2020年北京市朝阳区高三一模数学试题A卷(含答案)
北京市朝阳区2020届高三下第一次模拟考试数学(理)doc高中数学
北京市朝阳区2020届高三下第一次模拟考试数学（理）doc 高中数学〔理工类〕总分值150分〕II 卷〔非选择题〕两部分本卷须知:1 •答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止时，将试 题卷和答题卡一并交回。
2 •每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 洁净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题的4个选项中 一项符合题目要求的右图是2018年青年歌手大奖赛中， 名选手打出的分数的茎叶图〔其中一个〕，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选 手得分的平均数分不为 a 1, 〔A 〕a 1>a 2数学学科测试 〔考试时刻120分钟 本试卷分第I 卷〔选择题〕和第2018.4第I 卷〔选择题 共40分〕,只有一项为哪〔1〕1复数— 1 一i〔A 〕J2-等于 2〔D 〕丄2七位评委为甲、乙两 m 为数字0〜9中的a 2,那么一定有 a 2>a 1a 1, a 2的大小与m 的值有关以下函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线〔4〕 〔A 〕y sin(2x 〔C 〕y sin(2x_）3一个简单几何体的正视图、侧视图如下图, 形；③圆；④椭圆 .其中正确的选项是〔A 〕①② 〔B 〕②③ 〔C 〕③④〔D 〕①④〔B 〕y x 对称的是3si n(°)2 3sin （2x 一）6那么其俯视图不可能为 〔D 〕y ----- 3-— 匚1 正视图 ①长方形；②正方侧视图〔B〕〔C〕a1=a2 〔D〕，那么满足f （X ） 1的x 的集合为〔8〕一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为、耳，二面角D.AC.B 的1余弦值为丄，那么以下论断正确的选项是3〔A 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3n 〔B 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4n〔C 〕空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3. 3 n〔D 〕不存在如此的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上〔5〕在区间［—n , n ］内随机取两个数分不记为a , b ,那么使得函数 f(x)2 2x 2ax bn 有零点的概率为r 、73〔A 〕-〔B〔c 〕8422点 P(3, 4）是双曲线笃 y2 1 (a 0, ba1 jb个焦占1 八'、八假设EP FP 0 ，那么双曲线方程为22〔A 〕— -y 1〔D 〕-40）渐近线上的一点， E, F 是左、右两〔B 〕f(x) 2 〔c 〕—9 2y_16〔D 〕2x16〕设 min{ p, q}表示 p ，个，假设函数1mi n{3 logx, logx}〔B 〕 (0, +'.〔C 〕(0, 2) (16,―工；)〔D 〕（右-氐） 〔6〕3第II 卷〔非选择题共110分〕:■、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.〔9〕圆的极坐标方程为 2cos ，那么圆心的直角坐标是 ______________________ ;半径长为 ______________ . 〔10丨圆x 2 y 24被直线,3x y 2. 3 0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 _______________ .〔11〕向量 a (、. 3sin , 1), b (1, cos〔12丨如图，圆O 是 ABC 的外接圆，过点的延长线于点 D , CD 2、一 7 , AB 的长为 _______________ ; AC 的长为_〔13〕右边程序框图的程序执行后输出的结果是 _________________ . 〔14丨一个数字生成器，生成规那么如下：第 1次生成一个数X ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数X 生成两个数，一个是 X ，另一个是X 3 •设第n 次生成的数的个数为 a n , 那么数列 a n 的前n 项和S n ________________；假设x 1 , 前n 次生成的所有数中不同的数的个数为T n ,那么)，那么a b 的最大值为 __________________C开始三、解答题：本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤 •(15) 〔本小题总分值13分〕3yJ 5 在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ,且C ，si nA .45〔I 〕求sin B 的值; 〔n 〕假设c a 510，求 ABC 的面积•(16) 〔本小题总分值13分〕在某校组织的一次篮球定点投篮竞赛中， 两人一对一竞赛规那么如下：假设某人某次投篮命中，那么由他连续投篮，否那么由对方接替投篮•现由甲、乙两人进行一对一投篮竞赛，11甲和乙每次投篮命中的概率分不是，丄.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮•假设32每人每次投篮命中与否均互不阻碍•〔I 〕求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；〔n 〕假设投篮命中一次得 1分，否那么得0分.用E 表示甲的总得分，求 E 的分布列和数学期望.(17) 〔本小题总分值14分〕如图，在三棱柱 ABC ABC 1中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为(18) 〔本小题总分值13分〕3mx 2 ax侧棱CC 1的中点.〔I 〕求证：CD //平面 A 1EB ； 〔n 〕求证：AB 1 平面AEB ；〔川〕求直线 日E 与平面AAC 1C 所成角的正弦值3〔I 〕求函数f(x)的导函数f (x)；〔n 〕当m 1时，假设函数f (x)是R 上的增函数，求 z a b 的最小值； 〔『当a 1 , b 、、2时，函数f (x)在(2,)上存在单调递增区间，求 m 的取值范畴.(19) 〔本小题总分值13分〕1 3 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆C 的离心率为一，且通过点(1,-)，过点P(2, 1)22的直线I 与椭圆C 在第一象限相切于点 M . 〔I 〕求椭圆C 的方程;〔n 〕求直线I 的方程以及点M 的坐标;〔川〕是否存在过点 P 的直线|1与椭圆C 相交于不同的两点假设存在，求直线I 1的方程；假设不存在，请讲明理由.(20) 〔本小题总分值14分〕假设一个数列各项取倒数后按原先的顺序构成等差数列,x n 1an 1 x n 2an 2 ( n N ). 〔I 〕证明数列｛x n ｝是等比数列;〔考生务必将第二卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效〕A, B ，满足 PA PB PM那么称那个数列为调和数列.列｛a n ｝是调和数列，关于各项差不多上正数的数列｛X n ｝a n x nn〔n 〕把数列｛x n ｝中所有项按如下图的规律排成一个三角形数表，当x 38, x 7 128时，求第m 行各数的和;〔川〕关于〔n 〕中的数列 ｛x n ｝，证明：-1凶一12 3 x 2 1 X 2 X 3 1III X 2 X 3X 4 X 5 X 7 X X n 1Xn 11x 6x x 10由得AB BC AC ，因此CD AB ,朝阳区2018〜2018学年度高三年级第二学期统一考试〔一〕三、解答题由得B — A .4因此 sin B sin(— A) sin — cos A cos —sin A4442 2^52 .5......... 5分2 5 2 5103n 〕由〔I 〕知 C ——,因此 sin C—且 sin B4210由正弦定理得a 旦必 -10c sin C5又因为c a 5 10 ,因此 c 5 , a ,10.2018.4、选择题 数学测试〔理工类〕答案(15)解：〔I 〕因为C,sin A因此 cos A .1 sin 2A2.5 5(16) 〔I 〕解：记” 3次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件A.1 2 2 由题意，得P(A) 1--. 3 3 92答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是2. ......................... 5分9〔□〕解：由题意，E 的可能取值为0, 1, 2, 3,那么P( 0)2 1 2 1 25 3 2 3 2 3 9 P( 1)2 1 1 1 2 13 2 3 3 3 3P( 2)1 12 23 3 3 27 P(3)1 1 1 13 3 3 27因此， £的分布列为：££ 0 1 23P5 1 2 19 327 27 的数学期望E 05112—3 — ^. ............... 13分 93 2727 27(17)解法一：证明：〔I 〕设AB 1和AB 的交点为又CD 平面A 1BE , EO 平面ABE ,那么CD //平面A ,BE ..................... 5分(n )因为三棱柱各侧面差不多上正方形，因此BB 1 AB , BB 1 BC .因此BB 1 平面ABC .因为CD 平面ABC ，因此BB 1 CD .因此S ABC1— acsin B 21帀5』 2 1013分O,连接EO ,连接OD .因为O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点,因此 OD // BB 1 且 OD 因此 EC // B B 1 且 EC 因此EC // O D 且 EC OD .AC 1因此, 四边形 ECOD 为平行四边形•因此EO // CD .A 1B1ECB1-BB 1.又E 是CC 1中点,2丄BB 「2由得AB BC AC ，因此CD AB ,因此匕CD 平面A 1ABB 1 .由〔I 〕可知 EO // CD ，因此EO 平面A 1ABB 1. 因此EO AB 1.因为侧面是正方形，因此 AB 1 A j B .EO （乜，3,0）.因此 CD E O ,2 2又 EO^AB O , EO 平面 AEB ,AB 平面 A ,EB ,因此AB 1 平面A ,BE .10分〔『解：取AG 中点F ，连接BF, EF . 在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，因为 BB 1 平面ABC ，因此侧面 ACC 1A ］底面 A 1B 1C 1.A1F1因为底面 A 1B1G 是正三角形，且F 是AG 中点， 因此 B 1FA6，因此BF 侧面ACC 1A .因此 EF 是B 1E 在平面ACGA 上的射影. 因此 FEB 1是B 1E 与平面AAC 1C 所成角.sin BE 1FBF15 B 1E 514分因此 EO // CD .B1EACBmx 22x i 是开口向上的抛物线， 明显f (x)在(2,又CD 平面ABE ,EO 平面A ,BE ,那么CD //平面A i BE .III〔n〕易得，AB i G.3,i,2) , AB (、「3,i, 2), AE AB I AB 0, AB i A E0.因此因此 AB , AB, AB , A ,E.又因为 ABpjAE 二 A , AB,A ,E 平面 ABE ,因此AB , 平面A ,BE .〔川〕设侧面 AAC i C 的法向量为n (x,y,z).因为 A(0,0,0) , C(0,2,0) ,C i (0,2,2) , A i (0,0, 2),AC i (0,2,2) , B i E因此(0,2,0), AC 0, y 0, 些 得y ，解得* AC 10, y z 0.不妨令n 因此sin因此直线 (I8)〔I 〕解:(0,2, 1) 10分(<3,i, i ).y °, z 0.(1,0,0)，设直线B i E 与平面AAC i C 所成角为nn15 5B i E 与平面AAC i C 所成角的正弦值为 I5I4分f (x) mx 2 2ax (i b 2).那么有4a 22 2 24(i b ) < 0 ,即 a b < i .a r cos ,设〔为参数，0< r < I 〕，b r sin那么z a b r(cos sin ) . 2rsin(—).当 sin( 二)i ，且r i 时，z a b 取得最小值〔川〕①当m 0时，f (x) cos n, B i E.3f(x)是R 上的增函数，因此 f (x) > 0在R 上恒成立.〔n 〕因为函数 2.〔可用圆面的几何意义解得z a b 的最小值 '、2〕存在子区间使得 f (x) 0，因此m的取值范畴是(0, )•②当m0时，明显成立.③当m0时, 2f (x) mx 2x 1是开口向下的抛物线，要使 f (x)在(2,存在子区间使 f (x)r m 0,12,m10,2,I f ( —) 0,m0. 0，或那么m的取值范畴是(3 4 3 4(19)解：〔I〕设椭圆C的方程为2 x~~2 a解得a2 4 , b23，故椭圆〔n〕因为过点P(2,的方程为y k(x 2)1，因此m的取值范畴是(213分b21(a2xC的方程为—41ab 0)，由题意得c1)的直线I与椭圆在第一象限相切，因此94b212,b21, I的斜率存在，故可设直线I2x 由4y2y_3k(x1,2)得(3 4k2)x2 8k(2k 1)x1,16k216k 8因为直线I与椭圆相切，因此[8k(2k 1)]2 2 24(3 4k2)(16k216k 8) 0. 整理，得32(6k 3) 0.解得k因此直线I方程为1(x2)1将k 代入①式, 能够解得M点横坐标为1, 故切点M坐标为(1,| -〔川〕假设存在直线I1满足条件，设直线I1的方程为y K(x 2) 1，代入椭圆C的方程2 2 2得(3 4k 1 )x8k 1 (2k 1 1)x 16k 1 16k 1 8 0 .