2015年考研数学真题(数二)

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2015年考研数学二真题

0 x
由 f (0, y ) = y + 2 y 得 ( y + 1) + C = y + 2 y ，
2 2 2
解得 C = −1 ，即 f ( x, y ) = ( y + 1) e +
2 x
∫ ϕ ( x)dx − 1 ，
0
x
又由 f x′ ( x,0) = ( x + 1)e 得
x
e x + ϕ ( x) = ( x + 1)e x ，解得 ϕ ( x) = xe x ，
则f
(n)
(0) =
n(n − 1) ⋅ 2 ⋅ (ln 2) n − 2 = (ln 2) n − 2 n(n − 1) 。 2
（11） 2 。【解答】由 ϕ ( x) = x
x2
∫
x2
0
f (t )dt 得
ϕ ′( x) = ∫ f (t )dt + 2 x 2 f ( x 2 ) ，
0
再由 ϕ (1) = 1, ϕ ′(1) = 5 得
2 2 2
所以 A 的特征值为 λ1 = 2, λ 2 = 1, λ3 = −1 ，其对应的特征向量为 e1 , e2 , e3 ，因为 e1 ,−e3 , e2 为特征值 λ1 = 2, λ 2 = −1, λ3 = 1 对应的特征向量，所以 X = QY 下二次型的标准型为
2 2 ，应选 ( A) 。 2 y12 − y 2 + y3
因为
【解答】
sin t sin t f ( x) = lim[(1 + ) ] t →0 x
x
sin t x 2 ⋅ x t
= ex （ x ≠ 0 ），

2015年考研数学二真题及标准答案

2015年考研数学二真题一、选择题:（１~8小题,每小题4分，共3２分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C ）∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在（－∞,+∞)内(A)连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选Ｂ。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 （Ｂ)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0x α−1cos1x β=0， lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学真题答案(数二 )

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散（D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】(B)【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2）（1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则【答案】48【考点】复合函数的求导法则【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++，因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

数学二2015年考研真题及答案解析

x2
2．函数
f
(
x)

lim
t0
1

sin t x
t
在 (, ) 内（
）
（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点
【详解】
x2
f
(x)

lim
t0

1

sin x
t

t
lim sin t x2
e t0 x t
ex, x 0
5．设函数
f
(u, v) 满足
f

x

y,
y x

x2

y2
，则
f u
|u1 ,
v 1
f v
|u1 依次为（
v 1
）
（Ａ） 1 , 0 （Ｂ） 0, 1 （Ｃ） 1 , 0 （Ｄ） 0, 1
2
2
2
2
【详解】设

x y x

函数在 x 0 处没有定义，而 lim f ( x) lim e x 1 ，所以应该选（B）．
x0
x0
3．设函数
f
(x)

x
cos
1 x
,
x

0 ,(

0,

0) ，若
f
( x) 在
x

0 处连续，则（
）
0, x 0
（A） 1 （B） 0 1 （C） 2 （D） 0 2
当
1 时，
f ( x)
x 1 cos

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案

精心整理2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(C)【答案】D。

；；；，因此(D)是收敛的。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，所以是的可去间断点，选B。

设函数().(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数在二阶导函数则曲线(A) (B)(D)【解析】在内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，点两侧点不是拐点，虽然不存在，但点的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

是第一象限中由曲线与直线上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D的极坐标表示为综上所述，本题正确答案是B。

A=,=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若，则，排除(C)当时，，综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换下的标准形为(B)(C) (D)【答案】A都是A的特征向量，特征值依次为-因此在正交变换下的标准二次型为【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。

2015年考研数学二真题及答案解析

阶单位矩阵，则行列式 | B| =
【答案】 21
【解析】 A 的特征值为 2,-2,1, 则 B 的特征值对应为 3,7,1
所以 | B| =21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15) 设函数
,若与在
二、填空题： (
) 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(9) 设
则
【答案】 48 【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得 =
,
综上所述，本题正确答案是 48。
【考点】高等数学 - 一元函数微分学 - 复合函数求导
(10) 函数【答案】
在
处的 n 阶导数
【解析】
解法 1 用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。
时是等价无穷小，
求
的值。
【解析】利用泰勒公式
当
时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式
(16) 设 A>0， D是由曲线段
及直线
所
围成的平面区域，【解析】
分别表示 D绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积。若
由 A>0 可得
，求 A 的值
= =
又
可得 A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
D 的极坐标表示为
，
，
因此
与直线
围成的平面区域，作极坐
综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7) 设矩阵 A=

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）
（A ）
2
1
dx x
+∞
⎰
（B ）2
ln x
dx x
+∞
⎰
(C)2
1
ln dx x x
+∞
⎰
(D)2
x
x dx e +∞
⎰
(2)函数2
0sin ()lim(1)x t
t t f x x
→=+
在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
(3)设函数1cos ,0
()0,0x x f x x
x α
β⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤
(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）
（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3
(5).设函数(u v)f ，满足22
(,)y
f x y x y x
+=-，则
11
u v f
u ==∂∂与11
u v f v
==∂∂依次是（）
（A ）
12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12
(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域，函数
(,)f x y 在D 上连续，则(,)D
f x y dxdy ⎰⎰=（）
（A ）
12sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（B
）24
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ⎰
（C ）
13sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（D
）34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ⎰
(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的
充分必要条件为（）
（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω
(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222
1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若
132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）
(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222
1232y y y ++
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 设223
1
arctan ,3t x t d y
dx y t t ==⎧=⎨=+⎩则（10）函数2
()2x
f x x =在0x =处的n 阶导数()
(0)n f =
（11）设函数()f x 连续，2
0()(),x x xf t dt ϕ=
⎰
若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =
（12）设函数()y y x =是微分方程''
'
20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z
e
xyz +++=确定，则(0,0)dz =
（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2
B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2
()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，
求,,a b k 的值。

16、（本题满分10分）
设0A >，D 是由曲线段sin (0)2
y A x x π
=≤≤
及直线,2
y o x π
==
所形成的平面区域， 1V ，
2V 分别表示D 绕X 轴与绕Y 轴旋转所成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值。

17、（本题满分10分）
已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)x
x f x x e =+，2
(0,)2f y y y =+，求
(,)f x y 的极值。

18、（本题满分10分）计算二重积分
()D
x x y dxdy +⎰⎰
，其中{}
222
(,)2,D x y x y y x =+≤≥。

19、（本题满分10分）
已知函数2
1
()x f x =
+⎰
⎰
，求()f x 零点的个数。

20、（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为1200
C 的物体在200
C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至300
C ，若要使物体的温度继续降至210
C ，还需冷却多长时间？ 21、（本题满分11分）
已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()()
,b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<。

22、（本题满分11分）
设矩阵101101a A a a ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
且3A O =.
(1) 求a 的值；
(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X . 23、（本题满分11分）
设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，相似于矩阵12000031B b -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
（1）求a,b 的值（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵。