数学活动拼图·公式
江苏科学技术出版社初中数学七年级下册 数学活动 拼图·公式(区一等奖)
《拼图 公式》教学设计【教学目标】1．知识与技能：通过拼图实验，加深对整式乘法和因式分解有关知识的理解和运用.2．过程与方法：经历操作、观察、思考、交流等过程，体会数形结合的思想方法，发展几何直观.3.情感态度与价值观：通过操作探究，合作交流，增强动手能力和创新意识.【教学重点】通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识．【教学难点】从具体问题到建立数学模型，通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解．【教学方法】启发法、讨论法、观察法、练习法.【教学过程】一. 【实验准备】（《实验手册》附录11）A 型纸片（边长为a 的正方形）B 型纸片（边长为b 的正方形）C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）二.活动探究【活动一】：任取同种类型的硬纸片若干张可以拼成长方形或者正方形吗预设1：（如图1）老师提问1：你是怎样设计这个拼图的学生解答1：4个C 型纸片拼成一个长为4b,宽为a 的长方形；老师提问2：这个长方形的面积可以怎样表示提示：整体、部分学生解答2：=4b ;s a S ab ab ab ab •=+++整部；老师提问3：那这个拼图有何作用学生解答3：可以验证整式的乘法法则。
预设2：（如图2）老师提问1：你是怎样设计这个拼图的学生解答1：4个C 型纸片拼成一个长为（a+b ）的正方形；老师提问2：拼图是要求图形之间不重叠，无缝隙的，但是这样设计也是有目的的吧学生解答2：可以验证22()()4a b a b ab +--=这个恒等式；老师提问3：请分析一下，如何验证学生解答3：22=;=;4=4s s C ab 大正方形小正方形（a+b ）（a-b ）个型纸片面积；【总结】：那这个拼图有何作用显而易见了吧！（板书：形 式）【活动二】：任取俩种类型的硬纸片若干张可以拼成长方形或者正方形吗预设3：（如图3）老师提问1：你是怎样设计这个拼图的 学生解答1：1个A型纸片和3个C 型纸片拼成一个长为（a+3b ）,宽为a 的长方形； 图3老师提问2：这个长方形的面积可以怎样表示提示：整体、部分学生解答2：2=(3b);3s a a S a ab +=+整部；老师提问3：如果是2(3b)3a a a ab +=+，那可以验证什么学生解答3：可以验证整式的乘法法则；老师提问4：如果是23(3b)a ab a a +=+，那可以验证什么学生解答4：可以验证因式分解的正确性；【总结】：拼图的功能确实强大（另一同学发出异样声音）老师提问1：你有何见解学生解答1：我是先有目标：想拼成一个长为（a+3b ）,宽为a 的长方形，然后再根据这个长方形的面积为2(3b)3a a a ab +=+，也就是说需要1个A 型纸片和3个C 型纸片就行了.（其他同学：自发掌声）.【总结】：整式的乘法可以指引我们有方向性、目地性拼图。
动手与动脑,探索数学公式的精彩——“拼图·公式”教学实践与反思
（１）试拼一个长为（３ａ＋ｂ）宽为（ａ＋２ｂ）的长方
形，各需多少块？
请画出图形并写出你得到的等式． （２）试用拼图的方法将多项式 ａ２ ＋４ａｂ＋３ｂ２因
式分解；
（３）试用 拼 图 的 方 法 表 示 下 列 式 子，画 出 简 图
·６４·
并写出等式：
行因式分解，而对于改变条件试试，让教师真正领略
了孩子们的创造性．各个小组比赛着自己组的方
法展示到黑板上，有在所给条件中添上某个条件的，
有去掉某个条件的，短短 ５分钟时间，要求等式不重
复，黑板上出示了 ８种方案，还有没来及些出来的．
记录如下：
①ａ２＋４ａｂ＋３ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ＋３ｂ）（添 １个 ｂ２） ②ａ２＋４ａｂ＋４ｂ２＝（ａ＋２ｂ）２（添 ２个 ｂ２） ③２ａ２＋４ａｂ＋２ｂ２＝（２ａ＋２ｂ）（ａ＋ｂ）（添 １个 ａ２） ④３ａ２＋５ａｂ＋２ｂ２ ＝（３ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（添 ２个 ａ２与 １个 ａｂ） ⑤２ａ２＋３ａｂ＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）（２ａ＋ｂ）（添 １个 ａ２ 与 １个 ａｂ，去掉 １个 ｂ２） ⑥４ａｂ＋２ｂ２＝２ｂ（２ａ＋ｂ）（去掉 １个 ａ２） ⑦ａ２＋３ａｂ＋２ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（去掉 １个 ａｂ） ⑧２ａ２ ＋５ａｂ＋２ｂ２ ＝（２ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（添 １个 ａ２与 １个 ａｂ）
