分式方程培优
分式方程培优讲义全
分式方程拔高讲练一、含有参数方程1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是2．分式方程=1﹣的根为3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为二、方程无解1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是2．若=0无解，则m的值是3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ．三、有增根1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为2、关于x的分式方程有增根，则增根为．3、若关于x的方程有增根，则m的值是．4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a=四、整体代入解方程1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是．2、用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y= ．3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．四、实际问题1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10= B．+10=C．﹣10= D．+10=2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．= B．=C．= D．=3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5= D．﹣=55．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+= C．+= D．+=1【同步训练】1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣82．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x 的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m= ．4．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值围是．5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．6．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为．7．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2= ．8．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣39．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P 从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．12．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）⊗3的值；（2）若x⊗2=1，求x的值．2017年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．2．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，∴a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A．3．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=（a+2），又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即（a+2）≥0，（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．故选：B．4．分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10= B．+10=C．﹣10= D．+10=【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．= B．=C．= D．=【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，故选：D．8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得，=．故选A．9．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5= D．﹣=5【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，故选（A）10．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+= C．+= D．+=1【解答】解：由题意可得，，故选B．11．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是（）A．m= B．m=3 C．m=或1 D．m=或3【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：（m﹣1）x=2，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，故选C12．若=0无解，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【解答】解：方程两边都乘（x﹣4）得：m+1﹣x=0，∵方程无解，∴x﹣4=0，即x=4，∴m+1﹣4=0，即m=3，故选C．13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：，解①得x＞m，解②得x＞1．不等式组的解集是x＞1，则m≤1．解方程+=3，去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，合并同类项，得2x=5+m，系数化成1得x=．∵分式方程+=3有非负整数解，∴5+m≥0，∴m≥﹣5，∴﹣5≤m≤1，∴m=﹣5，﹣3，1，∴符合条件的m的所有值的和是﹣7，故选C．14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到m+2≥﹣2m﹣1，解得：m≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，分式方程去分母得：x﹣m+2=﹣x+2，即x=m，把m=﹣1代入得：x=﹣，不符合题意；把m=0代入得：x=0，符合题意；把m=2代入得：x=1，符合题意；把m=5代入得：x=2.5，不符合题意，则所有满足条件m的个数是2，故选B二．填空题（共15小题）15．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m= 3或7 ．【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理，得（m﹣3）x=4，当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7，∴m的值为3或7．故答案为3或7．16．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值围是m＜6且m≠2 ．【解答】解：+=3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，∴m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：= ．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．18．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为﹣=8 ．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据题意可得：﹣=8，故答案为：﹣=8．19．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值围是m≥﹣1且m≠1 ．【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），∴x=，∵方程的解是非负数，∴m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠1，则m的取值围是m≥﹣1且m≠1．故选：m≥﹣1且m≠1．20．若关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，﹣2，6 ．【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，整理得：（m﹣2）x=﹣4，解得：x=﹣，由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，解得：m=1，3，4，﹣2，6，故答案为：1，3，4，﹣2，621．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是y2﹣3y+2=0 ．【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，去分母，得y2﹣3y+2=0．故答案是：y2﹣3y+2=0．22．用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y= ．