2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(十四)数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-1．【答案】D【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}AB =-，故选D ．2.12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i1．【答案】C【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ．3.抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，）D ．116（0，） B4.若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A5.若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故俯视图主视图左视图4 22 2选D ．6.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,)2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为 （A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += A7．设0.60.3a =，0.60.5b =，3log 4c ππ=,则( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c b a >> 【答案】A8.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8πC9.函数ππ()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π39．【答案】D【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ2[()]π36T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．由π3x =为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=．10.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3B11.已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0，2）D. 50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值. 【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选D ．12.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A()(),tan b f x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确;对于②若()f x的最大值为2,则2b a=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确;对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④ 故选:A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(一)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则MN =（ ）A. ∅B. {}2C. {}1D. {}1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的意义判断即可.【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 2.设复数12z i =+，则1zi=+（ ） A.3122i + B.3122i - C. 1322i -- D. 1322i -+ 【答案】C 【解析】 【分析】代入共轭复数z 再根据复数的除法求解即可.【详解】由题()()()()212112132131111222i i z i i i i i i i i ----+====--+++-. 故选：C【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念与复数除法的运算,属于基础题. 3.设a ，b 为非零向量，则“a b =”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等与模长相等的意义判定即可.【详解】由题,若a b =则必有a b =,但当a b =时因为向量有方向,故a b =不一定成立. 故“a b =”是“a b =”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量的辨析,属于基础题. 4.如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是OAB ，其中4OB AB ==，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A. 162B. 82C. 16D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测的画法计算原平面图形的边角关系再计算即可.【详解】根据斜二测画法可知,该图的直观图为'Rt A OB ,且22'224482A O AO ==⨯+=.故面积为14821622⨯⨯=.故选：A【点睛】本题主要考查了斜二测画法所得的直观图与原图形之间的关系,属于基础题. 5.下列命题中正确的是（ ）①已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=；②相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越大，相关性越弱； ③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高. A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】对①,根据正态分布的性质求解即可.对②③④根据相关系数与残差的性质判定即可. 【详解】对①,()()()()()02244240.50.3P P P P P ξξξξξ<-<<=<<==<<-=①对.对②, 相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,[]11r ,∈-且r 越大,相关性越强.②错.对③, 相关指数2R 用来刻画回归的效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越差.③错. 对④, 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄,其模型拟合的精度就越高.④对. 故①④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正态分布的性质与线性回归方程中相关系数、相关指数与残差的基础知识,属于基础题.6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ B. 若m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβ C. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ D. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】 分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项证明或举反例即可.【详解】对A,当m β⊥时也满足m α⊥,n β⊂,且m n ⊥,但此时//αβ,故A 错误. 对B,当l αβ=,且//,//m l n l 时也满足m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α,但此时l αβ=,故B 错误.对C, 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥成立.故C 正确. 对D, 当m n ⋂时也可以满足//m α,//n β,且//αβ.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.7.现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（ ） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 108种【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.【详解】由题,当去一中的只有甲教师时共有12234236236C C A ⋅⋅=⨯⨯=种.当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有13434624C A ⋅=⨯=种.故共有36+2460=种分配方法. 故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.8.已知()()cos 0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）A. 3π- B. 3π C. 6πD. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的值即可.【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯+=+⇒=-∈,又2πϕ<,故3πϕ=-. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.9.已知点()3,0M -，()3,0N ，动点A 满足4AM AN -=，则AM 的最小值是（ ） A. 7 B. 5C. 3D. 1，【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知动点A 的轨迹为双曲线的右支,再根据双曲线的性质判断AM 的最小值即可.【详解】由题, 动点A 的轨迹为以()3,0M -,()3,0N 为焦点, 42a AM AN =-=的双曲线的右支,此时双曲线方程为()221245x y x -=≥.故当A 在顶点()2,0时AM 取最小值325+=.故选：B【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求焦点到双曲线上距离的最值问题,属于基础题.10.若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.223c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】分析a ,b ,c 与1的大小关系,再根据幂函数的单调性判定即可. 【详解】由题, 113321log log 153a =<=,0.20.21313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭,0.20.22331322c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故a 最小.又0.20.2332⎛⎫> ⎪⎝⎭,故b c >.所以a c b <<.故选：A【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,一般做法是确定函数值的大致范围或根据函数单调性进行比较,属于基础题.11.函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，又函数()sin g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分别根据对称性与周期性画出()f x 的图像与()sin g x x π=的图像,再观察图像即可.【详解】因为()()f x f x -=,故()f x 为偶函数,关于y 轴对称.又()()2f x f x =+,故()f x 周期为2.故画出当[]0,1x ∈时,()2f x x =在根据对称性与周期性补全()f x 在[]1,3-上的图像.又()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数即为()()f x g x =在[]1,3-上的零点个数即()()f x g x =在[]1,3-上的交点个数.观察图像可得共有6个交点.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的对称性与周期性画图分析,属于中档题.12.在ABC 中，60ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D ，若1CD =，则4BC AC +的最小值是（ ） A. 33 B. 63C. 6D. 9【答案】A 【解析】 【分析】设AC b =,BC a =,利用ABCADCBDCSSS=+代入面积公式可得113a b+=,再利用基本不等式中“1的妙用”构造()11443a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图所示,ABC 中,60ACB ∠=︒, ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D , 且1CD =,设AC b =,BC a =, 由ABCADCBDCS SS=+,即111sin 60sin 30sin 30222ab b a ︒=︒+︒, 化为113a b+=,则)114444533b a BC AC a b a b a b a b ⎛⎫⎫+=+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ 452333b a a b ⎛≥+⋅=当且仅当23b a ==,取得等号, 则4BC AC +的最小值为33故选：A .【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式的运用与构造基本不等式求最小值的方法.属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以，所以它在处的切线的斜率.考点：导数的应用.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则异面直线BE 与AC 所成的角为________. 【答案】90︒. 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质证明直线BE 与AC 垂直即可.【详解】连接DB ,因为正方体1111ABCD A B C D -故AC BD ⊥,1DD ⊥平面ABCD .故1DD AC ⊥.又1DD BD D =,故AC ⊥平面11DBB D .故AC BE ⊥.所以异面直线BE 与AC 所成的角为90︒.故答案为：90︒【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题. 15.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.. 【解析】 【分析】分析已知的余弦值与所求的余弦值角度的关系可知2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再利用两角差的余弦函数求解即可.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭.又因为,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭. cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233339⨯+==.故答案为：9【点睛】本题主要考查了利用凑角求解三角函数值的问题,需要注意根据角度的范围求解正余弦函数的值,属于中档题..16.