培优专题分式方程及其应用(含答案)
2021年中考数学 尖子生培优训练 分式方程及其应用(含答案)
2021中考数学 尖子生培优训练 分式方程及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 若1=-4x ，则x 的值是 （ ）A.4B.41C.41- D.﹣42. 分式方程=1的解是 ( ) A .x=1 B .x=-1 C .x=2D .x=-23. （2020·广西北部湾经济区）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（ ） A ． B ． C ．20D ．204. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A.62103(1)-=x xB.621031=-x C.621031-=x xD.62103=x5. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程xmx =-12有正整数解，则整数m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或46. （2020·长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x 万件，依据题意得 ·············································································· （ ） A ．xx 50030400＝－ B ．30500400＋＝x x C ．30500400－＝x x D ．xx 50030400＝＋7. （2020·宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（ ）A ．150008x -＝12000xB ．150008x +＝12000xC ．15000x ＝120008x -D ． 15000x ＝12000x +88. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．40 B ．40 C ．40D ．409. （2020•遂宁）关于x 的分式方程﹣＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣310. （2020·湖北荆州）八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为/xkm h ,则可列方程为( ) A. 1010202x x B. 1010202x x C.1010123x x D. 1010123x x二、填空题（本大题共10道小题）11. 方程 12x ＝2x －3的解是________．12. （2020·广州）方程3122x x x 的解是 .13. 2019·铜仁分式方程5y －2＝3y的解为________．14. （2020·菏泽）方程111-+=-x x x x 的解是______．15. （2020·江苏徐州）方程981x x =-的解为 .16. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．17. 若关于x 的分式方程+=2m 有增根，则m 的值为 .18. 若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________.19.(2020·湘潭)若37y x =，则x yx-=________．20. （2020·内江）若数a使关于x 的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________三、解答题（本大题共6道小题）21. （2019·上海）解方程：228122x x x x-=--22. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？23. （2020·泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？24. （2020·毕节）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少?25. （2020·黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求: （1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？26. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？2021中考数学 尖子生培优训练 分式方程及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C【解析】去分母得-4x ＝1，解得x ＝-14．因为x ＝-14≠0，则方程的解为x ＝-14．故选C ．2. 【答案】B[解析]去分母得，1=x +2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，故选B .3. 【答案】 A【解析】因为提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm /h ， 根据题意可得：．因此本题选A ．4. 【答案】A【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列分式方程A ，因此本题选A ．5. 【答案】D 【解析】首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程xm x =-12可化为整式方程2x ＝m (x -1)，∴x ＝2212-+=-m m m ，而分式方程有正整数解，∴m ﹣2＝1，m ﹣2＝2，∴m ＝3，m ＝4，经检验，符合题意，故选D.6. 【答案】B【解析】本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间＝数量÷效率，而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，所以30500400＋＝x x ，因此本题选B ．7. 【答案】B【解析】设文学类图书平均每本x 元，则科普类图书平均每本（x +8）元，根据“用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等”得：150008x ＝12000x ．8. 【答案】 A ．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：40，即40．因此本题选A ．9. 【答案】去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0， 解得：m ＝﹣3， 故选：D ．10. 【答案】C【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大.解：设骑车学生速度为x /km h ，则汽车的速度是2 x /km h ，依题意，得：1010123x x． 因此本题选C ．二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】x ＝－1 【解析】化简12x ＝2x －3得x －3＝4x ，则－3x ＝3，所以x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的根．12. 【答案】32x【解析】本题考查了分式方程的解法，过程如下：解：3121x x x两边同乘21x ，得23x 32x检验：当32x时，21x ≠0 ∴ 原分式方程的解为32x ，因此本题答案是32x．13. 【答案】y ＝－3 [解析] 去分母，得5y ＝3y －6，解得y ＝－3.经检验，y ＝－3是分式方程的解． 则分式方程的解为y ＝－3.14. 【答案】 x ＝31【解析】解分式方程的基本思路是通过去分母化为整式方程求解，解分式方程必须验根，把可能产生的增根舍去．方程两边同乘x (x －1)，得(x －1)2＝x (x ＋1)，化简，得3x ＝1．∴x ＝31．经检验，x ＝31是原分式方程的根．15. 【答案】x =9【解析】把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 .∵981x x =-，把两边同时乘以x (x -1)，得9x -9=8x ，∴x =9，经检验x =9是原方程的根.16. 【答案】240x ＝2401.5x ＋2 【解析】实际每天加工零件1.5x 个．原计划的工作时间＝240x (天)，实际的工作时间＝2401.5x (天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程240x ＝2401.5x ＋2．17. 【答案】1[解析]分式方程去分母，得:x -2m=2m ·(x -2)，若原分式方程有增根，则x=2，得2-2m=2m (2-2)，解得m=1.18. 【答案】17 [解析] 由方程x －4x＝3得x －4＝3x.解得x ＝－2.当x ＝－2时，x≠0.所以x ＝－2是方程x －4x ＝3的解．又因为方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同，因此x ＝－2也是方程ax a －1－2x －1＝1的解．这时－2a a －1－2－2－1＝1.解得a ＝17.当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．19. 【答案】47【解析】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 根据比例的基本性质变形，代入求职即可； 由37y x =可设3y k =，7x k =，k 是非零整数， 则7344777--===x y k k k x k k ． 故答案为：47．20. 【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键．根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a ≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a >0，找出0<a ≤5且a ≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．分式方程2311x a x x ++=--的解为x =52a -且x ≠1，∵分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，∴502a -≥且52a -≠1.∴a ≤5且a ≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①②解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y <a .∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，∴a >0. ∴0<a ≤5且a ≠3.又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=．因此本题答案为：40．三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】x ＝－4 【解析】去分母得：2x 2－8＝x 2－2x ，即x 2＋2x －8＝0，分解因式得：(x －2)(x ＋4)＝0，解得：x ＝2或x ＝－4，经检验x ＝2是增根，所以原分式方程的解为x ＝－4．22. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10． 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．23. 【答案】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元． 根据题意，得：4000x ＋10﹦84001.4x ． 解得x ﹦200．经检验：x ﹦200是原方程的根． ∴1.4x ﹦1.4×200﹦280（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进（100—m ）盒．打折前A 种茶叶的利润为m2 ×100﹦50m ．B 种茶叶的利润为100—m2 ×120﹦6 000—60m ．打折后A 种茶叶的利润为m2 ×10﹦5m ． B 种茶叶的利润为0．由题意得：50m ＋6 000—60m ＋5m ﹦5800． 解方程，得：m ﹦40．∴100—m ﹦100—40﹦60（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．24. 【答案】解：（1）设每个乙种书柜的进价是x 元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x 元 ． 根据题意，得5400120%x +（）＝6300x－6．解得x ＝300．经检验x ＝300是原方程的解． 当x ＝300时，（1+20%）x ＝360．所以每个乙种书柜的进价是300元，每个甲种书柜的进价是360元 ．（2）设购进乙种书柜a 个，则购进甲种书柜（60－a ）个．设购进书柜所需费用w 元．根据题意，得w ＝360（60－a ）＋300a ＝－60＋21600． ∵2（60－a ）≥a ，∴a ≤40．所以该校应购进乙种书柜40个，购进甲种书柜20个时，购进书柜所需费用最少．25. 【答案】解:（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意得80000x＝80000(110%)200x--，解得:x＝2 000．经检验，x＝2 000是原方程的根．答:去年A型车每辆售价为2 000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车(60－a)辆，获利y元.由题意得y＝(1800－1500)a＋(2400－1800)(60－a)．整理，得y＝－300a＋36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20．∵y＝－300a＋36000中k＝－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝20时，y有最大值，∴B型车的数量为:60－20＝40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．26. 【答案】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，由题意列方程，得601002a a=-，解得，5a=.经检验5a=是原分式方程的根.答：超市B型画笔单价是5元.（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.所以4.5,(20)410,()x xyx x≤⎧=⎨+⎩＞20，其中x为正整数.（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去. 当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.答：小刚能购买65支B型画笔.。
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
分式方程的应用同步培优题典(解析版)
专题5.8分式方程的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【解析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时， 根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据题意得：180(3−x)x=80x 3−x，解得：x 1＝1.8或x 2＝9，经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解， x 2＝9不合题意，舍去， 故选：C ．2．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ） A ．1600元B ．1800元C ．2000元D ．2400元【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据题意得：8000+40001.2x−8000x=1，解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元， 故选：C ．3．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A 、B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（ ） A ．197元B ．198元C ．199元D ．200元【分析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据“花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数”列方程即可． 