2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三(上)期末数学试卷(理科)
2017届江西省赣州市寻乌中学高三上学期开学考试数学(理)试题(PDF版)
江西省寻乌中学2016-2017学年新高三入学考试数学（理）考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题1．设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃A.｛0,1,2,3,｝ B.｛5｝ C.｛1,2,4｝ D.{0,4,5}2.设命题p :存在四边相等的四边形不是正方形；命题q :若y x cos cos =，则y x =，则下列判断正确的是（）A.q p ∧为真B.q p ∨为假C.p ⌝为真D.q ⌝为真3.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1≠q ，且132,1,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为A．12B．12+C．12D ．12+或12-4.某中学为研究某位学生物理成绩与数学成绩的相关性，抽取该同学高二的5次月考数学成绩和相应的物理成绩如下表：数学成绩ix 90100115130物理成绩iy 6065707580由这些样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程 0.47+17.36y x =，但由于某种原因该表中一次数学成绩被污损，则根据回归方程和表中数据可得污损的数学成绩为（）A ．120B ．122.64C ．125D ．1275.平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a bB．C．4D．126.如图是某算法的程序框图，若实数(1,4)x ∈-，则输出的数值不小于30的概率为（）A.51B.25C.7D.77.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,xf x x =+-则()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48.自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（）A ．1310B ．3C ．4D ．21109.某同学有7本工具书，其中语文2本、英语2本、数学3本，现在他把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书任意两本不相邻，则不同的排法种数为（）DCBAA ．12B ．24C ．48D ．72010.一个盒子中放有大小相同的6个小球，其中白球4个，红球2个.任取两次，每次取一个球，每次取后不放回，已知第一次取到的是白球，则第二次也取到的是白球的概率为（）A ．95B ．125C ．32D ．9711．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（）A ．3B．72C ．D ．9212．已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ,e 2.71828= 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞D ．2(,e ]π-∞二、填空题13.已知6+的展开式中含2x 项的系数为12，则展开式的常数项为__________.14.已知0)3)(2(:,44:>--<-<-x x q a x p ，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为.15.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如右数据:由表中数据,求得线性回归方程为ˆˆ20yx a =-+.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为_______.在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=o.（1）判断ABC ∆的形状；（2）若ADC ∆的三边长是连续三个正整数，求BAC ∠的余弦值。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期中考试数学理
江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学（理工类）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin15cos15︒+︒的值为（ ）A B ．C D ． 2.已知向量(2,3)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-3.已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ）A B C ．5D ．254.已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（ ）A ．3 B ．13C ．13-D ．3-5.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两分之和，则最小的1份为（ ）A ．56B ．103C ．53D ．1166.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知函数32()f x x ax bx =-++（a ，b R ∈）的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2-8.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且1(1)()f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记0.5(log 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5(2)c f =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+（2n ≥），11a =，且2410a a +=，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2183n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．264D ．13311.已知函数1()21x f x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（ ）12.定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x =-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(,0)(3,)-∞+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a =，2b =，6A π=，则tan B = ．14.已知x ，y 满足0,20,,x y x y x a -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩且2z x y =-的最大值与最小值的比值为2-，则a 的值是 ．15.一艘海轮从A 出发，以每小时40海里的速度沿东骗西50︒方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，则B ，C 两点间的距离是 海里．16.数列{}n a 满足11n n n a a a +-=+（*n N ∈，2n ≥），n S 是{}n a 的前n 项和，若51a =，则6S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4CAD π∠=，72AC =，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长． 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =，2(1)1n n S n a =++（2n ≥）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)n n b a =+（*n N ∈），数列{}nb 的前n 项和为n T ，证明：3350n T <（*n N ∈）． 19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，8AB AC ⋅=，BAC θ∠=，4a =．（1）求bc 的最大值；（2）求函数()2cos21f θθθ+-的值域．20.已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.21.已知a 为常数，a R ∈，函数2()ln f x x ax x =+-，()xg x e =（其中e 是自然对数的底数）.（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =； （2）令()()()f x F xg x =，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )3ρρθθ=+-．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．23.选修4-5：不等式选讲已知m ，n 都是实数，0m ≠，()|21||2|f x x x =-+-． （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有m ，n 都成立，求实数x 的取值范围．江西省寻乌中学2017届上学期高三期中考试试卷数学（理工类）试卷答案一、选择题1-5:CBCBC 6-10:BCABD 11、12：DA 二、填空题1215. 16.4三、解答题17.解：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=， 又因为4CAD π∠=，所4C ADB π∠=∠-，所以sin sin()4C ADB π∠=∠-sin cos cos sin44ADB ADB ππ=∠-∠45==． （2）在ADC ∆中，由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠，故74sin sin sin sin sin()sin 10AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯⋅∠⋅∠⋅∠====∠-∠∠=又11sin 722ABD S AD AB ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅=，解得5BD =． 在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠82525()10=+-⨯⨯-= 18.