概率论考研学霸笔记
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理概率论是考研数学中的一大重点，掌握好概率论的基本公式和解题思路对于备考考研数学非常重要。
本文将对考研数学概率论的备考重点公式和解题思路进行整理，帮助考生更好地备考概率论。
一、基本概率公式1.1 事件的概率公式对于一个随机试验，其所有样本点组成的样本空间为S，一个事件A是样本空间S的一个子集。
那么，事件A发生的概率P(A)定义为： P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A包含的样本点的个数，n(S)表示样本空间S 中所有样本点的个数。
1.2 事件的互斥与独立若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是互斥的：- 事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B = ∅- 事件A和事件B的概率相加等于1，即P(A∪B) = P(A) + P(B)若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是独立的：- 事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)二、常用的概率公式2.1 全概率公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到全概率公式：P(B) = P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) * P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
2.2 贝叶斯公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / (P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) *P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An))其中，P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
概率论背诵笔记
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA。
2、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)C＝A(BC)。
3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)。
4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
f
(
x,
y)
4,
1 x 0, 0 y 2x 1, 2
0,
其他.
( X ,Y )关于X的边缘概率密度为
当x 1 时， 2
fX (x) 0；
fX (x) f (x, y)dy,
当 1 x 0时， 2
fX (x)
f (x, y)dy
2x1 4dy 8x 4；
0
当x 0时,
k
k
k
k
3. A B AB A AB.
概率的性质
性质 1-1 0 P( A) 1, P() 0. 性质 1-2 对于任意事件A,B有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).
特别地,当A与B互不相容时, P(AUB)=P(A)+P(B).
性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
P
X
y 8
2
FX
y
8 2
,
其中FX (x)为X的分布函数.
故
fY
( y)
FY (
y)
FX
y
2
8
1 2
fX
y
2
8
1 2
1 8
概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果.随机事件事件:样本空间S的子集.必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生.∪B和事件事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生.5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生.6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率.1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ;3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…,PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+…2.性质1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,PA1∪A2∪…∪An=PA1+PA2+…+PAn有限可加性与可列可加性合称加法定理3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA .4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA .5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB .对于任意n个事件A1,A2,…,An…+-1n-1PA1A2…An四.等可能古典概型1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};2每一个基本事件的概率相等,即Pe1=Pe2=…= Pen.则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型.2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0.PA 1A 2…A n =PA 1PA 2|A 1PA 3|A 1A 2…PA n |A 1A 2…A n-1 n ≥2, PA 1A 2…A n-1 > 03. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S ,则当PB i >0时,有全概率公式 PA=()()i ni i B A P B P ∑=1当PA>0, PB i>0时,有贝叶斯公式P B i|A=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足PAB = PA PB 时,称A,B 为相互独立的事件.1两个事件A,B 相互独立 PB= P B|A .2若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足PABC =PA PB PC,则称A,B,C 三事件相互独立.个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k 1<k ≤n,任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数Fx=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:10≤Fx≤1 ,F -∞=0,F∞=1. 2Fx 单调不减,即若x 1<x 2 ,则 Fx 1≤Fx 2.3Fx 右连续,即Fx+0=Fx. 4P{x 1<X≤x 2}=Fx 2-Fx 1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k k=1,2,… 也可以列表表示. 其性质为:1非负性 0≤P k ≤1 ; 2归一性11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 Fx=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x kk=1,2,…处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布1X~0-1分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p 0<p<1 .2X~bn,p 参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k=0,1,2,…,n 0<p<1 3X~参数为的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !k=0,1,2,… >0 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数Fx 可以表示成某一非负函数fx 的积分Fx=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f x 称为X 的概率密度函数.2.概率密度的性质1非负性 fx ≥0 ; 2归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;3 P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; 4若f x 在点x 处连续,则f x=F/x .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布1X ～U a,b 区间a,b 上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . 2X 服从参数为的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 >0.3X~N ,2参数为,的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -<x<, >0.特别, =0, 2=1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N 0,1,其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, -x=1-Φx .若X ～N ,2, 则Z=σμ-X ~N 0,1, P{x 1<X ≤x 2}=Φσμ-2x-Φσμ-1x .若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：z =1- , z 1- = -z .四.随机变量X 的函数Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数若gx k k=1,2,…的值全不相等,则由上表立得Y=gX 的分布律.若gx k k=1,2,…的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=gX 的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X x,则求其函数Y=gX 的概率密度f Y y 常用两种方法：1分布函数法 先求Y 的分布函数F Y y=P{Y ≤y}=P{gX ≤y}=()()dx x f ky Xk∑⎰∆其中Δk y 是与gX ≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间可能不只一个,然后对y 求导即得f Y y=F Y/y .2公式法 若gx 处处可导,且恒有g /x>0 或g / x<0 ,则Y=g X 是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=yhyhfyf XY其它βα<<y其中hy是gx的反函数 , = min g -,g = max g -,g .如果f x在有限区间a,b以外等于零,则 = min g a,g b = max g a,g b .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量X,Y称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数Fx,y=P{X≤x,Y≤y}称为X,Y的X和Y的联合分布函数.2.分布函数的性质1Fx,y分别关于x和y单调不减.20≤Fx,y≤1 , Fx,- =0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y .4对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= Fx 2,y 2- Fx 2,y 1- Fx 1,y 2+ Fx 1,y 1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i ,y j i ,j =1,2,… 称X,Y 为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为X,Y 的联合分布律.也可列表表示.2.性质 1非负性 0≤p i j ≤1 .2归一性 ∑∑=i jijp 1 .3. X,Y 的X 和Y 的联合分布函数Fx,y=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f x,y,使对任意的x 和y,有Fx,y=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),(则称X,Y 为二维连续型随机变量,称fx,y 为X,Y 的X 和Y 的联合概率密度.2.性质 1非负性 f x,y ≥0 . 2归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .3若f x,y 在点x,y 连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 4若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. X,Y 关于X 的边缘分布函数 F X x = P{X ≤x , Y<}= F x , .X,Y 关于Y 的边缘分布函数 F Y y = P{X<, Y ≤y}= F ,y2.二维离散型随机变量X,Y关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i · i =1,2,… 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ij p = p·jj =1,2,… 归一性11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量X,Y关于X 的边缘概率密度f X x=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y y=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有Fx,y= FX x FYy ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立⇔p i j= p i··p·j i ,j =1,2,…对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立⇔f x,y=f X xf Y y对X,Y所有可能取值x,y都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设X,Y是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi |Y=yj}为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj |X=xi}为在X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,}{},{jj ijjippyYPyYxXP•=====,}{},{•=====ij iijippxXPyYxXP第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i i =1,2,… 概率密度f x数学期望均值EX∑∞=1i i i p x 级数绝对收敛⎰∞∞-dx x xf )(积分绝对收敛方差DX=E{X-EX 2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=EX 2-EX 2 级数绝对收敛 积分绝对收敛函数数学期望EY=EgXi i i p x g ∑∞=1)(级数绝对收敛 ⎰∞∞-dx x f x g )()(积分绝对收敛标准差X=√DX .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX .,Y为任意随机变量时, E X±Y=EX±EY .3. X与Y相互独立时, EXY=EXEY , DX±Y=DX+DY .4. DX = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX~ 0-1分布P{X=1}= p 0<p<1 p p 1- p ~ b n,p 0<p<1 n p n p 1- p ~~ Ua,b a+b/2 b-a 2/12服从参数为的指数分布2~ N ,22四.矩的概念随机变量X的k阶原点矩EX k k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{X-EX k}随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩EX k Y l l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{X-EX k Y-EY l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11 k=1,2,… 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1k=1,2,…二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E X = EX , D X = DX / n .特别,若X~ N ,2 ,则 X ~ N , 2 /n .分布 1定义 若X ～N 0,1,则Y =∑=ni i X 12~ 2n 自由度为n 的2分布.2性质 ①若Y~ 2n,则EY = n , DY = 2n .②若Y 1~ 2n 1 Y 2~ 2n 2 ,则Y 1+Y 2~ 2n 1 + n 2.③若X~ N ,2 , 则22)1(σS n -~ 2n-1,且X 与S 2相互独立.3分位点 若Y~ 2n,0< <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3. t 分布1定义 若X~N 0,1 ,Y~ 2 n,且X,Y 相互独立,则t=nY X~tn 自由度为n 的t 分布. 2性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N ,2 时,nS X μ-~ t n-1 . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N 1,12 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N 2,22 Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t n 1+n 2-2 , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w3分位点 若t ~ t n ,0 < <1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点.注意: t 1- n = - t n.分布 1定义 若U~2n 1, V~ 2n 2, 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~Fn 1,n 2自由度为n 1,n 2的F 分布.2性质条件同3.2③22212221σσS S ~Fn 1-1,n 2-13分位点 若F~ Fn 1,n 2 ,0< <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=- 第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩 ll=1,2,…,k 得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式可以是分布律或概率密度为px, 1, 2,…, k ,称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L 1, 2,…, k 关于1, 2,…, k 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ i =1,2,…,k 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1)无偏性 若E ∧θ=,则估计量∧θ称为参数的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E X = EX , ES 2=DX, EA k =k =EX k ,即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值EX,方差DX,总体k 阶矩k 的无偏估计,2有效性 若E ∧θ1 =E ∧θ2= , 而D ∧θ1< D ∧θ2, 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.3一致性相合性 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤1寻找样本函数W=WX 1 ,X 2 ,…,X n ,,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.2利用双侧分位点找出W 的区间a,b,使P{a<W <b}=1-.3由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间θθ,为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间2已知 nX σμ-~N 0,1 2/ασz n X ±2未知 nS X μ-~ t n-1 )1((2/-±n t n S X α 2未知22)1(σS n -~ 2n-1 ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体1均值差 1- 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N0,1 )(2221212n n z Y Xσσα+±-未知22221σσσ==212111)(n n S Y X w +---μμ～tn 1+n 2-2)11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 2③.2 1, 2未知, W=22212221σσS S ~ Fn 1-1,n 2-1,方差比12/22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标/2改为,另外的下上限取为- 即可.。
考研数学概率论复习重要知识点
考研数学概率论复习重要知识点一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，用于量化不确定性。
而随机事件是指在一次试验中，不能事先确定出现的结果。
概率的数学定义：对于任意事件A，P(A)表示事件A发生的可能性大小，0 ≤P(A)≤ 1。
同时，P(Ω) = 1，其中Ω是样本空间。
二、加法公式概率公式若A1和A2是两个互不相容的事件，则有：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$容斥原理当两个事件不互不相容时，可以用容斥原理求出其概率：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \\cap A_2)$其中，$P(A_1 \\cap A_2)$ 表示事件A1和A2同时发生的概率。
三、条件概率条件概率是指已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的公式：$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$其中，$P(A \\cap B)$ 表示事件A和B同时发生的概率。
四、乘法公式用乘法公式计算两个事件的概率，即：$P(A \\cap B) = P(A|B)P(B)$五、独立事件若事件A和事件B满足以下条件，则称它们是独立的：$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果在样本空间Ω中，有一个有限或无限个互不相交的事件序列B1,B2,…,B n，且对Ω的任意一个子集A有：$A = (A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\cdots \\cup (A \\cap B_n)$则称事件序列B1,B2,…,B n是一组划分，其全概率公式为：$P(A) = P(A \\cap B_1) + P(A \\cap B_2) + \\cdots + P(A \\cap B_n)$贝叶斯公式如果事件B1,B2,…,B n是一组划分，并对每个$i=1,2,\\cdots,n$，有P(B i)>0，则贝叶斯公式为：$P(B_i|A) = \\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$其中，P(B i|A)表示在事件A发生的条件下，事件B i发生的概率。
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义第1章随机事件和概率一、考研辅导讲义1．随机现象与样本空间（1）随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．（2）样本空间随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．（3）随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．（4）随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系（1）包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．（2）事件相等若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．（3）互斥事件（互不相容事件）若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1【答案】C查看答案【解析】．（4）对立事件如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．3．事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组如果有限个事件满，且，则称为Ω的一个完备事件组或完全事件组．注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且．（4）事件的差事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．（5）事件的运算规律交换律结合律分配律对偶律【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－CB．A∪（B－C）C．（A∪B）－CD．（A∪B）－BC【答案】D查看答案【解析】因，故．而图1-14．概率的概念及基本性质（1）概率的公理化定义设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：①非负性公理：若F,则，②正则性公理：③可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件A的概率，称三元素F为概率空间．（2）概率性质①；②若两两互斥，则有③；④，则P（A）≤P（B）；⑤0≤P（A）≤1【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而．（3）事件独立性设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意满足等式则称为相互独立的事件．事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．（4）相互独立的性质①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立 D．与互不相容【答案】C查看答案【考点】相互独立【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立B．两两独立，但不一定相互独立C．不一定两两独立D．一定不两两独立【答案】A查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P （BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．②当0＜P（A）＜1时，A与B独立P（B|A）＝P（B）或成立．③若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立．④当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．【例】设随机事件A与B相互独立，且，则（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】因为事件A，B相互独立，则．故于是，则．（5）概率的运算公式①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P （ABC）．②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；当＞0时，有④全概率公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋．且B，构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为，当然．，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故，同理．因为乙中半白半黑，总之⑤贝叶斯公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P （A）＞0有【例】设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A查看答案【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由个样本点组成，则事件A的概率称P（A）为事件A的古典型概率．【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X ＝1︱Z＝0｝；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（2）几何型概率当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为，则事件A的概率称这种P（A）为事件A的几何型概率．【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为______．【答案】【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域．图1-2在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．根据几何型概率（3）条件概率设A，B为两事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】【答案】A查看答案【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝______．【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P （C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故将P（）＝和P（AB）＝，代入公式，得P（AB）＝＝．（4）伯努利试验如果试验E只有两个可能的结果：A及，并且P（A）＝p，（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．一个伯努利试验的结果可以记作ω＝（ω1，ω2，…，ωn）其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为，于是由独立性即得如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．图1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n ＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为。
2024考研数学概率论重要考点总结（2篇）
2024考研数学概率论重要考点总结2024考研数学考试中的概率论部分是一个非常重要的考点，对于考生来说，掌握好概率论的相关知识点是非常关键的。
下面是2024考研数学概率论重要考点的总结，希望能够帮助到考生。
一、概率基本概念：1. 随机试验、样本空间、随机事件；2. 古典概型、几何概型、随机变量概型；3. 定义域、值域、事件域；4. 频率与概率的关系。
二、概率公理与概率的性质：1. 概率公理；2. 概率的性质（非负性、规范性、可列可加性）；3. 条件概率、乘法公式；4. 全概率公式、贝叶斯公式。
三、随机变量的概念：1. 随机变量的定义；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 离散型随机变量的概率分布律、累积分布函数；4. 连续型随机变量的概率密度函数、累积分布函数；5. 随机变量的数学期望、方差、标准差。
四、常见概率分布：1. 二项分布；2. 泊松分布；3. 均匀分布；4. 正态分布。
五、多维随机变量与联合分布：1. 二维随机变量的联合分布律、联合分布函数；2. 边缘分布；3. 条件分布。
六、独立性与随机变量的函数的分布：1. 独立性的概念；2. 独立随机变量的数学期望、方差；3. 独立连续型随机变量的函数的分布；4. 独立离散型随机变量的函数的分布。
七、大数定律与中心极限定理：1. 大数定律的概念与几种形式；2. 切比雪夫不等式；3. 中心极限定理的概念；4. 利用中心极限定理进行概率近似计算。
八、随机过程：1. 随机过程的概念；2. 马尔可夫性；3. 随机过程的平稳性。
九、统计量与抽样分布：1. 统计量的概念；2. 抽样分布与大样本正态分布近似；3. 正态总体均值与方差的推断。
以上就是2024考研数学概率论部分的重要考点总结，希望对考生有所帮助。
考生要多进行习题的练习和考点的整理与总结，提高自己的概率论水平，为考试做好准备。
祝考生取得好成绩！2024考研数学概率论重要考点总结（2）2024考研数学概率论的重要考点总结如下：1. 概率的基本概念：样本空间、事件、概率等基本概念的定义和性质。
考研概率全程笔记
概率论基础知识第一章随机事件及其概率一随机事件§1几个概念随机实验::满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件1、随机实验下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。
例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Ω。
例如，在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}在E3中，Ω={0，1，2，……}例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。
概率论各章节复习口诀集锦
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为了同学们在考研道路中顺利通过，下面由小编给大家带来“概率论各章节复习口诀”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
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今日，小编带来的干货是考研数学概率论各章节复习口诀，熟记这些口诀能避免在做题当中犯细小的错误，并且有助于在复习过程中对知识点的记忆和巩固，希望同学们能牢记
第一章随机事件
互斥对立加减功，条件独立乘除清；
全概逆概百分比，二项分布是核心；
必然事件随便用，选择先试不可能。
第二、三章一维、二维随机变量
1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵
2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算
3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算
第五、六章数理统计、参数估计
正态方和卡方出，卡方相除变F，
若想得到t分布，一正n卡再相除。
样本总体相互换，矩法估计很方便；
似然函数分开算，对数求导得零蛋；
区间估计有点难，样本函数选在前；
分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。
第七章假设检验
检验均值用U-T，分位对称别大意；
方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；
不论卡方或U-T，维数减一要牢记；
代入比较临界值，拒绝必在否定域！。