【解析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据题意列方程得：4000x=4400x+20，解得：x ＝200经检验：x ＝200是原方程的解， 故选：D ．4．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意列出方程即可求出答案． 【解析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个， 根据题意可知：12x−1=121.5x， 解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解， 故选：B ．5．（2020•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（ ）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解． 【解析】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米， ∵所列分式方程为60(1−20%)x−60x =30，∴60(1−20%)x为实际工作时间，60x为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务． 故选：C ．6．（2020•锦州二模）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg ．设这种大米的原价是每千克x 元，则根据题意所列的方程是（ ） A ．100x+12020%x =50 B ．100x+120(1−20%)x=50C ．10020%x+120x=50D ．100(1−20%)x+120x=50【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了50kg 列出方程，求解即可． 【解析】设这种大米的原价是每千克x 元， 根据题意，得100x+120(1−20%)x=50，故选：B ．7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，则下列方程中正确的是（ ） A ．2400x −2400(1+20%)x=40B ．2400x−2400×(1+20%)x=40 C ．2400×(1+20%)x −2400x=40D ．2400(1+20%)x−2400x=40【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案． 【解析】设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，根据题意可得：2400×(1+20%)x−2400x=40．故选：C ．8．（2020秋•三水区校级月考）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同，求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？若设乙种兰花的成本是x 元．则下列方程正确的是（ ） A ．1200x−100=900x B ．1200x+100=900xC ．900x+100=1200xD ．900x−100=1200x【分析】直接利用用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同得出等式求出答案． 【解析】设乙种兰花的成本是x 元，则甲种兰花的成本为（x +100）元，根据题意可得：1200x+100=900x．故选：B ．9．（2020秋•温州月考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x 个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A ．900x =4001.5x +20 B ．400x =9001.5x +20 C ．9001.5x=400x+20D ．4001.5x=900x+20【分析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．【解析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个， 根据题意，得9001.5x=400x+20．故选：C ．10．（2020春•翠屏区期中）小兰乘301公共汽车从叙州区到相距40千米的南溪区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了35小时，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．40x+20=35×40x B ．40x =35×40x+20C ．40x+20+35=40xD ．40x=40x+20−35【分析】根据公共汽车的平均速度为x 千米/时，得出出租车的平均速度为（x +20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了35小时，得出分式方程即可．【解析】设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为（x +20）千米/时， 根据题意得出：40x+20+35=40x．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•西湖区校级月考）商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调价前每件商品的利润是多少元？解：设调价前每件商品的利润是x 元，可列出方程 ．【分析】根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，等量关系是降价前的销售量+5000＝降价后的销售量．【解析】由题意可得， 所列方程为：30000x +5000=30000+2000x−0.4，故答案为：30000x+5000=30000+2000x−0.4．12．（2020•黄岛区二模）甲、乙两组学生去距学校4千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发20分钟后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知骑自行车速度是步行速度的3倍，设步行速度为x 千米/时，则根据题意可以列出方程 ．【分析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车的同学比步行的同学少用20分钟，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时， 依题意，得：4x −43x=2060．故答案为：4x−43x=2060．13．（2020•宿迁二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟，若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可列分式方程．【分析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟（即14小时），即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时， 依题意，得：25x−25+7(1+60%)x =14．故答案为：25x−25+7(1+60%)x=14．14．（2020春•襄汾县期末）某工程队修建一条长1200m 的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm ，则列出的方程为 ． 【分析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据工作时间相差4天，列方程解答即可．【解析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米， 根据题意，列方程为：1200x−1200(1+50%)x=4．故答案是：1200x−1200(1+50%)x=4．15．（2020春•西工区校级月考）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是 28 天． 【分析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量＝工作总量建立方程求出其解就可以了．【解析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），由题意，得20×1x+12+x+2x+32=1， 解得：x ＝28．经检验，x ＝28是元方程的解． 答：规定的时间是28天． 故答案是：28．16．（2020春•越秀区期末）甲和乙同时从A 地出发，匀速行走到B 地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 4 千米． 【分析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，根据两人的速度之比为定值，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论，再结合“甲走完一半路程时，乙才走了4千米”，即可求出结论． 【解析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，依题意，得：12x 4=912x ， 化简，得：x 2＝144， 解得：x 1＝12，x 2＝﹣12，经检验，x 1＝12，x 2＝﹣12均为原方程的解，x 1＝12符合题意，x 2＝﹣12不符合题意，舍去， ∴x ﹣4×2＝4． 故答案为：4．17．（2020•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．【分析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出x 的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．【解析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克， 根据题意得：2×3000x +300=90001.2x， 解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解， 则3000x=30005=600，90001.2x=90001.2×5=1500，1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）． 答：该超市可以捐助5280元． 故答案为：5280．18．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是 40 元．【分析】设第一批进货的单价为x 元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解决问题．【解析】设第一批进货的单价为x 元/件， 由题意2×4000x=9000x+5， 解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次进货单价为40元/件， 故答案为：40．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•邗江区校级三模）某社区计划对1200m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？ 【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2， 依题意，得：300x−3002x=3，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x ＝100．答：甲施工队每天能完成绿化的面积是100m 2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m 2．20．（2020春•高新区期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，苏州某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩．【分析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 依题意，得：6000x−60002x=5，解得：x ＝600，经检验，x ＝600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x ＝1200．答：甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩． 21．（2020•曲靖二模）请你认真阅读如图对话，解决实际问题．请根据如图对话内容，求A 、B 两种客车各有多少个座位？试试看！【分析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据租A 种客车的数量﹣租B 种客车的数量＝1列出方程并解答．【解析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据题意得200x−280+20x+10=1．解得x 1＝40，x 2＝﹣70．经检验x 1＝40，x 2＝﹣70都是所列方程的解． 当x ＝70时，不符合题意，舍去． 当x ＝40时，x +10＝50（个）．答：A 种客车有40个座位，则B 种客车有50个座位．22．（2020•高州市模拟）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A 、B 两种消毒液，其中A 消毒液的单价比B 消毒液的单价多40元，用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍． （1）求两种消毒液的单价；（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A 、B 两种消毒液共70桶，问最多购买A 消毒液多少桶？ 【分析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，根据数量＝总价÷单价结合用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，根据总价＝单价×数量结合总价不多于6800元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元， 依题意，得：3200x=2×2400x+40， 解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x +40＝120．答：A 消毒液的单价为120元，B 消毒液的单价80元． （2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶， 依题意，得：120y +80（70﹣y ）≤6800， 解得：y ≤30．答：最多购买A 消毒液30桶．23．（2020•南岗区校级一模）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，根据总价＝单价×数量结合总价不超过670元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，依题意，得：400x+20=12×160x ，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意，∴x +20＝25．答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，依题意，得：25m +5（2m +8﹣m ）≤670，解得：m ≤21．答：该学校最多可购买21个测温枪．24．（2020•松北区三模）出于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，至少购进甲型号手机多少台？【分析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，根据数量＝总价÷单价结合“如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型号手机m 台，则购进乙型号手机（20﹣m ）台，根据总价＝单价×数量结合总价不多于7.6万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元， 依题意，得：90000x =80000x−500，解得：x ＝4500，经检验，x ＝4500是原方程的解，且符合题意．答：一月份甲型号手机每台售价为4500元．（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，依题意，得：3500m+4000（20﹣m）≤76000，解得：m≥8．答：至少购进甲型号手机8台．。
2025年中考数学总复习培优训第7课时 分式方程及其应用
增根，则 a 的值为( D )
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
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15. [2024 牡丹江]若分式方程x－x 1＝3－1m－xx的解为正整数，则整 数 m 的值为 __－__1____.
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16. [2024抚顺顺城区二模]随着新能源汽车的普及，我国新能源 汽车的保有量已经处于世界第一，汽车快速充电技术已经成 为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至 6C的快速充电方案已经开始逐步落地. 测试数据显示，使用 6C充电技术，每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路 程)比采用4C充电技术提高了50%，若采用6C充电技术，续 航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400 公里的充电时间节省2分钟. 求采用6C充电技术，每分钟充电 量的续航里程为多少公里？
2x－1 x－1
解：
＝ －2， 第一步
3（x＋2） x＋2
2x－1＝3(x－1)－2， 第二步
2x－1＝3x－3－2， 第三步
－x＝－4， 第四步
x＝4. 第五步
检验：当 x＝4 时，3(x＋2)≠0， 第六步
所以 x＝4 是原方程的根. 第七步
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任务一：以上解方程的步骤中，从第___二_____步开始出错； 任务二：请直接写出该分式方程的正确结果.
10. 若点 Q(x，y)满足1x＋1y＝x1y，则称点 Q 为“美好点”，写出一 个“美好点”的坐标：_(2_，__－__1_)_. (答案不唯一，满足x＋y＝1且x≠0，y≠0即可)
11. [2024 广州]解方程：2x－1 5＝3x. 方程的解为x＝3.
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冀教版八年级上12.4 分式方程 能力培优训练(含答案)
12.4 分式方程专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 . 2.若关于x 的方程311x a x x --=-无解，求a 的值.专题二 特殊分式方程的特殊解法3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）； （1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m m x c x c +=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.状元笔记【知识要点】1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.【温馨提示】1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.2.解分式方程一定要注意验根.3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不为0 .【方法技巧】1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须舍去.参考答案1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x －a ）－3(x －1)=x (x －1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =－2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =－2或a =1时，原分式方程无解. 3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1. 解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----，即11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----， 通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----， 所以22144868x x x x -+=-+，解得 x =5.经检验x =5是原方程的解.4.解：（1）12,m x c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m m x c m x c cc +=+=+=右边.所以12,m x c x c==都是原方程的解； （2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.。
八年级(上)培优专题十二 分式方程应用题分类解析
专题十分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：一、【营销类应用性问题】例1．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？例3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？二、【工程类应用性问题】例4 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的倍，问甲乙单独做各需多少天？ 分析：例5 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）例6 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
112等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）例7 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．例8 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？例9 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？例10 甲乙两人做某种机器零件。
分式培优训练含答案
分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。
常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。
直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。
整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。
巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。
设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。
专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。
分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。
考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。
分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。
分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。
1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。
初中数学分式方程的应用培优训练题(附答案详解)
初中数学分式方程的应用培优训练题（附答案详解）1．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？2．已知一个长方形的面积为6，它的一边为x ，它的另一边长为y ，周长为p ．（1）填空：（用含x 的代数式表示）① y=__________；② p=__________；（2）当x 值从2增大到a+2时，y 的值减少了2，求增量a 的值；（3）当x=m 时，p 的值为1p ；当1x m =+时，p 的值为2p ，求21p p -的值，并化成最简分式．3．在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm.（1）如图1，点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿CB 匀速运动.两点同时出发，在B 点处首次相遇.设点P 的速度为xcm/s. 表示点Q 的速度是多少cm/s （用含x 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了2 cm ，并沿B→C→A 的路径匀速运动；点Q 保持原速度不变，沿B→A→C 的路径匀速运动，如图2.两点在AC 边上点D 处再次相遇后停止运动.又知AD=1cm.求点P 原来的速度x 的值.4．广州市中山大道快速公交（简称BRT ）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了300米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路20%，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？5．如果一辆汽车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上行驶的平均速度是多少千米∕小时？6．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度．7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1 3后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．（1）按原计划完成总任务的13时，已修建道路多少米？（2）求原计划每小时修建道路多少米？8．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．9．某单位在疫情期间用3000 元购进A、B 两种口罩1100 个，购买A种口罩与购买B 种口罩的费用相同，且A种口罩的单价是B 种口罩单价的1.2 倍求A，B 两种口罩的单价各是多少元？10．共有1500kg化工原料，由A，B两种机器人同时搬运，其中，A型机器人比B型机器每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，问需要多长时间才能运完？11．甲、乙两火车站相距1200千米，采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的2.5倍，从甲站到乙站的时间缩短了6小时，求列车提速前的速度．12．