(x i , y i ),(x 2, y 2)，因此k 1因为代B 为不同的两点，因此 k 112因此 a n Ig X n a n i lg X n i8n 2 lg X n 2 .设 a n lg X n an 1 lg Xn 1a n 2 lg X n 2P ,①因为数列｛a rJ 是调和数列, 故 a n 0,2 1 1a n 1a na n 2因此，2pp P②a n 1a na n 2由①得卫lg X n , PlgXpn 1)lg X n 2，代入②式得,a na n 1a n 22因此 2lg X n 1 lgX n lg X n 2，即 lg X n 1 lg(X n X n 2).故X ； i X n X n 2，因此数列｛X n ｝是等比数列.因为直线l i 与椭圆C 相交于不同的两点AB ,设AB 两点的坐标分不为因此 [28k i (2k i 1)]4(3 2 24k i )(16k i 16k i 8)32(6 k i 3) 0 .又 X-i X 28k 1(2k 1 1) ,%x 23 4k ：16k 12 16k 1 82 ，3 4k 12因为 PA PB PM 2, 即(X i 2)(x 22) (V i i)(V 2 i)因此(％ 2)(X 2 2)(i k i 2) |PM|2即[x^2(x i X 2)254](1k i )；2 8k i (2k i 1)2 23 4k i4](i k i 2)4k i 2 3 4k i 2 55，解得k4因此存在直线h 满足条件, 其方程为 y (20)解：〔I 〕证明：因为 x ：nan 1 an 2X n 1 X n 21 X .2，且数列i3分｛X n ｝中各项差不多上正数,III 2〔n 〕设4 4｛X n ｝的公比为q ，那么X 3q X 7，即8q128 •由于因此X nnX 3q 注意到第 n (n 1,2,3, 因此三角形数表中第 1 ）行共有n 个数, 行至第m 1行共含有1 2III (m1）呼）个数-因此第m 行第1个数是数列｛x n ｝中的第m(m 1)故第m 行第1个数是x m 2m 22m 2m 2 2^^ ,因此第m 行各数的和为S mm 2 m 22^ (2m 2 1 1)2 m2一 22_(2m 1).〔川〕因为X n 2n，因此 X k X k 1 2k 2k 1k2(2X 1 1 X 2 1 | IX 2 1 X 3 1 1X k 1 2k 1 X k 1 1 2k 11112 3 2 k ?k 2 X1 1 X2 1 X 21 X 3 1因此 又因此1 > —21 2 II IX n X n 111[1 (1)n ]1 1 2因此X 1 1 X 2 11 2(2k 1 1)1,2,3,川,n),x nX n 1Ill 1)玛（2）2川（扪[1(1)"]X 2 X 3 1X n 1Xn 1114分III2。
【精校】2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文
2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集为实数集R ，集合A={x|x 2-3x ＜0}，B={x|log 2x ＞0}，则(C R A)∩B=( ) A.(-∞，0]∪(1，+∞) B.(0，1] C.[3，+∞) D.∅解析：A={x|x 2-3x ＜0}={x|x(x-3)＜0}={x|0＜x ＜3}， B={x|log 2x ＞0}={x|log 2x ＞log 21}={x|x ＞1}； ∴C R A={x|x ≤0，或x ≥3}；∴(C R A)∩B={x|x ≥3}=[3，+∞). 答案：C2.在复平面内，复数z=1ii+所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-，∴复数对应的点的坐标是(12，12)，∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限. 答案：A3.已知平面向量()121()a x b x ==-r r ，，，，且a b r rP ，则实数x 的值是( )A.-1B.1C.2D.-1或2解析：根据题意，向量()121()a x b x ==-r r ，，，，若a b r rP ，则有x(x-1)=2，即x 2-x-2=0，所以x=-1或x=2. 答案：D4.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当m⊥α时，若m⊥n，则n∥α或n 平面α，则充分性不成立，若n∥α，则m⊥n成立，即必要性成立，则“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件.答案：B5.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为( )A.2B.4C.8D.16解析：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线为x=-1，即x+1=0.分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M到准线x=-1的距离为4.答案：B6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )A.4 3B.23 C.12 D.13解析：抠点法：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中抠点， 1)由正视图可知：C 1D 1上没有点； 2)由侧视图可知：B 1C 1上没有点； 3)由俯视图可知：CC 1上没有点；4)由正(俯)视图可知：D ，E 处有点，由虚线可知B ，F 处有点，A 点排除. 由上述可还原出四棱锥A 1-BEDF ，如图所示，S 四边形BEDF =1×1=1，1111133A BEDF V -=⨯⨯=.答案：D7.函数f(x)=2sin1212xx xπ-+的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4解析：f(x)=()222sin1221x x x x x π--+，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，令f(x)=0可得2xsin2πx=x 2+1，设f 1(x)=2xsin 2πx ，f 2(x)=x 2+1， 画出f 1(x)，f 2(x)在(0，+∞)上的大致图象如下：显然f 1(1)=f 2(1)=2，即f 1(x)与f 2(x)交于点A(1，2)， 又∵f ′1(x)=πx ·cos2πx+2sin 2πx ，f ′2(x)=2x ， ∴f ′1(1)=f ′2(1)=2，即点A 为公切点，∴点A 为(0，+∞)内唯一交点，又∵f 1(x)，f 2(x)均为偶函数，∴点B(-1，2)也为公切点， ∴f 1(x)，f 2(x)有两个公共点，即f(x)有两个零点. 答案：C8.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：(1)若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； (2)若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； (3)若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；(4)若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意. 答案：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.执行如图所示的程序框图，若输入m=5，则输出k 的值为 .解析：模拟程序的运行，可得：第四次时，65＞50，满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4. 答案：410.双曲线24x-y2=1的焦距为；渐近线方程为 .解析：由题知，a2=4，b2=1，故c2=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为：渐近线方程为：12by x xa=±=±．答案：；y=±12x11.已知圆C ：x 2+y 2-2x-4y+1=0内有一点P(2，1)，经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 .解析：根据直线与圆的位置关系.圆C ：(x-1)2+(y-2)2=4， 弦AB 被P 平分，故PC ⊥AB ，由P(2，1)，C(1，2)，得k pc ·k l =-1，即：k l =1，所以直线方程为y=x-1. 答案：y=x-112.已知实数x ，y 满足10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，，，若z=mx+y(m ＞0)取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=mx+y(m ＞0)得y=-mx+z ，∵m ＞0，∴目标函数的斜率k=-m ＜0. 平移直线y=-mx+z ，由图象可知当直线y=-mx+z 和直线x+y+1=0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m=1. 答案：113.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示，则φ= ；ω= .解析：由图可知，A=2，根据f(x)的图象经过点(0，-1)，可得2sin φ=-1，sin φ=-12，∴φ=-6π. 根据五点法作图可得4.262(3)πππωω⨯+-=∴=， 答案：463π-；14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的(可以是多种正多边形).如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面，在地面某一点(不在边界上)有k 块砖板拼在一起，则k 的所有可能取值为 .解析：由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360°即可. 显然k ≥3，因为任意正多边形内角小于180°； 且k ≤6，因为角度最小的正多边形为正三角形，36060︒︒=6. 当k=3时，3个正六边形满足题意； 当k=4时，4个正方形满足题意；当k=5时，3个正三角形与2个正方形满足题意； 当k=6时，6个正三角形满足题意. 综上，所以k 可能为3，4，5，6. 答案：3，4，5，6 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -1(n ∈N *). (Ⅰ)求a 1，a 2，a 3的值；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=2，b n+1=a n +b n ，求数列{b n }的通项公式. 解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的项.(Ⅱ)利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和. 答案：(Ⅰ)由题知S 1=a 1=2a 1-1，得a 1=1，S 2=2a 2-1=a 1+a 2， 得a 2=a 1+1=2，S 3=2a 3-1=a 1+a 2+a 3，得a 3=a 1+a 2+1=4， (Ⅱ)当n ≥2时，S n -1=2a n-1-1，S n =2a n-1，所以a n =S n -S n -1=2a n -1-(2a n-1-1)，得a n =2a n -2a n -1，即a n =2a n -1，{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，则an=2n-1. 当n ≥2时，b n =b 1+(b 2-b 1)+…+(b n -b n-1)=2+a 1+a 2+…+a n-1=()1112212n a --+-=2n-1+1，经验证：b 1=2=21-1+1，综上：b n =2n-1+1.16.在△ABC 中，已知sinA=5，b=2acosA. (Ⅰ)若ac=5，求△ABC 的面积；(Ⅱ)若B为锐角，求sinC的值.解析：(Ⅰ)根据题意，由正弦定理分析可得sinB=2sinAcosA，计算可得sinB的值，由三角形面积公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入数据计算可得答案.答案：(Ⅰ)根据题意，若b=2acosA，由正弦定理得sinsina Ab B=，则sinB=2sinAcosA，cosA=b2a＞0，因为，所以sinB=425=，所以S△ABC=114sin52 225ac B=⨯⨯=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinB=45，因为B为锐角，所以cosB=35.所以sinC=sin(π34 55 +=17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(Ⅰ)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.(直接写出结果) (Ⅲ)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.解析：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，在选考方案确定的学生的人中，求出选择生物的概率约为310，由此能求出选择生物的人数.(Ⅱ)由题意能求出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，由此利用列举法能求出任取2名男生，这2名学生选考科目完全相同的概率.答案：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学生的人中，选生物的频率为3638610610+=+++，所以选择生物的概率约为310，所以选择生物的人数约为x=420×310=126人.(Ⅱ)2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件有：(A1，A2)，(A2，A3)，(A3，B1)，(B1，C1)，(C1，C2)(A1，A3)，(A2，B1)，(A3，C2)，(B1，C2)(A1，B1)，(A2，C1)，(A3，C1)(A1，C1)，(A2，C2)(A1，C2)，所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个，分别为(A1，A2)，(A2，A3)，(C1，C2)，(A1，A3)，∴这2名学生选考科目完全相同的概率为p=4 15.18.如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，BE⊥AD于E，BE=AE=1.将△ABE沿BE 折起至△A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)，M为线段A′D上一点.(Ⅰ)求证：A′E⊥CD；(Ⅱ)若M为线段A′D中点，求多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比；(Ⅲ)是否存在一点M，使得A′B∥平面MCE？若存在，求A′M的长.若不存在，请说明理由. 解析：(Ⅰ)推导出A′E⊥BE，从而A′E⊥平面BCDE，由此能证明A′E⊥CD.(Ⅱ)M到底面BCDE的距离为12A′E，推导出V M-DCE=1132⋅A′E·S△DCE=16，V A′-BCE=13·A′E·S△BCE=16，S△A′EM=12，平面A′DE⊥平面BCDE，C到平面A′DE的距离为BE=1.从而V C-A′EM=1 3·BE·S△A′EM=16，V多面体A′BCME=V多面体CA′EM+V多面体A′BCE=13.由此能求出多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比.(Ⅲ)连结BD交CE于O，连结OM，推导出A′B∥OM，由此能求出存在一点M，使得A′B∥平面MCE，并能求出A′M的长.答案：(Ⅰ)在梯形ABCD中，∵BE⊥AE，∴A′E⊥BE，∵平面A ′BE ⊥平面BCDE ，BE=平面A ′BE ∩平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′BE ，∴A ′E ⊥平面BCDE ，∵CD ⊂平面BCDE ，∴A ′E ⊥CD.(Ⅱ)∵M 为A ′D 中点，∴M 到底面BCDE 的距离为12A ′E ， 在梯形ABCD 中，S △DCE =1122DE BE ⋅=×2×1=1， V M-DCE =1132⋅A ′E ·S △DCE =16，V A ′-BCE =13·A ′E ·S △BCE =16.∵A ′E ⊥DE ，∴在Rt △A ′DE 中，S △A ′EM =12，∵A ′E ⊥平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面BCDE ，∵BE ⊥ED ，平面A ′DE ∩平面BCDE=ED ， ∵BC ∥AD ，∴C 到平面A ′DE 的距离为BE=1. ∴VC-A ′EM=13·BE ·S △A ′EM =16，V 多面体A ′BCME =V 多面体CA ′EM +V 多面体A ′BCE =13. ∴V 多面体A ′BCME ：V 多面体MCDE =2：1.(Ⅲ)连结BD 交CE 于O ，连结OM ，在四边形BCDE 中，∵BC ∥DE ，∴△BOC ∽△DOE ，∴23OD BD =， ∵A ′B ∥平面CME ，平面A ′BD ∩平面CEM=OM ，∴A ′B ∥OM ， 在△A ′BD 中，OM ∥A ′B ，∴13A M BO A D BD '=='，∵A ′E=1，DE=2，A ′E ⊥ED ，∴在Rt △A ′ED 中，3A D A M '=∴'=19.已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，且过点(1).(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点的直线l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 2过坐标原点且直线l 1与l 2的斜率互为相反数，直线l 2与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，设直线AE 的斜率为k 1，直线BF 的斜率为k 2，证明：k 1+k 2为定值.解析：(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎪⎩⎫，，解可得a 、b 、c 的值，代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线l 1与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)，联立直线l 2与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2-2=0，结合2个方程，由根与系数的关系用k 表示k 1+k 2，即可得答案.答案：(Ⅰ)由题可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎩，，解得211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1. (Ⅱ)由题知直线l 1斜率存在，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得221212224221212k k x x x x k k-+=-=++，， 因为l 2与l 1斜率相反且过原点，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)， 联立2222y kx x y ⎨=-+=⎧⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2-2=0， 由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得232212x k --=+，则()()13231323121323132311k x kx k x kx y y y y k k x x x x x x x x +++--++=+=+-+-+ ()()()()()()13232313132311k x x x x x x x x x x x x ⋅++++-+-=-+()()()()()2222221231213231323222224221212120k k k x x x x x k k k k x x x x x x x x -⨯-⋅++++++++=⋅==-+-+， 所以k 1+k 2为定值0.20.已知函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R). (Ⅰ)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若a ＜-1，求函数f(x)的单调区间； (Ⅲ)若1＜a ＜2，求证：f(x)＜-1.解析：(Ⅰ)根据题意，由a 的值求出函数的解析式，计算可得切点的坐标，结合函数导数的几何意义分析切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax xa x x ----=，令g(x)=2-ax 2-lnx ，求出g(x)的导数，分析g(x)在(0，+∞)的最小值，分析可得g(x)＞0，由函数的单调性与函数导数的关系，分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原问题可以转化为ax 2-x+1-lnx ＞0，设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，分析可得只须证h(x)＞0成立，求出函数h(x)的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得h(x)的最小值，证明其最小值大于0即可得答案. 答案：(Ⅰ)函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R)， 若a=0，f(x)=lnx-1x ，则f(1)=-1，切点坐标为(1，-1)，()22ln xf x x-'=，f ′(1)=2，切线斜率k=2， 所以f(x)在点(1，-1)处的切线方程为2x-y-3=0.(Ⅱ)根据题意，f(x)=ln 1x ax x--，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax x a x x ----=，(x ＞0) 令g(x)=2-ax 2-lnx ，则g ′(x)=221ax x--.令g ′(x)=0，得x=依题意12a-＞0) 由g ′(x)＞0，得xg ′(x)＜0，得0＜x所以，g(x)在区间(0上单调递减，在区间+∞)上单调递增，所以，g(x)min 52g ==-.因为a ＜-1，所以1012ln 02a -＜＜，．所以g(x)＞0，即f ′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞). (Ⅲ)由x ＞0，f(x)＜-1，即ln 1x ax x--＜-1，等价于ax 2-x+1-lnx ＞0. 设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，只须证h(x)＞0成立.因为h ′(x)=2ax-1-2121ax x x x--=，1＜a ＜2，由h ′(x)=0，得2ax 2-x-1=0有异号两根. 令其正根为x 0，则2ax 02-x 0-1=0.在(0，x 0)上h ′(x)＜0，在(x 0，+∞)上h ′(x)＞0，则h(x)的最小值为h(x 0)， 且h(x 0)=ax 02-x 0+1-lnx 0=012x +-x 0+1-lnx 0=032x --lnx 0， 又h ′(1)=2a-2＞0，2132322h a a '=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝-⎭＜0， 所以12＜x 0＜1.则032x -＞0，-lnx 0＞0. 因此032x --lnx 0＞0，即h(x 0)＞0.所以h(x)＞0.所以f(x)＜-1.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
朝阳区高三一模有答案
朝阳区高三一模有答案数学试卷（理工类） 2020.3（考试时刻120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳固.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳固的产品全部找出后测试终止，则恰好3次就终止测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收治理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的治理费（即销售100元要征收x 元），因此该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，估量年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的治理费许多于14万元，则x 的取值范畴是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范畴是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC正视图 侧视图内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；CA FEBMD（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯独的数列0A ，通过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，通过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2020.3一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 因此(cos sin )210αα+=， 因此 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 因此 24sin 225α=.……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 因此，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 因此X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，因此X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，因此1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，因此MN//EF 且MN =EF .因此四边形MNFE 为平行四边形，因此EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =. 由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，因此EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，因此//EM 平面ADF . ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，因此EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，因此BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 因此1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t .因此2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅，2=， 化简得35-=， 解得0t =<. 因此在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+因此222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,因此(0)1,f = (0)1f '=.因此曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.因此函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，现在0∆>.由()0fx '>得1x a <,或1x a+>；由()0f x '<x <<.因此函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，现在0∆≤.因此()0f x '≥，因此函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，现在0∆>.由()0f x '>得11x a a +-<<； 由()0f x '<得1x a <,或1x a->.因此当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间. ……………12分④当1a ≤-时, 现在0∆≤，()0f x '≤，因此函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，因此a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,3A，(1,3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，因此21k =，因此,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 因此12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 因此222k =，因此2213n k m -==-，因此,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 关于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯独性：当1,2n =是明显的，假设唯独性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可通过有限次T 变换，变为,0,,0n ，那个地点000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ====，通过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥，可知1,1,,1,0（至少3个1）不可能变为,0,,0n ．因此0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a '''，01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b '''，则0n n a b ''==，因此1211n a a a n -'''+++=-，1211nb b b n -'''+++=-． 因为110,,,n a a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,n b b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -''，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -''，因此i i a b =，1,2,,i n =，从而唯独性得证． ………9分（Ⅲ）明显i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每通过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，因此m m S mt =(m t 为整数)，因此1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 因此m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。
2020-2021北京市朝阳区高三一模数学【试卷+答案】
入超过 10000 元，则 P(A) 1 ． 3
设事件 B ：从样本中 B 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均年纯收入
超过 10000 元，则 P(B) 150 3 ． 200 4
由题可知 X 的可能取值为 0，1，2．
P(X 0) P(AB) P(A)P(B) (1 1) (1 3) 1 ；
（20）（共 15 分） 解：（Ⅰ） f (x) (ax a 1)ex ．令 f (x) 0 ，得 ax 1 a ．
当 a 0 时， f (x) ex 0 ， y f (x) 在 (, ) 上单调递减；
高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
当 a 0 时， f (x) 和 f (x) 在 R 上的变化情况如下：
．
圆心的横坐标为
xQ
2
xP
= 1 ( 3x0 2 y0 1
4x0 ) y0 1
1 2
7x0 y0 x0 y02 1
37 y0 1
2x0
．
所以以线段y0 2x0
1)
2
(y
3)2
1 4
3(7
x0
y0
)
2
．
因为
x02 3
y02
1 ，所以 x2 + 3(7 y0 1) x0
x
(,1 a)
1 a
a
a
f (x)
0
f (x)
极小值
当 a 0 时， f (x) 和 f (x) 在 R 上的变化情况如下：
(1 a , ) a
x
(,1 a)
1 a
a
a
f (x)
0
f (x)
朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3．>e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ． 所以二面角P AM B --9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e <e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分。
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，4，6}，集合B ={1,5}，则A ∪B 等于( )A. {1,3，5}B. {5}C. {1,2，4，5，6}D. {1}2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若∠MFN =90°且|MF|=12，则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 复数21+i 的模等于__________．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f(x)=2x−1x+1，a n =log 2f(n+1)f(n)，则S 2013=______．15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y =x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角B; (2)若，求b ．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM//AC．(1)求证：平面MOE//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M−BP−C的大小为θ，求cosθ的值．18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X，求X的分布列及数学期望．19.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1)，且其长轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．(Ⅰ)设直线l1的斜率为k，求弦AB长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程．21.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．根据A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1,2，4，6}，B={1,5}，∴A∪B={1,2，4，5，6}.故选C．2.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于基础题．分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论．解：A：y=x12定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．B：y=2x+12x ，f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，则f(x)为偶函数，f(1)=2+12=52，f(2)=4+14=174，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．C：y=x43，f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x)，则f(x)是偶函数，f(1)=1，f(2)=√163，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．D：，，则f(x)为偶函数，由于为减函数，所以在(1,2)上是减函数，满足条件．故选D．3.答案：C解析：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}公比为q，a1=1，a2a3=−8，则a2a3=a12q3=q3=−8，解得q=−2，∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21，4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题． 解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故x =13,y =23⇒1x +1y =92， 故选C5.答案：C解析：本题考查抛物线的性质及定义，考查转换思想，属于中档题． 构造直角三角形，根据抛物线的性质，即可求得p 的值． 解：直线MN 交准线x =−p2于点D ，l 交x 轴于点H ，∴∠MFN =90°，则|DM|=|MF|=|DF|=12， 则∠MDF =60°，∠FDH =30°， ∴|HF|=6，即p =6，6.答案：A解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴甲被选中的概率为p=mn =36=12．故选：A．基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力，求出双曲线的方程，然后求解离心率．解：双曲线C：x24−y2b2=1经过点(4,3)，可得424−32b2=1，解得b2=3，双曲线C：x24−y23=1，可得a=2，c=√a2+b2=√4+3=√7，e=ca =√72．故选C．8.答案：A解析：解：函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+3π4∈[3π4,5π4]，∴函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．而φ=3π4+2π时，函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件．故选：A．函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+。
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题
