分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用目标认知学习目标：1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系；5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程；重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

要点二：分式方程的解法1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

要点三：分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：1．审清题意；2．设未知数；3．根据题意找等量关系，列出分式方程；4．解分式方程，并验根；5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．要点四：常见的实际问题中等量关系1.工程问题1．工作量＝工作效率×工作时间，，；2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．2.营销问题1．商品利润＝商品售价一商品成本价；2．；3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．3.行程问题1．路程＝速度×时间，，；2．在航行问题中，其中数量关系是：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；3．航空问题类似于航行问题．规律方法指导1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．经典例题透析：。

类型一：分式方程的定义1、下列各式中，是分式方程的是（）A．B．C．D．思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A。

因为方程里没有分母，所以不是分式方程；B。

虽然有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；C。

没有等号，所以不是方程，它只是一个代数式；D。

具备分式方程的三个特征，是分式方程。

答案：D总结升华：判断一个方程是不是分式方程的依据就是分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

举一反三：【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程答案：B类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.思路点拨：分式方程是分母中含有未知数的方程，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的解.解析：x＝0是方程的解，将x＝0代入得，，，所以只要取一对a,b的值符合，例如取a＝1，，得方程总结升华：此题是关于分式方程的开放题，答案并不唯一，只要符合题意就可以。

举一反三：【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？解析：（1）当时，左边=，右边=0，是方程的解；（2）当时，左边无意义，所以不是方程的解；（3）当时，可得左边=右边，所以是方程的解。

类型三：分式方程的解法3、解方程思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。

原方程的两边都要乘最简公分母，方程等号右边的常数-2也必须乘最简公分母。

在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。

解析：方程两边都乘，得。

解这个方程，得检验：将代入分母，这时整式的值为0所以是原方程的增根，应舍去因此，原方程无解。

总结升华：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,这一基本思想体现了数学思想中的转化思想；但有时在转化过程中会产生增根，所以分式方程必须验根。

举一反三：【变式】解方程：(1)＝; (2)＋＝2.解析：(1)＝去分母，方程两边同乘以x(x－1)，得3x＝4(x－1)解这个方程，得x＝4检验：把x＝4代入x(x－1)＝4×3＝12≠0，所以原方程的根为x＝4.(2)＋＝2去分母，方程两边同乘以(2x－1)，得10－5＝2(2x－1)解这个方程，得x＝检验：把x＝代入原方程分母2x－1＝2×－1＝≠0.所以原方程的根为x＝。

类型四：增根的应用4、当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3思路点拨：分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3。

所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根。

答案：选C总结升华：解分式方程的关键是去分母，因为在转化过程中同乘了一个含未知数的整式，可能出现使该整式值为0的解，因此，要验根，即把求得的根代入最简公分母，看结果是否为零，若为零，必须舍去。

举一反三：【变式】.若方程＝无解，则m＝。

解：原方程可化为＝－．方程两边都乘以x－2，得x－3＝－m．解这个方程，得x＝3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x＝2，所以2＝3－m，解得m＝1．故当m＝1时，原方程无解．类型五：分式方程的应用1、营销类应用性问题5．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？思路点拨：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．解析：设混合后的单价为每0.5kg x元，则甲种原料的单价为每0.5kg(x＋3)元，乙种原料的单价为每0.5kg(x－1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为斤，乙种原料的重量为斤，依题意，得＋＝，解得x ＝17经检验，x＝17是原方程的根，所以x＝17．即混合后的单价为每0.5kg 17元．总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．举一反三：【变式】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？【答案】设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．而＞0．也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．2、工程类应用性问题6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．解析：⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x ＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z ＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．总结升华：在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．举一反三：【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得，解得．即规定日期是6天．【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：，解得x＝11经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．3、行程中的应用性问题7．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．解析：设普通快车的平均速度为km／h，则直达快车。