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… …… …… …… …… 【答案】171. 【解析】【分析】根据杨辉三角每行的各个数等于二项式展开项的系数求解即可.【详解】根据二项式()na b +展开项的通项公式1C r n r rr n T a b -+=可知, 第19行第18个数为当17r =时的项的系数1721919171C C ==.故答案为：171【点睛】本题主要考查了杨辉三角与二项展开式的关系,属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.18.哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求成绩在[)70,80的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数； （Ⅱ）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； （Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 4 30 女 30 合计60()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.0010k5.0246.635 7879 10.828【答案】（Ⅰ）直方图高度0.03，众数75，中位数2203；（Ⅱ）12；（Ⅲ）表格见解析，有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率和为1计算即可.（Ⅱ）利用组合数的方法分别求解总的情况数与满足条件的情况数即可. （Ⅲ）根据频率直方图补全表格,再计算2K 对照表格分析即可. 【详解】(Ⅰ)根据频率和为1,计算[)70,80的频率为：()1100.010.0150.0150.0250.0050.3-++++=,所以[)70,80对应的频率直方图高度0.03,如图所示；由频率分布直方图知众数为75；由0.10.150.150.40.5++=<,0.40.30.70.5+=>可知 中位数在[)70,80内,计算中位数为0.1220700.033+=； (Ⅱ)成绩在[)40,50内有600.16⨯=人,在[]90,100内有600.053⨯=人；从这9人中选2人,基本事件为2936C =(种),其中在同一分数段的基本事件为226318C C += (种), 故所求的概率为181362P ==；(Ⅲ)由题意填写列联表如下； 优秀 非优秀 合计 男 4 26 30 女 14 16 30 合计 184260计算()2260416147.937 6.6353030182426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关。
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷(十五)文科数学
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷（十五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =（ ）A. {}3,2--B. {}2,3C.{}3,2,3-- D.{}3,2,2,3--【答案】C 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}. 故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】A 【解析】 【分析】通过分母实数化，求出z 即可. 【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ， ∴z ＝512i i+＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，3223a a =+，则其前3项的和3S =（ ） A. 3 B. 6C. 13D. 24【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求出公比q ，再利用公式求出前3项的和3S . 【详解】3223a a =+，11a =，223q q ∴=+，又0q >，所以3q =，33131313S -∴==-.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的求和，考查了学生的运算求解能力.4.已知向量()1,1a =，()2,4b =，则()a b a -⋅=（ ） A. -14 B. -4C. 4D. 14【答案】B 【解析】 【分析】由条件算出a b -，进而由公式算出()a b a -⋅. 【详解】()1,1a =，()2,4b =，()1,3a b ∴-=--，()()()11314a b a ∴-⋅=-⨯+-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，考查了学生的基本运算能力. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.2π B.32π C. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体积.【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，故该几何体体积为2213121122V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图还原原几何体，计算几何体体积，考查了学生的直观想象能力.6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A.85B.32C.43D. 1【答案】C 【解析】 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的结果，即可得最后的结果.【详解】100k S T ===，，，则1612S T k =<==，，；43633，，=<==S T k ；6S =，输出43T =. 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，属于基础题.7.已知()f x 是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式()()20f x x f x -->的解集为（ ） A. ()(),02,-∞+∞B. ()0,2C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性可得2-<x x x ，求解即得02x <<.【详解】因为()f x 是定义在R 上的减函数，则由()()20f x x f x -->得()()2->f x x f x ，即2-<x x x ，解得02x <<.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，利用单调性求解不等式，考查了学生的运算求解能力.8.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】因为直线l 的斜率为1，得45∠=NMC ，所以11，，OP OM r OC CM PO ==-=⊥， 从而有1OP OC ==得2r ，又CP 垂直平分线段MN ，所以可得MCN ∆为等腰直角三角形，故可得MN .【详解】因为直线l 的斜率为1，得45∠=NMC ，所以11，，OP OM r OC CM PO ==-=⊥从而有1OP OC ==得2r ，又CP 垂直平分线段MN ，所以可得MCN ∆为等腰直角三角形，故MN ==故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，及平面几何的相关知识. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 220x y +-= C. 210x y +-= D. 220x y --=【答案】A 【解析】 【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程. 【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ， ∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题. 10.若直线y ax =与曲线ln 1y x =-相切，则a =（ ） A. e B. 1C.1eD.21e 【答案】D 【解析】 【分析】设切点()00,x ax ，则由导数的几何意义可得0001ln 1a x x ax⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程组可得a .【详解】设切点()00,x ax ，又函数ln 1y x =-的导函数为1y x'=，则有 0001ln 1a x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得：2201a e x e ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查学生对导数几何意义的理解.11.已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =且P ABCD -的体积为323，则球O 的表面积为（ ） A 25π B. 253πC.254πD. 5π【答案】A 【解析】 【分析】设正四棱锥底面的中心为1O ，则由体积可求得棱锥的高14PO =，设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得R ，即可得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面的中心为1O ，则有()211322233PO ⨯⨯=，可得14PO =， 设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得52R =， 所以球O 的表面积为22544252R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查了正棱锥的外接球的表面积计算，考查了学生的直观想象和运算求解能力.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足2AOD DOE AOC ∠=∠=∠，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE EB +取得最大值时，sin AOC ∠=（ ）A.26B.14C.23D.12【答案】B 【解析】 【分析】设04，AOC ∠=<<πθθ，则24，DOE EOB θπθ∠=∠=-，由余弦定理可表示出，DE EB ，则2192sin 2cos 24sin 44DE EB θθθ⎛⎫+=+=--+ ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】设04，AOC ∠=<<πθθ，则24，DOE EOB θπθ∠=∠=-，在DOE ∆中，由余弦定理得2sin DE ====θ，在BOE ∆中，由余弦定理得2cos 2BE θ====()22192sin 2cos 22sin 212sin 4sin 44DE EB θθθθθ⎛⎫∴+=+=+-=--+ ⎪⎝⎭，又04πθ<<，所以当1sin 4θ=时，DE EB +有最大值. 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，余弦定理，三角函数的最值求解，考查了学生的应用意识与运算求解能力.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x+≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可） 【解析】 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1 ，带入.【详解】解：当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可.例如x ＝－1时12x x+=-.故答案为：－1 （任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”.已知DEF ∆是锐角ABC ∆的欧拉三角形，若向ABC ∆所在区域内随机投一个点，则该点落在DEF ∆内的概率为______. 【答案】14【解析】 【分析】由题知14DEF ABC S S ∆∆=，则由几何概型公式可得所求概率. 【详解】由题知14DEF ABC S S ∆∆=，则由几何概型公式可得该点落在DEF ∆内的概率为14DEF ABC S P S ∆∆==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可.15.已知F 是双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若2OP b =，6POF π∠=，则M 的离心率为______.【解析】 【分析】由题意不妨设点P 在第一象限，又2OP b =，6POF π∠=得),Pb ，代入双曲线方程可得2232a b =，则222252c a b b =+=，故可得离心率. 【详解】由题意不妨设点P第一象限，又2OP b =，6POF π∠=得),Pb ，代入双曲线方程得222231b b a b-=，则2232a b =，所以222252c a b b =+=，故离心率3e ===.故答案为：3【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，考查了学生的运算求解能力.16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点； 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =， 又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性等性质，考查了函数零点的个数判断，考查了数形结合，函数与方程的思想.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）若2AB =，求点B 到平面11A B D 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ，证明四边形EODC 为平行四边形，从而得到//OD EC ，即可得证//OD 平面ABC ；（2）设点B 到平面11A B D 的距离为h ，采用等体积法由1111A BB D B A B D V V --=解方程得h 即可. 【详解】（1）证明：取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，EAB 中点，O 为1AB 中点，所以EO 为1AB B 中位线， 故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC 中点， 所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ， 所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）因为111A B C △为等边三角形，D 为1CC 中点，2AB =，114CC AA ==， 所以12C D =，所以：1122A D B D ==112A B =， 所以：1112772A B D S =⨯=△114242BB D S =⨯⨯=△. 点1A 到平面11BB C C 3， 设点B 到平面11A B D 的距离为h ， 由1111A BB D B A B D V V --=得11111333A B D BB D S h S ⋅⋅=⋅△△解得421 h .【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，点到平面的距离计算，考查学生采用等体积法求点到平面的距离，考查了学生直观想象能力和转化与化归的思想.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.