西南交通大学2015-2016数理统计考试题

+∞
⎧2ne −2 n ( x −θ ) x ≥θ --------------------------------（1 分） =⎨ 0 x θ < ⎩
EX (1) = ∫
θ
x 2ne−2 n ( x −θ ) dx = θ +
1 --------------------------------（2 分） 2n
而由总体 X 的简单随机样本值计算 0.50，1.25，0.80，2.00 得
1 1 y = [ln 0.5 + ln1.25 + ln 0.8 + ln 2] = ln1 = 0 ，又上 α 分位点 z0.05 / 2 = 1.96 4 4
故得所求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间为
(y ±
1 1 1 z0.05/ 2 ) = (0 ± ×1.96) = (0 ± ×1.96) = (−0.98, 0.98) 2 4 4
D[ X (1) ] = E[ X (1) ]2 − [ EX (1) ]2 =
3.
假设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值，
已知 Y = ln X 服从正态分布 N ( μ ,1) 。 （1）试求 μ 的置信度为 0.95 的置信 区间； （2）利用上述结果求 X 的数学期望 E ( X ) 的置信度为 0.95 的置信 区间。 （15 分）
H0 : u = 0 H1 : u ≠ 0 。取 H 0 的拒绝域分别为：
(2) W2 = {1.5 ≤ 2 X ≤ 2.12} （10 分）
(1) W1 = {2 X ≤ −1.65} ；
计算这两种拒绝域下，此检验犯第一类错误的概率。
X −μ
解：(1) 由于
σ
n 服从标准正态分布，有由于
σ =2，n=16，μ =0所以2 X 服从标准正态分布
7、已知两正态总体 G1 和 G2，而且
∑1 = ∑ 2 = Σ = ⎜ μ1 = ⎜ ⎟，μ2 = ⎜ ⎟， ⎟， ⎝6⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1 9 ⎠
其先验概率分别为 q1=q2=0.5,误判的代价为C(21) = e4 , C(1 2) = e 试用 Bayes 判别法决定样本
T 属于哪一个总体？ X= （3,5）
E[ X (1) ]2 = ∫
+∞
θ
1 x 2ne−2 n ( x −θ ) dx = θ 2 + 2θ + --------------------------------（2 分） n (2n − 1) 1 1 θ + − 2 ------------------------------（1 分） n n 4n
σ2
2
)， 即
Y1 − Y2 ~ N (0,1) ----------------------------（3 分） σ/ 2
又因 S 为样本方差，所以由定理得
2
2S 2
σ
2
~ χ 2 (2) ，---------------------------------（2 分）
且 S 与 Y1 与 Y2 相互独立，故与 Y1 − Y2 也是相互独立的，于是由 t 分布定义知
⎧ ⎫ ⎪Y −μ ⎪ < z0.05/ 2 ⎬ = 1 − 0.05 = 0.95 ，即 ⎪ 1/ n ⎪ ⎩ ⎭
z z z ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 0.95 = P ⎨ Y − μ < 0.05 / 2 ⎬ = P ⎨Y − 0.05 / 2 < μ < Y + 0.05/ 2 ⎬ ， n ⎭ n n ⎭ ⎩ ⎩
i =1 i =1
n
n
n
=2n e
−2
∑
i =1
n
---------------------------------（2 分）
( xi −θ )
= 2n e
−2
∑
i =1
xi + 2 nθ
xi > θ (i = 1, 2, L , n)
取对数得：
ln L(θ ) = n ln 2 − 2∑ xi + 2nθ xi > θ (i = 1, 2,L , n) ---------------------------------（2 分）
所以当取 θ 为 x1 , x2 ,L , xn 中最小值 x(1) 时， L(θ ) 取得满足条件的最大值，所以 θ 的最大似 然估计值为
ˆ = x = min{x , x ,L , x } ---------------------------------（2 分） θ (1) 1 2 n
（2 ） F ( x ) = ⎨
x >θ x ≤θ
其中 θ > 0 为未知参数，又设 x1 , x2 ,L , xn 是 X 的一组样本观测值，(1)试 求参数 θ 的极大似然估计量 θˆ极 ；(2)求极大似然估计 θˆ极 的方差。 （15 分）
解：(1)由 X 的概率密度函数，得似然函数
L(θ ) = ∏ f ( xi ;θ ) =∏ 2e −2( xi −θ )
⎧1 − e −2( x −θ ) x ≥θ ---------------------------------（1 分） x <θ ⎩ 0
n
⎧1 − e −2 n ( x −θ ) x ≥θ ---------------------------------（1 分） F(1) ( x) = 1 − (1 − F ( x)) = ⎨ x <θ ⎩ 0 f (1) ( x) = dF(1) ( x) dx
Z= 2(Y1 − Y2 ) S
， Y2 = ( X 7 + X 8 + X 9 ) , S 2 =
1 3
1 9 ∑ ( X i − Y2 )2 2 i =7
，
试推断统计量 Z 的分布。
解：因为 X 1 , X 2 ,L , X 9 相互独立且服从正态分布 N ( μ , σ ) ，则有
2
（10 分）
⎡3⎤ ⇒ X = ⎢ ⎥ ∈ G2 ⎣5 ⎦
8．表中给出了五个样本两两之间的欧氏距离，根据系统聚类法， （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （2）类间用最长距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 欧氏距离 1 2 1 2 3 4 5 0 8.06 17.81 26.91 30.41 8.06 0 25.46 34.67 38.21 3 17.81 25.46 0 9.22 12.82 4 26.91 34.67 9.22 0 3.63 5 30.41 38.21 12.82 3.63 0 （10 分）
i =1
n
再对 θ 求导得：