①（ａ＋ｂ）（２ａ＋ｂ）；②ａ２ ＋４ａｂ＋４ｂ２． （４）你能用拼图的方法将多项式 ａ２ ＋４ａｂ＋２ｂ２
因式分解吗？如果不能，你能改变条件试试吗？请
写出改变条件后得到的等式．
同学们积极地投入到问题的思考与解决中，小
组分工合作，拼图、记录、完成学案、汇报，有条不稳
数学活动拼图公式
a m
bc
你发现了什么?
m(a+b+c)＝ma+mb+md
问题情境
a
b
c
d
你发现了什么?
(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd
建构活动
活动1. 选取1张A型纸片、2张B型纸片、1张C型纸 片，把它拼接成一个正方形，并解释这个正方形 的面积，以及你获得的等式．
b
a
b
aA
aB
bC
建构活动
（2）如果任意写出一个关于a、b的二次多项式，能否
用若干块准备好的硬纸片拼成一个长方形，使这个长方 形的面积可以用这个式子表示？如不能，你认为具备什 么形式的二次多项式可以表示一个长方形的面积？
评价小结
活动2. 分别选取适当数量的A型、B型、C型三种
纸片，拼出下列长方形：
（1）边长分别为2a、3b+a的长方形；
（2）边长分别为a+2b、a+b的长方形．bab NhomakorabeaaA
aB
bC
建构活动
活动3. 分别选取适当数量的A型、B型、C型三
种纸片，尝试将它们拼成一个长方形，并且使
所拼长方形的面积分别为：
（1）3a2+4ab+b2；
a
b
aA
aB
（2）2a2+5ab+3b2． b
bC
数学概念
1．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的 计算，常常可以得到一些等式．
2．从面积导出公式也有局限性（字母表示正数）， 因此还需从代数运算的角度来进一步认识这些等式．
应用与拓展
《数学活动-拼图·公式》课件
生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 10、体会解决问题策略的多样性及运用优化的数学思想方法解决问题的有效性，
感受数学的魅力。形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析推理的能 力。 11、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 12、养成认真作业，书写整洁的好习惯。
5的倍数的特征
3的倍数的特征
质数和合数
质数和合数的概念
找1Байду номын сангаас0以内的质数
五、教学中需要注意的问 题
1．加强对概念间相互关系的梳理，引导 学生从本质上理解概念，避免死记硬 背。
2、掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的 倍数的特征；会求100以内的两个数的最大工公因数和最小公倍数。
3、理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法，会解决有关分数加、 减法简单实际问题。
4、知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有 关体积和容积之间的实际意义。
• 公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数移至 “分数的意义和性质”单元，作为约分和通分的 知识基础，更突出其应用性。
2．注意体现数学的抽象性。
四、具体编排
因数和倍数
因数和倍数的概念
一个数的因数的求法（例1）
一个数的因数的特点
一个数的倍数的求法（例2）
一个数的倍数的特点
2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征
什么等式?
a
a b
活动材料 若干块如图所示的长方形和
正方形硬纸片
数学活动拼图·公式
拼图•公式作业单
句容市天王中学 李勇红
活动一：用A 型纸片1张、B 型纸片2张、C 型纸片3张，拼成一个长方形.
活动二：分解因式：22
34b ab a ++
(1)需要用___ 张A 型卡片 ， ____张B 型卡片 ，___张C 型卡片.
