需将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移π4个单位长度 (B)向右平移π4个单位长度 (C)向左平移π2个单位长度 (D)向右平移π2个单位长度 解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+π3),h(x)=cos(2x+π3)=sin[2(x+π4)+π3],故得到h(x)的图象仅需将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,故选A.(1)忽略函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数ω的存在,误将x 的变换认为是ωx 的变换.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|< π2)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )(A)关于直线x=π12对称(B)关于直线x=5π12对称(C)关于点(π12,0)对称(D)关于点(5π12,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为π, 所以2πω=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin[2(x-π3)+ϕ]=sin(2x-2π3+ϕ)的图象,又g(x)的图象关于原点对称, 所以-2π3+ϕ=kπ,k∈Z,所以ϕ=2π3+kπ,k∈Z,又|ϕ|<π2,所以ϕ=-π3,所以f(x)=sin(2x-π3).当x=π12时,2x-π3=-π6,所以A,C错误;当x=5π12时,2x-π3=π2,所以B正确,D错误.故选B.(对应学生用书第68～69页)三角函数图象【例题】已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.a.求实数m 的取值范围;b.证明:cos(α-β)=225m -1. (1)解:将g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+π2(k ∈Z). (2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cossin cos ϕ)(其中sinϕϕ依题意知,sin(x+ϕ[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当故m 的取值范围是b.证明:因为α,βϕ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+ϕβ+ϕ当1≤,α+β=2(π2-ϕ), 即α+ϕ=π-(β+ϕ); 当时,α+β=2(3π2-ϕ),即α+ϕ=3π-(β+ϕ). 所以cos(α+ϕ)=-cos(β+ϕ). 于是cos(α-β)=cos[(α+ϕ)-(β+ϕ)] =cos(α+ϕ)cos(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ) =-cos 2(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ)22=225m -1.规范要求:(1)根据图象变换规律求出函数解析式,再根据对称轴的特点求对称轴方程.(2)通过三角变换将f(x)+g(x)化为一个角的一种三角函数形式.(3)分离参数法转化为求函数的值域,从而解绝对值不等式求得参数范围.(4)利用三角函数相等,求得α,β的关系,从而判定cos(α+ϕ)与cos(β+ϕ)的关系,进而利用两角和与差公式求值.(5)解决给值求值问题的关键是找出未知角与已知角关系,从而选择对应公式求解.【规范训练1】如图为y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+ϕ)的图象向左平移π6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.解:(1)由图象知由“五点法”列方程组π0,35ππ,6ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解之2,2π,3ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩得所以所求解析式为2π3 ).π6)-2π3sin(2x-π3),令2x-π3=π2+kπ(k∈Z),则x=512π+π2k(k∈Z),所以f(x)的对称轴方程为x=512π+π2k (k ∈Z).【规范训练2】 设关于x在区间(0,2π)内有相异的两个实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解:(1)原方程可化为sin(x+π3)=-2a ,作出函数y=sin(x+π3)(x ∈(0,2π))的图象.由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是11,2a a ⎧-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ 即(2)由图知,当即-2a∈)时,直线 y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象交于C,D 两点,它们中点的横坐标为76π, 所以2αβ+=7π6, 所以α+β=7π3. 当即-2a∈,1)时,直线y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象有两交点A,B,由对称性知,2αβ+=π6, 所以α+β=π3. 综上所述,α+β=π3或73π.(对应学生用书第69页)类型一 三角函数图象变换1.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( A )解析:把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos x+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象.故选A.2.(2018·浙江镇海中学期中)将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( C )(A)x=π12 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=2π3解析:将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得g(x)=3sin[2(x-π6)+π6]=3sin(2x-π6)的图象,令2x-π6=k π+π2,k ∈Z,则y=g(x)图象的对称轴是x=π2k +π3,k ∈Z,故选C. 类型二 求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin(2x+π3) (B)y=2sin(2x+2π3)(C)y=2sin(2x -π3)(D)y=2sin(2x-π3)解析:由题图可知A=2,2T =5π12-(-π12)=π2, 所以T=π,ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+ϕ),又f(-π12)=2sin(-π6+ϕ)=2, 即-π6+ϕ=π2+2k π,k ∈Z, 所以ϕ=2π3+2k π(k ∈Z),结合选项知选B.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)图象的最高点的纵坐标是4,相邻的两对称中心距离为π2,图象经过点(π6,0),则函数f(x)的解析式为 .解析:由题意知A=4,T=2×π2=π, 所以2πω=π,则ω=2, 所以f(x)=4sin(2x+ϕ). 又函数图象经过点(π6,0), 所以4sin(2×π6+ϕ)=0, 所以ϕ+π3=k π(k ∈Z), 所以ϕ=k π-π3(k ∈Z),又|ϕ|<π, 所以ϕ=-π3或ϕ=2π3. 所以f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3). 答案:f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3)5.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P 012),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 .解析:由题意可得,函数的初相位是π6,又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转,即T=2πω=60,所以|ω|=π30,即ω=-π30,故y=sin(-π30t+π6). 答案:y=sin(-π30t+π6) 类型三 函数y=Asin(ωx+ϕ)与y=Acos(ωx+ϕ)图象的应用6.函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|< π2)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( D )(A)1 (B)12解析:观察图象可知,A=1,T=π, 所以ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).将(-π6,0)代入上式得sin(-π3+ϕ)=0, 由|ϕ|<π2,得ϕ=π3, 则f(x)=sin(2x+π3). 函数图象的一条对称轴为x=ππ632-+=π12.又x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),所以122xx +=π12,所以x 1+x 2=π6,所以f(x 1+x 2)=sin(2×π6+π3.故选D.7.已知直线y=b(b<0)与曲线y=f(x)=sin(2x+π2)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b 的值是 . 解析:设三个横坐标依次为x 1,x 2,x 3,由图及题意有12232213π,2π,,x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩解得x 2=2π3,所以b=f(2π3)=-12. 答案:-12。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第4章 §4.6 函数y=Asin(ωx+φ)
1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
A 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x－π6＝cos12x－1π2＝－sin12x－71π2的图象，故 A 错误； B 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x＋π6＝cos12x＋1π2＝sin12x＋71π2的图象，故 B 错误；
A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度
B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
π 6
个单位长度
√C.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
D.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
五个特征点
ωx＋φ x
0
0－φ __ω___
π 2
π2－φ __ω___
π
π－φ __ω___
3π 2
32π－φ ___ω___
2π
2π－φ ___ω___
y＝Asinபைடு நூலகம்0
(ωx＋φ)
A
0
－A
0
知识梳理
3.函数y＝sin x的图象经变换 得 到 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， ω>0)的图象的两种途径
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分