（结论不要求证明）【答案】（1）3.26亿万元（2）38（3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】【分析】（1）由柱状图表得出这5年的市场规模，运用公式求平均数即可；（2）根据柱状图表算出从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值，利用古典概型算出概率；（3）由折线图判断从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大. 【详解】（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数2.1 2.73.1 3.94.53.265x ++++==万亿元；（2）设A 表示事件“从2012年至2019年中随机挑选一年，读年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元”，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为： 3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000（单位：亿元）， 所以()38P A =. （3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，统计图表的认识，样本的数字特征，考查学生数据分析能力，以及对平均数，方差概念的理解.19.ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =b =ABC ∆求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=（2）分类讨论，见解析【解析】 【分析】（1）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，即可得3A π=； （2）分三种情况求解：选择①得，2sin 2sin ，bB cC ==，则有ABC ∆的周长2sin 2sin n i 6l a b c B C B π=++=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32sin a B =，3cos sin 2sin 2C B c B B ==+，则有3(1cos )32sin 222tan2B l B B +=+=+；选择③得4bc =，则有l a b c b c =++=+；分别利用三角函数与基本不等式求出周长的范围.【详解】（1）因为222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=；（2）选择①a = 因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC ∆的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭3sin B B =6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC ∆周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B =，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC ∆的周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 22sin 2B B l a b c B B B +=++=++=+26cos 24sincos 22B B B =+32tan2B=+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC ∆周长的取值范围是()+∞.选择③ABC S ∆.因为3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△，得4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC ∆的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC ∆周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了三角形周长范围的求解，是个典型题目.解决三角形周长范围，可用正弦定理化角转化为三角函数的求值域或用余弦定理及基本不等式来求解.20.已知函数()()()22ln ln 0f x ax a x a a x=-+-->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12f x f x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）先求()f x '，通过讨论a 的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=，表示出()()12(2)ln2ln 2a f x f x a a +=+-，令()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，求()h x 的最小值即可得解.【详解】（1）0x >，0a >，()22222(2)2a ax a x a x f x x x+-++=-+='2(1)(2)x ax x --=，由()0f x '=得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()22210x f x x -'=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增；③若2a >，则21a <，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=， ()()112ln f x f a a ==--，()222(2)ln ln 2af a a a a f x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2af x f x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()ln ln 21h x x '=-+，由()0h x '<得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()0h x '>得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以当0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12f x f x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了转化与化归的思想.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积为33P 的坐标.【答案】（1）2219x y +=（2）(3P 或(6,3P -【解析】 【分析】（1）由题得1MD =，3ND =，结合图2，可知椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故可得椭圆的方程；（2）设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33t y x =-，设()11,Q x y ，()22,R x y ，由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()22960t y ty +-=，算出1269t y t =+，同理得2221ty t=-+，所以得四边形12AQA R 的面积为()()()22112222431291t t S A A y y t t +=⋅-=++，令S =t =，当0t <时，由对称性可得t =P .【详解】（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=；（2）设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y . 由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+. 由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t tt S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++.由于0t >，23t m t+=≥，故244S m m==+解得m =m =（舍去），即t =0t <时，由对称性可得t =.综上，当点(P或(6,P 时，四边形12AQA R的面积为【点睛】本题是一道与椭圆有关的创新题，考查了直线与椭圆相交的综合问题，考查了学生的运算求解能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=. （2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩， 解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=.所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(三)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{y ｜y ＝2x ，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －2x ）}，则M∩N 为（ ） A. （1，＋∞） B. （1，2）C. [2，＋∞）D. [1，＋∞）【答案】B 【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}{}22|lg(2)20N x y x x x x x ==-=- {}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)MN =．故选B ． 2.i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A. －15 B. －3C. 3D. 15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多1斤 B. 少1斤C. 多13斤D. 少13斤【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C5.设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．6.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A. 26B. 4C. 23D. 22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=22222PD =+=22CD =2242026PC PA AC =+=+=∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．7.当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A.914B.514C.37D.928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A. ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >> D. ()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 9.数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A.1021B. 2021C. 919D. 1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=，又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】C 【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．11.设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A.B.1C.D.1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=，即2OA F P ⊥，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=得220OA F P ⋅=， 即2OA F P ⊥；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且12PF =，所以)12c a =，解得1e =， 故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 12.已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B. e,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C. e,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D. [)1,e -【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则a =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160-求得实数a 的值．【详解】二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项公式为()662161r rr r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令620r -=，求得3r =，可得常数项为336160C a -⋅=-，2a ∴=，故答案为2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr=__________．【答案】41 【解析】 【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出412R =，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出R r． 【详解】四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，()222221616941R AB AD AP ∴=++=++=， 412R ∴=， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆， ∴内切球半径为21PADPADS r L ∆∆==， 故41R r =． 故答案为41．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D ，所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是__________. 【答案】123【解析】 【分析】根据Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似，2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，利用体积公式求解OP 最值，根据勾股定理得出223348144h x x =-+-，06x ≤≤，利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，又90ADP MCP ∠=∠=， ∴Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似 ∴2AD PDMC PC==，即2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，设DO x =，PO h =， ()222226x h x h +=-+223348144h x x =-+-，06x ≤≤，根据函数单调性判断，6x =时，23h 取得最大值36，max 23h = 在正方体中PO ⊥平面ABCD . 