(2)所拼长方形的长是_______,宽是_______.
(3)写出多项式 2234b ab a ++因式分解的结果
，即_____________3422=++b ab a
例题：试从1、2、3这三个数中选取适当的数填入22_____b ab a ++横线上（可重复），使所得的二次
.
拓展：通过前面的活动发现对于二次三项式2
23b ab a ++我们利用三种类型的卡片无法拼成长方形。
（1）你能否增加一张卡片，使得它们能拼成一个长方形呢？并写出因式分解的结果。
增加一张A 卡片：
增加一张B 卡片：
增加一张C 卡片：
（2）你能否减少一张卡片,使得它们能拼成一个长方形呢？并写出因式分解的结果。
减少一张A 卡片：
减少一张B 卡片：
减少一张C 卡片：。
数学活动 拼图.公式
课题数学活动拼图·公式一、教学目标：1、知识目标：（1）进一步熟悉整式乘法和因式分解；（2）经历从具体问题抽象出数学问题—建立模型—综合运用已有的知识解决问题的过程．2、能力目标：通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，3、情感目标：通过拼图与公式的联系加强学生学习数学的兴趣；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心二、教材分析教学重点：通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识．教学难点：从具体问题到建立数学模型，通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解．教学关键：通过丰富有趣的拼图活动, 增强对数学知识的应用及理解．三、教学方法及教学思路利用视频及动手操作等创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键，本课设计内容分为以下几部分：1. 创设情境，导入新课2. 由形到数，突显特征3. 数形结合，提炼方法4. 挑战自我，巩固提高5．引导学生小结归纳三、教学准备七巧板，各种正方形和长方形卡片，多媒体或投影四、教学过程（一）问题情境（1）回忆七巧板，欣赏下列图形，思考它们有何共同的特点？bbbaaaA型B型C型学生总结：面积相等，即拼图只改变图形的形状，不改变其大小。
（2）回忆前面几节课还利用拼图的方法研究了什么问题？【生】：完全平方，平方差等公式的整式乘法的内容。
【师】：请同学利用准备好的卡片黑板上再现探究过程。
【生】：(a+b) 2=a2+2ab+b2；【生】通过用不同方法表示蓝色图形的面积得到平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2ba我们发现小拼图有大作用，今天这节课我们继续通过拼图游戏去探究数学中的问题。
（二）合作交流，解读探究活动一任取1张A型纸片、4张B型纸片、4张C型纸片，尝试拼成正方形，用不同的方法表示拼得的正方形的面积，你能得到怎样的等式？（学生小组交流，上台展示结果）【生】展示不同拼法，写出等式：(a+2b)2= a2+4ab+4b2.【师】请你们观察图形与等式，你能发现什么？【生】拼法不同，但新图形与面积等式相同。
(完整版)《拼图公式》
课题：七年级数学《拼图·公式》教学设计河海中学周叶【教材简解】1、教情分析七下第九章最后安排这样一节活动课，一方面是巩固已学知识，使数学知识向生活和实践继续延伸，更重要的是为了体现课程标准所倡导的“有效的数学学习不能单独依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式”这一重要思想。
2、学情分析学生已经学过整式乘法以及因式分解，具备了一定的基础知识。
七年级学生正处于好动、喜欢挑战、探索的阶段，求知欲十分强烈。
通过合作学习，可以让学生感受数形结合的思想，便于学生理解法则，更好地利用法则解决问题。
【目标预设】（一）知识目标：（1）通过不同的方法计算面积，探求相应的等式。
（2）通过不同的方法计算面积，探求有关整式的乘法法则和因式分解的方法。
（二）技能目标：（1）感悟数与形的关系，渗透数形结合的教学思想，（2）通过拼图，培养学生动手操作能力。
（三）情感态度目标：（1）通过拼图，培养学生动手操作能力，提高对数学学习的兴趣。
（2）通过合作交流，培养学生团结协作精神。
【重点、难点】学习重点：综合运用已有知识解决问题。
学习难点：从具体问题到建立数学模型。
