分式方程(定义及解法)
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。
分式及分式方程
分式方程分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程。
1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
2.解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
3.增根和无解分式方程化为整式方程后：（1） 若整式方程有解，同时满足分式方程，则这个解为分式方程的解；若是整式方程的解但不是分式方程的解，则这个解为分式方程的增根：若整式方程的所有解都是分式方程的增根，则原分式方程无解。
（2） 分式方程化为整式方程后，整式方程无解，则原分式方程无解。
（3） 分式方程化为整式方程后，整式方程有无数个解，则原分式方程有无数个解。
分式方程的概念例1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程223x x -= ,437x y+= , 132x x =- , (1)1x x x -=- , 32x x π-= , 12105x x -+= , 12x x -= , 2131x x x ++= , 2253x y z +-= , 05y x =+ , 1x , 5x y +=变式练习：1、方程32x x a b-=-中，x 为未知量，a,b 为已知数，且a b ≠，则这个方程是（ ） A ．分式方程 B ．一元一次方程 C ．二元一次方程 D ．三元一次方程2、下列方程中是分式方程的是（ ） A (0)xx x ππ=≠ B 111235x y -= C 32x x x π=+ D 11132x x +--=- 分式方程解的概念例1：请选择一组,a b 的值， 写出一个关于x 的形如2a b x =-的分式方程， 使它的解是x ＝0这样的分式方程可以是______________.变式练习：1、在0,1,1x x x ===-中，哪个是分式方程301x x x -=-的解，为什么？2、关于x 的方程4332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－33、方程y x x =++13的整数解有（ ）组 4、若分式方程52)1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 变式练习：1、方程32x x a b-=-中，x 为未知量，a,b 为已知数，且a b ≠，则这个方程是（ ） A ．分式方程 B ．一元一次方程 C ．二元一次方程 D ．三元一次方程2、下列方程中是分式方程的是（ ） A (0)xx x ππ=≠ B 111235x y -= C 32x x x π=+ D 11132x x +--=- 解分式方程例1、交叉相乘法 (1)231-=x x x （2）x x 311=-；（3）231+=x x （4） 04535=-+-++xx x x例2、化归法（1）114112=---+x x x (2)、xx x -=+--23123(2013南京市) 解方程 2x x -2 =1- 1 2-x（2013•泰州）解方程：．（2013•绵阳）解方程：．例3、换元法（1）4441=+++x x x x （2）11765556222-++=-+-+x x x x x x（3）()221120x x x x----= （4）310511522=+++++x x x x（5） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x （6） 2)3(3322=+-+x x xx例4、分组通分法解方程：（1）41315121+++=+++x x x x (2)11117456x x x x +=+----（3）2)10)(9(1)3)(2(1)2)(1(1101=++++++++++x x x x x x x …四：解含有字母系数的方程例1. 已知x y y =+-2332，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
可化为整式方程的分式方程的解法
一、分式方程的一般解法步骤为：
(1)去分母; (2)解整式方程；(3)验根； (4)写出原分式方程的解．
二、对于字母系数的分式方程的解法，完全可以 类似于上述步骤，只是要注意系数化为1时对系
数的分类讨论．
三、要会灵活运用不同方法解分式方程，具体问
题具体分析，比如有时先通分会使计算简单．
a 1 a 1 2a 2 4a ( 1)( 1) a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1) 2
当 a 0 时，上式为零即最简公分母为零，
a 1 因此当 a 0 时， x 1 是增根． a 1 所以当 a 0 时，原方程无解，
当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解x
7 4 6 例1. 解方程 x 2 x x 2 x x 2 1 ． 7 4 6 解： x( x 1) x( x 1) ( x 1)( x 1)
方程两边同乘以 x( x 1)( x 1)，得：
ห้องสมุดไป่ตู้
7( x 1) 4( x 1) 6 x 3 x ． 解得： 5 3 x 是原方程的解． 经检验， 5 3 所以原方程的解是 x ． 5
注意此处不需 要再要求
1 m 1 2
3x 4 A B 例4. 已知： ，求A、B的值． ( x 2)( x 3) x 2 x 3
[分析]：从已知我们知道，对于所有能使方程有意义的x 的值，方程都成立．这就告诉我们A、B的求法了．
解：方程两边同乘以 ( x 2)( x 3) ，得：
6 y 12 y2 4 y2 例2. 解方程 y 2 4 y 4 y 2 4 y 4 y 2 4 0 ． 6( y 2) ( y 2)( y 2) y2 0 解： 2 2 ( y 2) ( y 2) ( y 2)( y 2) 6 y2 y2 0 即： y 2 y 2 ( y 2)( y 2)
分式方程定义及解法
2x 3x 3
1
（3）
（4）
2
5 x x
1 x x
2
0
x x1 x3 x2
2x 2x 1
3 2x 2 3
2
1
1
2 x
2 x2
【小结】
通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式 方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤: 分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
这个方程的分母中含有未知数
【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做 分式方程. 整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数
(1 )
(2)
2x 3 2
3 4 4x
x
2
（否） 5是分式方程
4 x 3
是分式方程 （是）
(3)
1 是 分 式方 程
1 y1 是分式方程
回顾与思考 1. 什么叫做一元一次方程? 2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1 ) 3 x 5 3
( 2 )x 2 y 5
(4) x 2 x 1 3 1
( 3 )x x 5
2
分母中不含未知数的方程叫做整式方程.
3. 什么叫做分式方程?
