2013年数学建模数据拟合方法

数据拟合

问题的提出及最小二乘原理

取

x 的n 个不全相同的值n x x x ,,,21 作独立试验，得到样本

()11,y x ，()22,y x ，…，()n n y x ,，则

i i i bx a y ε++=，

设()2

,0~σεN i

，各 i ε 相互独立 于是

()

2

,~σi i bx a N y +，

n

i ,,2,1 =。且由

n y y y ,,,21 的独立性，知n y y y ,,,21 的联合概率密度为

()⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡---⎪⎭⎫

⎝⎛=∑=n

i i i n

bx a y L 12

2

21exp 21σπσ （1）

现用最大似然估计法来估计未知参数

b a ,。对于任意一组观察值

n y y y ,,,21 ，（1）式就是样本的似然函数。显然，要L 取最大值，

只需函数

()()

∑=--=n

i i i bx a y b a Q 12

,

取最小值。 如果

y 不是正态变量，则直接用（1）式估计b a ,使

y 的观察值 i y

与

i bx a + 偏差的平方和 ()b a Q , 为最小。这种方法叫最小二乘法。

如果y 是正态变量，则最小二乘法与最大似然估计法给出相同的结果。

取

()b a Q ,分别关于b a ,的偏导数，并令它们等于0，得到b

a ,

应满足方程

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂∑∑==020211n i i i i n

i i i x x b a y b

Q x b a y a Q

（2） （2）式称为正规方程组。解此方程组即可确定

b a ,，从而得到直线方程

bx a y +=*。

对一组测定数据用最小二乘原理找出其合适的数学公式，可以分以下几步： 1． 由观测数据作出散点图

2． 根据散点图确定近似公式的函数类

3． 用最小二乘原理确定函数中的未知参数 这一方法称为数据拟合法。

常用的曲线（函数类）有直线、多项式、双曲线、指数曲线等，实际操作中可以在直观判断的基础上，选几种曲线分别做拟合，然后比较看哪条曲线的最小二乘指标最小。

一． 多变量的数据拟合

若影响变量

y

的因素不只是一个，而是几个，譬如有

k

个因素

k x x x ,,,21 ，这时通过n 次实验可以得到数据表：

实验 1x

2x … k x y

1 11x 21x

… 1k x 1y 2 12x

22x

… 2k x

2y

…

…

…

… …

…

n

n x 1 n x 2 …

kn x n y

一般说来

k n >,如果选择近似方程为

k k x a x a x a a y ++++= 22110*

和前面一样,用最小二乘原理可确定此方程中的全部系数。

二． 非线性曲线的数据拟合

()()()()x c x c x c x c y k k φφφφ++++= 221100*

多项式数据拟合有它特殊的重要性，因为任何连续函数，至少在一个比较小的领域内可以用多项式任意逼近。因此，在许多实际问题中，可以不问

y 与

诸因素的确切关系如何，而用多项式进行拟合。

数据拟合总是在一组选定的基函数上，构造基函数的线性组合，并从这个组合函数类中对给定数据找出最好的拟合曲线。例如，线性拟合是在基函数

{}x ,1上构造一次函数类，找出对给定数据最好的直线方程；多项式拟合

是在基函数{}m

x x ,,,1 上构造m 次多项式，在全部m 次多项

式中选取对给定数据拟合的最好的一个m

次多项式。因此，怎样选择基函数来构造函数类是非常重要的，也比较困难，它主要靠对问题的仔细分析和搞清物理背景的办法来解决，但在数学上也有行之有效的方法——正交筛选法。

三． 数据拟合的MATLAB 实现

命令: polyfit 、polyval 、

curvefit 、leastsq