三棱锥P BCD -体积的最大值为11662312332⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos 33sin B C Ab c C+=. （1）求b 的值；（2）若cos 32B B +=,求a c +的取值范围.【答案】（1）3b =（2）33a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin AC转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=化简得2b =2b =（2）cos 2B B +=1cos 122B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈ 62B ππ∴+=所以3B π=法一.21sin bR B== 则sin sin a c A C +=+=2sin sin 3A A π⎛⎫+-⎪⎝⎭=3sin cos 22A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<33a c ∴<+≤ 法二 因为32b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立.所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭3a c ∴+≤又由三边关系定理可知3a cb +>=综上3,3a c ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝18.在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】 分析】（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C EBE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF 为平行四边形.∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()13C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()132AC ='-，，，()201AF =-，，，∴20320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()132n=，，.2cos,2m nm nm n⋅==⋅，由图形观察可知，平面AFC'与平面BEC'所成的二面角的平面角为锐角.∴平面AFC'与平面BEC'所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望()E X．（参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】(1) 0.005a=；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X=3【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a+++⨯=，解得0.005a=；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=，所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），填表如下：假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视服从二项分布，即34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，4431()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =，故0404311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22243154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 313431108(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4443181(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：数学期望为3()434E X =⨯=.或（1125410881()012343256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量(),XB n p ，则()()(),1E X np D x np p ==-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为120y -=过椭圆C 的右焦点F ,过F 的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l于点Q ，试判断()FP FQ MN +⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）定值为0.【解析】 【分析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简()FP FQ MN +⋅，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果. 【详解】（10y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=，因为离心率为12，所以2212,1243c x y a b a =∴==+=，（2）(2,0)A ，设直线:1m x ty ，1122(,)(,)M x y N x y则11112:(2)(4,)22y y AM y x P x x =-∴--22222:(2)(4,)22y y AN y x Q x x =-∴-- 因此1221211222()(33,)(,)22y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅---- 12212112226()()()22y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()()6()]()6]11()1y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由221431x x y ty ，得22(34)690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t --+==++， 因此2221221222122122236122442()3434346496()11343434t t t ty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数221()22x x f x e ae a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；（2）341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1）()()22'()22x x x x f x eae a e a e a =--=+-， 当0a =时，2'()0xf x e =>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >，∴()f x (,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，'()0f x <，ln()x a <-，'()0f x >，ln()x a >-，∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.（2）由（1）可知：当0a =时，2()0x f x e =>，∴0a =成立.当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2a a f x f a e ae a a ==--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102a <≤.当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2a a f x f a e ae a a --=-=--- 2232ln()02a a a =--≥， 3ln()4a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON面积.【答案】(1) 直线l ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线l x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋cos θ，因为222sin cos x y y xρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋x，即(x 2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l过圆C 的圆心1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2f x x =++x a -.（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值.【答案】(1) 82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2) 2a = 【解析】【分析】（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值．【详解】（1）1a =时，()121f x x x =++-.当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-.当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤.当1x >时，317x -≤ ，解得813x <≤. 综上，()7f x ≤的解集为82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）1a >-.()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩，由()y f x =的图象知，()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(二十)文科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出A B ⋂,然后再求子集个数. 【详解】由题意可得:{}0,1A B =,有两个元素,则其子集个数有224=个.故选:A.【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数7iz 1i-=+，则|z|＝（ ） A.72B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为a bi +的形式，再求复数的模.【详解】依题意()()()()7i 1i 86i 43i1i 1i 2z +--===-+-，故5z==.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解. 3.已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2==，，则()2a b b +⋅=（ ） A. 64 B. 36 C. 8 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?a b b +的值. 【详解】依题意()222a b b a b b +⋅=⋅+2π212cos263=⨯⨯⨯+=，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4.△ABC 中，（a ﹣b ）（sinA+sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ．其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则A ＝（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.【详解】由正弦定理得()()()a b a b c b c-+=-，即222c b a bc +-=，即2221cos 22c b a A bc +-==，由于A 为三角形内角，故π3A =.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值. 5.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 6.设函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，则()()233f f log -+＝（ ）A.112B.132C.152D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出()()233f f log -、，即可得出结果. 【详解】根据题意，函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，()2342f log -==，()()22log3129322f log -==，则()()291333222f f log -+=+=； 故选B ．【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＞，＞，＜的部分图象如图所示，点3π0023⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，7π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，在图象上，若12π7π33x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则()12f x x +=( )A. 3B.32C. 0D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出A ，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】由条件知函数的周期满足T ＝2×（733ππ-）＝2×2π＝4π，即2πω=4π， 则ω12=，由五点对应法得3πω+φ＝0，即132π⨯+φ＝0，得φ6π=-， 则f （x ）＝A sin （12x 6π-），则f （0）═A sin （6π-）12=-A 32=-，得A ＝3，即f （x ）＝3sin （12x 6π-），在（733ππ，）内的对称轴为x 743323πππ+==， 若12,x x ∈（733ππ，），12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则12,x x 关于x 43π=对称，则12x x +＝24833ππ⨯=， 则()12f x x +=f （83π）＝3sin （18236ππ⨯-）＝3sin 76π=-3sin 362π=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．9.若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，2） C. （﹣1，0） D. （﹣2，0）【答案】D 【解析】 【分析】圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y ，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立()2211x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120mym m y m m +-+++=图像有两个交点∴方程有两个不同的实数根，即>0∆()()()22224142180m m m m m m ∆=+-++=->得0m <.圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10.在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，22BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. 16π B. 12πC. 43πD. 6π【答案】B 【解析】 【分析】由题意还原四面体ABCD 所在的正方体,则体对角线BD 即为四面体ABCD 外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积. 【详解】如图所示:由四面体ABCD 是面ABC (A 为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD 垂直于面ABC 的几何体，即四面体的外接球就是棱长为AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD23所以该四面体外接球的表面积是24312ππ⋅=.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.11.设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A. 01（，） B.01]（， C. []01， D.02]（， 【答案】A 【解析】 【分析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠，得到直线l 的方程，再设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2m t =，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =上准线方程是1x =-设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠．则直线l 的方程为210x ty t -++=．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝．代入抛物线方程可得2440y ty m -+=， 由216160t m -=＝，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t +=﹣．． ∴则P 到l 的距离的最小值()01d =，．故选A ．【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12.若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，e] B. （﹣∞，2]C. （0，2]D. （0，e]【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0x >时为递增函数，利用切线的斜率求得a 的取值范围.【详解】依题意设()xxf x e e -=-，这()'0x x fx e e -=+>，故函数在0x >时为递增函数，且()''x x fx e e -=-在0x >时为正数，故()'x x f x e e -=+单调递增，故()()'02f x f >=，而a 是直线()0y ax x =>的斜率，直线过原点，要使函数()0xxy e e x -=->的图象始终在射线()0y ax x =>的上方则需2a ≤.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若3tan α4=，则cos2α＝_____． 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角公式和齐次方程，求得cos2α的值.【详解】依题意222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++91169116-=+725=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题. 14.根据下列算法语句，当输入,x y ∈R 时，输出s 的最大值为____________. 输入x ，yIF 0AND 23AND 0y x y x y >=->=+<=THEN s x y =+ ELSE 0s =END IF输出s【答案】2【解析】【分析】根据题中程序分析出,x y满足的不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,然后分析比较满足时输出目标函数的最大值和不满足时输出目标函数的最大值,进而得出答案.【详解】由算法语句知,当x,y满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，则可得x,y满足的可行域如图阴影部分所示：则可得目标函数s x y=+经过M点是取得最大值，由230x yx y-=⎧⎨+-=⎩联立解得坐标M(1，1)，则可得目标函数s x y=+的最大值为112=+=+=s x y；当x,y不满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，由题意可得可得0s=,则经过比较目标函数的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本算法中的条件语句，线性规划中目标函数的最值问题;考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于一般难度的题.15.()f x是R上的偶函数，且当0x≥时，3()2f x x x=+，则不等式(2)3f x-<的解集为___．【答案】(1,3) 【解析】 【分析】根据条件可知()13f =，且()0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质()()f x fx =，转化为()()22f x f x -=-，这样比较2x -与1的大小关系.【详解】当0x ≥时，()32f x x x =+是单调递增函数，且()13f =，()()()2321f x f x f -<⇔-<即21121x x -<⇒-<-< 解得：13x << 故解集是()1,3.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，属于简单题型，意在考查转化与化归的能力，解抽象不等式时，如果函数是偶函数，()()12f x f x <时，转化为()()12f x f x <，再根据()0,∞+的单调性，比较1x 和2x 的大小.16.设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n .给出下列3个命题：①1//m n m ⇒与1n 平行或重合，②11m n m n ⊥⇒⊥，③11m n m n ⊥⇒⊥，其中所有假命题的序号是_____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由线与线、线与面的位置关系以及利用反例法一一推理判断即可得出答案.【详解】对于①:由题设直线m ,n 与平面α不垂直,且可设直线m ,n 确定的平面为β. 若αβ⊥，则1m 与1n 重合（为α,β的交线）;若α与β不垂直，则易知m 与1m ，n 与1n 确定的平面互相平行,从而11//m n ,故真命题;以下举反例说明命题②③不真.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，对于②:取平面α为ABCD,1m，1n分别为AC,BD,m,n分别为1A C,1BD,满足11m n⊥，但是不满足m n⊥,故命题为假;对于③:取平面α为11ADD A,1m,1n分别为11A D,1AD,m,n分别为11A C,1BD,满足m n⊥,但是不满足11m n⊥,故命题为假.故答案为:②③.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象、逻辑推理等能力,考查化归与转化思想.属于一般难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.若数列{a n}的前n项和为S n，且()()()212n n2n1a1a2S1S1S1++==++=+，，．（1）求S n；（2）记数列n1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，证明：1≤T n＜2．【答案】（1）21nnS=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用迭代法证得{}1nS+是等比数列，由此求得1nS+的表达式，进而求得nS的表达式.（2）根据（1）求得的n S的表达式.利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a的表达式，再求得n T的表达式，由此证得不等式成立.【详解】()1由题意有21211111 (111)n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.nn S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤<【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题. 18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）是，详见解析 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得a ;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求2K ,再进行比较判断.【详解】解：（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =.令得分中位数为x ，由0.020100.040(90)0.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =.故综合评分的中位数为82.5. （2）列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.19.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=.将AED∆，DCF∆分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图2所示.图1 图2 （1）求证：//PB平面MEF；（2）求三棱锥P EFM-的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23 P EFMV-=【解析】【分析】(1)结合翻折前后的变量与不变量的关系,利用线面平行的判定定理直接证明即可;(2)利用平面图形翻折前后的变量与不变量证明PM ⊥面PEF,由题中等量关系分别求出PM 和PEFS,然后由 PEF1PM 3P EFM M PEF V V S --==⨯⨯进行求解答案.【详解】解：（1）在图1中,连结BD 交EF 于N ,交AC 于O , 则1124BN BO BD ==.图1在图2中,连结BD 交EF 于N ,连结MN . 在DPB ∆中,有14BN BD =,14PM PD =,图2所以//MN PB .又因为PB ⊄面MEF ,MN ⊂面MEF , 故//PB 平面MEF .（2）根据题意,图2中的PDE ∆,PDF ∆, 即图1中的Rt ADE ∆,Rt CDF ∆, 所以PD PE ⊥,PD PF ⊥. 又PEPF P =,所以PD ⊥面PEF ,即PM ⊥面PEF .在PEF ∆中,2PE PF ==,22EF =2PEF S ∆=,所以11221333P EFM M PEF PEF V V S MP --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定、三棱锥体积的求法等基础知识，考查空间想象、逻辑推理等能力，考查化归与转化等数学思想,属于一般难度的题.20.已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）12k k 为定值，此定值为1.2- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得1212k k =-为定值. 【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21.已知函数21()e ()42xf x x a =--+. （1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若0x ≥，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）4290x y -+= （2）ln 4⎡-⎣【解析】 【分析】(1)对函数21()e (1)42xf x x =--+求导,求(0)f ,(0)f ',然后利用点斜式方程可求得答案; (2)对函数21()e ()42x f x x a =--+求导,构造函数(()e )=-+'=xh x x x f a 判断其在0x ≥上单调递增,分类讨论1a ≥-时:判断函数()f x 单调递增函数,然后再由()(0)0≥≥f x f 求得a 的取值范围;1a <-时,()00,x ∃∈+∞使得()00h x =,判断在()00,x 上函数()f x 单调递减,()0 ,x ∞+上单调递增,求得函数最小值()min 0()=f x f x 然后利用()()02001e 402=--+≥x f x x a 和()000e 0x h x x a =-+=进行适当地转化即可求出参数a 的取值范围,最后总结讨论结果得出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时,21()e (1)42xf x x =--+,()e 1x f x x '=-+, 则9(0)2f =,(0)2f '=,由点斜式方程可得:()9202y x -=-化简得:4290x y -+=,即切线方程为4290x y -+=.（2）由21()e ()42xf x x a =--+,得()e x f x x a '=-+, 令()e xh x x a =-+,则()e 10xh x '=-≥. 所以()h x 在[)0,+∞上单调递增,且(0)1h a =+. ①当1a ≥-时,()0f x '≥,函数()f x 单调递增,由于()0f x ≥恒成立,则有21(0)502f a =-≥,即a ≤,所以1a -≤≤;②当1a <-时,则存在0(0,)x ∈+∞,使得()00h x =,当00x x <<时,()0h x <,则()0f x '<,()f x 单调递减;当0x x >时,()0h x >,则()0f x '>,()f x 单调递增.所以()()02min 001()e 402xf x f x x a ==--+≥， 又0x 满足()000e 0xh x x a =-+=,即00e xx a -=,所以0021e e 402xx -+≥,则002e 2e 80x x --≤,即()()00420e e x x-+≤，得00ln 4x <≤. 又00e xa x =-，令()e x u x x =-，则()1e xu x '=-，可知，当0ln 4x <≤时，()0u x '<，则()u x 单调递减， 所以()e ln 44xu x x ≥=--， 此时ln 441a -≤<-满足条件.综上所述,a 的取值范围是ln 4⎡-⎣.【点睛】本题考查了函数与导数、不等式等基本知识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求M 的普通方程；（2）将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程.【答案】（1）22(2)4x y -+= （2）cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【解析】 【分析】(1)由极坐标方程和普通方程的转化直接求解即可得出答案;(2)先判断点Q 的轨迹为椭圆,然后利用椭圆定义直接求得椭圆方程即可. 【详解】解：（1）由4cos ρθ=两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=， 则224x y x +=,化简得C 的普通方程为22(2)4x y -+=. （2）如图所示:连接QA .