北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =U （ ） A ．{}3 B ．{}1,3 C ．{}1,2,3,5 D ．{}1,2,3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2log y x =D ．||2x y = （3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为A ．21-B ．11C ．31D ．63（4）如图，在ABC △中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(,)x y ∈R ，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．13（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D ．若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）EDCB AA ．23 B ．25 C ．35 D ．910（7）在ABC △中，AB BC =，120ABC ∠=︒．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2B．2 C．12D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6πϕ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,-∞ B ．3[0,]2C ．[0,2] D．[0,（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当PMN △的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点CPM NA BC DD 1C 1B 1A 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数21z i=+，则||z =________． （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ．（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． （14）已知函数()cos2xf x x π=．数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n ∈N ），则数列{}n a 的前100项和是________．（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．俯视正（主）侧（左）32 2 2 2注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题14分）在ABC △中，sin cos()6πb A a B =-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c =， ．求a ． 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（Ⅰ）求证：1AB CC ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AC C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．0A BB 1ECC 1A 1DF某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）．过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由．已知函数()11e xx x f x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )xx 处的切线也是曲线ln y x =的切线．（21）（本小题14分）设数列12:,,,n A a a a L （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤L ．若对任意{3,4,,}k n ∈L ，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值；（Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ，且i j S S =∅I （任意,{1,2,,6}i j ∈L ，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案2020.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin34344ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以a =（17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r．设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD =u u u r，1(0,2,2)AC =u u u u r ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-r．设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯r rr r ． 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E =-u u u r ， 所以120A E v ⋅=≠u u u r r ，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=． 因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100*********x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k ⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1x x f x e x +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=．（Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ． 因为22()0(1)x f x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ．综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线x y e =在点()00,x x e 处的切线方程为()000x x y e e x x -=-，即0000x x x y e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ， 则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001x x y x e x e ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()00000000011111x x x x x e e e x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =„，4328a a 剟，…，872128a a 剟， 所以9n …． 若9n =，因为9200a =且982a a „，所以8128100a 厖． 同理，76450a 厖，63225a 厖，51612.5a 厖，48 6.25a 厖，34 3.125a 厖． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a 厖， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =．此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <剟使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n …． 当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质T ．所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =L 都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a L ，且12337a a a <<<L ．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆L ．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉L ，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃． （ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b L ，且8162b b b <<<L ．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆L ．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =L ，存在{1,2,,336}k s ∈L 使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =L ，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃，所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c L ，且1217c c c <<<L ．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆L ．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =L ，存在{1,2,,67}k t ∈L 使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =L ，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃，所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d L ， 且126d d d <<<L ，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃L ． （ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素， 不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合3，，，则A. B.C. 2，3，D. 2，3，4，2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前6项和为A. B. 11 C. 31 D. 634.如图，在中，点D，E满足，若，则A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为A. B. C. D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为A. B. C. D.7.在中，，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，M，N分别是棱AB，的中点，点P在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点P的位置是A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点CD. 线段的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数，则______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为______，它的体积为______．13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加为了使中签率超过，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数数列满足，则数列的前100项和是______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：曲线C关于直线对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内含边界．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是正方形，点D，E分别是棱BC，的中点，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；Ⅱ从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ假设该地区有10万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．19.已知椭圆，圆O：为坐标原点过点且斜率为1的直线与圆O交于点，与椭圆C的另一个交点的横坐标为．Ⅰ求椭圆C的方程和圆O的方程；Ⅱ过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆C相切，试判断直线与椭圆C的位置关系，并说明理由．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由；Ⅲ设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．21.设数列A：，，，的各项均为正整数，且若对任意4，，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质T．Ⅰ判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论Ⅱ若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；Ⅲ若集合2，3，，2019，，且任意i，2，，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，2，3，，故选：C．先求出集合B，再利用集合并集的运算即可算出结果．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：D解析：解：若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C错；由偶函数的定义：，故A错；在上递减，故B错；显然，故该函数是偶函数，当时，是增函数，故D对．故选：D．根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可．本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，由，可得，前6项和，故选：A．先由，求出公比q，再代入前n项和公式求和．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．4.答案：B解析：解：中，点D，E满足，．，又，，．故选：B．在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5.答案：B解析：解：如图所示，由抛物线的定义可知，，，为等边三角形，，，，轴，，即，，抛物线的方程为，故选：B．由抛物线的定义可知，，从而确定为等边三角形，于是得到，，再结合平行关系和三角函数即可求得p的值，进而得解．