100 20+V
=
60 20-V
（是）
x
(4) 1 x1
（是）
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x2 2 x 3
4 x
3 y
7
整式方程
2)
1 x 2
3 x
(4)
x ( x 1) x
15.3.1分式方程及其解法
求a的取值范围． 【思路点拨】解关于 x 的分式方程→根据解是正数 (即大于零)列出关于字母a的不等式→解不等式,确定 a的(x－2),得2x＋a＝2－x,
2a ． 解得 x＝ 3 2a 2a ＞0，且 2． 由题意,得 3 3 2a 2a ＞0， 由 解得a＜2；由 得a≠－4． 2， 3 3
解得:x=50经检验x=50是原方程的解
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
50×2=100(m2) 答:甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2,50m2.
过程展示
解:(2)设至少应安排甲队工作x天,根据题意得:
1800 100x 0.4x+ ∙0.25≤8, 50
解得:x≥10 答:至少应安排甲队工作10天．
× √
√) (×)
知识运用
一.分式方程的定义及解法 例1.(2013·资阳中考)解方程: 【教你解题】
x 2 1 ＋ ＝ . 2 x －4 x 2 x－2
解:
去分母
方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:x+2(x-2)=x+2. 解这个方程,得:x=3. 经检验,x=3是原方程的解
解整式方程
方法提示
分式方程无解的“两种情况”: 分式方程无解时分式方程化为整式方程后有 以下两种情况: (1)整式方程有解但这个解不是原分式方程的解； (2)分式方程化为整式方程后整式方程无解.
中考链接
(2014年∙广东汕尾)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2的区域进行绿化,安排甲,乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿 化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的 绿化时,甲队比乙队少用4天. (1)求甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多 少 m2 ？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队 为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少 应安排甲队工作多少天？
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
分式方程的概念-解法及应用
分式方程的解法及应用一、目标与策略爭抡明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：分式方程的概念以及解法；分式方程产生增根的原因；分式方程的应用题。
重点难点：重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象岀数量关系.难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析.学习策略：经历“实际问题一一分式方程一一整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。
二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？*答：含有的叫做方程.使方程两边相等的............... …的值，叫做方程的解.（二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质•用式子表示是:A A M A A M（其中M是不等于0的整式）（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 ................... （除数不能为0），所得的结果仍是等式。
（四）解下列方程：（1）9—3x= 5x+ 5;（2）y y 12 y 22 5I --知识要点一一预习和课堂学习■认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其它补w充填在右栏。
详细内容请参看网校资源ID : #tbjx5#233542 - 知识点一：分式方程的定义.......... 里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是_______________ ;②含有 ____________ ;③分母里含（2 ）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有__________________ （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是__________________ ，不含有未知数的方程是 _方程，女口：关于X的方程1 2 x和—卫7都是_____________ 方程，而关于X的x x 2 2x 1方程Lx 2 x和x 1d都是_______________________ 方程。
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叫 分式方程 .
【分式方程的定义】
分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
整式方程的未知数不在分母中
分式方程的分母中含有未知数
判断下列说法是否正确：
(1) 2x35是分式方程 （否）
(2)
23 4 是分式方（程 是）
44x x3
(3) x2 1是分式方程
（是）
x
(4) 1 1 是分式方程 （是） x1 y1
30v 30v
去分母,去括号, 移项,合并,系数 化为1
解一元一次方 程的一般步骤 是什么?
解:方程两边同乘以(30+v)(30-v), 得
90(30-v)=60(30+v)
解得
v=6.
解分式 方程的 思路是
检验:将v＝6代入原方程得:
∵左边=2.5 右边=2.5 分式方程
左边=右边
去
分
∴ v＝6是原分式方程的解 母
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分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它 沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最 大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流速 为多少?
分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
90 60 30v 30v
此方程与前面 所学的整式方 程有什么不同?
分母中含有未知数的方程
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 x2 x
(4) x(x1) 1 x
(3) 3 x x（6）2xx110
2
5
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
如何求分式方程 90 60 的解呢
检验：χ =1时(χ -1)(χ +2)=0,
χ =1不是方程的解，原分式方程无解。
【小结】
通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式 方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤的框架图：
分式方程 去分母 整式方程
解整式方程
目标
a是分式 方程的解
X=a
检验
最简公分
最简公分
母不为０
母为０
a不是分式 方程的解
解：方程两边同乘χ(χ-3)，得
解得
2χ=3χ-9
χ=9
检验：χ=9时χ(χ-3) ≠0，
χ=9是原方程的解。
例2 解 方 程x 1 3
x1 (χ -1)(χ +2)，得
χ (χ +2)-(χ -1)(χ +2)=3 化简，得
解得
χ +2=3
χ =1
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根. 一化二解三检验
例1: 解分式方程 2 3 x3 x
=
10 x2-25
的解．实际上， 这个分式方程无解。
上面两个分式方程中，为什么 90 60 ① 30v 30v
去分母后所得整式方程的解就是 ①的解，
1 而 x 5
10
x2
②
25
去分母后所得整式方程的解却不是 ② 的解呢？
解分式方程的思路是：
分式
去分母
整式
方程
方程
解分式方程的一般步骤
整式方程
【解分式方程】
解分式方程
1 x-5
=
10 x2-25
解：在方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)得，
x+5=10 解这个整式方程，得x=5
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x-5和x2-25的
值都为０，相应的分式无意义，因此x=5虽是方
程x+5=10的解，但不是原分式方程 1 x-5