分式方程培优讲义
八年级讲义 分式方程培优(教师版)
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
例4. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：
原方程变为
经检验， 是原方程的根。
7. 已知 与 互为相反数，求代数式 的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为 ， ，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。
解：由已知得 ，解得
原式
把 代入得：原式
8. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解：原方程可变为
分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
因为其中的
经检验： 是原方程的根。
4. 求x为何值时，代数式 的值等于2？
解：由已知得
的值等于2。
5计算：
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。
著名机构初中数学培优讲义分式方程.第03讲(A级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求分式的有关概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则，会解分式方程 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题，理解分式方程中的增根问题1.掌握分式方程的解法；解分式方程，解含字母系数方程，解方程中的换元思想。
2.分式方程注意检验；3.增根的存在性及利用增根去解题.趣味小故事1：《真假银元》 一位商人有9枚银元，其中有一枚是较轻的假银元。
你能用天平只称两次（不用砝码），将假银元找出来吗？你知道答案了吗？再试试下面这道题吧！趣味小故事2：《不同的小球》 有8个大小、形状均相同的小球，其中一个比其他7个要重。
给你一架天平（没有砝码），最少称几次，可以将“与众不同”的小球找出来？中考要求重难点课前预习分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化成整式方程；（2）解整式方程；（3）检验. 解分式方程应用题的步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答.模块一 分式方程的概念【例1】 下列方程是分式方程吗？（1）2315x x -+= （2）113x+= 【难度】1星【解析】根据分式方程概念可知，分母中含有未知数的方程是分式方程，所以（1）不是，（2）是. 【答案】（1）不是分式方程，（2）是分式方程.【巩固】下列方程中哪些是分式方程？（1）()111923x x +-= （2）1371x x -=+ （3）22133x x += （4）2973x x +=- （5）3731y y -+ （6）313x x=-（7）213(3a a a x x ++=-为字母系数） （8）2270(1ax xa a a-+=+为字母系数） 【难度】2星【解析】根据分式方程概念可知，（2）、（4）、（6）、（7）是分式方程；（1）、（3）、（5）、（8）不是分式方程.其中（1）、（3）、（8）中分母不含未知数；（5）不是方程.【答案】（2）、（4）、（6）、（7）是分式方程；（1）、（3）、（5）、（8）不是分式方程.【例2】 方程: 112x x x+=+是否为分式方程？ 【难度】2星【解析】根据分式方程概念可知，分母中含有未知数的方程即是分式方程，该方程中分母含有未知数，故是分式方程.注意例题精讲【答案】是.【巩固】 方程：122()(3)033a a a +-+=--是分式方程吗？ 【难度】2星【解析】由分式方程概念可知，该方程分母中含有未知数，所以是分式方程【答案】是.【总结】根据定义判断一个方程是否为分式方程，关键是看已知分式中分母是否含有未知数即可. 【易错】有些同学往往将分式化简整理后再判断，切忌一定是直接看形式，不看结果.模块二 分式方程的解法☞可化为一元一次方程的分式方程 【例3】 解方程：572x x =- 【难度】2星【解析】先去分母，将分式方程化为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验. 【答案】5(2)7,210,5x x x x -==-=-，经检验：5x =-是原方程的解.【巩固】分式方程1313x x =-+的解是 . 【难度】2星【解析】33(1),333,26,3x x x x x x +=-+=-==，经检验，3x =是原方程的解. 【答案】3【巩固】解方程：2302x x-=- 【难度】2星【解析】23(2)0,6,6x x x x --=-=-=，经检验，6x =是原方程的解. 【答案】同解析.【例4】 解方程：11322xx x-=--- 【难度】2星【解析】113(2),24,2x x x x =---==，经检验，2x =是原方程的增根. 【答案】同解析.【巩固】 方程1101x -=-的解为 . 【难度】2星【解析】1(1)0,2x x --==，经检验，2x =是原方程的解. 【答案】2【巩固】解方程：31144x x+=-- 【难度】2星【解析】314,6x x -=-=经检验，6x =是原方程的解. 【答案】同解析.【例5】 解方程：2216124x x x --=+- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(2)(2)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】2222(2)164,44164,48,2x x x x x x x --=--+-=--==-，经检验，2x =-是原方程的增根.【巩固】 解方程：21622422x x x x x -++=-+- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(2)(2)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】222216(2)(2),164444,816,2x x x x x x x x -+-=+-+-+=++=-=-，经检验，2x =-是原方程的增根.【例6】 解方程：2236111x x x +=+-- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程. 【答案】2(1)3(1)6,55,1x x x x -++===，经检验，1x =是原方程的增根.【巩固】解方程：2212121x x x =--+ 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母2(1)(1)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程. 【答案】(1)2(1),3x x x -=+=-，经检验，3x =-是原方程的解.【巩固】解方程：11114736x x x x -=-++++【难度】3星【解析】本题需采用巧妙解法，若直接去分母，会出现3次方，会给解题带来不便.所以我们先将等号两边分别通分，会发现两边分式的分子相同，则直接可得出分母相等.【答案】746333,,(4)(7)(3)(6)(4)(7)(3)(6)x x x x x x x x x x x x +--+--==++++++++即(4)(7)(3)(6),x x x x ++=++所以22(4)(7)(3)(6),1128918,5x x x x x x x x x ++=++++=++=-.经检验，5x =-是原方程的解.【巩固】解方程：222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++【难度】3星【解析】本题同样需要采取巧妙算法，若直接去分母，会出现4次方，会给解题带来不便.所以，本题我们需要对等号两边分式分别裂项.【答案】原方程变形为：22221111112,221221x x x x x x x x -+=-=+-+++-++，即 22221,3x x x x x +-=++=-，经检验，3x =-是原方程的解.☞可化为一元二次方程的分式方程 【例7】 解方程：24101x x +=+ 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母2(1)x x +，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】222124(1)0,440,(2)0,2x x x x x x x ++=++=+===-，经检验，122x x ==-是原方程的解.【巩固】解方程：22223401xx x x x x ++=+-- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】221212(1)3(1)40,4510,(1)(41)0,1,4x x x x x x x x x -+++=++=++==-=-，经检验，11x =-是原方程的增根，214x =-是原方程的解.【巩固】解方程：261233212x x x x x x +=+-+--【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】2121612(2)3(1),2740,(4)(21)0,4,2x x x x x x x x x x +=-+---=-+===-，经检验，1214,2x x ==-是原方程的解.【总结】分式方程解法的宗旨就是将分式方程化为整式方程，然后再去解整式方程，最后将结果代入最简公分母中进行检验.【易错】（1）学生最常犯的错误就是忘记检验，有的孩子检验只是一种形式，没有代入最简公分母中确定是否为零;（2）当分式较多，公分母较多的时候，应先观察，找到巧妙解法，避免错误的发生，同时减小解题的计算量.☞含有字母的分式方程【例8】 先练习一个含有字母的整式方程：在式子0v v at =+中，所有字母都不等于0，已知0v v a 、、，求t .【难度】2星【解析】解这类方程时一定要分清未知数和已知数.未知数是t ，已知数是0v v a 、、. 【答案】000,v v at v v a t a-=-≠∴=Q ，.【巩固】在式子12121R R R R R +=中，1R R ≠,求出表示2R 的式子。
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
专题 分式方程 七年级数学下册同步精品讲义
专题5.5 分式方程掌握分式方程的有关概念；掌握分式方程的解法；掌握分式方程的增根与无解的情况；掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；【知识点】1.分式方程的有关概念（1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（2）分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．2：分式方程解法解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．3.分式方程的应用（1）分式方程解应用题的一般步骤：①审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．的②设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．③列方程，把相等关系左右两边量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．④解方程．⑤检验，看方程的解是否符合题意．⑥写出答案．（2）解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．知识点01分式方程的定义【典型例题】（2023春·上海·八年级专题练习）1. 已知方程：①22190x x -=，②2122x x +=，③22222x x x +=++-，④4()(6)15x x +-=-．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1（2021·全国·九年级专题练习）2. 下列方程是关于x 的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）①52ax b +=；②15()243x x b +++=；③2m x m x a a +-+=；④2221x x x =-；⑤1312x x +=-；⑥a b a b x a ++=；⑦111b a x b x -=-；⑧2x b x b a a -+=+；⑨2x n x mx m x n-++=+-．（2023春·全国·八年级专题练习）3. 在下列方程：①2213x =、②221x π-=、③23x x=、④11322x x x -+=--、⑤10x=⑥153x -=，⑦141=-x x ，⑧11=-x a b ，1223x +=-+中，哪些是分式方程，并说明理由．的【即学即练】（2023春·八年级课时练习）4. 下列是分式方程的是（ ）A. 413x x x +++ B. 542xx -+=C.()34243x x -= D.1101x +=+（2023春·江苏·八年级专题练习）5. 给出以下方程：314x -=，32x =，3152x x +=+，132x x -=，其中分式方程的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2023春·八年级课时练习）6. 请写出一个只含有未知数x 且根是1-的分式方程__________．（2023春·七年级单元测试）7. 在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有______个．（2023春·全国·八年级专题练习）8. 下列方程哪些是分式方程？（1）12x x +=；（2）572y y =-；（3）2132x x -=；（4）2x a=（a 是常数）．知识点02 解分式方程【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）9. 方程22111x x =--解为（ ）A. =1x -B. 0x =C. 1x =D. 无解（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）10. 方程1233x x =-的解是__________．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）11. 解分式方程：（1）752x x=-（2）24146842x x x x -=-+--【即学即练】（2023·北京门头沟·统考一模）12. 方程2103x x+=+的解为（ ）A. =1x - B. 1x = C. 3x =- D. 13x =-（2023春·浙江·七年级专题练习）13. 对于实数a 和b ，定义一种新运算“⊗”为：211a b b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21153813⊗==--．则方程2214x x ⊗=--的解是（ ）A. 4x = B. 5x = C. 6x = D. 7x =（2023春·浙江·七年级专题练习）14. 分式方程345x x x x -=-+的解为______________．（2023·浙江宁波·统考一模）15. 对于实数(),x y x y ≠，我们定义运算(),x yF x y x y+=-，如：()212,1321F +==-．则方程(),12F x =的解为__________．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）16. 解分式方程：（1）542332x x x +=--（2）214111x x x +-=--知识点03 根据分式方程解的情况求值【典型例题】（2023·河南驻马店·校联考二模）17. 若关于x 的分式方程12m x mx +=-的解是2，则m 的值为（ ）A. 4- B. 2- C. 2D. 4（2023·湖北荆州·统考一模）18. 