本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．故选：D．基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：解：设，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．设，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，，解得．的图象关于直线对称，，解得，解得．则“”是“的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得，解得根据的图象关于直线对称，可得，解得，即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，解得；当时，在上递减，当时，有最小值，即，．综合得：当时，；当时，，，当时，，在上递增，，，此时；当，即时，在上递增，同理可得；当，即时，在递减，递增，，，解得．综合得：当时，；关于x的不等式在R上恒成立，，故选：C．当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、、三类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.答案：B解析：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，P为上的动点，设，其中，，0，，，，，为等腰三角形，底边，设底边MN上的高为h，则有．，时的面积取得最小值，此时P为的中点．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的面积取得最小值时，P为的中点．本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：解析：解：复数．．故答案为：．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．12.答案：5 4解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高．最长棱为，体积．故答案为：5；4．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：15解析：解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，解得．为了使中签率超过，则至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．故答案为：15．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：100解析：解：由题意，当，时，．设数列的前n项和为，则．故答案为：100．本题先根据余弦函数的周期性可计算出当，时，，，，连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列的前n项和为，然后代入进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查转化与化归思想，整体思想，余弦函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：解析：解：对，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线C关于直线对称，正确；对，设点是曲线上任意一点，则，则点P到原点的距离为，由，解得，正确；对，由可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为：．根据曲线的方程以及图象逐个判断3个结论即可得出．本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，可得，解得，或舍去，可得．若选，则，由正弦定理，可得，解得．解析：Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ若选，由余弦定理可得，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，由正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：Ⅰ证明：四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，；Ⅱ解：由Ⅰ知，，，．又，，，，得．以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，2，，0，，2，，1，，，．平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．设二面角的平面角为，则．由题意，二面角为锐角，则其余弦值为；Ⅲ解：平面与平面不平行．理由如下：由Ⅱ知，平面的一个法向量，．，与平面不平行．又平面，平面与平面不平行．解析：Ⅰ由题意，结合平面平面ABC，由平面与平面垂直的性质可得平面ABC，进一步得到；Ⅱ解：由Ⅰ知，，得到，求解三角形得，以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量，，由数量积不为0可得与平面不平行，即可得到平面与平面不平行．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．Ⅱ由题意，可知，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P．Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，此人患该疾病的概率未超过．解析：Ⅰ位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．Ⅱ由题意，可知，由此能求出X的分布列和．Ⅲ如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为圆O过点，所以圆O的方程为：，因为过点且斜率为1的直线方程为，又因为过点，所以，所以直线方程为：，因为直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，所以纵坐标为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ直线与椭圆C相切，理由如下：设圆O上动点，所以，依题意，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，因为直线与椭圆C相切，所以，所以，所以，因为，所以，所以，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，所以，所以直线与椭圆C相切．解析：Ⅰ把点代入圆O的方程，即可求出r，得到圆O的方程，再求出直线方程，得到与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；Ⅱ设圆O上动点，所以，设直线的方程为：，与椭圆方程联立利用得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，把上式代入化简，所以直线与椭圆C相切．本题主要考查了圆的方程，考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，所以，所以，，故切线方程为：．Ⅱ函数有且仅有两个零点．易知的定义域为，且，且，所以在，上是增函数．因为，，所以在上有唯一零点；又因为，所以在上有唯一零点；综上，有且仅有两个零点．Ⅲ易知，曲线在点处的切线为，即．再设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为．所以曲线的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以，，故两条切线重合，结论成立．解析：Ⅰ求出处的导数，利用点斜式写出切线方程即可；Ⅱ研究函数的单调性、极值的符号等求解；Ⅲ只需要说明零点处的切线重合即可．本题考查导数的几何意义和综合应用，同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．21.答案：解：Ⅰ，，3，4，7不具有性质P；，，，，2，3，5具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质T．Ⅱ由题意可知，，，，，，．若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，4．数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，．当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为10．Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为，从中取出337个数，记为，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68个元素，不妨设这个集合为，从中取出68个数，记为，，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，68，存在2，，使得，对任意，由假设，，，．在，，，中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为，从中取出17个数，记为，，，，且，令集合2，，，由假设，对任意，2，，17，存在2，，使得，对任意，同样，由假设可得，，．同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3个元素，不妨设这个集合为，从中取出3个数，记为，，，且，同理可得．由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．解析：Ⅰ根据，可知1，3，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，5具有性质P；Ⅱ由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷和答案(A卷)(4月份)
2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷（A卷）（4月份）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知命题p：∀x∈R，e x＞1，那么命题p的否定为（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，e x＜1C．∃x0∈R，D．∀x∈R，e x≤12．（4分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）＝﹣x3+2B．f（x）＝log|x|C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝sinx3．（4分）设集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|e x﹣2＜1}，则以下集合P中，满足P⊆（∁R A）∩B的是（）A．{﹣1，0，1，2}B．{1，2}C．{1}D．{2} 4．（4分）已知a＝log2，b＝log 0.20.3，c＝tan，则a，b，c 的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 5．（4分）若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为（）A．B．C．D．16．（4分）已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（）A．B．﹣C．D．﹣7．（4分）已知△ABC，则“sinA＝cosB”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记a n为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{a n}的第n项，则a100的值为（）A．5049B．5050C．5051D．5101 9．（4分）已知双曲线x2﹣＝1的渐近线与抛物线M：y2＝2px（p＞0）交于点A（2，a），直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则|AB|等于（）A．3.5B．4C．4.5D．510．（4分）关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1；②函数的极值点不可能是﹣1；③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（﹣）5的二项展开式中，x﹣2的系数为．（用数字作答）12．（5分）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+＝6，则z的虚部为，＝．13．（5分）设无穷等比数列{a n}的各项为整数，公比为q，且|q|≠1，a1+a3＜2a2，写出数列{a n}的一个通项公式．14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（1，1），P 为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是．15．（5分）关于曲线C：x2﹣xy+y2＝4，给出下列四个结论：①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；②曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线C上任意一点都不在圆x2+y2＝3的内部；④曲线C．上任意一点到原点的距离都不大于2．其中，正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区问；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，若f（x）∈（﹣1，1]，求x的取值范围．