由垂直平分线的性质可知,||||||||||2||QA QN PQ QN PN AN +=+==>. 所以点Q 的轨迹是以N ,A 为焦点（焦距为1）,长轴长为2的椭圆. 即11,2a c ==,所以223b ac =-=,3故可得Q 的轨迹的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程、椭圆的参数方程与椭圆的定义等基础知识，考查推理论证能力和创新意识，考查化归与转化、数形结合等数学思想,属于一般难度的题. 23.设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．【答案】（1）[]1,3-；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求+a b 的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x 的取值范围.（2）求出4a b +的最小值，然后进行判断【详解】()1由a b ab +=，得111,a b += ()114a b a b a b ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时""=成立. 不等式2x x a b +-≤+即为24x x +-≤.当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤；综上，实数x 的取值范围是[]1,3-. ()2由于0,0a b >>.则()114445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+= 当且仅当4,,b a a b a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3,32a b ==时，4a b +取得最小值9. 所以不存在实数,a b ，使得48a b +=成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十九)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（ ）A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．4950B ．5151C ．0D ．5050 5．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（ ）A ．22(2)(2)2x y +++= B ．22(2)(2)2x y -+-= C ．22(4)(4)4x y -+-= D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（ ） A ．45 B ．25 C ．425 D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24 B． C ．39 D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =_____m ．15．已知双曲线与y x =-直线有公共点，与直线2y x =-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，1A E 与平面ABCD 所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的最大值为3；③点M 的轨迹是圆的一部分，且||MB =④一定存在某个位置，使1DE AC ⊥；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列． （1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小．18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点G ，H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； （2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知正实数x ，y ，z ，求证： （1）()2()4x y xy zxyz ++≥；（2）3x y z ++=≤数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．13．56 14．300+ 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：（1）由已知可得211123a a q a q +=， 2分 ∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=．解得1q =或13q =-． ∵1q ≠，∴13q =-4分 （2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-，∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 7分(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >． 综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <． 12分18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助， ∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为14%=． 4分 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，29.967K =． 8分 ∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 12分 19．解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以//AB DE ． 2分又因为AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ． 4分 因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ⋂平面PDE FG =， 所以//AB FG ． 6分 （2）因为PA ⊥底面ABCDE ， 所以,PA AB PA AE ⊥⊥． 如图建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0)A B C P F BC =． 8分设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉==． 10分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π． 12分20．解：（1）没公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 2分将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-． 令21()ln m x x x e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 6分（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 7分 对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =．当x >时，()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =时，()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 10分 练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<，下面证明11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a '=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a +<． 12分 21．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点()00,P x y由点差法得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12120121203344y y x x x k x x y y y -+==-=--+，00OQ y k x = 3分所以34OQ k k ⋅=-，故43OQ k k ⋅=- 5分 由(1,0)F ，所以设直线1:1,[1,2]l x my m k=+=∈ ∵()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ ∵0∆>恒成立，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++ 7分 因为直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，所以2MQ O NQ Q k k k =+12122222y t y t tx x --+=⋅--， 8分 ∴()()()()()()1221212222y t x y t x t x x --+--=-- ∴()()()()()()1221211111y t my y t my t my my --+--=--()()()22121222952,23434mtmm y y y y t tm m t m m ---++=-+=++ ()2313m m +=，∴2331313m t m m m==++，∴33,164t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12分 22．解：（1）22:16C x y +=，所以C 的极坐标方程为：4ρ= 4分（2）sin12N ρ=，sin 12B ρ=6分 由1sin602OBNB N Sρρ︒=与144sin 602OAMS ︒=⨯⨯∴ABNM OBNOAMS SS=-= 10分23．解：证明：（1）要证()2()4x y xy z xyz ++≥，可证222240x y xz xy yz xyz +++-≥，需证()()2222220ac ac b a c b bc +-++-≥，()()2222220y x z xz x z y yz +-++-≥即证，22()()0y x z x z y -+-≥当且仅当x y z ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立． 5分（2）因为x ，y ，z 均为正实数，由不等式的性质知，12322x x +++≤=当且仅当12x +=时取等12322y y +++≤=当且仅当12y +=时取等12322z z +++≤=当且仅当12z +=时取等因为3x y x ++=，以上三式相加即证 10分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十二)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =（ ）A. {}3B. {}1,7C. {}2,8D. {}2,3,4,5,6,8 2.设α是平面，,m l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ）4．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，i ei 4π表示的复数位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 5.平面向量a 与b 的夹角为60°，且3a =，b 为单位向量，则2a b +=（ ）A. 3B. 19C. 19D. 236.已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A.2B.53 C.52D.5 7.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,1),1ln()(cos x ex xx x f xπ的图像大致是( )8．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a （ ） A.2 B.2- C.1 D.1-9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十四)理科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1.设集合{}{}2160A x x B x x x =>=--≤，，则AB =（ ）A. [)3-+∞，B. [)2-+∞，C. (]12，D. (]13， 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ，再根据交集定义求结果. 【详解】{}260[2,3]B x x x =--≤=-(1,3]A B ∴=故选：D【点睛】本题考查交集定义以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知0a bc d >>>，，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B. a d b c ->-C.a bc d> D. ac bd >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质得B 正确，举反例说明A,C,D 错误. 【详解】0a b c d d c a d b c >>>∴->-∴->-，.故B 正确；221214a b a b =>-==<=，，故A 错误；21210,a b c d =>==>=>，1a bc d==，故C 错误； 12210,a b c d =->-==>=>，2ac bd =-=，故D 错误；故选：B【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知()()0cos a ππα∈+=，，tan α的值为（ ） A. -2 B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】()cos cos 555πααα+===-()0sin tan 2a παα∈∴==-，， 故选：A【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）A. 221362x y +=B. 2211816x y +=C. 221126x y +=D.22198x y【答案】D 【解析】 【分析】根据定义以及条件列关于,,a b c 方程组，解得结果.【详解】由题意得31,3,2323ab ab c c a b a c a cπ⎧⎧==⎪⎪∴⋅====⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩即标准方程可以为22198x y故选：D【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ） A. 60 B. 70C. 80D. 90【答案】A 【解析】 【分析】根据方差含义列不等式，解得结果.【详解】设甲同学的数学成绩为x ，则2(82)50862102x x故选：A【点睛】本题考查方差公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ） A.127B.19C.13D.23【答案】C【解析】 【分析】先确定总事件数，再确定游戏只进行一回合就结束的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】三人同时随机出拳，共有33327⨯⨯=种基本事件； 其中游戏只进行一回合就结束的事件数为3319⨯⨯=； 所以所求概率为91273=； 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.