已知关于x 的分式方程312m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是_______．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）19. 已知关于x 的分式方程211x m x x-=--．（1）当1m =时，求方程的解；（2）若关于x 的分式方程211x mx x-=--的解为非负数，则m 的取值范围是______．【即学即练】（2023·黑龙江鸡西·校考一模）20. 已知关于x 的分式方程2112x a x -=-的解是非负数，则a 的取值范围是（ ）A. 12a ≥B. 2a <C. 12a ≥且2a ≠D. 12a >且2a ≠（2023春·江苏·八年级期中）21. 已知关于x 的方程232x mx -=+的解是负数，那么m 的取值范围是（ ）A. 6m <- B. 6m >- C. 6m <-且2m ≠- D. 6m >-且4m ≠-（2023春·上海·八年级专题练习）22. 在去分母解关于x 的分式方程244x a x x =---的过程中产生增根，则a =_____．（2023春·江苏·八年级专题练习）23. 若关于x 的分式方程21311x m x x -=-++的解为负数，则m 的取值范围是 ______ ．（2023春·八年级课时练习）24. 若关于x 的分式方程25211x a x x x +-+=--的解为正数，求正整数a 的值．知识点04 分式方程的增根、无解问题【典型例题】（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）25. 若关于x 的方程1144m xx x --=--有增根，则m 的值为（ ）A. 2- B. 2C. 3- D. 3（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）26. 若关于x 的分式方程213224x m x x x -++=-+无解，则m 的值为_______．（2022秋·八年级课时练习）27. 王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?233x x x =---(1)她把这个数“?”猜成2-，请你帮王涵解这个分式方程；(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：3x =是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【即学即练】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）28. 若关于x 的方程223242mx x x x +=--+无解，则m 的值为（ ）A. 1B. 1或4- C. 1或4-或2D. 1或4-或6（2023春·江苏·八年级专题练习）29. 若分式方程144x mx x -=++有增根，则m 的值是（ ）．A. 3B. 3- C. 5D. 5-（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）30. 若去分母解分式方程2133x mx x -+=--会产生增根，则m 的值为______．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）31. 设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39nm n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）32. 已知分式方程1133x x x-+=--▲，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．知识点05 分式方程的实际应用【典型例题】（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）33. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的310．现若由建筑二队单独施工，则需要x 天完成．根据题意列的方程是（ ）A.11318010x += B. 11118030x +=C. 1133018010x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D.1133018010x +=⨯（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）34. 甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．（2023·吉林长春·统考一模）35. 某科技公司购买了一批A 、B 两种型号的芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A 型芯片的条数与用3 500元购买B 型芯片的条数相等．求该公司购买B 型芯片的单价．【即学即练】（2023春·浙江·九年级阶段练习）36. 某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A ，B 两种机器人可供选择，已知B 型机器人每小时完成的工作量是A 型机器人的1.5倍，B 型机器人单独完成所需的时间比A 型机器人少10小时，如果设A 型机器人每小时搬运x 千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）A. ()101.51800x x += B. ()101.51800x x -=C.18001800101.5x x-= D.18001800101.5x x-=（2023春·江苏·八年级专题练习）37. 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ ）A.42042021.5x x+= B.42042021.5x x-= C.1.514204202x x += D.1.514204202x x -=（2023春·广东深圳·八年级校考期中）38. 甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．（2023春·八年级课时练习）39. 某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．（2023·吉林·一模）40. 某店有A 、B 两种口罩出售，其中B 种口罩的单价要比A 种口罩的单价多0.3元，用27元购进A 种口罩数量是用18元购进B 种口罩数量的2倍．（1）求A 、B 两种口罩的单价；（2）某单位从该店购进A 、B 两种口罩共1000个，总费用为1080元，求购进A 种口罩多少个．题组A 基础过关练（2023春·全国·八年级专题练习）41. 解分式方程3211x x x =+--，去分母后得到（ ）A. 23x += B. ()213x x =-+C. ()312x x =-+ D. ()()1231x x x -=+-（2022·湖北襄阳·统考中考真题）42. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）A. 900900213x x ⨯=-+ B. 900900213x x ⨯=+- C.900900213x x =⨯-+ D.900900213x x =⨯+-（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）43. 如图是小明解分式方程12133x x x+=---的过程，则下列判断正确的是（ ）解：方程两边同时乘3x -，得()123x x +=---，…………第一步即213x x +=-++，……………第二步解得1x =，………………………第三步经检查，原方程的解是1x =．……第四步A. 从第一步开始出现错误B. 从第二步开始出现错误C. 从第三步开始出现错误D. 从第四步开始出现错误（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）44. 相机成像的原理公式为()111,u f v f f u v =+≠≠，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f ，u 表示v 正确的是（ ）A. u f v fu-=B. fu v f u=- C. f u v fu-=D. fu v u f=-（2023·吉林松原·统考一模）45. 关于x 的方程211x =+的解是________．（2023春·全国·八年级专题练习）46. 若分式12x x--的值为零，则x 的值为______．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）47. 劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品1800kg ，八年级学生共收获农产品1440kg ，已知八年级学生比七年级学生人均多收获1kg 农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x 名学生，则可列分式方程为_______．（2023春·江苏·八年级专题练习）48. 若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．（2023春·全国·八年级专题练习）49. （1）解方程：26124x x x -=--；（2）分式化简：224222x x x x x x x---+÷++()．（2023春·全国·八年级专题练习）50. 新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团()20G 领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于20G 峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长142km ．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的4.5倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间140min ，求雅万高铁的平均速度．题组B 能力提升练（2023春·上海·八年级阶段练习）51. 方程2402x x -=-的根是（ ）A. 2x =- B. 2x = C. 1222x x ==， D. 以上答案都不对（2023春·上海·八年级期中）52. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为( )A. 720720548x x -=+B. 72072054848x +=+C. 720720548x -=D. 72072054848x -=+（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）53. 若关于x 的144x m x x -=++无实数解，则m 的值是（ ）A. 5 B. 5- C. 1 D. 1-（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）54. 对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ）A. 4x = B. 5x = C. 6x = D. 7x =（2023·吉林松原·统考一模）55. 关于x 的方程211x =+的解是________．（2023春·全国·八年级专题练习）56. 若分式12x x--的值为零，则x 的值为______．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）57. 劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品1800kg ，八年级学生共收获农产品1440kg ，已知八年级学生比七年级学生人均多收获1kg 农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x 名学生，则可列分式方程为_______．（2023春·江苏·八年级专题练习）58. 若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）59. 无锡地铁5号线一期工程全长25.4公里，设22个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由A B 、两个工程队一起建设了8个月，剩下的部分由A 队单独建设，还需4个月．（1）若A 队单独建设需要24个月，B 队单独建设需要多少时间？（2）若A 队单独建设的时间为a 个月（1220a <<），试分析说明A B 、两队谁的施工速度更快．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）60. 若关于x 的方程 221m x x =+（1）若6m =，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．题组C 培优拔尖练（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）61. 已知关于x 的分式方程2111mx x x -=--无解，则m 的值是（ ）A. 1 B. 1或2C. 0或2D. 0或1（2023春·江苏·八年级专题练习）62. 关于x 的分式方程12122a x x -+=--的解为正数，则a 的取值范围是（ ）A. 5a ＜ B. 5a ＜且3a ≠ C. 5a ＞且2a ≠ D. 5a ＞（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）63. 若21a a a-=，则222022a a -+的值为（ ）．A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）64. 若关于x 的一元一次不等式组02443x m x x -⎧≥⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为>4x ，关于y 的分式方程13244my y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）A. 5 B. 6 C. 11 D. 12（2023·上海金山·统考二模）65. 分式方程21011x x x+=--的解是________．（2023·山东济南·统考一模）66. 代数式23x x -的值比代数式232x-的值大4，则x = ______ ．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）67. 已知关于x 的方程488mx m x x x +=--的解是正整数，则正整数m 的值是______．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）68. 如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123222221n n a a a a ++++= （n 为正整数），则n 的值为___________．（2023·浙江杭州·统考一模）69. 解分式方程：4322x x x+=--小明同学是这样解答的：解：去分母，得：()432x x +=-．去括号，得：436x x +=-．移项，合并同类项，得：210x -=-．两边同时除以2-，得：5x =．经检验，5x =是原方程的解．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．（2023春·江苏·八年级专题练习）70. 阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式x a x b x(-)(-)的值为零，则解得12,x a x b ==．又因为2()()()()x a x b x a b x ab ab x a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+的解为12,x a x b ==．（1）理解应用：方程22255x x +=+的解为：1x = ，2x = ；（2）知识迁移：若关于x的方程37xx+=的解为12,x a x b==，求22a b+的值；（3）拓展提升：若关于x的方程61k xx=--的解为2121,2x t x t=+=+，求2344k k t-+的值．专题5.5 分式方程掌握分式方程的有关概念；掌握分式方程的解法；掌握分式方程的增根与无解的情况；掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；【知识点】1.分式方程的有关概念（1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（2）分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．2：分式方程的解法解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．3.分式方程的应用（1）分式方程解应用题的一般步骤：①审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．②设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．③列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．④解方程．⑤检验，看方程的解是否符合题意．⑥写出答案．（2）解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．知识点01分式方程的定义【典型例题】（2023春·上海·八年级专题练习）【1题答案】【答案】C【解析】【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】解：①2219=0xx-，是分式方程；②2122x x+=，是整式方程；③22222xx x+=++-，是分式方程；④4()(6)15x x+-=-，是整式方程，则分式方程的个数是2．故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．（2021·全国·九年级专题练习）【2题答案】【答案】④⑤⑥⑦⑨【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【详解】①52ax b +=是整式方程，故①不符合题意；②15()243x x b +++=是整式方程，故②不符合题意；③2m x m x a a+-+=是整式方程，故③不符合题意；④2221x x x=-是分式方程，故④符合题意；⑤1312x x+=-是分式方程，故⑤符合题意；⑥a b a b x a++=是分式方程，故⑥符合题意；⑦111b a x b x-=-是分式方程，故⑦符合题意；⑧2x b x b a a-+=+是整式方程，故⑧不符合题意；⑨2x n x m x m x n -++=+-是分式方程，故⑨符合题意；故答案为：④⑤⑥⑦⑨．【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．（2023春·全国·八年级专题练习）【3题答案】【答案】③④⑤⑦,详见解析【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；方程⑨属于无理方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【即学即练】（2023春·八年级课时练习）【4题答案】【解析】【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．【详解】解：A 、是一个代数式，不是方程，所以A 不是分式方程；B 、是一元一次方程，是整式方程，所以B 不是分式方程；C 、是一元一次方程，是整式方程，所以C 不是分式方程；D 、分母含有未知数x ，所以D 是分式方程．故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．（2023春·江苏·八年级专题练习）【5题答案】【答案】B【解析】【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．【详解】解：314x -=中分母不含未知数，不是分式方程；32x=中分母含有未知数，是分式方程；3152x x +=+中分母含有未知数，是分式方程；132x x -=中分母不含未知数，不是分式方程，共有两个是分式方程，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【6题答案】【答案】213x =+【解析】【分析】根据分式方程的定义即可得出结论．【详解】解：根据题意，得213x =+．故答案为：213x =+（答案不唯一）．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键．（2023春·七年级单元测试）【7题答案】【答案】3【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有132,1011x y x =+=+-，21x x =一共3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．（2023春·全国·八年级专题练习）【8题答案】【答案】（1）（2）是分式方程【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．【详解】解：（1）12x x+=是分式方程；（2）572y y =-是分式方程；（3）2132x x -=不是分式方程；（4）2x a=（a 是常数）不是分式方程，故（1）（2）是分式方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．知识点02 解分式方程【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）【9题答案】【答案】D【解析】【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．【详解】解：方程两边同乘()21x -，得：21x =+，解得：1x =，检验：当1x =时，210x -=，∴1x =是原方程的增根，∴原方程无解；故选D ．【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）【10题答案】【答案】3x =【解析】【分析】先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x 的值，最后检验即可．【详解】解：1233x x =-，去分母得：332x x -=，解整式方程得：3x =，经检验3x =是原方程的解，所以方程的解为3x =，故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）【11题答案】【答案】（1）5x =-（2）6x =【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以(2)x x -，化为整式方程，解方程即可求解；（2）方程两边同时乘以()()42x x --，化为整式方程，解方程即可求解；【小问1详解】解：752x x=-方程两边同时乘以(2)x x -，得：75(2)x x =-，解得5x =-．检验：把5x =-代入(2)0x x -≠，5x ∴=-是原方程的解．【小问2详解】解：24146842x x x x -=-+--，方程两边同时乘以()()42x x --，得()()4244x x +-=-，解得：6x =，检验：把6x =代入()()42x x --0≠，∴6x =是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【即学即练】（2023·北京门头沟·统考一模）【12题答案】【答案】A【解析】【分析】去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以()3x x +得：230x x ++=，解得：=1x -，检验：当=1x -时，()31220x x +=-⨯=-≠，∴原方程的根为=1x -．