【解答】解：设y=，则原方程变为y﹣+1=0，故答案为：．23．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是 2 ．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），故答案为：2．24．关于x的分式方程有增根，则增根为x=1 ．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1．故答案为x=1．25．若关于x的方程有增根，则m的值是 4 ．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．26．若分式方程的解为正数，则a的取值围是a＜8，且a≠4 ．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．27．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2= 3+ ．【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，x+=c+的解是x1=c，x2=3+，故答案为3+．28．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ﹣1或2 ．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，当a=﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x=，当x=2时，a不存在；当x=3时，a=2，综上，a的值为﹣1或2．故答案为﹣1或2．29．解关于x的方程+=产生增根，则常数a= ﹣4或6 ．【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，综上，常数a=﹣4或6，故答案为：﹣4或6三．解答题（共6小题）30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为x cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=x，故答案为：x；（2）AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得=，解得：x=（cm/s），经检验x=是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．31．若关于x的方程﹣=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，∴把x=2代入方程得：2﹣=1，解得：m=4，则（m﹣4）2﹣2m+8=（4﹣4）2﹣2×4+8=0．32．设A=，B=（1）求A与B的差；（2）若A与B的值相等，求x的值．【解答】解：（1）A﹣B====（2）∵A=B∴去分母，得2（x+1）=x去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=﹣2经检验x=﹣2是原方程的解．33．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）⊗3的值；（2）若x⊗2=1，求x的值．【解答】解：（1）原式=﹣=﹣3（2）由题意可知：﹣=11﹣（x﹣2）=x1﹣x+2=xx=经检验，x=是原方程的解，34．（1）计算：（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（2）解分式方程：﹣=1．【解答】解：（1）原式=1+2﹣1﹣4=﹣2；（2）去分母得x（x﹣1）﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得x=0，经检验，x=0为原方程的根．35．解方程：+=．【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．。
分式方程培优训练
1131=-+-x xm 分式方程培优训练1．若解分式方程2111x x m x x x x +-++=+产生增根，求m 的值；2. m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？3．求值：，其中，a=3．4、关于x 的分式方程的解为正数，求m 的取值范围。
5.当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？6. 先化简，再求值：，其中x=-3．7、关于x 的方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-8)3(2221x x x x 的一个解，求m 的取值范围8. 先化简再求值：，其中x 是不等式组的整数解．9、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。
10、一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？6、 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
10、一列客车长200米一列货车长280米,在平行轨道上相向而行,从车头相遇到车尾相离一共经过8秒钟.已知客车与货车的速度之比为5∶3.求两车的速度.11、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min ，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?12、一小船由A港到B顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时，小船从早晨6时由A 港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈。
分式培优练习题(完整标准答案)
分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。
A。
-4=1 B。
(-3)-1=1 C。
(-2m-n)2=4m-n D。
(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。
A。
2 B。
C。
D。
23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。
A。
0. B。
-0.0036 C。
-0. D。
-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。
A。
2 B。
-2 C。
2或-2 D。
2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。
A。
1 B。
x+1 C。
x+1/x-1 D。
x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。
A。
2 B。
3 C。
4 D。
58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。
A。
-1 B。
C。
1 D。
29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。
A。
-2 B。
2 C。
3 D。
-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。
若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。
A。
-1 B。
1 C。
2 D。
311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。
分式方程培优答案(教师版)
分式方程培优一、分类解析 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得xx x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
分式方程培优答案(教师版)
分式方程培优一、分类解析例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
分式方程培优
分式方程知识要点一：分式的混合运算及求值 例1.x y x y x y xyx y xy x 1)225(2962222-+-+÷+++, 其中x=5,y=3练习1.()a a a a a a a a -+--++÷-+221444222，其中a 满足：a a 2210+-=练习2.先化简，再求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ），其中m 是不等式组 ⎩⎨⎧<-->-2)1(3,129m m 的整数解．知识要点二：解分式方程①31511x x x -=-- ② ③0113=-+--x x x x④14143=-+--xx x ⑤1613122-=-++x x x知识要点三：与分式方程有关的“陷阱”归类：例1. 实数m 使关于x 的分式方程3232-=--x m x x 产生增根，则m 的值为练习：若关于x 的方程111612+=---x x x k 有增根，则k= .例2.若实数a 使关于x 的分式方程有解，则a 的范围是 .变式：若实数a 使得关于x 的分式方程无解，则a 的取值是 .练习1：若实数a 使得关于x 的分式方程xa x x x 3231+-=+有解，则a 的范围是 .练习2：若实数m 使关于x 的分式方程1311x m x x +-=--无解，则m 的范围是 .例 3. 已知整数a 满足33≤<-a ，且使关于x 的分式方程312x a x x-+=-的解为负整数，则满足条件的a 值的为 .变式：若实数a 使关于x 的分式方程322=-x ax 的解为非负数，则a 的范围是 .