等比数列的通项公式
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为an=a1*q^（n－1)(1,n-1均为下标)。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
等比数列的通项公式形式可类比成为指数函数，故在进行增减性讨论时，可以借助指数函数的增减性，加之系数的正负，确定最终等比数列的增减性问题。
还应注意：
1、等比数列所有的奇数项同号。
2、等比数列所有的偶数项同号。
3、因为偶次方根有正负两解，所以已知等比数列的任意两项，等比数列并不确定。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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高中等比数列公式大全
高中等比数列公式大全高中数列公式如下：一、等比数列：a（n+1）/an=q（n∈N）。
二、通项公式：an=a1×q^（n-1）；推广式：an=am×q^（n-m）。
三、求和公式：Sn=n×a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an ×q）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。
四、性质：1、若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
2、在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
3、若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2五、“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。
六、在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等差数列的定义以及证明方法：一、定义1、如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．2、求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有3、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为增数列；当d<0时，数列为递减数列；4、是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；5、证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
二、等差数列求解与证明的基本方法：1、学会运用函数与方程思想解题。
2、抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键。
3、等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二’）。
等比数列首项与末项公式
等比数列首项与末项公式
等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它前面的一项的比值都相等。
等比数列的首项通常用a表示，公比通常用r表示，而末项则可以通过数列的前几项以及公比来计算得出。
首先，等比数列的通项公式为，an = a1 r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
根据通项公式，等比数列的首项a1与末项an的关系可以通过将n代入通项公式中得到。
当n为1时，即为首项，a1 = a1
r^(1-1) = a1 r^0 = a1。
当n为数列的项数时，即为末项，an = a1 r^(n-1)。
因此，等比数列的首项与末项的公式可以表示为：
首项，a1。
末项，an = a1 r^(n-1)。
这两个公式可以帮助我们计算等比数列中的首项和末项。
通过首项和公比，我们可以轻松地计算出任意项数的数列中的任意项。
等比数列通项推导
等比数列通项推导
等比数列是一种以相同比率累加的数列，其中每一项都是前一项的等比倍数。
也可以称作几何级数，在数学中，它有着重要的意义，许多史前文明也曾经发现过它。
公式形式表示为：
an=arr/a1
其中，a1为等比数列中的第一项；r为等比倍数。
等比数列通项推导
等比数列通项指的是等比数列中任意项的表达式，可以用以下公式推导：
an=αrn-1
其中，a1为等比数列中的第一项，r为等比倍数，n为等比数列中的项数，α为一个任意数。
将上述公式带入等比数列定义式中，可以得出：
αrn-1=arr/a1
由此可以得到：
α=a1r1-n
综上，可以得出等比数列通项的推导公式：
an=a1r1-nrn-1
应用
等比数列的通项推导的应用很多，比如：
（1）在求解等比数列的和时，可以利用等比数列的通项推导来计算出数列的和；
（2）在求解等比数列的极限时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的极限；
（3）在解决多项式恒等式时，可以利用等比数列的通项推导来解答恒等关系；
（4）在计算给定项数等比数列的值时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的值；
（5）在计算等比数列的平均值时，可以利用等比数列的通项推导计算等比数列的平均值。
总结
等比数列是一种以相同比率累加的数列，它有着重要的意义，在数学中有着广泛的应用。
本文详细介绍了等比数列通项推导的推导公式，以及它的应用，以期为读者提供一种便捷有效的方法来处理等比数列上的问题。
可见，等比数列通项推导与其他数学知识之间有着联系，所以，在学习数学的时候，应当重视等比数列的知识，多多加以练习，对于日后的数学学习和用处都有非常重要的作用。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
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等比数列的通项公式（教案）
一、教学目标
1、 掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。
2、 掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。
二、教学重点、难点
各种结论的推导、理解、应用。
三、教学过程
1、 导入
复习 等比数列的定义：1n n a q a += ()
*n N ∈ 通项公式：11n n a a q -= ()
*n N ∈ 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、 新知探索
例1 在等比数列{}n a 中，
（1） 已知163,2,a q a ==-求； （2）已知3620,160,n a a a ==求.，
分析 （1）根据等比数列的通项公式，得 56196a a q ==-
（2） 可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组
23156120160
a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 解得152a q =⎧⎨=⎩ 所以11152n n n a a q --==⨯ 问：上面的第（2）题中，可以不求1a 而只需求得q 就得到n a 吗?
分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：
212321234321,
,
,
a a q a a q a q a a q a q a q ====== 232112321...n n n n n n a a q a q a q a q a q -----======
注意观察等式右边各项的下标与q 的次方的和，可以发现，n a 的表达式中，始终满足 n m n m a a q -= ()*,n m N ∈
结论1 数列{}n a 是等比数列，则有n m n m a a q -= ()
*,n m N ∈。
再来看一下例1中（2）的另一种解法：363a a q =，所以q=2，所以11152n n n a a q --==⨯
习题（1）49P 2、在等比数列{}n a 中，
（1） 已知494,972,n a a a ==求； （2）已知26326,,27n a a a =-=-
求. 分析 （1）可以根据定义和结论1给出两种解法。
方法一 3418914972
a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 方法二 594a a q =，所以q=3，所以44443n n n a a q
--==⨯。
（2）462a a q =，所以23
q =± 22
222
222,6()3322,6()33
n n n n n n q a a q q a a q ----===-⨯=-==-⨯-当时当时 例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。
分析 设此三个数为234a a a ，，，公比为q ，则由题意得243，234a a a ，，，3成等比数列；
43243q =，所以得13
q =± 23423418127931812793
q a a a q a a a =====-=-==-当时，，，当时，，， 故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.
问：观察一下例2中，当13q =-时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？
答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。
习题（1）49P
6、在等比数列{}n a 中，10a >，243546225a a a a a a ++=，求35a a +的值。
分析 3423
a a a a =得2324a a a =，同理得2546a a a = 135352222435463355353500,00
22()255
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a >∴>>∴+>++=++=+=∴+=Q
例3 已知等比数列{}n a 的通项公式为32n n a =⨯，求首项和公比q.
分析 22121
326,32122a a a q a =⨯==⨯=∴== 在例3中，等比数列的通项公式为32n n a =⨯，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是
特殊的函数，故表示这个数列的各点(,)n n a 均在函数32x
y =⨯的图像上。
问：如果一个数列{}n a 的通项公式为n n a aq =，其中a ，q 都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？
分析 10a aq =≠，11n
n n n a aq q a aq
+-==，所以是等比数列。
一般可以看作是等比数列通项公式的变形，111n n n n a a a q q aq q -===，其中1a a q
= 结论2 等比数列{}n a 的通项公式均可写成n n a aq =（a ，q 为不等于零的常数）的形式。
反之成立。
习题（1）49P 5、在等比数列{}n a 中，
（1）2519a a a =是否成立？2537a a a =是否成立？
（2）222n n n a a a -+=（n>2）是否成立？
（3）你能得到更一般的结论吗？
分析 （1）8422191115()a a a a q a q a =⋅==
26422371115()a a a q a q a q a =⋅==，所以成立。
（2）3112222111()n n n n n n a a a q a q a q a -+--+=⋅==，所以成立。
（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？
同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列{}n a 中，当m+n=p+q (m,n,p,q 都是正整数)时，有m n p q a a a a +=+，可以猜测：在等比数列{}n a 中，当m+n=p+q (m,n,p,q 都是正整数)时，有m n p q a a a a =.
证 1122111m n m n m n a a a q a q a q --+-=⋅=，1122111p q p q p q a a a q a q a q --+-=⋅=
所以m n p q a a a a =.
结论3 在等比数列{}n a 中，当m+n=p+q (m,n,p,q 都是正整数)时，有m n p q a a a a =. 习题 在等比数列{}n a 中，1a ，99a 是方程2
10160x x -+=的两个实根，求4060a a . 分析 可以利用结论3.
因为1a ，99a 是方程210160x x -+=的两个实根，所以可得199a a =16，
所以4060a a =199a a =16.
在结论3中，当m=n 或p=q 时，可以发现此项总是处于另两项的中间。
结论4 若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且2G ab =。
习题（1）49P
7、（1）求45和80的等比中项；
（2）已知两个数k+9和6-k 的等比中项是2k ，求k.
分析 （1）设此等比中项是G ，则2
G =45⨯80=3600，所以G=±60.
（2）2(2)(9)(6)k k k =+-，化简，得253540k k +-=， 所以1835
k k =-=或 四、归纳总结
本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。
五、布置作业
做与本节课内容相关的练习册。
六、教学反思
本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。
在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。
在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。