故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【13题答案】【答案】D【解析】【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题中新定义列方程得：121144x =---，解得：7x =，把7x =代入4x -得：7430-=≠，∴7x =是方程的解，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x 的方程，注意分式方程要进行检验．（2023春·浙江·七年级专题练习）【14题答案】【答案】1x =【解析】【分析】方程两边同时乘以()()45x x -+，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：345x x x x -=-+方程两边同时乘以()()45x x -+，得()()()534x x x x +=--即225712x x x x +=-+解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解．故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．（2023·浙江宁波·统考一模）【15题答案】【答案】3x =【解析】【分析】根据题目中给出的信息，列出方程，解方程即可．【详解】解：∵(),12F x =，∴121x x +=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根据，∴原方程的解为3x =．故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出方程，准确计算．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）【16题答案】【答案】（1）1x =（2）无解【解析】【分析】（1）方程两边都乘以()23x -得，()5423x x -=-，解得，1x =，检验后即可得到答案；（2）方程两边都乘以()()11x x +-得，()()()21411x x x +-=+-，解得1x =，检验后即可得到答案．【小问1详解】542332x x x+=--方程两边都乘以()23x -得，()5423x x -=-，解得，1x =，检验：当1x =时，2310x -=-≠，∴1x =是原分式方程的解；【小问2详解】214111x x x +-=--方程两边都乘以()()11x x +-得，()()()21411x x x +-=+-，解得，1x =，检验：当1x =时，()()110x x +-=，∴1x =是增根，∴原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．知识点03 根据分式方程解的情况求值【典型例题】（2023·河南驻马店·校联考二模）【17题答案】【答案】A【解析】【分析】把2x =代入方程得出m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：∵分式方程12m x m x +=-的解是2，∴2212m m +=-，解得4m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把2x =代入原方程中进行计算是解题的关键．（2023·湖北荆州·统考一模）【18题答案】【答案】5m <且3m ≠【解析】【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合20x +≠求出答案．【详解】解：312m x -=+，去分母得：32m x -=+，解得：5x m =-，∵分式方程的解是负数，∴0x <且20x +≠，即50m -<且520m -+≠，解得：5m <且3m ≠．故答案为：5m <且3m ≠【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）【19题答案】【答案】（1）3x =（2）2m >-且1m ≠-．【解析】【分析】（1）将1m =代入分式方程，解分式方程的即可求解；（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：当1m =时，∴1211x x x -=--，∴1211x x x -=--，∴1211x x x +=--，∴121x x +=-，。
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
1.23辅导讲义- 分式方程
8．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
9．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
10．AB两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a km／h的速度到达B港，已知水流的速度为x km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为h。
18．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
答案：
五、1. 15个，20个2. 12天3. 5千米/时，20千米/时
六、1. 10千米/时2. 4天，6天3.20升
4．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
重点、难点
重点：1.会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
2.利用分式方程组解决实际问题.
难点：1.列分式方程表示实际问题中的等量关系.
2.会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
考点及考试要求
一元一次方程的分式方程及增根问题。
教学方法：知识点讲解及练习法
教学内容
（一）
一、课堂引入
1．回忆一元一次方程的解法，并且ห้องสมุดไป่ตู้方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程 .
博思教育辅导讲义
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八年级上册数学同步培优：第14讲 解分式方程--尖子班
第14讲 解分式方程知识点1 分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 （2）解这个整式方程（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】1.解分式方程223124x x x --=+- 【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+ 【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以()()22x x +-，“-1”项不要漏乘。
