分式方程培优答案(教师版)
整式方程和分式方程-教师版
【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）A ．343x y -=B ．24x -C ．322x x =-D ．22350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?① 23270x a x +-=； ②321240(0)x x x a b a b+-=+≠+； ③13(0)1x x x +=≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤213502m xm x ⋅+-=-； ⑥352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念．【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★【答案】（1）1a =-（2）3k =【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．例题解析【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m ≤；B ．0m <；C ．0m ≥；D ．0m >；【难度】★ 【答案】D【解析】因为42x m =-，所以412x m =-，若方程没有实数根，则0m >．【总结】考察二项偶次方程有解的情况．【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】当0m =时，方程化为14104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次方程，160m =+≥V ，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<V ， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32x kmkx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216m n ==，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12x =代入得：()141682k km n -=--，整理得：()13282m k n -=-，若k 为任意实数，则13216m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．（1）42416x x =；（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；（4）22(1)1x x x +--=．【难度】★★【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；（3）1234330322x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2220x x x +-=，解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，得：()()()222223223111231x x x x x x -+-+=-+，即()()222239230x x x x ---=，分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，解得原方程的解为：1234330322x x x x ====-，，，；（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．（1）(1)42a ax x -=-； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★【答案】（1）当2a ≠±时，12x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解； （2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解，当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【解析】解：（1）由(1)42a ax x -=-，得：()242a x a -=-，故当240a -≠时，即2a ≠±，12x a =+；当240a -=时， （1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：()()2212310a x a a --++=， 即()()()()11121a a x a a +-=++，当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解；当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论．【例9】解下列方程：（1）222(2)0x x --=；（2）(1)(2)(3)35x x x x +++=；（3）()()()()123410x x x x +++++=． 【难度】★★【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）12x x ==；（3）12x x ==【解析】解：（1）由222(2)0x x --=， 得：()()22220x x x x +---=，即()()()()21210x x x x +--+=，故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，；（2）由(1)(2)(3)35x x x x +++=，得：()()2235370x x x x +-++=，2350x x ∴+-=或2370x x ++=，当2350x x +-=，12x x =2370x x ++=，0<V ，方程无解．所以原方程的解为：12x x =； （3）由()()()()123410x x x x +++++=， 得：()()()()142310x x x x +++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()22545610x x x x +++++=， 所以()22550x x ++=， 即2550x x ++=，解得原方程的解为：12x x =． 【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．【例10】关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43nx m+=-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解； （3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论．【例11】解下列方程：（1）22b x x a a b-+=（0a b <<）； （2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★【答案】（1）x =（2）3312b a x x a b ==，．【解析】（1）因为22b x x aa b -+=，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则()()()2a b x a b b a +=+-， 因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，所以原方程的解为：x =（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以()()330ax b bx a --=， 则30ax b -=或30bx a -=，∴3ax b =或3bx a =，0ab ≠Q ，∴00a b ≠≠，，∴原方程的解为：3312b a x x a b==，．【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．【例12】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为13610，，，．【解析】（1）将原方程变形为()()2226x a x +=+，显然20x +≠，即2x ≠-．()()2262x a x +∴=+，Q a 是正整数，1a ∴≥，即()()22612x x +≥+，()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．Q 方程至少有一个整数根，∴当x 可取431012---，，，，，时，故对应的a 的值为141610319，，，，，，Q a 是正整数，a ∴的值为13610，，，．【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．【例13】已知方程：①2510x x +-=，②22123x x +=，③3711510x x +=+-，④10x=，⑤111y z x y x z +=---3=，其中分式方程有_________________． 【难度】★【答案】③、④、⑤．【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念．【例14】解下列分式方程： （1）23y y +=；（2）216244y y y -=--． 【难度】★【答案】（1）1212y y ==，；（2）2y =-． 【解析】（1）由23y y+=，得：2320y y -+=，即()()120y y --=，解得：1212y y ==，， 经检验：1212y y ==，是原方程的解， 所以原方程的解为1212y y ==，；（2）由216244y y y -=--，得：2280y y --=，即()()420y y -+=，解得：1242y y ==-，， 经检验：14y =是原方程的增根，所以原方程的解为：2y =-． 【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验． 【例15】解下列分式方程： （1）2613x x x +=+-； （2）214124x x -=--． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==； （2）1x =-． 【解析】（1）由2613x x x +=+-，得()()()2361x x x +-=+，即27120x x --=，解得：12x x =，经检验：12x x =是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）由214124x x -=-- ，得2244x x +-=-，即()()210x x -+=，解得：1221x x ==-，，经检验：2x =是原方程的增根， 所以原方程的解为：1x =-．【总结】考察分式方程解法，注意要检验根．【例16】解下列分式方程：（1）222412352x x x x x +-+=---；（2）21111333x x x x +-=--． 【难度】★★【答案】（1）12012x x ==-，；（2）无解． 【解析】（1）由222412352x x x x x +-+=---，得：()()22412312x x x x x +-+=-+-， 即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，， 经检验：12012x x ==-，是原方程的解， 所以原方程的解为12012x x ==-，；（2）由21111333x x x x +-=--，得：()()1111331x x x -=--， 即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，所以原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．【例17】解下列分式方程：（1）2223x x+=；（2）2231712x x x x -+=-．【难度】★★【答案】（1）123411x x x x =-===，，；（2）12122x x =-=，，3411x x =+=【解析】（1）由2223x x+=，得42320x x -+=，即()()(110x x x x +-=，解得：123411x x x x =-===，，，经检验：123411x x x x =-===，，是原方程的解，所以原方程的解为：123411x x x x =-==，，； （2）设21x a x =-，则1732a a +=可化为整式方程：26720a a -+=， 即()()32210a a --=， 解得：122132a a ==，，当2213x x =-时，即22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，， 当2112x x =-时，即2210x x --=，解得：3411x x =+= 经检验：12122x x =-=，，3411x x =+=所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==-【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根．【例18】解下列分式方程：（1）517311x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）51342212x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）612x y =⎧⎨=⎩．【解析】（1）设11a b x y x y ==+-，，则5731a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， 1112x y x y⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解， ∴原方程的解为3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）设11a b x y ==，，则3541222a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：16112a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1161112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，612x y =⎧∴⎨=⎩， 经检验：612x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解， 所以原方程的解为：612x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验．【例19】解方程：（1）2225413242x x x x x -+=++--； （2）221193431x x x x x ++=--+-． 【难度】★★【答案】（1）6x =； （2）无解．【解析】（1）原方程可化为：()()()()254112222x x x x x x -+=+++--， 去分母，得：28120x x -+=， 即()()260x x --=，解得：1226x x ==，，经检验：2x =是方程的增根，∴原方程的解为6x =；（2）原方程可化为：()()()12113313x x x x x -+=----，去分母，得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，经检验：1213x x ==，是方程的增根，∴原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根．【例20】若方程222312122x b bx x x x +-+=---有增根，求b 的值．【难度】★★【答案】1b =±或2b =-．【解析】222312122x b bx x x x +-+=---，去分母得()2221210x b x b -++-=，Q 方程有增根，∴（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±； （2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-± 综上所述，1b =±或2b =-．【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值．【例21】解方程：34xx x x-=【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，43x x-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >Q ，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解； 当0x <时，43x x+=，去分母，得23400x x -+=<V ，此时，∴方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论．【例22】解方程：（1）11115867x x x x +=+++++； （2）222(3)223x x x x x x -+++=+--． 【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）12403x x ==，．【解析】（1）由11115867x x x x +=+++++，得11115678x x x x -=-++++， 即()()()()115678x x x x =++++，所以()()()()5678x x x x ++=++， 去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132x =-， 经检验：132x =-是原方程的解， ∴原方程的解为132x =-； （2）由222(3)223x x x x x x -+++=+--，得()2362424223x x x x x x -++--++=+--， 即4412112223x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭，113223x x x -=-+-， 即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，解得：12403x x ==，，经检验：12403x x ==，是原方程的解，∴原方程的解为12403x x ==，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例23】解下列方程：（1）22111256890x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11111(1)(1)(9)(10)12x x x x x x ++⋅⋅⋅+=-+++；（3）222111011828138x x x x x x ++=+-+---．【难度】★★★【答案】（1）12122x x ==，，343223x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3）2181x x ==-，，3481x x =-=，． 【解析】（1）设1x a x+=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即()()256130a a --=，解得：1251326a a ==，，当52a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：12122x x ==，；当136a =时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：343223x x ==，；经检验：12122x x ==，，343223x x ==，是原方程的解， ∴原方程的解为12122x x ==，，343223x x ==，； （2）原方程变形为111111111191012x x x x x x -+-++-=-+++L ， 整理得：111111012x x -=-+，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，， 经检验12211x x ==-，是原方程的根，∴原方程的解为12211x x ==-，；（3）令228x x y +-=，原方程可化为1110915y x y y x++=+-， 解得：9y x =或5y x =-，当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，； 当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，； 经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，∴原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例24】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，当1x =时，221a +=-，解得：32a =-；当2x =时，解得：2a =-，综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根． 【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．【例25】当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-． 【解析】原方程可化为()222402x x ax x -++=-， （1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，Q 方程只有一个实数根，0∴=V ，即8280a =--=V ，72a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-；此时原方程为()224022x x x x x x x --++=--，去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-；此时原方程为()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论．【例26】解已知关于x 的方程22(1)()(27)1011x xa a x x --++=-- （1）求a 的取值范围，使得方程有实数根；（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且121231111x x x x +=--，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-且1a ≠±（2）5328a =-或1a ≠±；（3）128103a a ∴=-=，．【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1xy x =-，原方程可以化为()()2212710a y a y --++=，()()2227410a a ∴=+--≥V ，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-且1a ≠±， 综上所述：5328a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=V ，5328a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x ==--，，则12311y y +=，即2273111a a +=-， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128103a a =-=解得：，．【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．随堂检测【习题1】 在方程：①969642x x -=-，②213014000x x +-=，③3132x x +=， ④121014x x -=+中，是分式方程的有（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【难度】★ 【答案】D【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义．【习题2】 下列方程中，有实数根的是（） A ．220x x -+= B ．410x -=C ．40n x +=D ．111x x x =-- 【难度】★ 【答案】B【解析】.0A <V ，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．【总结】考察方程有无实数根的分类讨论．【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（ ）A ．51x =；B ．6x x =C ．31309x += D ．4160x +=【难度】★ 【答案】B【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数) 【总结】考察二项方程的定义．【习题4】 （1）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于__________；（2）若分式351x x +-无意义，当510322m x m x -=--时，则m =__________．【难度】★【答案】（1）2；（2）37m =．【解析】（1）由2220210x x x x ⎧--=⎨++≠⎩， 得：()()()212010x x x +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，2x ∴=； （2）若分式351x x +-无意义，10x ∴-=，即1x =；5103221m m ∴-=--， 去分母，得730m -=，解得：37m =．【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法．【习题5】 （1）用换元法解方程222212x x x x -+=-时，如设212y x x=-，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________； （2）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．【解析】（1）原方程可转化为()2212212x x x x ⋅--=-，212y x x =-Q ， ∴方程转化为分式方程为1210y y --=，去分母化为整式方程为：2210y y --=；（2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 【习题6】 解下列方程： （1）3(2)80x ++=； （2）45(52)10x -=．【难度】★★【答案】（1）4x =-；（2）12x x ==． 【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()328x +=-，解得：4x =-；（2）由45(52)10x -=，得：()4522x -=，解得：12x x ==． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个．【习题7】 解下列方程： （1）3244160x x x --+=；（2）()()426767720x x +-+-=；（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★【答案】（1）123224x x x =-==，，；（2）125233x x =-=-，；（3）12341122x x x x ====，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，即()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（2）由()()426767720x x +-+-=，得：()()226796780x x ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，所以()26790x +-=，即673x +=±，故原方程的解为：125233x x =-=-，；（3）原方程可变形为：()()()43322227777220x x x x x x x +--+++--+=，即()()()()43322227777210x x x x x x x ---+---=，所以()()32127720x x x x --+-=，()()()32122770x xx x ⎡⎤----=⎣⎦，()()()()21211710x x x x x x ⎡⎤--++--=⎣⎦，即()()()212210x x x ---=，解得原方程的解为12341122x x x x ====，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析．【习题8】 解下列方程： （1）22(a b)ax b bx a +=+≠；（2）2(3)40m y y -+=．【难度】★★【答案】（1）x a b =+；（2）1240(3)3y y m m==≠-，此时． 【解析】（1）原方程可变形为：()()()a b x a b a b -=+-， a b ≠Q ，0a b ∴-≠，()()a b a b x a b+-∴=-，x a b ∴=+；（2）原方程可变形为：()340y m y -+=⎡⎤⎣⎦，当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=；当30m -≠，即3m ≠时，12403y y m==-，，综上所述：1240(3)3y y m m ==≠-，此时【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论．【习题9】 解下列分式方程：（1）3363242x x -=-+； （2）214124y y -=--； （3）2116122312x x x x -+=--+--； （4）222222322141233636109x x x x x x x x x x -+-+-+=+--++． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==；（2）1y =-； （3）12233x x =-=，；（4）12912x x ==-，．【解析】（1）去分母，得：()()()()12233222432x x x x +--+=-， 化简，得：21224912127248x x x x +--+=-，2324280x x +-=，解得：12x x ，经检验：12x x ==是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；（3）去分母，得：()()()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=， 解得：12233x x =-=，，经检验：12233x x =-=，是原方程的解， 所以原方程的解为：12233x x =-=，；（4）原方程变形为：()()()()()()()()()()()12261311326(6)19x x x x x x x x x x x x ----+-+=+--+++，即()()21311369x x x x x x ---+=+++，去分母得：()()()()()()()()()169213931360x x x x x x x x x -+++-++--++= 所以()()()()()()()1692393360x x x x x x x -+++++-++=⎡⎤⎣⎦，即 ()()112540x x -+=，解得：12912x x ==-，经检验：12912x x ==-，是原方程的解，∴原方程的解为12912x x ==-，．【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根．【习题10】 当a 为何值时，方程2233x ax x-=---有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，Q 方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，∴当1a =时，方程有增根．【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值．【习题11】 解下列分式方程：（1）1111x a x a +=+--（a 为已知数）； （2）1121511015x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩； （3）16252736x x x x x x x x +++++=+++++． 【难度】★★★【答案】（1）121a x a x a ==-，；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）92x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()111111x a x a -+=-+--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121ax a x a ==-，是原方程组的解，∴原方程组的解为121ax a x a ==-，；（2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为()()112115110215b ab a ⎧+=⎪⎪+-⎨⎪+=⎪+-⎩，由()()21-，得：225a =--，解得：4a =，将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩经检验：22x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，∴原方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩；（3）原方程可化为111111112736x x x x -+-=-+-++++，则11112736x x x x +=+++++， 即11112367x x x x -=-++++， 去分母，得：()()()()6723x x x x ++=++， 解得：92x =-，经检验92x =-是原方程的根，所以原方程的解为：92x =-．【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验．【习题12】 若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★【答案】74m <或2m =【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，Q 原方程无实数根，则（1）()1420m =--<V ，即74m <；（2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =，综上所述：当74m <或2m =时，原方程无实数根．【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．【习题13】 已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ． 【难度】★★★ 【答案】7k =或133k =或4k = 【解析】原方程可化为：()()()23562680k k x k x --+-+=，即 ()()34520k x k x -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()350k k --≠Q ，124235x x k k ∴=-=---，， 124235k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，()()12212x x ∴+-=-．12x x Q ，都是整数，122112x x +=⎧∴⎨-=-⎩，122112x x +=-⎧⎨-=⎩，122211x x +=⎧⎨-=-⎩，122211x x +=-⎧⎨-=⎩解得：1211x x =-⎧⎨=-⎩，1233x x =-⎧⎨=⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍去），1242x x =-⎧⎨=⎩解得：7k =或133k =或4k =；经检验，7k =或133k =或4k =满足分式方程的解，综上所述：7k =或133k =或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．【作业1】用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关 于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=【难度】★ 【答案】A【解析】原方程可化为310y y-+=，去分母得230y y +-=． 【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法．【作业2】（1）若关于x 的方程(2)1a x b -=-无解，那么a ________，b __________；（2）已知关于x 的方程1302x a --=与203x ax --=的解相同，则a =____________．【难度】★【答案】（1）21a b =≠，；（2）531a =-． 【解析】（1）方程ax b =，当00a b ==，时，x 为一切实数；当00a b =≠，时，方程无解；当0a ≠时，bx a =-；（2）由方程1302x a --=，解得：61x a =+；由方程203x a x --=，解得：5ax =-：Q 方程的解相同，615a a ∴+=-，解得：531a =-．【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论．课后作业【作业3】下列说法错误的个数是（）①二项方程一定有解；②二项方程的解最多有两个；③二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】①二项方程一定有解；（错）；①二项方程的解最多有两个；（对）①二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B ． 【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念．【作业4】关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠；B ．6a ≠且3b ≠；C ．3b ≠；D ．6a =且3b ≠【难度】★ 【答案】C【解析】原方程可化为：()36b x a -=-，若方程有唯一解，则30b -≠，3b ∴≠． 【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论．【作业5】如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，试求a 、b 的值． 【难度】★★ 【答案】10332a b =-=，． 【解析】把1x =-代入方程，得：2123k a bk-+---=-，整理得()23310b k a -+=-， 230310b a ∴-==-，，解得：10332a b =-=，．【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换．【作业6】解下列方程： （1）3215200x x +=；（2）3244160x x x --+=；（3）22(321)(327)120x x x x -+--+=；（4）222()4(223)0x x x x ----=．【难度】★★【答案】（1）123403x x x ===-，； （2）123224x x x =-==，，；（3）1234151133x x x x ==-=-=，，，； （4）12341223x x x x =-==-=，，，．【解析】（1）由3215200x x +=，得：()25340x x +=，解得原方程的解为：123403x x x ===-，；（2）由3244160x x x --+=，得()()24440x x x ---=，故()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（3）由22(321)(327)120x x x x -+--+=，得()()2223263250x x x x ---+=，即()()223213250x x x x ----=，分解因式，得：()()()()1311350x x x x -++-=，解得原方程的解为：1234151133x x x x ==-=-=，，，；（4）由222()4(223)0x x x x ----=，得：()()2228120x x x x ---+=，即()()22260x x x x ----=，分解因式，得：()()()()12230x x x x +-+-=， 解得原方程的解为：12341223x x x x =-==-=，，，． 【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法．【作业7】解下列方程：（1）222()0abx a b x ab -++=（0a ≠，0b ≠）； （2）2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-． 【难度】★★【答案】（1）12b ax x a b==，；（2）当0a =时，0x =；当1a =时，2x =； 当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【解析】（1）原方程可分解为：()()0ax b bx a --=，即ax b =或bx a =， 00a b ≠≠Q ，，∴可得原方程的解为：12b ax x a b==，； （2）原方程可整理为：()()()2222210a a x a x a a ---++=， 当20a a -=时，当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当20a a -≠时，即0a ≠且1a ≠时，()()110ax a a x a -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得：1211a ax x a a +==-，， 综上所述：当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论．【作业8】解下列方程： （1）651(1)x x x x +=++；（2）225242414015x x x x x x-+++=+-；（3）221245422x x x x +++=++；（4）22171()102x x x x +--+=．【难度】★★【答案】（1）1x =； （2）1212x x ==，，3434x x =-=-，；（3）1x =-；（4）12122x x =-=，，3411x x =+=-【解析】（1）对原方程去分母得：65x x =+，解得：1x =， 经检验1x =是原方程的解，∴原方程的解为：1x =；（2）设251x xy x -=+，原方程可化为24140y y ++=， 214240y y ∴++=，()()2120y y ++=，解得：12212y y =-=-，．当2y =-时，2521x xx -=-+，2320x x -+=，解得：1212x x ==，当12y =-时，25121x xx -=-+，27120x x ++=，解得：3434x x =-=-，经检验1212x x ==，，3434x x =-=-，均是原方程的解， 所以原方程的解为：1212x x ==，，3434x x =-=-，； （3）原方程可化为()2212223022x x x x +++-=++，设222x x a ++=，则可化为1230a a+-=，转化整式方程得：22310a a -+=， ()()2110a a ∴--=，解得：12112a a ==，．当12a =时，21222x x ++=，22430x x ++=，0<V ，方程无解；当1a =时，2221x x ++=，2210x x ++=，121x x ∴==-； 经检验1x =-是原方程的解，所以原方程的解为：1x =-； （4）原方程可化简为：21712102x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x t x -=，则27302t t -+=，化成整式方程得：22760t t -+=，即()()2320t t --=，解得：12322t t ==，，当32t =时，132x x -=，22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，；当2t =时，12x x-=，2210x x --=，解得：3411x x ==经检验12122x x =-=，，3411x x ==所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验．【作业9】解下列方程：（1）11118475x x x x +=+----； （2）222212219116x x x x x x x +++++=+++． 【难度】★★★【答案】（1）6x =；（2）12x x ==，31x =． 【解析】（1）原方程可变形为：11118754x x x x -=-----，即()()()()118754x x x x =----， 所以()()()()8754x x x x --=--， 去括号，得：221556920x x x x -+=-+， 解得：6x =．经检验6x =是原方程的解，所以原方程的解为6x =；（2）原方程可变形为：222211231132x x x x x x ++++=++++，设2211x x y x ++=+，则原方程变为12332y y +=+，解得：122332y y ==，．当221213x x x ++=+时，化简得：2310x x ++=，解得：12x x ==； 当221312x x x ++=+时，化简得：2210x x -+=，解得：31x =，经检验12x x =，31x =是原方程的解，所以原方程的解为：12x x ==，31x =． 【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验．【作业10】若方程x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】0k =或12k =． 【解析】原方程可以化为()22310kx k x +--=①，（1）当0k =时，原方程有一个解，12x =； （2）当0k ≠时，()225410k k =+->V ，则方程①恒有两个不相等的实数根，又Q 原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即0x =或1x =，当0x =时，不是方程①的解，1x ∴=，代入方程①得12k =；把12k =代入原方程，得2x =-．综上所述：0k =或12k =【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论．【作业11】已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】原方程可整理得()()22221210x a x a a x a +-++-=⎡⎤⎣⎦+，进一步整理得：()()222220x ax a ax x a +-+=+，()20x a x a x a ⎡⎤∴+-=⎢⎥+⎣⎦，()0x a x a x a ∴+-=+， 去分母整理，得：()223210ax a x a +-+=；当0a =时，解得：0x =，此时0x a +=，原方程无意义；当0a ≠时，若方程有实数根，则()2242140a a =--≥V ，解得：1122a -≤≤，其方程的根为：x =，又0x a +≠Q ，即x a =≠-，解得：0a ≠，综上所述，当原方程有实数根时，a的取值范围为：1122a-≤≤且0a≠．【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结．。
八年级数学人教版上册【能力培优】15.3分式方程(含答案).doc
115.3分式方程专题一 解分式方程 1．方程31=的解是 ． 4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（ ） 的分式方程7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班天完成任务2状元笔记 【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:未找到引用源。
是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m ，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，3 7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x60，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35． 经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意． 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．。
分式方程培优答案(教师版)
分式方程培优一、分类解析 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得xx x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
分式培优练习题(完整标准答案)
分式 (一)一 选择1 下列运算正确的是（ ）A -40=1B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zy x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二 填空1 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 4 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三 化简 1 ()d cd b a c ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a 3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x 四 解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值 五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x 七 2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知230.5x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.132．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（ ）A ．12 B.35 C.24 D.473．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2±二、填空题：4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________. 5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：7. 计算： ()3322232n m n m --⋅8. 计算 （1）168422+--x x x x （2）mn n n m m m n n m -+-+--2 9. 先化简，后求值：222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程．1412112-=-++x x x 11. 计算：（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （2）4214121111x x x x ++++++- 12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值． 13．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用()12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含x 、m 的代数式表示）．14． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速. 分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ，πx ，11+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 .2、分式3-x 的值为0，则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时，x --11的值为负数；当x 、y 满足 时，)(3)(2y x y x ++的值为32； 5、若分式y x y-3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为6、当x= 时，分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根，则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解，则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a acbc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x nm -++2的值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、512. 下列式子:（1）y x y x yx -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a ab ；（4）y x yx y x yx +-=--+-中正确的是 （ ）A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是（ ）A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥1B 、m ＞1C 、m ≤1D 、m ＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：①3-x-1x(x>0)的值随着x 的增大越来越小； ②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2；③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．则推测正确的有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个16. 已知分式xyy x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（ ） A 、相等 B 、互为相反数 C 、互为倒数 D 、乘积为－1 三、解答题17、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab-+. 18、当21,23-==b a 时，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值. 19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555+→=+＞， 773722232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？。
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题(含答案)
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题（含答案）1．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（）A．B．C．D．2．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．B．C．D．3．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）A．13小时B．13小时C．14小时D．14小时4．若＝2，则＝5．•＝．6．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，＝．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝．7．直接写出结果：（1）＝；（2）＝．8．已知＝，则代数式的值是．9．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为．10．已知：，则（y﹣x）的值是．11．方程组的解是．12．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝；②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝．13．甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等，又知甲、乙两人每小时共做35个机器零件，问甲、乙每小时各做多少个机器零件．解：设甲每小时做x个机器零件，则乙每小时做个机器零件，依题意可列方程．14．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．15．约分（1）（2）．16．通分，，．17．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：①若＞0，则或②若＜0，则或．根据上述规律，①求不等式＜0的解集．②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．18．已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，求m的取值范围．19．探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝，＝；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．20．解方程：．21．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．参考答案：1．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（）A．B．C．D．解：＝1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a ＝b＝c＝d＝2；将a、b、c、d结果代入＝．故选：D．2．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．B．C．D．解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：﹣＝3．故选：D．3．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）A．13小时B．13小时C．14小时D．14小时解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则＝．解得x＝20经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．则丙的工作效率是．所以一轮的工作量为：++＝．所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．所以丙还需要工作小时．故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．故选：C．4．若＝2，则＝解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．5．•＝．解：•＝．故答案为：．6．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，＝．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝．解：＝+＝＝，∵＝，∴＝，则，解得：，所以（B+1）﹣（A+1）＝3﹣2＝，故答案为：．7．直接写出结果：（1）＝；（2）＝．解：（1）＝1+＝；（2）＝a+＝a+＝．8．已知＝，则代数式的值是9．解：∵＝，∴a﹣b＝3ab，∴原式＝＝＝9．故答案为9．9．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为1．解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2；综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1故答案为1．10．已知：，则（y﹣x）的值是4．解：∵，∴，则有；方程组可化为：，解得．经检验：是原方程的解．∴（y﹣x）＝4．故答案为：4．11．方程组的解是．解：原方程组化为令x+y+z＝k，代入得由（1）+（2）+（3）得由（4）分别减去（1）（2）（3）得由（5）×（6）×（7）得（8）由（8）分别除以（5）（6）（7）得将（9）（10）（11）代入x+y+z＝k，得，从而原方程组的解为：．故答案为：．12．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝3；②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝﹣1．解：①把x＝3代入原方程，得，解得a＝3，经检验，a＝3是分式方程的解．②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），把x＝1代入得，k＝﹣1．13．甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等，又知甲、乙两人每小时共做35个机器零件，问甲、乙每小时各做多少个机器零件．解：设甲每小时做x个机器零件，则乙每小时做（35﹣x）个机器零件，依题意可列方程．解：甲做90个机器零件所用的时间为：，乙做120个所用的时间为：．所列方程为：＝．14．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式1﹣的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为0，﹣2，2，﹣4．解：（1）分式是真分式；（2）假分式＝1﹣；（3）＝＝2﹣．所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4．15．约分（1）（2）．解：（1）＝；（2）＝＝．16．通分，，．解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），，，．17．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：①若＞0，则或②若＜0，则或．根据上述规律，①求不等式＜0的解集．②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．（1）解：由题意得：或第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．（2）或等，18．已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，求m的取值范围．解：去分母可得：3x﹣2（x﹣6）＝m∴3x﹣2x+12＝m∴x＝m﹣12将x＝m﹣12代入最简公分母可知：m﹣12﹣6≠0，∴m≠18∵分式方程的解是正数，∴m﹣12＞0，∴m＞12∴m的取值范围为m＞12且m≠1819．探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝﹣，＝﹣；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．解：（1）＝﹣，＝﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）（﹣+﹣+…+﹣）＝，（﹣）＝﹣＝，＝，解得x＝50，经检验，x＝50为原方程的根．故答案为﹣，﹣．20．解方程：．解：设y＝，则原方程可化为：y﹣＝1；两边同乘以y整理得y2﹣y﹣2＝0，解得y1＝2，y2＝﹣1．当y1＝2时，＝2，化为；2x2+x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝；当y2＝﹣1时，＝﹣1，化为；x2﹣x+1＝0，∵△＜0，∴此方程无实数根；经检验x1＝﹣1，x2＝都是原方程的根∴原方程的根是x1＝﹣1，x2＝．21．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．解：去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，4+4+2m＝0，即m＝﹣4；当x＝﹣2时，﹣2m＝﹣12，即m＝6，综上，m的值是﹣4或6。
冀教版八年级上12.4 分式方程 能力培优训练(含答案)
12.4 分式方程专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 . 2.若关于x 的方程311x a x x --=-无解，求a 的值.专题二 特殊分式方程的特殊解法3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）； （1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m m x c x c +=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.状元笔记【知识要点】1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.【温馨提示】1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.2.解分式方程一定要注意验根.3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不为0 .【方法技巧】1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须舍去.参考答案1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x －a ）－3(x －1)=x (x －1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =－2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =－2或a =1时，原分式方程无解. 3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1. 解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----，即11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----， 通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----， 所以22144868x x x x -+=-+，解得 x =5.经检验x =5是原方程的解.4.解：（1）12,m x c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m m x c m x c cc +=+=+=右边.所以12,m x c x c==都是原方程的解； （2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.。
人教版八年级数学上册 第15章 分式 培优训练(含答案)
人教版 八年级数学 第15章 分式 培优训练一、选择题1. 若分式||x －1（x －2）（x ＋1）的值为0，则x 等于 ( ) A ．－1B ．－1或2C ．－1或1D ．12. 计算2x 2－1 ÷1x －1的结果是( ) A.2x －1B.2x 3－1C.2x ＋1D ．2(x ＋1)3. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64. 若△÷a 2－1a ＝1a －1，则“△”可能是( ) A.a ＋1aB.a a －1C.a a ＋1D.a －1a5. （2020·抚顺本溪辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ）A ．3000x ＝420080x - B ．3000x ＋80＝4200xC ．4200x ＝3000x －80D ．3000x ＝420080x +6. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A.62103(1)-=x x B.621031=-x C.621031-=x x D.62103=x7. 当分式的值为0时，x 的值是 ( )A .5B .-5C .1或5D .-5或5 8. △△△x △△△x △m x △3△3m3△x △3△△△△△△△m △△△△△△( )A. m <92B. m <92△m ≠32C. m >△94D. m >△94△m ≠△349. 关于x 的方程+=0可能产生的增根是 ( ) A .x=1B .x=2C .x=1或x=2D .x=-1或x=210. 已知=，则的值为 ( ) A .B .C .D .二、填空题11. 计算：y 2x2·x y ＝________．12. （2020·杭州）若分式11x +的值等于1，则x =________．13. 分式32（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1的最简公分母是________________.14. 当a ＝________时，关于x 的方程x ＋1x －2＝2a －3a ＋5的解为x ＝0.15. 对于分式x －b x ＋a，当x ＝－2时，无意义，当x ＝4时，值为0，则a ＋b ＝________．16. 当a＝________时，关于x的方程axa－1－2x－1＝1的解与方程x－4x＝3的解相同．三、解答题17. △△△△△△△△aa△b(1b△1a)△a△1b△△△a△2△b△13.18. △△△△△△△△(1△1a△1)÷a2△4a△4a2△a△△△a△△1.19. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员到这两个工厂了解情况，获得如下信息:信息一:甲工厂单独加工完成这批新产品比乙工厂单独加工完成这批新产品多用10天;信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.21. 甲、乙两商场自行定价销售同一种商品，销售时得到如下信息:信息1:甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元;信息2:乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比提价前少买1件.(1)该商品在甲商场的原价为元.(2)求该商品在乙商场的原价是多少.(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b;乙商场:两次提价的百分率都是.(a>0，b>0，a≠b)甲、乙两商场中哪个商场提价较多?请说明理由.人教版八年级数学第15章分式培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 因为分式||x－1（x－2）（x＋1）的值为0，所以|x|－1＝0，x－2≠0，x＋1≠0，解得x＝1.2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．解：把x＝2代入分式方程得：1＝1，解得：k＝4．故选：B．4. 【答案】A[解析] △＝a2－1a·1a－1＝（a＋1）（a－1）a·1a－1＝a＋1a.5. 【答案】D【解析】由“原来公司投递快件的能力每周3000件，”可知快递公司人数可表示为3000x人，由“快递公司为快递员更换了快捷的交通工具后投递快件的能力由每周3000件提高到4200件”，可知快递公司人数可表示为420080x+人，再结合快递公司人数不变可列方程：3000x＝420080x+．故选项D正确．6. 【答案】A【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列分式方程A ，因此本题选A ．7. 【答案】B [解析] 由分式的值为0，得-5=0，解得x=±5.但当x=5时，x 2-4x -5=0，故舍去，所以分式的值为0时，x 的值是-5.8. 【答案】B △△△△△x △mx △3△3m3△x △3△△x △mx △3△3mx △3△3△△△x △9△2m 2△△△△△⎩⎪⎨⎪⎧9△2m 2>09△2m 2≠3△△m <92△m ≠32△△△B.9. 【答案】C10. 【答案】D [解析] ∵=，∴=6. ∴a+=5.∴a+2=25，即a 2++2=25.∴=a 2++1=24. ∴=.二、填空题11. 【答案】12x12. 【答案】0 【解析】本题考查了分式的值的意义，因为分式11x +的值等于1，所以分子、分母相等，即x ＋1＝1，解得x ＝0，当x ＝0时，分母x ＋1≠0，所以分式11x +的值等于1时，x ＝0，因此本题答案为0．13. 【答案】10(x ＋1)(x －1) [解析] 因为x2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以三个分式的最简公分母是10(x ＋1)(x －1)．14. 【答案】±1 [解析] 去分母，得x －a ＝a(x ＋1)．整理，得(a －1)x ＝－2a.当a ＝1时，0·x ＝－2，该方程无解．当a≠1时，x ＝－2a a －1.若x ＝－1，则原分式方程无解，此时－1＝－2a a －1，解得a ＝－1.综上可知，当a ＝±1时原分式方程无解．故答案为±1.15. 【答案】6 [解析] 因为对于分式x －b x ＋a，当x ＝－2时，无意义，当x ＝4时，值为0，所以－2＋a ＝0，4－b ＝0，解得a ＝2，b ＝4，则a ＋b ＝6.16. 【答案】解：(1)方程两边同乘(9x －3)，得2(3x －1)＋3x ＝1.解得x ＝13.检验：当x ＝13时，9x －3＝0，所以x ＝13不是原方程的解． 所以原分式方程无解．(2)方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x －1)＝2(x ＋2)＋(x －1)(x ＋2)．解得x ＝－12.检验：当x ＝－12时，(x －1)(x ＋2)≠0.所以原分式方程的解为x ＝－12.(3)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得三、解答题17. 【答案】△△△△△a a△b ·a△b ba △a△1b△1b △a△1b△a b .(4△)△△a△2△b△13△△△△△a b △2×3△6.(6△)18. 【答案】△△(1△1a△1)÷a 2△4a△4a 2△a △a△2a△1·a△a△1△△a△2△2△a a△2.△a △△1△△△△△a a△2△△1△1△2△13.19. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得 120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10． 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8． 答：现在每天用水量是8吨．20. 【答案】解:设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品. 依题意得-=10，解得x=40.经检验，x=40是原方程的解且符合题意.1.5x=60.答:甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品.21. 【答案】 解:(1)1(2)设该商品在乙商场的原价为x 元.则-=1，解得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解，且符合题意.答:该商品在乙商场的原价为1元.(3)乙商场提价较多.理由:由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为(1+a)(1+b)=(1+a+b+ab)元，乙商场两次提价后的价格为1+2=1+a+b+2元.因为2-ab=2>0，所以乙商场提价较多.。
【教师卷】初中数学八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(培优)(1)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B ．缩小到原来的13 C ．保持不变 D ．无法确定A解析：A【分析】将x 变为3x ，y 变为3y 计算后与原式比较即可得到答案．【详解】 222(3)93333()x x x x y x y x y==⨯+++， 故分式的值扩大到原来的3倍，故选：A ．【点睛】此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键． 2．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯ C解析：C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.000000076=87.610-⨯，故选：C【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解 3．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =± D ．0m = B 解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11m m -+=0∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．4．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x = A解析：A【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案．【详解】 ∵分式2x x -有意义， ∴x-2≠0，解得：x≠2．故选：A ．【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．5．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3B ．0C ．－3D ．－4A 解析：A【分析】根据分式的值为0的条件可以求出x 的值；分式为0时，分子为0分母不为0；【详解】由分式的值为0的条件得x-3=0，x+4≠0，由x-3=0，得x=3，由x+4≠0，得x≠-4，综上，得x=3时，分式34x x -+ 的值为0； 故选：A ．【点睛】本题考查了分式的值为0的情况，若分式的值为0，需要同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．6．计算()3222()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m -B ．22mC ．28m -D ．8m - C解析：C先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：()3222()m m m -÷⋅ ＝()468m m -÷＝()468m m -÷ ＝28m -，故选：C ．【点睛】本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．7．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④C解析：C【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案．【详解】 解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()a a 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭ =()()a a 1a 1a a 1÷+-+ =()()a a 11a 1a a+⋅+- =11a -； ∵a 为负整数，且a 1≠-，∴1a -是大于1的正整数，则1101a 2<<-． 故选C ．本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．8．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2C解析：C【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．【详解】解：依题意，得x 2-4=0，且x+2≠0，所以x 2=4，且x≠-2，解得，x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．下列分式中，最简分式是（ ） A ．211x x +- B ．2211x x -+ C ．2222x xy y x xy -+- D ．21628x x -+ B 解析：B【分析】 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；【详解】A 、()()21111111x x x x x x ++==-+-- ； B 、2211x x -+ 的分子分母不能再进行约分，是最简分式； C 、()()22222x y x xy y x y x xy x x y x--+-==-- ； D 、()()()24416428242x x x x x x +---==++ ； 故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意；．10．已知227x ,y ==-，则221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．3B解析：B【分析】 先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．【详解】原式=()()16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-=()()333x y x y x y -+- =13x y+， 当227x ,y ==-，原式=112221=-， 故选B ．【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．二、填空题11．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【详解】 解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷=2()m n m m m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13 故答案为：13【点睛】 本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．12．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 13．已知2510m m -+=，则22125m m m -+=____．22【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=55m=m2+1然后将原分式适当变形后整体代入计算即可【详解】解：∵m2﹣5m+1=0∴m ﹣5+=05m=m2+1∴m+=5∴2m2﹣5m+=2m2﹣m2解析：22【分析】根据m 2﹣5m+1=0可得m +1m =5，5m=m 2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．【详解】解：∵m 2﹣5m+1=0，∴m ﹣5+1m =0，5m=m 2+1， ∴m +1m=5， ∴2m 2﹣5m+21m =2m 2﹣m 2﹣1+21m =m 2+21m ﹣1 =（m +1m）2﹣3 =52﹣3=25﹣3=22．故答案为：22．【点睛】 本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解22211()2m m m m+=++． 14．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________．（2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运列方程；（2）设乙型机器人每 解析：80060010x x=+80060010y y =+ 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，根据甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg 列方程；（2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得80060010x x=+，解方程即可． 【详解】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，由题意得80060010y y=+， 故答案为：80060010x x=+，80060010y y =+； （2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 解得x=30，经检验，x=30是方程的解，答：乙型机器人每小时搬运产品30kg ．故答案为：30．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，利用直接设未知数的方法和间接设未知数的方法列方程解决问题，注意：解分式方程需检验．15．观察给定的分式，探索规律：（1）1x ，22x ，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________； （2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________； （3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个 解析：66x 1211x y - 31(1)n n n b a--【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a-- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键16．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可【详解】=；；【点睛】此题考查了负整数指数幂：a-n=也考查了分母有理化解析：61a 13+ 【分析】 根据负整数指数幂的运算法则计算即可.【详解】23()a -=661a a -==；2-==13；1-=== 【点睛】此题考查了负整数指数幂：a -n =1(0)n a a ≠.也考查了分母有理化. 17．已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．且【分析】先解分式方程得到x=a+1根据方程的解是负数列不等式a+1<0且a+20求解即可得到答案【详解】解：a+2=x+1x=a+1∵方程的解是负数x≠-1∴a+1<0且a+20解得a<-1且a-解析：1a <-且2a ≠-【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+2≠0，求解即可得到答案．【详解】 解：211a x +=+ a+2=x+1x=a+1， ∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+2≠0，解得a<-1，且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．18．已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【分析】先根据题意得出x-y=4xy 然后代入所求的式子进行约分就可求出结果【详解】∵∴x-y=4xy ∴原式=故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质正确对已知式子进行化简约分正确进行变形是关键 解析：112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】 ∵114y x-=， ∴x-y=4xy ， ∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112． 【点睛】 此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．19．约分：22618m n mn=-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n-【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】 22618m n mn=-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=．故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 解析：1x x -；45【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．【详解】 解：213(1)211x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=⨯-- 1x x =- 当4x =-时，原式441415x x -===---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12a =，112b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 解析：a b --，32【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()2224422a ab a ab a =--+÷()2222a ab a =--÷a b =--， ∵1122b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴当12a =，2b =-时，原式()13222=---=． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．某商店购进 A B 、两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元（2）商店准备购买A B 、两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A B 、商品的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案？ 解析：（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个；方案②：购进A 商品65个，B 商品15个；方案③：购进A 商品64个，B 商品16个【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，列出分式方程求解；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据题意列出不等式组求出m 的范围，取整数解．【详解】解：()1设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意， 得：30010010x x=+， 解得：5x =， 经检验， = 5x 是原方程的解，且符合题意，1015x ∴+=，答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；()2设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051060m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，解得：1416m ≤≤， m 为整数，14m ∴=或15或16，∴商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个，方案②：购进A 商品65个，B 商品15个，方案③：购进A 商品64个，B 商品16个．【点睛】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是掌握根据题意列分式方程和不等式的方法．24．（1）计算：22y x x y x y-++ （2）解方程：4322x x x=+-- 解析：（1）y x -；（2）5x =． 【分析】（1）根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）22y x x y x y-++， =22y x x y-+， =()()x y x y x y +--+，=()x y y x --=-，y x =-；（2）4322x x x=+--， 去分母得()4=32x x --，去括号得436x x =--，移项合并得210x =，系数化1得5x =，当x=5时，25230x -=-=≠，所以x=5是原方程的解．【点睛】本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．25．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)x x -+；3x =-；4 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 224(1)(1)(1)(2)x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=+221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431⨯--==-+． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．26．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】 （1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．27．计算：0212|( 3.14)()2π---+-解析：5【分析】先计算绝对值、0指数、负指数，再加减．【详解】解： 0212|( 3.14)()2π---+-214=+5=【点睛】本题考查了包含绝对值、0指数和负指数的实数计算，准确应用各种法则，熟练计算是解题关键．28．分式计算与解方程：（1）21211a a a a----； （2）121221x x x +=-+． 解析：（1）1a -；（2）13x =【分析】 （1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．【详解】解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()211a a -=-1a =-； （2）121221x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13x =． 【点睛】本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．。
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分式方程培优
一、分类解析
例1. 解方程：x x x --+=121
1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以()()
x x +-11，得 x x x x x x x x x 222211121232
32
--=+---=--∴==()()()，
即，
经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
()()()()
x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
x x x x x x x x ++-++=++-++67562312
方程两边通分，得 1671236723836
9
2()()()()
()()()()
x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即
经检验：原方程的根是x =-
92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145-
-++-=--++-
x x x x 即2892862810287x x x x ---=---
于是，所
以解得：经检验：是原方程的根。
189861810878986810871
1()()()()
()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==
例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：622222220222()()()()()
()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()
方程两边都乘以()()y y +-22，得
622022
()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。
216
88y y y =∴==
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
二、中考题解：
1．若解分式方程2111x x m x x x x
+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. -
-12或 B. -12或 C. 12或 D. 12或-
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：
x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，
把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。
2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：60662
x x =+ 601206620
20222x x
x x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
3. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时
由题意，得8042740707x y x y x y x y
++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解得：经检验：是原方程的根
x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
4、 m 为何值时，关于x 的方程
22432x m x x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436
x m x x ++=-
整理，得()m x -=-110
当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=-
--===-=--=∴=-=---=-∴==-110
1
4022
12101
2422101
263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
5. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. S a b +
B.
S a v b - C. S a v a b -+ D. 2S a b
+ 6. 如果关于x 的方程2313x m x m -=--有增根，则的值等于（） A. -3
B. -2
C. -1
D. 3
7. 解方程： （）…111011212319102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()
（）2112141024x x x x x x x x
-++++++=
8. 求x 为何值时，代数式
293132x x x x ++---的值等于2？
9. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的
23
，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
【试题答案】
1. 由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（）S av -千米。
又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为
Sa v b B -千米小时，应选。
/ 2. 把方程两边都乘以x x m x m -=--∴=+3235，得.
若方程有增根，则x mm B =+=∴=-3532，即应选。
3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。
因此，可利用
11111nn n n ()+=-+裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
解：原方程可变为1101112121319110
2x x x x x x x +++-+++-+++-+=… ∴
+=+==-=-11222112
1
2x x x x 即经检验：原方程的根是
（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：x x x x x
(
)11112141024-++++++= 因为其中的1111214124-++++++x x x x =
++--++++=-++++=-++=-≠∴=111214121214141418100224
224448
x x x x x x x x x x x x
经检验：x =0是原方程的根。
4. 解：由已知得2931322x x x x
++---=
即解得经检验：是原方程的根。
233132233132032
32+
+---=∴+---===x x x
x x x x x ∴=++---当时，代数式x x x x x
32
293132的值等于2。
5. 设：乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需23
x 天。
由题意，得1211231x x x ++=() 即
解得：12316x x x
x ++== 经检验x =6是原方程的根
x x ==6234时，
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。