d ln L(θ ) （1 分） = 2n > 0 xi > θ (i = 1, 2,L , n) --------------------------------dθ
即 L(θ ) 是单调增加的，虽然 θ 越大则 L(θ ) 越大，但 θ 必须满足条件
θ < xi (i = 1, 2,L , n)
显著性 显著 显著 显著 显著
（1） 求出方差分析表和参数估计表中的各字母的值。 （2）计算样本复相关系数，和误差方差 σ 2 的无偏估计。
（15 分）
（2） 12026774.1 R2 = ≈ 0.8936 13458586.7 样本复相关系数=R= 0.8936 ≈ 0.957 误差方差 σ 2 的无偏估计 =55069.7
∫
+∞
−∞
e
−
( y − μ )2 +y 2
[ y − ( μ +1)] 1 +∞ − μ+ 1 μ+1 2 2 dy = e ∫ e dy = e 2 −∞ 2π
（2）因为 Y 的方差为已知，即 D (Y ) = 1 ，置信度为 0.95 时，样本均值 Y ~ N ( μ ,
1 )， n
则有 P ⎨
Y1 =
1 6 σ2 1 9 σ2 X N μ ， Y = X N μ ~ ( , ) ~ ( , ) ----------------------------------（2 分） ∑ i ∑ i 2 6 i =1 6 3 i =7 3
且相互独立，
Y1 − Y2 ~ N (0,
σ2
6
+
σ2
3
) = N (0,
⎛ 2⎞
⎛ 4⎞
⎛1 1 ⎞
（10 分）
3、由 Bayes判别知 f ( x) W ( x) = 1 = exp[( x − μ )T Σ −1 ( μ1 − μ 2 )] ≈ exp(4 x1 + 2 x2 + 4) f 2 ( x) 其中， μ = ⎛ 3 ⎞ ˆ −1 1 ⎛ 9 − 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 1 %1 − μ %2 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ( μ1 + μ 2 ) = ⎜ ⎟ , Σ ,( μ = ⎜ ⎟ 2 8 ⎝ −1 1 ⎠ ⎝4⎠ ⎝6⎠ ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎡3⎤ q C (1| 2) d= 2 = e 3 ,W ( x = ⎢ ⎥ ) = exp(2) < d = e 3 q1C (2 |1) ⎣5 ⎦
解： （1）因为 Y = ln X ~ N ( μ ,1) ，则 X = e ，其数学期望 E ( X ) 为：
Y
b = E ( X ) = E (e ) = ∫ e
Y −∞
+∞
y
1 − ( y −2μ ) 1 e dy = 2π 2π
2
2
∫
+∞
−∞
e
−
( y − μ )2 +y 2
dy
1 = 2π
西南交通大学研究生 2015－2016 学年第(1)学期考试试卷
课程代码 题号 一 得分 阅卷教师签字： 二 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟 三 四 五 六 七 八 总成绩
1．设 X 1 , X 2 ,L , X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本，其中
1 Y1 = ( X 1 + L + X 6 ) 6
第一类错误的概率= P{2 X ≤ −1.65 | μ = 0} = Φ(−1.65) = 0.05 (2) 第一类错误的概率 = P{1.5 ≤ 2 X ≤ 2.12 | μ = 0} = Φ(2.12) − Φ (1.5) = 0.983 − 0.93319 5.一家公司产品销售在 30 地区设有销售分公司，为研究产品销售（y）与该 公司的销售价格(x1)，各地区的年平均收入(x2)，广告费用(x3)之间的关系，收 集到 30 个地区的有关数据，得到下列回归结果 方差来源 回归 残差 总的 参数估计表 截距 x1 的系数 x2 的系数 x3 的系数 自由度 A D 29 估计值 7589.1025 -117.8861 80.6107 0.5021 平方和 B E 13458586.7 标准误差 2445.0213 31.8974 14.7676 0.1259 均方 4008924.7 F t-统计量 3.1039 G H 3.9814 F—统计量 C 显著 性 显著
y
（3）由于函数 e 的严格递增性质，可得
z z z ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 0.95 = P ⎨ Y − μ < 0.05 / 2 ⎬ = P ⎨Y − 0.05 / 2 < μ < Y + 0.05/ 2 ⎬ n ⎭ n n ⎭ ⎩ ⎩
z z 1 1 Y + 0.05 / 2 ⎪ Y + 0.05 / 2 + ⎪ ⎧ Y − z0.05n/ 2 ⎫ ⎧ Y − z0.05n/ 2 + 1 ⎫ μ+ ⎪ ⎪ μ 2 2 n n 2 = P ⎨e <e <e <e <e ⎬ = P ⎨e ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
即得 b = E ( X ) = E (e ) 的置信度为 0.95 的置信区间为
Y
(e
y−
z0.05 / 2 1 + 2 n
,e
y+
z0.05 / 2 1 + 2 n
) = (e−0.48 , e1.48 )
ห้องสมุดไป่ตู้
4. 设 总 体 X~N（μ ,4）,X 1 , X 2 ,", X 16 为 来 自 总 体 的 样 本 ， 考 虑 检 验 问 题 ：
（1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图 Step1： （4）与（5）和并为类（6） 1 1 2 3 6 0 8.06 17.81 30.41 2 8.06 0 25.46 38.21 3 17.81 25.46 0 9.22 6 26.91 34.67 9.22 0
2
Y1 − Y2 2(Y1 − Y2 ) Z= = σ / 2 ~ t (2) ---------------------------------（3 分） S 2 S 2 / 2σ 2
即统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。 2.
设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
⎧2e−2( x−θ ) f ( x;θ ) = ⎨ ⎩0