2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2018春•市中区期末）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）=﹣ ，= ﹣ ； （2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+=．2．（2018春•砀山县期末）化简与解方程： （1）﹣+．（2）+1=知识点2 分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．” 2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式； （3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围． 【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉727k +≠-，717k+≠这两个限制条件. 【随堂练习】1．（2018•重庆）若数a 使关于x 的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程+=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣18 2．（2018•北碚区校级模拟）若关于x 的不等式组至少有一个整数解，且关于x 的方程=的解为整数，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个知识点3 分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于x 的方程2151111k k x x x --+=-+-有增根，则k =________. 【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： ① 去分母，化分式方程为整式方程； ② 让最简公分母为0，从而确定增根；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程()()6=1111mx x x -+--有增根，则它的增根是（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=1和﹣1【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：① 化分式方程为整式方程；② 让最简公分母为0确定可能的增根；③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的x 值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．（2018春•唐河县期中）关于x 的分式方程有增根，则m 的值为___．2．（2017秋•凤庆县期末）若解关于x 的分式方程+=会产生增根，求m 的值．3．（2017春•简阳市期中）当k 为何值时，分式方程有增根？4．（2017春•长泰县月考）已知关于x 的分式方程+=（1）若方程的增根为x=1，求m 的值 （2）若方程有增根，求m 的值 （3）若方程无解，求m 的值．知识点4 分式方程无解分式方程无解的情况：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解. （2）解出的整式方程的根是增根.【典例】1.解分式方程：24163242x x x -=---+ 【方法总结】1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解2、注意增根的检验：检验：当x=2时， ()()22x x +-=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
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分式方程拔高讲练一、含有参数方程1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是2．分式方程=1﹣的根为3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为二、方程无解1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是2．若=0无解，则m的值是3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ．三、有增根1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为2、关于x的分式方程有增根，则增根为．3、若关于x的方程有增根，则m的值是．4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a=四、整体代入解方程1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ．3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．四、实际问题1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10= B．+10=C．﹣10= D．+10=2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．= B．=C．= D．=3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5= D．﹣=55．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+= C．+= D．+=1【同步训练】1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣82．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m= ．4．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是．5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．6．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为．7．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2= ．8．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣39．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．12．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）?3的值；（2）若x?2=1，求x的值．2017年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．2．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，∴a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A．3．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=（a+2），又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即（a+2）≥0，（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．故选：B．4．分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．= B．=C．= D．=【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，故选：D．8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得，=．故选A．9．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5=D．﹣=5【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，故选（A）10．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+=C．+=D．+=1【解答】解：由题意可得，，故选B．11．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是（）A．m=B．m=3 C．m=或1 D．m=或3【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：（m﹣1）x=2，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，故选C12．