在边长为2的菱形ABCD 中，3DAB BM MC π∠==，，则AC DM ⋅=（ ）A. 1B. 3C. 3D. 33【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积坐标表示得结果. 【详解】以AC,BD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，则31(3,0),(0,1),(3,0),(0,1)()22A B C D M -∴- 33(23,0))322AC DM ∴⋅=⋅-=； 故选：C【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知直线l 与平面α所成角为45°，l 在α内的射影为m ，直线n ⊂α，且n 与m 所成角为45°，则l 与n 所成角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C 【解析】 【分析】根据三余弦定理列方程解得结果.【详解】设l 与n 所成角为θ，所以1cos cos cos 4423πππθ==∴θ= 故选：C【点睛】本题考查三余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，，则实数ω的取值范围是（ ） A. 1163⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确诊范围，解不等式得结果.【详解】()3sin cos sin cos )6223f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭ []0[,]333x x ππππωωπ∈∴+∈+， 因为()f x 在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，， 所以21123363πππωπω≤+≤∴≤≤ 故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 10.地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ） A. 51秒 B. 56秒C. 61秒D. 80秒【答案】C 【解析】 【分析】先求长宁县探测到纵波时间，再求横波到达成都时间，最后根据定义求预警时间.【详解】长宁县探测到纵波时间1616[,]7 5.5,横波到达成都时间为261261[,]4 3.2所以预警时间为2611626116[4,4](58.3,75.3)4 5.5 3.27----≈ 故选：C【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知函数()()e sin 'xf x x f x =，是()f x 的导函数，有下述四个结论①()f x 是奇函数 ②()f x 在()1010ππ-，内有21个极值点 ③()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数 ④()f x ax ≥在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立的充要条件是1a ≤其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ①③④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义判定①成立；根据导数符号判定③成立；根据导函数零点确定②错误；根据恒成立以及对应函数最值确定④正确. 【详解】()(),esin()()xx R f x x f x f x -∈-=-=-∴，是奇函数 ; 即①成立；当[0,10)x π∈时()()e sin '(sin cos )0(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x x f x x f x e x x x k k ππ=∴=+=∴=-+=，当(10,0)x π∈-时()()e sin '(sin cos )0x x f x x f x e x x --=∴=-+=，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ∴=+=----------因此()f x 在()1010ππ-，内至多有20个极值点；即②错误； 当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()()e sin '(sin cos )0xxf x x f x e x x =∴=+>，，()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，即③成立；当0x =时()00f x ax a R =≥=∴∈当(0,]4x π∈时()sin x e xf x ax a x ≥⇔≤设2sin (sin cos sin )x x e x e x x x x x y y x x +-'=∴=令sin cos sin sin (cos sin )0(0)0,0t x x x x x t x x x x t t y ''=+-∴=+->∴>=>因为当0x →时0sin (sin cos )111x x x e x e x x y a x =+=→=∴≤，即④正确.故选：C【点睛】本题考查奇函数定义、函数极值、利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.12.已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ）B.32C.53【答案】D 【解析】【分析】先根据双曲线定义以及勾股定理解得FB a =，再根据勾股定理求离心率.【详解】解：记双曲线的左、右焦点分别为'F F 、，设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c ．连接'''AF BF CF 、、．∵AF FB ⊥，结合双曲线的对称性可知四边形'AFBF 是矩形，∴'2F BF π∠=．设FB x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'23CF a x =+．在'Rt CBF 中，222''BF BC CF =+，即()()22221623a x x a x ++=+可得x a =， 从而'23BF a x a =+=，FB a =，'Rt BFF △中，222''BF FB FF =+，即()()22232a a c +=， ∴22104a c =，∴10e =， 故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知z C ∈，i 是虚数单位，121zi i=+-，则z =__________________． 【答案】3i + 【解析】 【分析】根据复数乘法法则求解得结果. 【详解】12(12)(1)31zi z i i i i=+∴=+-=+- 故答案：3i +【点睛】本题考查复数乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为8y x a =+．投入的广告费6x =时，销售额的预报值为_______百万元． 【答案】66 【解析】 【分析】先求平均值，再代入线性回归方程得a ，最后利用线性回归方程估计结果. 【详解】因为0123415303540502,3455x y ++++++++====，所以3482=18a a =⨯+∴ 因此6x =时，861866y =⨯+= 故答案为：66【点睛】本题考查求线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为___________．【答案】6+ 【解析】 【分析】先确定体积最小时球与各面都相切，再求底面面积最小值，最后计算对应棱柱体积.【详解】体积取最小时，半径为1的球与各面都相切， 此时直三棱柱的高为2，底面内切圆半径为1，根据对称性可得当底面为等腰直角三角形时，底面面积最小， 设直角边长为a ，由22111(2)122322222a a a a a S a ++⨯=∴=+∴==+ 体积为2(322)642⨯+=+ 故答案为：642+【点睛】本题考查棱柱体积以及球与多面体相切问题，考查基本分析求解能力，属中档题. 16.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，角A 的平分线AD 交BC 于D 点．23AD a ==，，()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-，则A =___________，ABC 的面积为__________． 【答案】 (1). 3π (2). 33 【解析】 【分析】先根据正弦定理以及三角形内角关系化简条件即得1cos 2A =，解得3A π=； 再利用正弦定理解得1sin BD B =， 1sin CD C=，利用3BC BD CD =+=列方程，解得角B C ，，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-()sin sin cos 2sin sin cos sin C A C B C A C ∴=-sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+=1sin()2sin cos ,cos 023A CB A A A A ππ∴+==∈∴=，（，），由正弦定理可知：sin sin sinc b aC B A====c C b B==，，1sin sin sinBD ADBDBAD B B=⇒=∠，同理1sinCDC=，113sin sin3sin sinsin sinBC BD CD B C B CB C=+=+=⇒+=⋅，sin sin3sin sin33B B B Bππ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：2sin0664B Bππ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin62Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭或sin6Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭（舍），∴26B Cππ==，，或26C Bππ==，，∴3,a c==3,a b==132ABCS∴=⨯△．故答案为：3π;2【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.等比数列{}n a中，12a=且2，231a a+，，成等差数列．（1）求{}n a的通项公式；（2）数列{}n b满足1232n bna a a a=…，求数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）()*2nna n N=∈（2）nS=21nn+【解析】【分析】（1）根据条件列关于公比的方程，解得结果，再代入等比数列通项公式； （2）先根据条件解得()12n n n b +=，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为()0q q ≠．因为2321a a +，，成等差数列，所以()23212a a +=+，即()211212a q a q +=+， 所以220q q -=，解得2q或0q =（舍去），所以数列{}n a 的通项公式()*2n n a n N =∈．（2）因为()11232123222222n n n b n na a a a +⋅⋅=⋅⋅==…………，所以()12n n n b +=，从而()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111*********n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (122111)n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列和数列求和，考查运算求解能力，考查化归转化思想、函数方程思想渗透数学运算的核心素养．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2BC AB PBC =，是等边三角形，PAD △是直角三角形，O 为AD 中点．（1）求证：BC OP ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）3- 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点M ，根据等边三角形性质得BC PM ⊥，根据矩形性质得OM BC ⊥，最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果；（2）法一：建立空间直角坐标系，利用向量数量积求各面方向量 ，再根据二面角与法向量夹角关系求结果；法二：取PB 的中点N ，证明ANC ∠为二面角A PB C --的平面角，再根据解三角形得结果.【详解】（1）取BC 的中点M ，连接OM PM ，，在等边三角形PBC 中，BC PM ⊥； 在矩形ABCD 中，OM AB ，则OM BC ⊥．∵PMOM M =，∴BC ⊥平面POM ．∵OP ⊂平面POM ，∴BC OP ⊥． （2）法一：设2AB =，则23BC PM ==，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形且1PO =． ∵222PO OM PM +=，∴PO OM ⊥． ∴OA OM OP 、、两两垂直以O 为原点，OA 为x 轴，OM 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()()()()001100212P A B C -，，，，，，，，，，，， ()()()020121200AB BP BC ==--=-，，，，，，，，．设平面PAB 的一个法向量为的()111n x y z =，，，由00AB n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，得11112020x y z =-+=⎪⎩，，令11x =得()101n =，，．（注：也可证明PD 为平面PAB 的一个法向量）设平面PBC 的一个法向量为()222m x y z =，，，由00BP m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，得22222020x z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，，令21y =得(02m =，，． ()222223cos 1112n m <>=+，．由图知，二面角A PB C --为钝角，则二面角A PB C --的余弦值为3 （2）法二：设2AB =，则2AD BC ==，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形，∴2PA =，∴PAB △为等腰三角形，取PB 的中点N ，连接AN ，∵AN PB ⊥，∴221AN AP PN =-=．在等边三角形PBC 中，连接CN ，则CN PB ⊥，3CN =则ANC ∠为二面角A PB C --的平面角．连接AC ，在ANC 中，由余弦定理，2223cos 2213AN NC AC ANC AN NC +-∠===⋅⨯⨯． 则二面角A PB C --的余弦值为3【点睛】本题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质，二面角的定义以及二面角的求法，考查空间想象能力推理论证能力、运算求解能力．19.已知抛物线()220y px p =>，过点()10，的直线l 与抛物线交于A B ，两点，3OA OB ⋅=-．（1）求抛物线的方程；（2）以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，当点C 在y 轴上时，求ABC 的面积． 【答案】（1）24y x = （2）=3ABCS 7+4【解析】 【分析】（1）设直线l 方程为1x my =+，与抛物线方程联立，根据向量数量积坐标表示，结合韦达定理求得2p =（2）设线段AB 中点为M ，根据2AB CM =列方程解得M 坐标，再代入三角形面积公式求结果.【详解】（1）依題意，设直线l 方程为()()11221x my A x y B x y =+，，，，． 联立22y px =，得：2220y pmy p --=．