解：（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =； 当3n ≥时，2(1)1n n S n a =++，1121n n S na --=+，以上两式相减，得12(1)n n n a n a na -=+-，∴11n n a na n -=-， ∴132122132122n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=⋅⋅=⋅⋅=--……， ∴3,1,2, 2.n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩（2）224,1,1251(1),2,(1)n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩当1n =时，114332550T b ==<； 当2n ≥时，21111(1)(1)1n b n n n n n =<=-+++，∴411111133133()()()252334150150n T n n n =+-+-++-=-<++…， ∴3350n T <（*n N ∈）．19.解：（1）cos 8bc θ=，2222cos 4b c bc θ+-=，即2232b c +=，又222b c bc +≥，所以16bc ≤，即bc 的最大值为16， 当且仅当4b c ==，3πθ=时取得最大值．（2）结合（1）得，816cos θ≤，所以1cos 2θ≥， 又0θπ<<，所以03πθ<≤，()2cos 212sin(2)16f πθθθθ=+-=+-，因为03πθ<≤，所以52666πππθ<+≤，当5266ππθ+=，即3πθ=时，min 1()2102f θ=⨯-=，当262ππθ+=，即6πθ=时，max ()2111f θ=⨯-=，所以，函数()2cos21f θθθ=+-的值域为[]0,1．20.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =，416S =，得111()(2)15,4616,a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩或17,2,a d =⎧⎨=-⎩（舍去）．所以21n a n =-．（2）①因为11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅，所以111b a ==，1111111()(21)(21)22121n n n n b b a a n n n n ++-===--+-+， 即2111(1)23b b -=-，32111()235b b -=-，…，1111()22321n n b b n n --=---，（2n ≥） 累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以111321212121n n n n b b n n n ---=+=+=---， 11b =也符合上式，故3221n n b n -=-，*n N ∈． ②假设存在正整数m 、n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列，则22n m b b b +=．又243b =，323121242n n b n n -==---，31242m b m =--，所以431()3242n +--312()242m =--，即11121642m n =+--，化简得：7221n m n -=+971n =-+， 当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =符合题意．所以存在正整数3m =，8n =，使得2b ，m b ，n b 成等差数列． 21.解：（1）1'()2f x x a x=+-（0x >）， 所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=， 整理得200ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，又因为2ln 1y x x =+-在(0,)+∞上是增函数， 所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解， 故01x =．（2）2()ln ()()x f x x ax x F x g x e +-==，21(2)ln '()x x a x a xx F x e-+-+-+=， 设21()(2)ln h x x a x a x x =-+-+-+，则211'()22h x x a x x=-+++-， 易知'()h x 在(0,1]上是减函数，从而'()'(1)2h x h a ≥=-．①当20a -≥，即2a ≤时，'()0h x ≥，()h x 在区间(0,1)上是增函数， ∵(1)0h =，∴()0h x ≤在(0,1]上恒成立，即'()0F x ≤在(0,1]上恒成立． ∴()F x 在区间(0,1]上是减函数， 所以2a ≤满足题意．②当20a -<，即2a >时，设函数'()h x 的唯一零点为0x ， 则()h x 在0(0,)x 上递增，在0(,1)x 上递减， 又∵(1)0h =，∴0()0h x >， 又∵2()(2)ln 0aaa a a h e ea e a e e ----=-+-+-+<，∴()h x 在(0,1)内有唯一一个零点'x ，当(0,')x x ∈时，()0h x <，当(',1)x x ∈时，()0h x >.从而()F x 在(0,')x 递减，在(',1)x 递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意． 综上①②得，2a ≤．22.解：（1）因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以224430x y x y +--+=， 即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程，所以所求的圆C的参数方程为2,2xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）可得，设点(2,2)Pθθ，266)55x yθθθθ+=+=++，设sinα=，则cosα=，所以265sin()x yθα+=++，当sin()1θα+=时，max(2)11x y+=，此时22kπθαπ+=+，k Z∈，即22kπθαπ=-+，k Z∈，所以sin cosθα==，cos sinθα==，点P的直角坐标为(3,4)时．23.解：（1）133,,21()1,2,233, 2.x xf x x xx x⎧-≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩由()2f x>得332,1,2xx->⎧⎪⎨≤⎪⎩或12,12,2xx+>⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得13x<或1x>，故所求实数x的取值范围为1(,)(1,)3-∞+∞．（2）由||||||()m n m n m f x++-≥且0m≠，得||||()||m n m nf xm++-≥，又∵||||||2||||m n m n m n m nm m++-++-≥=，∴()2f x≤，∵()2f x>的解集为1(,)(1,)3-∞+∞，∴()2f x ≤的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴所求实数x 的取值范围为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
江西省赣州市寻乌中学2017届高三理综上学期期末考试试题(PDF)
江西寻乌中学2016-2017学年度高三第一学期期末质量评估理科综合试卷1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分，考试时间150分钟。
2．解答一律写在答题卷中，不能答在试题卷上。
可能用到的相对原子质量：H:1O:16C:12Na:23Cl:35.5Mg:24Ca:40Cu:64第I卷(选择题，共126分)一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下在适宜光照条件下、恒温密闭的容器中培养绿色植物并测定植物的光合速率，图甲为密闭容器，图乙为1h内该容器中CO2的变化曲线。
据图分析，下列说法正确的是（）A．B点时，该植物叶肉细胞的净光合速率为0B．A-B段，叶绿体内ADP含量逐步升高C．该绿色植物前30min总光合速率（以CO2表示）的平均值为4380μL.L-1/lh D．用图甲装置测植物呼吸速率必须在黑暗条件下，但不必放置适量的NaOH 溶液2.某种野生型油菜存在一种突变体，叶绿素、类胡萝卜素含量均低，其叶片呈现黄化色泽。
野生型和突变体的成熟叶片净光合速率、呼吸速率及相关指标见下表。
A.叶绿素和类胡萝卜素分布于叶绿体的类囊体薄膜上，可用纸层析法提取叶片中的色素B.与野生型相比，突变体中发生的改变可能抑制了叶绿素a向叶绿素b的转化C.突变体成熟叶片中叶绿体消耗CO2的速率比野生型低2.47μmolCO2•m-2•s-1D.CO2浓度、ATP与[H]产量等是导致突变体光合速率降低的限制因素3.下列关于遗传信息流动的叙述，正确的是（）A.线粒体和叶绿体中遗传信息的流动均遵循中心法则B.DNA中的各基因遗传信息最终都传递给了蛋白质C.遗传信息在从碱基序列到氨基酸序列的传递过程中没有损失D.DNA病毒可以在无细胞条件下进行遗传信息的独立表达4.下丘脑是位于大脑皮层腹面调节内脏活动的高级中枢，调节着体温、水平衡、血糖和内分泌腺活动等重要的生理功能。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+PDF版含答案
a __________.
14.若 cos 75
1 ，则 sin 60 2 __________. 3
15. 已 知 函 数 f x lg x 1 ， 实 数 a, b 满 足 ： a b, 且f a f
b 1 ，则 b2
3
B. , 0, 4
3
C.
3 3 , 3 3
D. , 0 3
2
10. 设 函 数 f x 是 定 义 在 0, 上 的 单 调 函 数 ， 且 对 x 0, 都 有
13 2 4
C.
1 16
D.
1 32
8. 在 ABC 中 ， 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c，S 表 示 ABC 的 面 积 ， 若
S
1 2 2 b c a 2 ，则 A 4
A. 90
B. 60
C. 45
2 2
D. 30 Nhomakorabea9.直线 y kx 3与圆 x 3 y 2 4 相交于 M 、N 两点，若 MN 2 3 ，则 k 的 取值范围是 A. , 0 4
, x R, f x 的 最 小 值 为 2
4, f 0 2 2 ，且相邻两条对称轴之间的距离为 .
（I）当 x
时，求函数 f x 的最大值和最小值； , 2 2 5 , ，且 f x 1，求 cos x 的值. 12 2
x ，直线 y 2 x和x 轴所围成图形的面积为 S，则 S _______.