【设计理念及思路】利用动手操作等创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。
【教学过程】【设计分析】在课堂上通过让学生动手操作，感受到了数学好玩，也能体会到凭借小组合作能获得有价值的数学方法；同时通过生生、师生间的思维碰撞，产生了许多智慧的火花，学生的逆向思维得到了发展，从最初的在教师的带领下无意识的拼图，得到熟悉的反映多项式乘法的等式；然后在教师的引导下，学生意识到将所得的等式“倒一倒”，也可以由同一个图形得到反映多项式因式分解的等式；最后学生能够有技巧地去拼图，有意识地通过拼、画图形去因式分解，获得新的因式分解的方法，方法的发现、思维的训练显得顺理成章。
江苏科学技术出版社初中数学七年级下册 数学活动 拼图·公式(省一等奖)
课例《数学活动：拼图、公式》教学目标：1.知识与技能目标：学生能借助图形反应出部分“数”的几何意义，初步应用拼图法将部分二次三项式进行因式分解。
2.过程与方法目标：经历从具体问题抽象出数学问题，建立模型综合应用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验，在具体问题中，根据数学实质培养学生素养。
3.情感、态度、价值观目标：通过丰富有趣的数学活动，增强对数学学习的兴趣，通过合作交流，体会数学的奇妙、享受成功的乐趣，发展学生有条理的思考。
教学重点：由“形”到“数”，可借助图形反应部分“数”的几何意义。
教学难点：理解拼图与因式分解之间的内在联系。
一、问题情境师：同学们，在以往的学习中，你有过利用图形获得数学公式的经验吗师：你还熟悉下面这个图形吗利用这个图形你能获得什么数学公式生：(a+b)2=a2+2ab+b2师（追问）：你是如何得到这个数学公式的生：把它看做一个整体得到面积为(a+b)2，分看计算面积得到面积为a2+2ab+b2。
师：在边长为a的大正方形纸片上，减去一个边长为b的小正方形纸片，通过计算剩余部分的面积，你能得到什么等式生：a2-b2=(a+b)(a-b)设计意图：回顾前面用不同的方法计算同一图形的面积，引导学生从整体看、局部看，突出数学“算两次”的思想。
二.建构活动1.动手摸索活动材料：若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片.问题：选取适当的卡片，拼成一个长为（a+2b）宽为（a+b）的长方形。
（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠。
）1.学生拼图2.展示3.你能发现图中隐藏的等式吗请将它写下来。
生：①（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 或②a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）师：等式①从左至右是做什么运算等式②呢生：等式①从左至右是整式乘法，等式②从左至右是因式分解。
设计意图：学生体会到拼图既可以进行整式计算又可以进行因式分解，整式运算不用拼图也能计算，不熟悉的多项式用已有的知识不能进行因式分解，但我们可借助拼图进行分解，突出本节课的重点。
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选取适当数量的A型，B型，C型三种纸片拼出,
边长分别为2a,3b+a的长方形；
a
b
a
b
A型
B型
ห้องสมุดไป่ตู้C型
选取适当数量的A型，B型，C型三种纸片
拼出边长分别为a+2b,a+b的长方形.
a
b
a
b
分别选取适当数量的A型，B型，C型三种纸 片，允许覆盖（视为减去），你能尝试拼出下 列长方形吗？
①边长分别为2a,3b-a的长方形；
a
b
a
b
分别选取适当数量的A型，B型，C型三种纸 片，尝试将它们拼成一个长方形，并且使所拼
长方形的面积为： 3a2+4ab+b2
然后写出你发现的等式.
尝试：
你能拼成一个面积为的 a2+4ab+b2长方形吗？
如果不能，是否可以添加或减少纸片数量， 使之拼成一个长方形?
a
b
a
b
A型
B型
C型
②边长分别为a+2b,a-b的长方形.
挑战自我
你能再尝试拼出 边长分别为a+b,a-b的长方形吗？
发现：
借助拼图， 可以进行整式乘法
也可以将多项式进行因式分解
著名数学家华罗庚说过： “数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休。