由韦达定理：121222y y pm y y p +==-，，又221212122y y x x p p=⋅=， 1212121123OA OB x x y y y y p ⋅=+=+=-=-，所以2p =．故抛物线方程为24y x =．（2）设线段AB 中点为()()0M M C M x y C y ，，，由（1）知2221M M y m x m ==+，． 2122244M AB x x p x m =++=+=+，)221M C CM x m =-=+．依题意：2AB CM =，即())224121m m +=+．整理得2m =所以()2211147244ABCSAB CM AB =⋅===+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，考查运算求解能力考查数形结合思想，转化与化归思想．20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X （单位：吨）的分布列如下：紫长茄今年的平均统一收购价格Y （单位：万元／吨）的分布列如下：（1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z 表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.5 （2）() 4.22E Z =万元，分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率,列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（1）设事件A 表示一个大棚亩产量为12吨，事件A 发生的次数为ξ，因为每个大棚产量相互独立，所以()~305B ξ，． 这三个大棚总产量不低于34吨的概率()()()223333230510.5050.5P P P C C ξξ==+==⨯⨯-+⨯=．．（2）设事件B 表示亩产量为10吨，事件C 表示市场价格为0.5万元／吨，则()()0508P B P C ==．，．，每亩利润Z 的所有可能取值为：100515351006151205154512061557⨯-=⨯-=⨯-=⨯-=．．．，．．．．．，．．．，()()()35050804P Z P B P C ===⨯=．．．．， ()()()()()450502050805P Z P B P C P B P C ==+=⨯+⨯=．．．．．．，()()()57050201P Z P B P C ===⨯=．．．．，所以Z 的分布列为利润Z 的数学期望() 3.50.4 4.50.5 5.70.1 4.22E Z =⨯+⨯+⨯=（万元）．【点睛】本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力与应用意识；考查转化与化归、概率与统计思想.21.函数()()log 01a f x x x a a =->≠，且． （1）当3a =时，求方程()1f x =的根的个数； （2）若()ef x a≥恒成立，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=… 为自然对数的底数 【答案】（1）两个 （2）a e ≥ 【解析】 【分析】（1）转化为研究函数()3log 1g x x x =--零点问题，利用导数研究其单调性，再根据零点存在定理确定零点个数； （2）先转化对应函数最值问题：()min ef x a≥，再令ln 0t a =>，转化为解不等式11ln t t t e-+≥，最后根据导数研究新函数单调性，根据单调性解不等式得结果.【详解】（1）当3a =时，构造函数()3log 1g x x x =--，求导得：()11ln 3'1ln 3x g x x x-=-=， 当10ln 3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0g x <，()g x 在10ln 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；当1ln 3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，时，()'0g x >，()g x 在1ln 3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+上单调递增； ∵()10g =． 又∵()11101033ln 3g g g ⎛⎫⎛⎫=><= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴0113ln 3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00g x =，即()g x 存在两个零点01x ，， ∴方程()1f x =存在两个根．（2）()11ln '1ln x a f x x ax-=-=， i ）当01a <<时，()10f a a =-<，不合题意，舍去； ii ）当1a >时，由()'0f x =可得1x =，列表：据表可得，()()min 111ln ln ln ln ln f x f a a a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，依题意有()11ln ln ln ln e a a a a +≥ 令ln 0t a =>，则上式等价于()1ln te t e t+≥，等价于11ln t t t e -+≥，构造函数()()12111111ln 't t t t tt e t t t t t e t e teϕϕ------+=+-=-=，，记函数()()11'1t t u t e t u t e --=-=-，，易证得()u t 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()10u t u ≥=，∴()121'0t t e t t t teϕ--++=≥，∴()t ϕ在()0+∞，上单调递增，注意到()10ϕ=，∴()()()011t t t a e ϕϕϕ≥⇔≥⇔≥⇔≥． 综上所述，a e ≥．【点睛】本题主要考查函数的零点、导数在研究函数性质中的应用等基础知识：考查推理论证、运算求解能力：考查转化与化归、函数与方程、数形结合思想.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α的直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．【答案】（1）1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）4πα=【解析】 【分析】（1）根据加减消元得曲线1C 的普通方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程；（2）先写出直线1l ，2l 参数方程，代入2C ，1C ，再根据参数几何意义化简条件解得结果.【详解】（1）①：∵1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m 为参数），∴12121111m m m m x y m m m --++=+==+++， 又∵()121211111m m x m m m-++-===-+≠-+++， ∴曲线1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；②∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）由题意，设11cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 参数），2cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 依题意，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 1l 与2C 联立得()22sin cos 10t t αα-++=，2l 与1C 联立得()sin cos 1t αα+=，设点AB Q ，，对应的参数分别为A B Q t t t ，，，则 ()12sin cos A B A Bt t t t αα⋅=⎧⎨+=+⎩，1sin cos Q t αα=+， 由4PA PB OQ +=且0A B Q t t t >，，，得()12sin cos 4sin cos αααα+=⋅+． ∴()2sin cos 2αα+=，即1sin 22α+=，故sin21α=，又∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴4πα=． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.［选修4-5：不等式选讲］23.已知函数()2f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）若[]()013x f x x a ∈=+，，恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，， （2）(][)11-∞-+∞，，【解析】【分析】（1）先化分段函数形式，再根据分段函数性质分类解不等式，最后求并集得结果； （2）先根据绝对值三角不等式确定方程成立条件：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立，再根据不等式恒成立条件得结果. 【详解】（1）当a =1时，()311211311131x x f x x x x x x x +>⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，，，， 当1x <-时，135x -->，解得2x <-；当1x >时，135x +>，解得43x >； 当11x -≤≤时，35x +>，解得2x >(舍)；综上，原不等式的解集为()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，． （2）∵()23f x x a x a x a =++-=+恒成立，∵()()2223x a x a x a x a x a +-≥+--=++由绝对值不等式等号成立条件可知：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立．∵220x a -≤，∴22x a ≤，∴21a ≥，∴1a ≥或1a ≤-． ∴a 的取值范围为(][)11-∞-+∞，，【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．。
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故选：A
【点睛】本题考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
6.已知点 在直线 上，且满足 ，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，求出 的取值范围，再求 的范围．
【详解】由题意 ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，
，所以 ；
综上， 的取值范围为 ，
故选：D
【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合 、 中的不等式即可.
【详解】因为 ，
所以
故选：D
【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（十四）
故选：A.
【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
5.若圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设该圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，根据题意可得 ，所以 ，然后根据圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】设该圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，根据题意可得 ，所以
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
【详解】对于 ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项 错误；
对于 ，在线性回归模型中，相关指数 ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 ，故选项 正确；
对于 ，因为 且 ，所以 ，所以 ，故选项 错误；
对于 ， 或 或 ，故选项 错误.
故选：B.
【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调性，考查了充要条件，属于基础题.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 的正负以及与 大小关系分类讨论 单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果.
【详解】①当 时， 在 上单调递增，所以 ，因此ห้องสมุดไป่ตู้满足题意；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
因此⑴当 时， 在 上单调递增，所以 ，
或 或
⑵当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
B.在线性回归模型中，相关指数 ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 .
C.已知随机变量 ，若 ，则 .
D.设 均为不等于1的正实数，则“ ”的充要条件是“ ”.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项 正确；根据相关指数意义可知，选项 正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项 错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项 错误.
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.已知 ，则 =（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可根据复数的四则运算得出 ，然后根据复数的模的相关计算即可得出结果.
【详解】
，
故 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数 ，则 ，考查计算能力，是简单题.
3.下列结论正确的是（）
A.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.
4.若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中x的系数是（）
A. 54B. 81C. 96D. 106
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为 的展开式中各项系数之和为 ，所以 ，解得 ，
因此 的展开式的通项是 ，
由 得 ，
所以，展开式中 的系数为 .
，
∵ ，∴ 或 ，
∴ 或 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出 的范围，然后再利用不等式的性质求解．
7.函数 在区间 上的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数 的解析式，判断函数 的奇偶性及 的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】 ， ，
函数 为奇函数，排除A、D选项；
，排除B选项.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数 解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题.
8.已知函数 ，其中 ，记 为 的最小值，则当 时， 的取值范围为（）