17．（14分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：℃）平均在36°C﹣37°C之间即为正常体温，超过37.1°C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1≤T≤38；高热：38＜T≤40；超高热（有生命危险）：T＞40．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（℃）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体温（℃）38.438.037.637.136.836.636.3（Ⅰ）请你计算住院期间该患者体温不低于39°C的各天体温平均值；（Ⅱ）在19日一23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一﹣特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2～8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．18．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP ＝2，∠PDC＝120°．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求二面角的余弦值；从①P﹣AB﹣C，②P﹣BD﹣C，③P﹣BC﹣D这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．19．（14分）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）若山线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）已知f（x）在[0，1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；（Ⅲ）写出f（x）所有可能的零点个数及相应的a的取值范围．（请直接写出结论）21．（14分）已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）若A﹣B＝（0，1），试写出所有可能的A，B；（Ⅱ）∀A，B，C∈S n，证明：（i）d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（ii）d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m＞2，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为p，证明：p≤．2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷（A卷）（4月份）答案与解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】命题否定：否定条件，否定结论．【解答】解：命题否定：否定条件，否定结论．命题p：∀x∈R，e x＞1，那么命题p的否定为∃x0∈R，，故选：A．2．【分析】结合函数的单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．【解答】解：A：f（x）＝﹣x3+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：f（x）＝为偶函数，不符合题意；C：f（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣f（x）即f（x）为奇函数，∵f′（x）＝3x2﹣3＜0在（0，1）上恒成立，故f（x）在（0，1）上单调递减，符合题意，D：y＝sinx在（﹣1，1）上单调递增，不符合题意．故选：C．3．【分析】根据题意先求出A，B，然后根据集合的基本运算及包含关系可求．【解答】解：由题意可得A＝{x∈Z|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|x＜2}，∴（∁R A）∩B＝{﹣1，0，1，2，3，4}∩{x|x＜2}＝{﹣1，0，1}．结合选项可知，满足P⊆（∁R A）∩B时，选项C满足题意．故选：C．4．【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，0＝log 0.21＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，，∴c＜b＜a．故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB⊥BC，由此可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB⊥BC，可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度为．故选：D．6．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，然后根据投影的计算公式即可求出投影的值．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在上的投影是．故选：D．7．【分析】根据题意，前者推不出后者，后者推不出前者，从而得出答案．【解答】解：已知△ABC，sinA＝cosB，则sinA＝sin（），故A＝，或，所以A﹣B＝，或，或A＝B，故前者推不出后者，反之，比如A＝90°，显然不成立，故后者推不出前者，所以“sinA＝cosB”是“△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．【分析】设第n个数为a n，观察图中的数据可得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3…a n﹣a n﹣1＝n，利用叠加法可求a n，【解答】解：设第n个数为a n，则a1＝1a2﹣a1＝2a3﹣a2＝3a4﹣a3＝4…a n﹣a n﹣1＝n叠加可得，a n﹣a1＝2+3+4+…+n∴a n＝1+2+3+…+n＝，∴a100＝5050，故选：B．9．【分析】求出双曲线的渐近线方程，通过A的坐标求出a，代入抛物线方程求解p，然后求解AB方程，利用抛物线的性质求解|AB|即可．【解答】解：不妨取双曲线x2﹣＝1的一条渐近线，y＝x，双曲线x2﹣＝1的渐近线与抛物线M：y2＝2px（p＞0）交于点A（2，a），所以a＝，A（2，2），代入抛物线方程，可得P＝2，抛物线方程为：y2＝4x，焦点坐标（1，0），直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，AB的斜率为：2，AB的方程为：，代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝4.5．故选：C．10．【分析】把函数f（x）的零点转化为函数y＝x2+ax﹣1的零点，即可判断①；求得f′（x）后代入x＝﹣1，根据f′（x）是否为0即可判断②；设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，结合①可得当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，再证明f（x4）＜0即可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x的零点，即为函数y＝x2+ax﹣1的零点，令x2+ax﹣1＝0，则△＝a2+4＞0，∴方程必有两个不等实根x1，x2，设x1＜x2，由韦达定理可得x1x2＝﹣1，故①正确；f'（x）＝（2x+a）e x+（x2+ax﹣1）e x＝[x2+（a+2）x+a﹣1]e x，当x＝﹣1时，f'（x）＝（1﹣a﹣2+a﹣1）e﹣1＝﹣2e﹣1≠0，故﹣1不可能是函数f（x）的极值点，故②正确；令f'（x）＝0即x2+（a+2）x+a﹣1＝0，△＝（a+2）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0，设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，则当x∈（﹣∞，x3），x∈（x4，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x4）为函数极小值；由①知，当x∈（﹣∞，x1）时，函数f（x）＞0，∴当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，又f（0）＝﹣e x＜0，∴0∈（x3，+∞），∴f（x4）≤f（0）＜0，∴f（x4）为函数的最小值，故③正确．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】写出通项公式，根据题意求出r，代入即可．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为，由得，3r＝9，r＝3，所以系数为，故答案为：﹣80．12．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0，b＞0），由|z|＝5，z+＝6，得关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求得．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0，b＞0），由|z|＝5，z+＝6，得，解得a＝3，b＝4．∴z的虚部为4；．故答案为：4；﹣i．13．【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得a1+a1q2＜2a1q，变形可得a1（1﹣q）2＜0，分析可得a1＜0；故只需满足a1＜0且q为整数的等比数列就满足条件，据此写出一个等比数列的通项公式即可得答案．【解答】解：根据题意，无穷等比数列{a n}的各项为整数，则公比q必为整数，又由a1+a3＜2a2，即a1+a1q2＜2a1q，变形可得a1（1﹣q）2＜0，则a1＜0，当a1＝﹣1，q＝2时，数列{a n}的通项公式为a n＝﹣2n﹣1，故答案为：a n＝﹣2n﹣1，（答案不唯一）14．【分析】根据题意，分析可得Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，据此分析可得当O、Q、B 三点共线时，|BQ|最大，计算可得答案．【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（1，1），如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|＝|OQ|＝1，则Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最大，此时|BQ|＝1+，故答案为：+1．15．【分析】①替换x，y，可以判断是否关于原点对称，x轴、y轴对称，②令x＝0，±1，±2，±3，…，可求出来所有整数点，③利用不等式，求出x2+y2的取值范围，即可．④可用不等式求x2+y2≤8，可求出距离．【解答】解：将﹣x替换x，﹣y替换y，代入得x2﹣xy+y2＝4，则曲线C关于原点对称，将﹣x替换x，y替换y，代入得x2+xy+y2＝4，则曲线C不关于x 轴对称，将x替换x，﹣y替换y，代入得x2+xy+y2＝4，则曲线C不关于y 轴对称，①对；曲线C恰好经过（0，2），（0，﹣2），（2，0），（﹣2，0），（2，2），（2，﹣2）共6个整点，②错，设P（x，y），，化简得x2+y2≤8，PO＝，④对，x2+y2＝4+xy≥2xy，则xy≤4，x2+y2＝4+xy≥﹣2xy，则，∴，③错；故答案为：①④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据f（x）∈（﹣1，1]，利用正弦函数的图象和性质即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x﹣）cos（x+），＝sin2x﹣2cos（x+﹣）cos（x+），＝sin2x﹣2sin（x+）cos（x+），＝sin2x﹣sin（2x+），＝sin2x﹣cos2x，＝2（sin2x﹣cos2x），＝2sin（2x﹣），∴T＝＝π，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，故函数f（x）的单独递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）∵f（x）∈（﹣1，1]，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤1，∴﹣＜sin（2x﹣）≤，∴﹣+2kπ＜2x﹣≤π+2kπ，∴kπ＜x≤+kπ，当k＝0时，0＜x≤，满足x∈[0，π]，当k＝1时，π＜x≤π，不满足x∈[0，π]，综上所述x的范围为（0，]．17．【分析】（Ⅰ）由表知，该患者共6天的体温不低于39°C，由此能求出患者体温不低于39°C的各天体温平均值．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用的理由是“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃，又升1.0℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2℃，说明“抗生素C”降温效果好，故“抗生素C”治疗效果最佳．“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差“抗生素C”治疗期间平均体温38℃，方差约为0.1067，约为0.0156，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显；“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7℃，是单日降温效果最好一天，故“抗生素B”治疗效果最佳．