若=0无解，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【解答】解：方程两边都乘（x﹣4）得：m+1﹣x=0，∵方程无解，∴x﹣4=0，即x=4，∴m+1﹣4=0，即m=3，故选C．13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：，解①得x＞m，解②得x＞1．不等式组的解集是x＞1，则m≤1．解方程+=3，去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，合并同类项，得2x=5+m，系数化成1得x=．∵分式方程+=3有非负整数解，∴5+m≥0，∴m≥﹣5，∴﹣5≤m≤1，∴m=﹣5，﹣3，1，∴符合条件的m的所有值的和是﹣7，故选C．14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到m+2≥﹣2m﹣1，解得：m≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，分式方程去分母得：x﹣m+2=﹣x+2，即x=m，把m=﹣1代入得：x=﹣，不符合题意；把m=0代入得：x=0，符合题意；把m=2代入得：x=1，符合题意；把m=5代入得：x=2.5，不符合题意，则所有满足条件m的个数是2，故选B二．填空题（共15小题）15．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m= 3或7 ．【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理，得（m﹣3）x=4，当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7，∴m的值为3或7．故答案为3或7．16．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是m ＜6且m≠2 ．【解答】解：+=3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，∴m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．18．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为﹣=8 ．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据题意可得：﹣=8，故答案为：﹣=8．19．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1 ．【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），∴x=，∵方程的解是非负数，∴m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠1，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．故选：m≥﹣1且m≠1．20．若关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，﹣2，6 ．【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，整理得：（m﹣2）x=﹣4，解得：x=﹣，由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，解得：m=1，3，4，﹣2，6，故答案为：1，3，4，﹣2，621．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是y2﹣3y+2=0 ．【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，去分母，得y2﹣3y+2=0．故答案是：y2﹣3y+2=0．22．用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ．【解答】解：设y=，则原方程变为y﹣+1=0，故答案为：．23．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是 2 ．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），故答案为：2．24．关于x的分式方程有增根，则增根为x=1 ．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1．故答案为x=1．25．若关于x的方程有增根，则m的值是 4 ．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．26．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＜8，且a≠4 ．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．27．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2= 3+．【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，x+=c+的解是x1=c，x2=3+，故答案为3+．28．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ﹣1或2 ．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，当a=﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x=，当x=2时，a不存在；当x=3时，a=2，综上，a的值为﹣1或2．故答案为﹣1或2．29．解关于x的方程+=产生增根，则常数a= ﹣4或6 ．【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，综上，常数a=﹣4或6，故答案为：﹣4或6三．解答题（共6小题）30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为x cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=x，故答案为：x；（2）AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得=，解得：x=（cm/s），经检验x=是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．31．若关于x的方程﹣=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，∴把x=2代入方程得：2﹣=1，解得：m=4，则（m﹣4）2﹣2m+8=（4﹣4）2﹣2×4+8=0．32．设A=，B=（1）求A与B的差；（2）若A与B的值相等，求x的值．【解答】解：（1）A﹣B====（2）∵A=B∴去分母，得2（x+1）=x去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=﹣2经检验x=﹣2是原方程的解．33．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）?3的值；（2）若x?2=1，求x的值．【解答】解：（1）原式=﹣=﹣3（2）由题意可知：﹣=11﹣（x﹣2）=x1﹣x+2=xx=经检验，x=是原方程的解，34．（1）计算：（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（2）解分式方程：﹣=1．【解答】解：（1）原式=1+2﹣1﹣4=﹣2；（2）去分母得x（x﹣1）﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得x=0，经检验，x=0为原方程的根．35．解方程：+=．【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．。