练习1：实数a 使得关于x 的方程xx ax -=--+11112有正数解，则实数a 的取值范围为 .练习2：有六张正面分别标有数字-2，-1,0,1,2,3的卡片，除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记下卡片上的数字为m ，则关于x 的分式方程 121+=-x x m 有整数解，且不等式组⎩⎨⎧≤-≥+021m x x 有解的m 的值为 .直击中考：1.有6张正面分别标有数字1,0,1,2,3,4-的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的一次函数1y ax =+的函数图像经过一、二、三象限，且同时满足关于x 的分式方程24x a x -+=有解的a 的值为 .A.-1，-2，-3B.-3，2，-1，1C.-3，-1D.-2，-3，13.从－2，－1，21-，0，1，2这六个数字中，随机抽取一个数，记为a ，则使得关于x 的 方程122=-+x ax 的解为非负数，且满足关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+->-1230x a x 仅有三个整数解的a 的值为 .知识要点四：与分式方程有关的应用题例1.某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期.例2.某地区雾霭仍然很严重，某商店出售A 、B 两种型号的口罩，已知今年2月份A 、B 两种型号的口罩销售额分别为3600元和2880元，A 种型号的口罩单价比B 种型号的贵4元，A 种型号的口罩售出的数量是B 种型号口罩数量的65. （1）求A 、B 两种型号的口罩的单价分别是多少？（2）今年3月份，商店将A 型口罩的售价降低了%21m ，预计销售数量会比2月份多 40只，而B 型口罩的售价保持不变，预计销售量会比2月份多%2m ，这样预计3月份总销售额为7518元，求m 的值.练习1.某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则下列方程正确的是（ ） A.448020480=--x x B.204480480=+-x x C.420480480=+-x x D.204804480=--x x练习2.某蔬菜店第一次用800元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用1400元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元．（1）第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元？（2）蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有3% 的损耗，第二次购进的蔬菜有5% 的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于1244元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元？拓展提升:1.若分式2224224x x x x +++--的值为正整数，则整数x 的所有取值分别为 ；2.已知12,4-=-=+xy y x ，求1111+++++y x x y 的值；3.已知a b +<0，且满足a ab b a b 2222++--=，求22()()13a b a ab b ab +-+-的值。
分式方程培优提高定稿
分式方程一、【基础知识精讲】1.分式方程的定义：分母中含有 的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想方法: 整式方程分式方程去分母−−→− 3.解分式方程的一般方法和步骤:(1)去分母,即在方程两边都乘以 ,把原方程化成 。
(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.4．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看最简公分母是否为0.5.列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意. (2)设:设未知数. (3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程. (5)解: 解这个分式方程.(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意. (7)答:写出答案.二、【例题精讲】例1：分式通分六大技巧 1、逐步通分2411241111x x xx2、整体通分)225(423---÷--a a a a 3、分组通分：2m 11-m 21m 22-m 1+--++ 4、分解简化通分：4x 2x 1x x 1x x x x 22223-+-+-+-- 5、裂项相消()()()()()()10099132121111--+⋅⋅⋅+--+--+-a a a a a a a6、活用乘法公式:1)x 1)(x x1)(x x 1)(x x 1)(x x 1)(x x 1(x 21616884422≠-+++++（）例2：去分母法解分式方程 1、()()113116=---+x x x 2、22416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例3：整体换元与倒数型换元：1、用换元法解分式方程：（1）6151=+++x x x x （2）12221--=+--x xx x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=例4：分式方程的（增）根的意义1、 若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。
分式方程同步培优题典(解析版)
专题5.6分式方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•郏县期末）下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】A 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B 、方程分母中含未知数x ，故是分式方程； C 、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； D 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：B ．2．（2019秋•嘉定区期末）下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由分式方程的定义可知：x3+3x 4=25不是分式方程．【解析】x3+3x 4=25不是分式方程，是整式方程，故选：C ．3．（2020•滨城区二模）下列数值是方程3x−1=1−11−x根的是（ ）A ．1B ．3C ．0D ．﹣1【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； 【解析】方程整理得：3x−1−1x−1=1，去分母得：2＝x ﹣1，解得：x＝3，经检验x＝3是原分式方程的根，所以，3是方程3x−1=1−11−x的根，故选：B．4．（2020春•上蔡县期末）方程1x−1−32x+3=0的解的情况为（）A．x＝2B．x＝3C．x＝6D．x＝8【分析】根据解分式方程的方法，求出分式方程1x−1−32x+3=0的解即可，注意验根．【解析】去分母，可得：2x+3﹣3（x﹣1）＝0，去括号，得：2x+3﹣3x+3＝0，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解．故选：C．5．（2020春•龙华区校级月考）解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以（）A．x﹣1B．x C．x（x﹣1）D．x（x+1）【分析】找出分式方程各分母的最简公分母即可．【解析】解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以x（x﹣1）．故选：C．6．（2020春•永春县期末）方程3x+1=2x−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：3x﹣3＝2x+2，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．7．（2020春•卧龙区期中）分式方程xx−1−2=k1−x去分母后，正确的是（）A ．x ﹣2＝kB ．x ﹣2＝﹣kC ．x ﹣2（x ﹣1）＝kD ．x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【解析】分式方程变形得：x x−1−2=−kx−1，去分母得：x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k ． 故选：D ．8．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M ＝﹣6，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【解析】当m 2﹣2m ≥0时，6m−1=−6，解得m ＝0，经检验，m ＝0是原方程的解，并且满足m 2﹣2m ≥0， 当m 2﹣2m ＜0时，m ﹣3＝﹣6，解得m ＝﹣3，不满足m 2﹣2m ＜0，舍去． 故输入的m 为0． 故选：C ．9．（2020•遵化市三模）解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）；②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2；③解得x ＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验． 