分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用

目标认知

学习目标：

1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．

2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一

次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未

知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系；

5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程；

重点：

分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．

难点：

检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．

知识要点梳理

要点一：分式方程的定义

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：

1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于

的方程和

都是分式方程，而关于

的方程和

都是整式方程。

要点二：分式方程的解法

1. 解分式方程的其本思想

把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

要点三：分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：

1．审清题意；

2．设未知数；

3．根据题意找等量关系，列出分式方程；

4．解分式方程，并验根；

5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

要点四：常见的实际问题中等量关系

1.工程问题

1．工作量＝工作效率×工作时间，，

；

2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

2.营销问题

1．商品利润＝商品售价一商品成本价；

2．；

3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．

3.行程问题

1．路程＝速度×时间，，

；

2．在航行问题中，其中数量关系是：

顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；

3．航空问题类似于航行问题．

规律方法指导

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整

式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．

2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就

是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

经典例题透析：

。

类型一：分式方程的定义

1、下列各式中，是分式方程的是（）

A．

B．C．D．

思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A。

因为方程里没有分母，所以不是分式方程；B。

虽然有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；

C。没有等号，所以不是方程，它只是一个代数式；D。

具备分式方程的三个特征，是分式方程。

答案：D

总结升华：判断一个方程是不是分式方程的依据就是分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

举一反三：

【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且

，则这个方程是（）

A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程

答案：B

类型二：分式方程解的概念

2、请选择一组

的值，写出一个关于的形如的

分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.

思路点拨：分式方程是分母中含有未知数的方程，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的解.

解析：x＝0是方程的解，将x＝0代入得，

，，所以