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期期末考试数学(理)试题
江西寻乌中 学2017-2018学年度高二第一学期期末质量评估数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z 满足方程i ziz =+（i 为虚数单位），则=z （ ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i 2121+- D ．i 2121-- 2.已知函数()2323++=x ax x f ，若()41=-'f ，则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．310 D ．38 3.如图，函数)(x f y =的图象，则该函数在1=x 的瞬时变化率大约是（ ） A ．0.2 B ．0.3 C.0.4 D ．0.54.过曲线xxx f y -==1)(图象上一点(2,-2)及邻近一点(y x ∆+-∆+22,)作割线，则当50.=∆x 时割线的斜率为（ ）A ．31 B ． 32 C.1 D ．35- 5.若二次函数)(x f 的图象与x 轴有两个异号交点，它的导函数)('x f 的图象如右图所示，则函数)(x f 图象的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限6.已知向量),,(),,,(y x b a 3542==分别是直线21l l 、的方向向量，若21l l //，则（ ） A ．156==y x 、 B ．2153==y x 、 C.153==y x 、 D ．2156==y x 、 7.对于两个复数i i 23212321--=+-=βα,，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④233=+βα，其中正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．48.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,0是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( )A ．510 B ．515C. 54 D ．329.已知函数()⎩⎨⎧>-≤=)()(04022x x x x x f ，则=⎰dx x f )(21-（ ）A ．31-π B ．31+π C.314+π D ．312-π 10.已知双曲线),(0012222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．11083622=-y x B ．13610822=-y x C.127922=-y x D ．192722=-y x 11.已知不等式kx e x≥恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．e B ．e - C.e 1 D ．e1- 12.对于三次函数)()(023≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)('x f 是函数)(x f y =的导数，)(''x f 是)('x f 的导数，若方程0=)(''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心． 设函数1253213123-+-=x x x x g )(，则=+++)()()(201520142015220151g g g （ ） A ．2014 B ．2013 C.22015D ．1007 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为i i i 21221--+-+,,，那么第四个顶点对应的复数是 ．14.若直线l 的方向向量),,(111=a ，平面α的一个法向量),,(112-=n ，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于 ．15.椭圆)(012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是21F F ，,过2F 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ,则椭圆的离心率为 ． 16.如图，直线kx y =将抛物线2x x y -=与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同．已知直线1的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=a t y a t x sin cos 11(t为参数)，曲线 C 的极坐标方程为q r cos 4=.(Ⅰ)若直线 l 的斜率为-1，求直线 l 与曲线C 交点的极坐标；(Ⅱ)若直线 l 与曲线C 相交弦长为32，求直线 l 的参数方程（标准形式）． 18. 已知函数1--=ax e x f x )(. （I ）若1=a ，求证：0≥)(x f ； （II ）求函数)(x f y =的值域.19. 如图，直三棱柱 111C B A ABC -中，90=∠ACB ,121AA BC AC ==,D 是棱1AA 上的动点.（I ）证明：BC DC ⊥1；（II ）若平面1BDC 分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D 的位置，并求二面角11C BD A --的大小.20. 一块长为a 、宽为2a的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．(Ⅰ)试把方盒的容积V 表示为x 的函数； (Ⅱ)试求方盒容积V 的最大值．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知两点)(01，-E 和)(01，F ，动点M 满足0=⋅FM EM ，设点M 的轨迹为C ，半抛物线)(:'022≥=y x y C ，设点),(021D . (Ⅰ)求C 的轨迹方程；(Ⅱ)设点T 是曲线'C 上一点，曲线'C 在点 T 处的切线与曲线C 相交于点A 和点B ，求ABD ∆的面积的最大值及点T 的坐标．22. 已知函数())()(,ln R a xax g x a x x f ∈+-=-=1. （I ）若1=a ，求函数()x f 的极值；（II ）设函数)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 的单调区间；（III ）若在区间).](,[ 7182821=e e 上不存在．．．0x ，使得)()(00x g x f <成立，求实数a 的取值范围.江西寻乌中 学 2016-2017 7 学年度高二第一学期期末质量评估数学（理科）试题答案一、选择题1-5:ACDBD 6-10:DCBBC 11、12：AA 二、填空题13. i -2 14.32 15.1-3 16.24121133-=-=k . 三、解答题17.解（I ）直线1的方程：)(111+-=-x y ，即x y -=；θρcos :4C ，即0422=-+x y x ，联立方程得),(),,),22000422-∴=-B A x x ；极坐标为),(),(472200p B A ，； （II ）4222=+-y x C )(:，弦心距1232222=-=)(d ， 设直线1的方程为01=++-k y kx ，∴11122=+++=k k k d ||，0=∴k 或43-=k . ∴直线⎩⎨⎧=+-=11y t xI ：（t 为参数）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 531541（t 为参数） 18. 解：（I ）当1=a 时，()1--=x e x f x ，由01=-=x e x f )('得0=x00==∴)()(min f x f ，从而00=≥)()(f x f ，即证0≥)(x f 恒成立；（II ）()x f 的定义域为R ，a e x f x -=)('.若0≤a ，则0>)('x f ，所以()x f 在R 上单调递增，值域为R ；若0>a ，则当)ln ,(a x ∝-∈时，0<)('x f ；当),(ln ∝+∈a x 时，0>)('x f ； 所以，()x f 在)ln ,(a ∝-上单调递减，在),(ln ∝+a 上单调递增，()1--==a a a a f x f ln )(ln min ，值域为),ln [∝+--1a a a .19. 解：（I ）⊥C C 1 平面ABC ,BC C C ⊥∴1 又90=∠ACB ,即C C C AC AC BC =⊥1 ,⊥∴BC 平面11A ACC ,又⊂1DC 平面11A ACC ，1DC BC ⊥∴； (II)1111111316131C B A ABC B BCC BCC BCC D V AC S AC S V -∆-=⋅=⋅=, 依题意111211C B A V V V ABC ABC D BCC D -=+--, D AA AD AA S AD S V V ABC ABC C B A ABC ABC D ,1121613161111=⇒⋅=⋅==∴∆∆--为1AA 中点； （法1）取11B A 的中点O ,过点O 作BD OH ⊥于点H ，连接H C O C 11,1111111B A O C C B C A ⊥⇒=,面⊥111C B A 面⊥⇒O C BC A 11面BD A 1BD H C BD OH ⊥⇒⊥1,得点H 与点D 重合，且DO C 1∠是二面角11C BD A --的平面角.设a AC =，则 3022221111=∠⇒===DO C O C a D C aO C ,,得二面角的大小为30°.（法2）以C 为空间坐标原点，CA 为x 轴正向、CB 为y 轴正向、1CC 为z 轴正向，建立空间直角坐标系，设AC 的长为 1，则)()()()()()(200210201101100001111，，、，，、，，、，，、，、，，C B A D B A .作AB 中点E ，连结CE ，则AB CE ⊥，从而⊥CE 平面BD A 1，平面BD A 1的一个法向量),,(02121--=EC设平面D BC 1的一个法向量为),,(z y x n =，则),(),(1011111，，，-=-=DC BD⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=⋅=+-⇒=⋅∴00001z x DC n z y x BD n ，令1=z ，得21==y x ,，),,(121=∴n236222122111=⨯-⨯+-⨯===∴|)()(||),cos(||cos |n EC θ 故二面角11C BD A --为30°.20. 解：（I ）依题意，折成无盖方盒的长为x a 2-、宽为x a22-、高为x ，故体积())(,))((40234222223a x x a ax x x x a x a x V y <<+-=--==，其中常数0>a ；（II ）由0261222=+-=a ax x y ' 得a x 1233±=， 在定义域内列极值分布表37231233a a f x V =-=)()(max . 21. 