工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．13．A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A市去B市，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．14．阅读材料：一般情形下等式11x y+＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，1122+＝1成立，我们称(2，2)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：（1）数对(43，4)，(1，1)中，使11x y+＝1成立的“神奇数对”是；（2）若(5﹣t，5+t)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，求t的值；（3）若(m，n)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．15．某市从今年1月l同起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．16．小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？17．某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．18．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积.（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：第二届330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）. 19．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a ﹣1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的3a a+(kg)倍，求a 的值 (3)利用(2)中所求的a 的值，分解因式x 2﹣ax ﹣108＝_____.20．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于14,求这个分数. 21．设231,24x A B x x =-=--,当x 为何值时A 与B 的值相等． 22．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =.又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =. 应用上面的结论解答下列问题：(1)方程p x q x+=的两个解分别为12x =-，23x =，则p =_________，q =_________； (2)方程23x x -+=的两个解分别为1x a =，2x b =，求44a b +的值； (3)关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为()1212x x x x <、，求122122x x +-的值.23．列分式方程解应用题：从甲地到乙地的路程是15千米，小明骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，小亮骑自行车从甲地出发，结果同时到达，已知小亮的速度是小明速度的3倍，求小明，小亮两人的速度。
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12、分式方程及其应用
【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解读】
例1. 解方程：x x x --+=121
1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以()()x x +-11，得
x x x x x x x x x 22221112123
2
32--=+---=--∴==
()()()，
即，
经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
x x x x x x x x ++-++=++-++67562312
方程两边通分，得 1671236723836
92
()()()()
()()()()
x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-
92。
例3. 解方程：121043323489242387161945
x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145
-
-++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---
于是
，所以解得：经检验：是原方程的根。
189861810878986810871
1()()()()
()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==
例4. 解方程：612444444
0222
2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：62222222022
2
()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202
y y y y y y +-+-++-=()()
方程两边都乘以()()y y +-22，得
622022()()y y y --++=
整理，得经检验：是原方程的根。
216
8
8y y y =∴== 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解：
例1．若解分式方程
2111x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（） A. --12或
B. -12或
C. 12或
D. 12或-
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：60662
x x =+ 601206620
20222
x x
x x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千M ，逆流航行42千M ，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千M ，逆流航行70千M 。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千M/小时，水流速度为y 千M/小时 由题意，得8042740707x y x y x y x y
++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩
173173 答：水流速度为3千M/小时，船在静水中的速度为17千M/小时。
例2. m 为何值时，关于x 的方程22432
x mx x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=-
整理，得()m x -=-110
当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=-
--===-=--=∴=-=---=-∴==-110
1
4022
12101
2422101
263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S 千M ，某人从甲地出发，以v 千M/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（）
A. S a b +
B.
S av b - C. S av a b
-+ D. 2S a b + 2. 如果关于x 的方程2313x m x m -=--有增根，则的值等于（）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 3 3. 解方程： （）
…111011212319102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()
（）
2112141024x x x x x x x x
-++++++=
4. 求x 为何值时，代数式
293132x x x x
++---的值等于2？
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的
23
，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
【试卷答案】
1. 由已知，此人步行的路程为av 千M ，所以乘车的路程为（）S av -千M 。
又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为
S av b B -千米小时，应选。
/ 2. 把方程两边都乘以x x m x m -=--∴=+3235，得.
若方程有增根，则x m m B =+=∴=-3532，即应选。
3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。
因此，可利用
11111n n n n ()+=-+裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为1101112121319110
2x x x x x x x +++-+++-+++-+=… ∴+=+==-=-11
2221
12
1
2x x x x 即经检验：原方程的根是
（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解：x x x x x
(
)11112141024-++++++= 因为其中的1111214124-++++++x x x x =
++--++++=-++++=-++=-≠∴=111214121214141418100224
224
448x x x x x x x x x x x
x 经检验：x =0是原方程的根。
4. 解：由已知得2931322x x x x
++---=
即解得经检验：是原方程的根。
233132233132032
32+
+---=∴+---===x x x
x x x x x ∴=
++---当时，代数式x x x x x
32293132的值等于2。
5. 设：乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需23
x 天。
由题意，得1211231x x x ++=() 即
解得：12316x x x
x ++== 经检验x =6是原方程的根
x x ==623
4时， 答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。