【解析】解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）； ②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2； ③解得x ＝3； ④故原方程的解为3．其中有误的一步为④． 故选：D ．10．（2020春•安吉县期末）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a ，b 中的较大的值，如Max {2，4}＝4，按照这个规定，方程Max {1x，2x }＝1−3x 的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝4或x ＝5D ．无实数解【分析】根据1x与2x的大小关系，取1x与2x中的最大值化简所求方程，求出解即可． 【解析】当1x＞2x，即x ＜0时，方程为1x=1−3x ，去分母得：1＝x ﹣3， 解得：x ＝4（舍去），当1x＜2x，即x ＞0时，方程为2x=1−3x，去分母得：2＝x ﹣3， 解得：x ＝5，经检验，x ＝5是分式方程的解． 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020•海东市三模）分式方程x+2x−1+1=0的解为 x =−12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：x +2+x ﹣1＝0， 解得：x =−12，经检验x =−12是分式方程的解． 故答案为：x =−12． 12．（2020春•泉州月考）方程21−x=1的解是 x ＝﹣1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：2＝1﹣x ，解得：x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是分式方程的解． 故答案为：x ＝﹣1． 13．（2020•济南）代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ 7 ．【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可． 【解析】根据题意得：3x−1=2x−3，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2， 解得：x ＝7，经检验x ＝7是分式方程的解． 故答案为：7．14．（2020春•青岛期末）小颖在解分式方程x−2x−3=△x−3+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 1 ．【分析】由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x ＝3代入计算即可求出所求．【解析】去分母得：x ﹣2＝△+2（x ﹣3）， 由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：△＝1． 故答案为：1．15．（2020•樊城区模拟）定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（x +3）的解为 无解 ． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【解析】根据题中的新定义得：2x+3=1x+3，去分母得：2＝1， 则此方程无解． 故答案为：无解．16．（2020春•梁平区期末）若关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3无解，则实数m 的值是 1 ．【分析】先按照解分式方程的步骤，用含m 的式子表示出x 的值，再根据原方程无解，得出关于m 的方程，解得m 的值即可．【解析】关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3两边同时乘以（x ﹣2）得：m ＝x ﹣1﹣3（x ﹣2）， ∴m ＝x ﹣1﹣3x +6， ∴2x ＝5﹣m ， ∴x =5−m2， ∵原方程无解， ∴5−m 2=2，∴m ＝1． 故答案为：1．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）若关于x 的分式方程x x−2−m =2m2−x无解，则m 的值为 1或﹣1 ． 【分析】将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m 的值即可． 【解析】方程x x−2−m =2m2−x 两边同时乘以（x ﹣2）得：x ﹣m （x ﹣2）＝﹣2m ， 整理得：（1﹣m ）x ＝﹣4m ， ∵无解，∴1﹣m ＝0，即m ＝1时，方程无解；当x ﹣2＝0时，方程也无解，此时x ＝2，则有x =−4m1−m =2， ∴﹣4m ＝2﹣2m ， ∴m ＝﹣1．故答案为：1或﹣1．18．（2018秋•沛县期末）观察分析下列方程：①x +2x=3；②x +6x=5；③x +12x=7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 x +n(n+1)x =n +（n +1） ． 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n （n +1），方程的右边的变化规律为n +（n +1）． 【解析】∵第1个方程为x +1×2x =1+2， 第2个方程为x +2×3x =2+3，第3个方程为x+3×4x=3+4，…∴第n个方程为x+n(n+1)x=n+（n+1）．故答案是：x+n(n+1)x=n+（n+1）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•皇姑区校级月考）解分式方程：−5x−3=2+x3−x−1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：﹣5＝﹣2﹣x﹣x+3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．20．（2020春•历下区期末）解方程：（1）1x−1=1x2−1；（2）1x−3=x−2x−3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：x+1＝1，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：1＝x﹣2+x﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．21．（2020春•梁平区期末）解下列分式方程：（1）1a+1+32−a=0；（2）xx+1=2x3x+3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：2﹣a +3（a +1）＝0， 解得：a =−52，经检验a =−52是分式方程的解； （2）去分母得：3x ＝2x +3x +3， 解得：x =−32，经检验x =−32是分式方程的解．22．（2020•富阳区一模）若关于x 的分式方程m−3x−1=1的解为x ＝2，求m 的值，【分析】方程两边都乘以x ﹣1得到整式方程，解之求得x ＝m ﹣2，结合x ＝2求解可得． 【解析】方程两边都乘以x ﹣1，得：m ﹣3＝x ﹣1， 解得x ＝m ﹣2， ∵x ＝2， ∴m ﹣2＝2， 解得m ＝4．23．（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mx x 2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为 x 1＝3，x 2＝﹣3 ． （2）在（1）的条件下，求出m 的值，【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x 2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x 1＝3，x 2＝﹣3；（2）由增根的定义可知，x 1＝3，x 2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值． 【解析】（1）2x−3+mx x 2−9=3x+3，方程两边都乘（x +3）（x ﹣3）得2（x +3）+mx ＝3（x ﹣3） ∵原方程有增根， ∴x 2﹣9＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣3．故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣3； （2）当x ＝3时，m ＝﹣4， 当x ＝﹣3时，m ＝6． 故m 的值为﹣4或6．24．（2020•潍坊三模）关于x 的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a ＝3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值． 【解析】（1）当a ＝3时，原方程为3x+1x−1−21−x=1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1， 解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0， ∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，即（a ﹣1）x ＝﹣4， 当a ≠1时，若原方程有增根，则x ﹣1＝0， 解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0， 解得：a ＝﹣3， 综上，a 的值为﹣3．。
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(4)
分式方程培优
、分式方程的解法
4、在x=0,X=1,X = -1中，分式方程
5、 若分式方程一( ------- =-一的解为x = 3,则a =
.
a(x -1) 5
6、 当m= _______ 时，方程竺 -
1的解与方程 ―4 =3的解互为相反数
m+1 x-1
x
x +3
7、 方程丄亠=y 的整数解有 ______________ 组。
x +1
8、 解方程：
x —7 x —4 x —5 x —6
1、不解下列方程, 判断下列哪个数是方程
2、关于x 的方程
B
2ax 3 3、若分式
a 「x
B 、3
x 2
_1 岛1的值等于 2(x+1)
.x=-1
3 =一的解为 4
C 、一 x=1,贝U a=
0,贝U x 的值为
A. 1
B. 3
= ----- + x 3
.x=3
D 、一 3
D. -1
1 r
的解(
x 2 —2x — 3
D . x=-3
(1)
x 14 x 2 -4 2x
x 2
-1
(5)x 7 x 9_x10 x 6
x亠6 x亠8 x亠9 x亠5
9、阅读材料：
111 1
方程的解为x = 1 ,
x+1 x x—2 x-3
1111
方程丄一二丄—的解为x=2,
x x-1 x-3 x—4
1111
方程——- - ——的解为x = 3,
x—1 x—2 x—4 x—5
(1 )请写出能反映上述方程一般规律的一个方程___________________
解是x=10.
1111
(2)方程」丄丄—的解是_________________________
x+3 x+4 x + 6 x + 7
，使它的
二、方程有增根、无解、正解、负解的问题：
1、如果关于x的方程乙泌—无解，则m等于( )
x -5 5 —x
A.3
B. 4
C.-3
D.5
1 x—4
2、若方程」7 =有增根，则增根为.
x - 3 3 — x
3、若分式方程土3 _1 =0无解，那么a的值应为________________ 。
x_2
x—2 x 16k
4、当k 时关于x的方程 2 有解。
x + 2 x-2 x2-4
5、若关于x的方程- —有增根,则增根是多
少？产生增根的
X2-9 x+3 x-3
少？
m值又是多
8、知关于x 的方程」
2 =— 解为正数,求m 的取值范围
x —3
x —3
9、当a 为何值时，匚！ 一匚
2
2
^-a
的解是负数？
x_2 x+1 (x_2)(x+1)
三、应用分式方程解决实际问题
1、 某工厂生产一种零件，计划在 20天内完成，若每天多生产 4个，则15天完成且还多
生产10个•设原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为(
)
20x+10
20x-10
20x+10
20x-10
A
= 15 B 、 = 15 C 、 ■ = 15 D 、 = 15 x+4
x+4
x-4
x-4
2、 要在规定的时间内完成某项工程，如果甲队单独做将拖延 10天完成，乙队单独做将拖
延6天完成，已知甲队始终参加工作，而乙队只参加了
12天工作，结果全部工程提前 4天
完工。
设原来规定的天数为 x 天，则列方程为 ___________________________ 。
3、 A B 两地相距87千米，甲骑自行车从 A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑 自行车由B 地出发，用每小时比甲快 4千米的速度向A 地驶来，两人在距离 B 地45千米C 处相
遇，求甲乙的速度。
•7、若关于x 的方程
x k 2 2
x -1 x -1
不会产生增根，求k 的值。
x 1
4、近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨. 下面是小明与爸爸的对话: 小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
5 、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合
2 做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的一，
3 厂家需付甲、丙两队共5500元.
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.
6、华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有
衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商厦这笔生意赢利多少元？。