【解答】解：（Ⅰ）由表知，该患者共6天的体温不低于39°C，记平均体温为，＝（39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0）＝39.55°C，∴患者体温不低于39°C的各天体温平均值为39.55°C．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X012P∴E（X）＝+1×+2×＝．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用．理由如下：①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃，又升1.0℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2℃，说明“抗生素C”降温效果好，故“抗生素C”治疗效果最佳．②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差约为0.0156，“抗生素C”治疗期间平均体温38℃，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳．“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7℃，是单日降温效果最好一天，故“抗生素B”治疗效果最佳．18．【分析】（Ⅰ）由AD⊥DC，得AD⊥平面PCD，由此能证明AD ⊥PC．（Ⅱ）在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（Ⅲ）假设BC上存在点F，MF∥PC，设＝，λ∈[0，1]，利用向量法推导出假设不成立，由此能证明对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD ∩平面PCD＝CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．（Ⅱ）解：选择①，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），＝（2，1，﹣），＝（2，2，﹣），设平面PAB的一个法向量为＝（x，y，z），由，取z＝2，得m＝（），∴cos＜＞＝＝＝，由题知二面角P﹣AB﹣C为锐角，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．选择②，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C （0，2，0），平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），设平面PBD的一个法向量＝（x 2，y2，z2），＝（2，1，0），＝（0，﹣1，），，取z＝2，得＝（﹣，2，2），设二面角P﹣BC﹣D的平面角为θ，由题意θ是钝角，∴二面角P﹣BC﹣D的余弦值为cosθ＝﹣＝﹣．选③，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝（2，2，﹣），＝（0，3，﹣），设平面PBC的法向量＝（x 4，y4，z4），则，取x 4＝1，得＝（1，2，2），设二面角P﹣BC﹣D的平面角为α，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值为cosα＝＝．（Ⅲ）证明：假设BC上存在点F，MF∥PC，设＝，λ∈[0，1]，依题意可知M（1，﹣，），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2λ，λ，0），F（2﹣2λ，1+λ，0），＝（1﹣2λ，，﹣），＝（0，3，﹣），则，此方程组无解，故假设不成立，∴对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．19．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m≠0），A （x1，y1），B（x2，y2）．设P（x0，0），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则，而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等价于k1+k2＝0．所以k1+k2＝，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简，即可求出x0的值，经验证当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，解得：．所以椭圆的标准方程为：；（II）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m ≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．假设存在点P，设P（x0，0），由题设，x0≠1，且x0≠x1，x0≠x2．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．因为A（x1，y1），B（x2，y2）在x＝my+1上，故x1＝my1+1，x2＝my2+1．而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分∠APB”，继而等价于k1+k2＝0．则＝＝．联立，消去x，得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，有．则，即﹣4m+mx0＝0，故x0＝4或m＝0（舍）．当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．20．【分析】（I）先对函数求导，然后结合已知及导数的几何意义可求；（II）由已知不等式恒成立，分离参数后，通过构造函数，转化为求解函数的范围，结合导数可求．（III）转化为a＝的零点个数，结合函数的图象及性质可求．【解答】解：（I）∵f（x）＝e x﹣ax2，所以f′（x）＝e x﹣2ax，由题意可得，f′（1）＝e﹣2a＝0，则a＝，又f（1）＝≠0，此时切线与x轴不重合，符合题意，（II）由题意可得，f（x）＝e x﹣ax2≥2在[0，1]上有解，显然x ＝0不是解，故a≤在[0，1]上有解，设g（x）＝，x∈[0，1]，则，设h（x）＝（x﹣2）e x+4，则h′（x）＝（x﹣1）e x≤0，所以h（x）在[0，1]上单调递减，h（x）≥h（1）＝4﹣e＞0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1]上单调递增，所以g（x）max＝g（1）＝e﹣2，故a≤e﹣2，故a的范围为（﹣∞，e﹣2]．（3）当a≤0时，函数的零点个数为0；当a＝时，函数的零点个数为1；当a＞时，函数的零点个数为0；当0＜a≤时，函数的零点个数为2；21．【分析】（Ⅰ）根据题目所给定义，依次写出所有可能的A，B即可；（Ⅱ）（i）根据题目所给出的条件和个关于A，B差的定义，采用直接证明的方法．设C（c1，c2，c3…c n），证明d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B），只需证明每一个分量相等．对于绝对值式子，采用分类讨论去掉绝对值；（ii）先找到三者之间的关系，d（A，B）的分量是，d（A，C）的分量是，根据上一问结论，d（B，C）＝d（B﹣A，C﹣A），其分量是，这样就建立了三者间的联系，再利用其意义来建立等式；（Ⅲ）首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，从第一位直到第n位，思考得出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝（0，0），B＝（0，1）；A＝（0，1），B＝（0，0）；A＝（1，0），B＝（1，1）；A＝（1，1），B＝（1，0）．（Ⅱ）令A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n），（i）对i＝1，2…，n，当c i＝0时，有；当c i＝1时，有＝．所以d（A﹣C，B﹣C）＝++…+＝＝d（A，B）．（ii）证法1：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，d（A，B）＝k，d（A，C）＝l，d（B，C）＝h．记O＝（0，0，…0）∈S n，由（Ⅰ）可知，d（A，B）＝d（A﹣A，B﹣A）＝d（O，B﹣A）＝k，d（A，C）＝d（A﹣A，C﹣A）＝d（O，C﹣A）＝l，d（B，C）＝d（B﹣A，C﹣A）＝h．所以（i＝1，2，…n）中1的个数为k，（i＝1，2，…n）中1的个数为l，设t是使＝＝1成立的i的个数，则h＝l+k﹣2t．由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．证法2，：因为（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）＝0，且（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）与奇偶性相同．所以为偶数，故d（A，B）+d（A，C）+d （B，C）为偶数，所以d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．（Ⅲ）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则＝．因为m为奇数，所以（i＝1，2，…n），且时，取得等号．所以．所以p＝＝．。
2020 朝阳一模(答案版)
北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案 2020.04第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin3434ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以52a =． （17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =． 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD =，1(0,2,2)AC =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-． 设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯．由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-，1(4,1,0)A E =-， 所以120A E v ⋅=≠，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切， 所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=．因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100001116421x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1xx f x ex +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ．因为22()0(1)xf x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线xy e =在点()00,x x e处的切线方程为()000x x y ee x x -=-，即0000x x xy e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ，则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001xx y x e x e ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()0000000011111xx x x x e ee x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分 （21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =，4328a a ，…，872128a a ， 所以9n ．若9n =，因为9200a =且982a a ，所以8128100a ．同理，76450a ，63225a ，51612.5a ，48 6.25a ，34 3.125a ． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a ， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =． 此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ．当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃．（ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且8162b b b <<<．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆．由假设682i b b S -∉． 对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃， 所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆．由假设173i c c S -∉． 对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃， 所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃．（ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃， 而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。