解：（I ）设点),(y x M ，由0=⋅FM EM ，得0112=+-+y x x ))((， 所以C 的轨迹方程是122=+y x ； （II ）抛物线'C 为212x y =，设))),(0212>t t t T ，则xy 21='，所以切线为：)(2211t x t t y -=-，即0222=+-t ty x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x ttxy ，0441424222=-+++t t x t x t )(，判别式)(4416242++-=∆t t t ，设),(),,(2211y x B y x A ，则22421144tt t t x x +++-=-||，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点R ，于是⎪⎩⎪⎨⎧==+-21222x t ty x ，得),(t t R 21212+，则tt DR 212+=||，故ABD ∆的面积22482212221≤+--=-=)(||||t x x DR S ，此时)(21，T . 22. 解：（I ）当1=a 时，()101>⇒>-=⇒-=x xx x f x x x f )('ln ，列极值分布表 ()x f ∴在（0,1）上递减，在），（∞+1上递增，∴()x f 的极小值为()11=f ；（II ）x ax a x x h ++-=1ln )( 211x a x x x h )]()[()('+-+=∴ ①当1-≤a 时，)(,)('x h x h ∴>0在），（∞+0上递增；②当1->a 时，a x x h +>⇒>10)('，∴)(x h 在）（a +10,上递减，在),(+∞+a 1上递增；（III ）先解区间],[e 1上存在一点0x ,使得()()00x g x f <成立0<-=⇔)()()(x g x f x h 在],[e 1上有解⇔当],[e x 1∈时，0<min )(x h由（II ）知①当1-≤a 时，)(x h 在],[e 1上递增，2021-<⇒<+==∴a a h h )(min ∴2-<a②当1->a 时，)(x h 在）（a +10,上递减，在),(+∞+a 1上递增（i ）当01≤<-a 时，)(x h 在],[e 1上递增，2021-<⇒<+==∴a a h h )(min a ∴无解（ii ）当1-≥e a 时，)(x h 在],[e 1上递减11012-+>⇒<++-==∴e e a e a a e e h h )(min，∴112-+>e e a ；（iii ）当10-<<e a 时，)(x h 在],[a +11上递减，在),(e a +1上递增)ln()(min a a a a h h +-+=+=∴121令())ln()ln(a a a a a a a F +-+=+-+=11212，则01122<+--=a aa F )(' )(a F ∴在),(10-e 递减，0121>-=->∴e e F a F )()(，0<∴)(a F 无解， 即012<+-+=)ln(min a a a h 无解；综上：存在一点0x ,使得()()00x g x f <成立，实数a 的取值范围为：2-<a 或112-+>e e a .所以不存在一点0x ，使得()()00x g x f <成立，实数a 的取值范围为1122-+≤≤-e e a .。
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.若集合A={x|x＜3}，B={x|x＞0}，则A∪B=（）A. {x|0<x<3}B. {x|x>0}C. {x|x<3}D. R2.已知α为锐角，则2α为（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 小于180∘的角3.已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C'，△A'B'C'是边长为a的正三角形，那么在原△ABC的面积为（）A. 32a2 B. 34a2 C. 62a2 D. 6a24.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对5.在空间直角坐标系中点P（1，3，-5）关于xoy对称的点的坐标是（）A. (−1,3，−5)B. (1,−3,5)C. (1,3，5)D. (−1,−3,5)6.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为（）A. 2x+y−4=0B. x+2y−5=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=07.三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A. a<c<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a8.若函数f（x）=ka x-a-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（）A. 1B. 2−C. 2+2D. 2−210.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log1(x+1)，x∈[0，1)1−|x−3|，x∈[1，+∞)，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A. 1−2aB. 2a−1C. 1−2−aD. 2−a−111.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A. 1B. 2C. 12 D. 1412. 若函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f [f （x ）+22x +1]=13，则f （log 23）=（ ）A. 1B. 45C. 12D. 0二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f [f (14)]=______．14. 圆x 2+y 2-4x =0在点P （1， 3）处的切线方程为______．15. 已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x -1）＜f （3）的x 取值集合是______．16. 在直角坐标系内，已知A （3，2）是圆C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为x -y +1=0和x +y -7=0，若圆C 上存在点P ，使∠MPN =90°，其中M ，N 的坐标分别为（-m ，0），（m ，0），则实数m 的取值集合为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17. 已知集合A ={x |1−m ≤x ≤2m +1},B ={x |19≤3x ≤81}．（1）当m =2时，求A ∪B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18. 已知圆C ：（x -1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （写一般式） （2）当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．19. 已知函数f （x ）=ax +bx +c 是奇函数，且满足f （1）=52，f （2）=174．（1）求a ，b ，c 的值；（2）试判断函数f （x ）在区间（0，12）上的单调性并证明．20. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD = 2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD =2AB =2BC =2，O 为AD 中点． （1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（3）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD的距离为 32？若存在，求出AQQD 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y =kx -2．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB =π2时，求k 的值； （2）若k =12，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，探究：直线CD 是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；（3）若EF 、GH 为圆O ：x 2+y 2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M (1， 22)，求四边形EGFH 的面积的最大值．22.设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由；，t＞0；①f(x)=log2x，x＞0，x=g(t)=t+1t②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R．（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g(t)=mt2−3t+n是y=f（x）的t2+1一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m、n的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x＜3}，B={x|x＞0}，作出图象，如图：∴结合图象知A∪B=R．故选：D．作出图象，利用数轴结合并集定义能求出结果．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选D．写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．3.【答案】C【解析】解：直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系=，那么原△ABC的面积为：，故选C．由原图和直观图面积之间的关系系=，求出直观图三角形的面积，再求原图的面积即可．本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查．4.【答案】B【解析】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．5.【答案】C【解析】解：过点A（1，3，-5）作平面xOy的垂线，垂足为H，并延长到A′，使AH′=AH，则A′的横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来纵坐标的相反数，即得：A′（1，3，5）．故选C．利用空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（-a，b，c）即可得出正确选项．本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．6.【答案】B【解析】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为-，所以由点斜式方程得：y-2=-（x-1），化简得：x+2y-5=0，故选：B过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．本题考察直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题．7.【答案】C【解析】【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C．8.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数则f（-x）+f（x）=0即（k-1）（a x-a-x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C由函数f（x）=ka x-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．若函数在其定义域为为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（-x）-f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数-减函数=增函数也是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】解：由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值，最小值为2（-1）=2-2，故选：D．由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查线段长的计算，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（-1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），∴f（-x）=（-x+1），又f（-x）=-f（x），∴f（x）=-（-x+1）=（1-x）-1=log2（1-x），∴中间的一个根满足log2（1-x）=a，即1-x=2a，解得x=1-2a，∴所有根的和为1-2a．故选：A．函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．11.【答案】B【解析】解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，所以三棱锥P-ABC的正视图的面积为=1；三棱锥P-ABC的俯视图的面积的最小值为=，所以三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为=2，故选：B．由题意确定棱锥P-ABC的正视图的面积，三棱锥P-ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]=，∴f（x）+=a恒成立，且f（a）=，即f（x）=-+a，f（a）=-+a=，解得：a=1，∴f（x）=-+1，∴f（log23）=，故选：C．由已知可得f（x）+=a恒成立，且f（a）=，求出a=1后，将x=log23代入可得答案．本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数求值，正确理解对任意实数x，都有f[f（x）+]=，是解答的关键．13.【答案】19【解析】解：∵函数，∴f（）==-2，=f（-2）=．故答案为：．先求出f（）==-2，从而=f（-2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.【答案】x-3y+2=0【解析】解：圆x2+y2-4x=0的圆心坐标是（2，0），所以切点与圆心连线的斜率：=-，所以切线的斜率为：，切线方程为：y-=（x-1），即x-y+2=0．故答案为：x-y+2=0．求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率解题的关键，考查计算能力．15.【答案】（-1，2）【解析】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x-1）＜f（3）得，f（|2x-1|）＜f（3）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x-1|＜3；解得-1＜x＜2；∴x的取值范围是：（-1，2）．故答案为：（-1，2）．由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x-1）＜f（3）得出|2x-1|＜3，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．考查偶函数的定义，增函数的定义，根据函数单调性解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法． 16.【答案】[3，7]【解析】解：由题意，∴A （3，2）是⊙C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为x-y+1=0和x+y-7=0， ∴圆上不相同的两点为B （1，4），D （5，4）， ∵A （3，2），BA ⊥DA∴BD 的中点为圆心C （3，4），半径为1，∴⊙C 的方程为（x-3）2+（y-4）2=4．过P ，M ，N 的圆的方程为x 2+y 2=m 2， ∴两圆外切时，m 的最大值为+2=7，两圆内切时，m 的最小值为-2=3，故答案为[3，7]．求出⊙C 的方程，过P ，M ，N 的圆的方程，两圆外切时，m 取得最大值，两圆内切时，m 取得最小值．本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由B 中不等式变形得3-2≤3x ≤34，解得-2≤x ≤4，即B ={x |-2≤x ≤4}.（1）当m =2时，A ={x |-1≤x ≤5}，B ={x |-2≤x ≤4}, ∴A ∪B ={x |-2≤x ≤5}． （2）∵B ⊆A ， ∴ 1−m ≤−22m ＋1≥4， 解得m ≥3，∴m 的取值范围为{m |m ≥3}． 【解析】本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、子集定义的合理运用．（1）当m=2时，求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ； （2）由B ⊆A ，列出不等式组，能求出m 的取值范围． 18.【答案】解：（1）圆C ：（x -1）2+y 2=9的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y =2（x -1），即2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1， 直线l 的方程为y -2=x -2，即x -y =0圆心C 到直线l 的距离为2，圆的半径为3，弦AB 的长为 34． 【解析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l 的斜率，再由点斜式方程可得到直线l 的方程，最后化简为一般式即可．（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l 的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用，在考试中才不会手忙脚乱．19.【答案】解：（1）∵f （-x ）=-f （x ）∴c =0，∵ f (1)=52f (2)=174，∴ a +b =522a +b 2=144，∴ a =2b =12；（2）∵由（1）问可得f （x ）=2x +12x ， ∴f （x ）在区间（0，0.5）上是单调递减的； 证明：设任意的两个实数0＜x 1＜x 2＜12，∵f （x 1）-f （x 2）=2（x 1-x 2）+12x 1-12x 2=2（x 1-x 2）+x 2−x 12x 1x 2=(x 2−x 1)(1−4x 1x 2)2x 1x 2，又∵0＜x 1＜x 2＜12， ∴x 1-x 2＜0，0＜x 1x 2＜14，∴-4x 1x 2＞-1∴1-4x 1x 2＞0，f （x 1）-f （x 2）＞0，∴f （x ）在区间（0，0.5）上是单调递减的． 【解析】（1）由函数是奇函数得到c=0，再利用题中的2个等式求出a、b的值．（2）区间（0，）上任取2个自变量x1、x2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．本题考查用待定系数法求解析式，证明函数的单调性．20.【答案】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC．由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=2，在Rt△POA中，因为AP=2，AO=1，所以OP=1，在Rt△PBO中，PB=3，所以cos∠PBO=63，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为63．（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32．设QD=x，则S△DQC=12x，由（2）得CD=OB=2，在Rt△POC中，PC=2，所以PC=CD=DP，S△PCD=34×(2)2=32，由V p-DQC=V Q-PCD，得x=32，所以存在点Q满足题意，此时AQQD=13．【解析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用V p-DQC=V Q-PCD，即可得出结论．本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．21.【答案】解：（1）∵∠AOB=π2，∴点O到l的距离d=22r∴k2+1=22⋅2⇒k±3．（2）由题意可知：O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P(t，12t−2)．其方程为：x(x−t)+y(y−12t+2)=0，即x2−tx+y2−(12t−2)y=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上，∴l CD：tx+(12t−2)y−2=0，即(x+y2)t−2y−2=0，由x+y2=02y+2=0，得x=12y=−1∴直线CD过定点(12，−1)．（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则d12+d22=|OM|2=32，∴|EF|=2 r2−d12=212−d12|GH|=2 r2−d22=22−d22S=12|EF||GH|=2(2−d12)(2−d22)= −4d24+6d22+4= −4(d22−34)2+254≤52，当且仅当d22=34，即d1=d2=32时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为52．【解析】（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，点O到l的距离，由此求k的值；（2）求出直线CD的方程，即可，探究：直线CD是否过定点；（3）求出四边形EGFH的面积，利用配方法，求出最大值．本题考查直线与圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）在①中，∵f(x)=log2x，x＞0，x=g(t)=t+1t，t＞0，∴函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞），故①不是等值域变换，在②中，f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34，即f（x）的值域为[34，+∞)，当t∈R时，f[g(t)]=(2t−12)2+34≥34，即y=f[g（t）]的值域仍为[34，+∞)，∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故②是等值域变换．（2）f（x）=log2x定义域为[2，8]，因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，∴x=g(t)=mt2−3t+nt2+1，t∈R的值域为[2，8]，2≤mt2−3t+nt2+1≤8⇔2(t2+1)≤mt2−3t+n≤8(t2+1)，∴恒有2＜m＜8△1=9−4(m−2)(n−2)=0△2=9−4(m−8)(n−8)=0，解得m=5−332n=5+332．【解析】（1）在①中，函数y=f（x）的值域为R，函数y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）；在②中，f（x）的值域为，y=f[g（t）]的值域仍为．（2）由已知得的值域为[2，8]，，由此能求出实数m、n的值．本题考查等值域变换的判断，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
江西省赣州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题
赣州市2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1lg 1|{≤≤-=x x A ，}42|{<=x x B ，则=B A （ ） A ． }2101|{<≤x x B ．}20|{<<x x C ．}102|{≤<x x D ．}100|{≤<x x2.复数3)1(11i i -++（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ． i 23 B ． 23 C ．i 25- D ．25-3.已知函数⎩⎨⎧≤+>=0),4(0,log )(2x x f x x x f ，则=-)2018(f （ ） A ． 0 B ． 1 C ． 3log 2 D ． 24.若函数)sin()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则ω和ϕ的取值可以为（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-== C. 6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==5.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--0830112022y x y x y x ，则x y x z +=的最大值为（ ）A ．2B ．37C. 5 D ．6 6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0=x ，则一开始输入的x 的值为（ ）A ．43 B ．87 C. 1615 D ．3231 7.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足B c C b A a cos cos cos 2+=，且4=+c b ，则a 的最小值为（ ）A ． 2B ．22 C. 3 D ．32 8. 6)12)(2(+-x x 的展开式中4x 的系数为（ ） A ． -160 B ．320 C. 480 D ．6409.如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ． 32B ．3 C. 6 D ．510.双曲线122=-y x 的左右顶点分别为21,A A ，右支上存在点P 满足αβ5=（其中βα,分别为直线P A P A 21,的倾斜角），则=α（ ）A ．36π B ．24π C. 18π D ．12π11.已知圆1:22=+y x O 交y 轴正半轴于点A ，在圆O 内随机取一点B ，则1||≤-OB OA 成立的概率为（ ） A ．ππ6334- B ． ππ12334- C. 31 D ．6112.命题p ：关于x 的不等式0ln ≥--m x e x（e 为自然对数的底数）的一切),0(+∞∈x 恒成立；命题q ：]613,(-∞∈m ；那么命题p 是命题q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),12(k =，)14,1(k -=，若⊥，则实数=k ． 14.已知31)16cos(=+πα，其中α为锐角，则)163sin(πα-的值为 ． 15.若三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，32=AB ，7===SC SB SA ，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．16.已知过抛物线y x 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两个不同的点，过B A ,分别作抛物线的切线且相交于点C ，则ABC ∆的面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足522-+=n a S n n ，)(+∈N n . （1）求证：数列}2{-n a 为等比数列； （2）记nn n n a a a b 12+-=，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是棱AB BC ,的中点，点F 在1CC 棱上，且AC AB =，31=AA ，2==CF BC .（1）求证：//1E C 平面ADF ；（2）当2=AB 时，求二面角111B E C A --的余弦值.19. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去0年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不足120的年份有30年，不低于120且不足160的年份有8年，不低于160的年份有2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为500万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为21,A A ，其离心率35=e ，过点)0,2(B 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点（异于21,A A ），当直线l 的斜率不存在时，354||=PQ . （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线P A 1与Q A 2交于点S ，试问：点S 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.21. 已知函数b ax x x x f ++=ln )()),1[(+∞∈ex 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y -=平行，且函数)(x f 有两个零点.（1）求实数a 的值和实数b 的取值范围；（2）记函数)(x f 的两个零点为21,x x ，求证：e x x 221>+（其中e 为自然对数的底数）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x l 22221:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2:1y x C （θ为参数）.（1）求直线l 与曲线1C 的普通方程；（2）已知点)0,1(),0,1(1-F F ，若直线l 与曲线1C 相交于B A ,两点（点A 在点B 的上方），求||||11B F A F -的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|||2|)(a x x x f -++=)0(>a . （1）当2=a 时，求不等式6)(>x f 的解集；（2）若函数)(x f 的图像与直线5=y 所围成封闭图形的面积为8，求实数a 的值.2017—2018赣州市期末考试试题（理）参考答案一．选择题12．解析：由题设可记()e ln x f x x =-，则()e xf x x'=-， 显然()f x '在()0,+∞上单调递增，又2132123e 20,e 0232f f ⎛⎫⎛⎫''=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故存在012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x f x x '=-=， 当()00,x x ∈，()0f x '<， 当()0,x x ∈+∞，()0f x '>，所以()()0000min 01e ln x f x f x x m x m x ==--=+-，因为012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以0012313326x x +>+=，记001n x x =+，知136n >，故e ln 0x x m --≥，故得(],m n ∈-∞，又(]13,,6n ⎛⎤-∞⊆-∞ ⎥⎝⎦，故选C ． 二．填空题13．6-； 14．46-； 15．494π； 16．4；16．解析：点C 在抛物线的准线上，设直线:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，则()2,1C k -联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx ⇒--=进而得：12124,4x x k x x +=⋅=-易得以A 为切点的方程为：211124x y x x =-，B 处的切线方程为：222124x y x x =-解得：12122,124C C x x x xx k y +⋅====- (21412ABC S AB d k ∆=⋅=+∴当0k =时()min 4ABC S ∆=. 三．解答题17．解：（1）由522-+=n a S n n …………① 当1n =时，1123a a =-，得3a =1当2n ≥时，11227n n S a n --=+-…………② ①-②得：122n n a a -=-即()1222n n a a --=-且a 1-2=1故数列{}2-n a 是首项为1，公比为2等比数列． （2）由（1）知：112222n n n n a a ---=⇒=+故()()1111221122222222n n n n n n n n n a b a a ---+-===-++++111111......01121222222222222T nn n ∴=-+-++--++++++011112222322n n nT ∴=-=-+++．18．解：（1）(法一)连接CE 交AD 于点P ，连接PF由,D E 分别是棱,BC AB 中点，故点P 为ABC ∆的重心∴在1CC E ∆中，有123CP CF CE CC ==∴1//PF EC ，又1EC ⊄平面ADF ∴1//C E 平面ADF（法二）取BD 的中点G ，连接1EG,C G由E 是棱AB 的中点，G 为BD 的中点，∴EG 为ABC ∆的中位线，即//EG 平面ADF 又D 为棱BC 的中点，G 为BD 的中点 由23CD CG =，由13,2AA CF ==，且111C B A ABC -为直三棱柱 ∴123CF CC =，进而得1CD CFCG CC =∴ 1//DF C G ，即1//C G 平面ADF又1C G EG=G∴ 平面1//EGC 平面ADF 又1C E ⊆平面1EGC∴1//C E 平面ADF（2）由111C B A ABC -为直三棱柱∴1AA ⊥平面ABC ，取11A B 的中点M，连接,CE EME 是棱AB 的中点，∴1//EM AA ，即EM ⊥平面ABC 2AB AC BC === ∴ABC ∆为等边三角形E 为AB 的中点∴CE AB ⊥且CE =故以E 为坐标原点，以射线,,EA EM EC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则()1110,0,0,(1,3,0),(1,3,0),E A B C -()11,3,0EA =，(1EC = ，()11,3,0EB =-设平面E C A 11的法向量为()111,,z y x =则：1111113030m EA x y m EC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨取11y =，则(3,1,m =- 设平面E C B 11的法向量为()222,,z y x =则：1221223030n EB x y n EC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨取21y =，则(3,1,n = 记二面角111B E C A --为θ5cos 13m n m nθ⋅===⋅故二面角111B E C A --的余弦值为135． 19．解：（1）依题意：()5180401=<<=X P P ，()53120802=<≤=X P P ， ()2541601203=<≤=X P P ，()2511604=≥=X P P . 所以年入流量不低于120的概率为()51120435=+=≥=P P X P P 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为：()()12511251543541123525133503=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=P P C P C P（2）记水电站的总利润为Y （单位：万元） ①若安装2台发电机的情形：87005410000513500=⨯+⨯=EY②若安装3台发电机的情形：85005115000538500512000=⨯+⨯+⨯=EY因为85008700>，故应安装2台发电机． 20．解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为c ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=523192043522222c b a c b a b a ac所以椭圆C 的方程为：14922=+y x(2)设直线l 的方程为2+=my x ，()11,y x P ，()22,y x Q联立()020********2222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x由21,y y 是上方程的两根可知：12212216492049m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩()121245my y y y ⇒⋅=+直线P A 1的方程为：()3311++=x x y y 直线Q A 2的方程为：()3322--=x x y y 得：()()()()21123333x y x x y x -+=+-()()2112215325y y x my y y y ⇒+=⋅+-把()212154y y y my +=⋅代入得：()()121221125295252535y y y y y y x y y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+即29=x ，故点S 恒在定直线29=x 上． （由对称性可知，若存在定直线，则该直线应垂直x 轴，故也可由特殊位置——当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给2分）21．解：（1）由()ln f x x x ax b =++，1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭得：()ln 1f x x a '=++由()1112f a a '=+=-⇒=-进而得()ln 2f x x x x b=-+，()ln 1f x x '=-故当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>； 所以函数)(x f 在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()e,+∞单调递增，要使函数()f x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个零点，则 ()e e 2e 01111ln 20e e e e fb f b =-+<⎧⎪⎨⎛⎫=-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩1,e e b ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭且1b ≠ （用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）（2）由（1），我们不妨设()121,e ,e,x x e ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭欲证122e x x +>，即证212e x x e >->又函数)(x f 在()e,+∞单调递增，即证()()212e f x f x >-由题设()()12f x f x =，从而只须证()()112e f x f x >-记函数()()()2e F x f x f x =--，1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ()()()()ln 22e ln 2e 22e F x x x x x x x =----+-()()ln 2e ln 2e 44x x x x x e=----+则()()ln ln 22F x x e x '=+--，记()()g x F x '=，得()()112e 22e 2e xg x x x x x -'=-=--因为1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()0g x '>恒成立，即()F x '在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，又()e 0F '= 所以()0F x '<在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上恒成立，即()F x 在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减 所以当1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()e 0F x F >=，即()()112e f x f x >- 从而得122e x x +>．上恒成立，即()F x 在()0,e 单调调递所以当()0,e x ∈时，()()e 0F x F >=，即()()112e f x f x >-从而得122e x x +>．22．解：（1）由直线已知直线1,:,2x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），消去参数t 得：10x y --=曲线12cos ,:,x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：13422=+y x . （2）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221122,221,22,221t t B t t A 将直线l 的参数方程代入13422=+y x 得：0182672=-+t t 由韦达定理可得：718,7262121-=⋅-=+t t t t结合图像可知0,021<>t t ，由椭圆的定义知：11F A F B FB FA -=-()21127FB FA t t t t -=--=-+=. 23．解：（1）由2=a 得()6>x f 等价于622>-++x x即226x x ≥⎧⎨>⎩或2246x -≤<⎧⎨>⎩或226x x <-⎧⎨-<⎩即3x >或3x <-故不等式()6>x f 的解集为{}33-<>x x x 或； （用绝对值几何意义解同样给分）（2）由0a >得：()⎪⎩⎪⎨⎧-<-+-<≤-+≥-+=-++=2,222,2,222x a x a x a ax a x a x x x f由题意可得：352<⇒<+a a设直线5=y 与()x f y =交于B A ,两点不妨设：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-5,23,5,27a B a A所以封闭图形面积为：()[]()825221=--⋅-++=a x x a S A B 即：24501a a a +-=⇒=或5a =-（舍去） 故1a =.。
江西省赣州市寻乌中学2017届高三数学上学期期末考试试题理(PDF)
A． 24 种
B．18 种
i 1, s 1
i n
是
s s i1
否
输出 结束
i i 1
第 6 题图
C． 48 种
D． 36 种
9． (x 1 2)5 展开式中常数项为（ ） x
A．252
B．－252
C．160
D．－160
10．命题
p : sin
1 tan
tan
1 sin
(0
)
4
无实数解，命题
2
2
由正弦定理得 3(sin A sin C) sin B
3 cos A C sin A C 2sin B cos B cos B 3 B .
2
2
22
22
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 f (x) 2x 1 ，数列{an},{bn} 分别满足 an f (n), bn f (bn1) ，且
a A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分 也不必要条件
2．若复数(1+ai)2 - 2i （为虚数单位）是纯虚数，则实数 a = （ ）
A．
B． -1
C． 0
D． ±1
3．式子
1 2 cos2
1 2 sin2
(
R) 的最小值为（
）
A. 3 4
B. 3 2
C. 4 3
A． S6
B． S7
C． S8
D． S15
8．某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、
开始 输入n
大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙
两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数Z=的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x||x+1|＜3}，集合B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣4＜x≤3} 3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知f（x）=x+﹣1，f（a）=2，则f（﹣a）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣35．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．6．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．（5分）已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若S=，则∠A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]10．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对∀x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，4）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知曲线，y=2﹣x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=．12．（5分）已知平面向量的夹角为，，则=．13．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=．14．（5分）若，则sin（60°+2α）=．15．（5分）已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数的最小值为﹣4，f（0）=2，且相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；（II）若，且的值．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和M n．20．（12分）已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数Z=的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：Z====i的共轭复数i对应的点在复平面内位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A={x||x+1|＜3}，集合B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣4＜x≤3}【解答】解：A={x||x+1|＜3}={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，则A∩B={x|﹣2≤x＜2}，故选：C．3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a=1，则两条直线方程为x+2y﹣1=0与直线x+2y+4=0，则两直线平行，即充分性成立，当a=0时，两条直线方程为2y﹣1=0与直线x+y+4=0，则两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足≠，由得a（a+1）=2，即a2+a﹣2=0，得a=1或a=﹣2，则必要性不成立，即“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A4．（5分）已知f（x）=x+﹣1，f（a）=2，则f（﹣a）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵f（x）=x+﹣1，f（a）=2，∴=2，∴=3，∴f（﹣a）=﹣a﹣﹣1=﹣3﹣1=﹣4．故选：A．5．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D6．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{a n}中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（5分）已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y的最大值为4，又∵z=4﹣x•=的最小值为，故选C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若S=，则∠A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）可得：sinA=，由余弦定理可得：cosA=，所以tanA=1，又A∈（0°，180°），则A=45°．故选：C．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]【解答】解：设圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，，故d⩽1，即，化简得3k2≤1，∴，故k的取值范围是．故选：C．10．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对∀x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，4）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，∴设f（x）﹣lnx=t，则f（t）=e+1，即f（x）=lnx+t，令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，则t=e，即f（x）=lnx+e，函数的导数f′（x）=，则由f（x）﹣f′（x）=e得lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，设h（x）=lnx﹣，则h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，h（e）=lne﹣=1﹣＞0，∴函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知曲线，y=2﹣x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=．【解答】解：方法一：，解得：，则A（1，1），则将阴影部分分成两部分，S1=dx==，三角形的面积S2=×1×1=，∴所围成的面积S=+=，故答案为：．方法二：，解得：，则A（1，1），则所围成的面积S=（2﹣y﹣y2）dy=（2y﹣y2﹣y3）=（2﹣﹣）=，故答案为：．12．（5分）已知平面向量的夹角为，，则=2．【解答】解：∵向量的夹角为，，∴===4．∴=2故答案为：2．13．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=2．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故答案为：2．14．（5分）若，则sin（60°+2α）=．【解答】解：∵cos（α+75°）=，∴sin[90°﹣（α+75°）]=sin（15°﹣α）=，则sin（60°+2α）=cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg （）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）﹣1=2（b+2）+﹣1＞1．从而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+]|=lg[2（b+2）+]≥3lg2，当且仅当b=0，a=﹣时取等号．∴a+b=．故答案为﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数的最小值为﹣4，f（0）=2，且相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；（II）若，且的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的最小值是﹣4，A＞0，∴A=4，∴f（0）=4sinφ=2，∵0＜φ＜π，∴φ=．∵f（x）相邻两条对称轴之间的距离为π，∴f（x）的周期T==2π，∴ω=1．∴．∵，∴，∴当x+=﹣即x=﹣时，f（x）取得最小值f（﹣）=﹣2，当x+=即x=时，f（x）取得最大值f（）=4．（Ⅱ）∵，∴，∵，∴，∴，∴=．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=S n+a n+2，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+2+1∴数列{a n}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴∴a1=1，∴（2）由（1）可得：∴T n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n∴错位相减得：==2+2n+2﹣8﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1∴．18．（12分）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面积为：．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和M n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴∴a n=2n数列{b n}的前n项和为T n，且∴b1=1，n≥2时，∴（2），=（n﹣1）ln2+（﹣1）n[lnn+ln （n+1）]∴其中=（﹣1）n ln （n+1）∴20．（12分）已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令x=0⇒y2+Ey+F=0，∴y1+y2=﹣E，y1•y2=F，∴，∴E2﹣4F=48①…（2分）又圆过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，∴⇒2E+F=﹣12…②由①②得：或…（4分）∵圆的半径小于5，∴圆的方程为x2+y2﹣2x﹣12=0…（6分）（Ⅱ），∴设l的方程为：x+y+m=0…（7分）由⇒2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，…（10分）∴x1•x2+y1•y2=x1•x2+（﹣x1﹣m）•（﹣x2﹣m）=0整理得：m2+m﹣12=0⇒m=3或m=﹣4，…（11分）且m=3或m=﹣4均满足△＞0…（12分）∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数h′（x）=e x﹣m，则h′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．。