2012年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
试卷类型A
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.方程
2x +6x +13=0的一个根是A -3+2i B 3+2i C -2+3i D 2+3i
2命题“∃x 0∈C R Q ，30x ∈Q
”的否定是A ∃x 0∉C R Q ，30x ∈Q
B ∃x 0∈
C R Q ，30x ∉Q C ∀x 0∉C R Q ，30x ∈Q D
∀x 0∈C R Q ，30x ∉Q 3已知二次函数y =f (x )的图像如图所示，则它与X 轴所围图形的面积为
A .25π
B .4
3C .3
2D .2
π
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为
A .83π
B .3π
C .103π
D .6π
5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=
A.0B.1C.11D.12
6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a b c x y z ++
= ++
A.1
4
B.
1
3
C.
1
2
D,
3
4
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如
下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。
在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A.B.C.D.
9.函数f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为
A.4
B.5
C.6
D.7
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式。
人们还用过一些类似的近似公式。
根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是
二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．
的位置上。
答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）
11.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c 。
若（a +b -c ）（a +b +c ）=ab ，则角C =______________。
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s =___________.
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,121,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N +）位回文数有______个。
14.如图，双曲线),(1x 22
22o b a b
y a >=−的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为2B B ，，，两焦点为
F 1，F 2。
若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D 。
则
（Ⅰ）双曲线的离心率e =______；
（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值=2
1S S __________。
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。
）
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB =4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________。
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线4
πθ=与曲线⎩⎨⎧−=+=2)
1(1x t y t （t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知向量a =)sin sin (cos x x x ωωω，−，b =)cos 32sin cos (x x x ωωω，−−，设函数f （x ）=a ·b +)(R x ∈λ的图像关于直线x =π对称，其中λω，为常数，且）（1,2
1
∈ω（1）求函数f （x ）的最小正周期；
（2）若y =f （x ）的图像经过点）（0,4π求函数f （x ）在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡530π，上的取值范围。
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8.
（1）求等差数列{a n }的通项公式；
（2）若a 2,a 3,a 1成等比数列，求数列{}
n a 的前n 项的和。
19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB =45°，BC =3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC =90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A -BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A -BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900
工期延误天数Y02610
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
21.（本小题满分13分）
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M 在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。
当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
22.(本小题满分14分)
（I）已知函数f（x）=rx-x r+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；
（II）试用（I）的结果证明如下命题：
设a
1≥0，a
2
≥0，b
1
，b
2
为正有理数，若b
1
+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法
．．．．．证明你所推广的命题。
注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1。
2012湖北卷高考理科数学
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A． B．
C． D．
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 .人们还用过一些类似的近似公式.根据 判断，下列近似公式中最精确的一个是
.③
依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合，
故 .于是由③式可得
.④
又 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
于是由④式可得 .
而 等价于 ，即 ，又 ，得 ，
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有 .
22.：（Ⅰ） ，令 ，解得 .
当 时， ，所以 在 内是减函数；
当 时， ，所以 在 内是增函数.
作 的垂线交 于点C，则CD的最大值为.
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.已知射线 与曲线 （t为参数）
相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012•湖北)方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2iB．3+2iC．﹣2+3iD．2+3i2．（2012•湖北)命题“∃x0∈C R Q，∈Q"的否定是（）A．∃x0∉C R Q，∈QB．∃x0∈C R Q，∉QC．∀x0∉C R Q，∈QD．∀x0∈C R Q，∉Q3．(2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示,则它与X轴所围图形的面积为(）A．B．C．D．4．(2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示,则该集合体的体积为()A．B．3πC．D．6π5．（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（)A．0B．1C．11D．126．（2012•湖北)设a,b,c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20，则=（) A．B．C．D．7．（2012•湖北）定义在（﹣∞，0)∪(0,+∞)上的函数f(x）,如果对于任意给定的等比数列｛a n｝，｛f（a n)｝仍是等比数列，则称f（x)为“保等比数列函数"．现有定义在(﹣∞，0）∪（0,+∞)上的如下函数:①f（x)=x2;②f（x）=2x;③f （x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（2012•湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(）A．1﹣B．﹣C．D．9．（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间［0,4]上的零点个数为（）A．4B．5C．6D．710．（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据x=3.14159….。
2012年高考理数真题试卷(湖北卷)及解析
○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____○…………装…………○………2012年高考理数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i D.2+3i2.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q”的否定是（ ） A.∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B.∃x 0∈∁R Q ，x 03∉Q C.∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q D.∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3D.6π4.设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则 a+b+cx+y+z =（ ） A.14 B.13 C.12 D.345.定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，答案第2页，总8页○…………外…………○…………※※请※※不※○…………内…………○…………（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x ；③f （x ）= √|x| ；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.77.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈ √169V 3 ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A.d≈ √169V 3 B.d≈ √2V 3 C.d≈ √300157V 3 D.d≈ √2111V 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=…○…………订…………○…………线…………○…___班级：___________考号：___________…○…………订…………○…………线…………○…9.如图，双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1 ， A 2 ， 虚轴两端点为B 1 ， B 2 ， 两焦点为F 1 ， F 2 ． 若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， 切点分别为A ，B ，C ，D ．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值 S1S 2= ．10.如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知向量 a →=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， b →=（﹣cosωx﹣sinωx，2 √3 cosωx），设函数f （x ）= a →• b →+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 12 ，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（ π4 ，0）求函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围．答案第4页，总8页………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※………○…………装…………○……参数答案1.A【解析】1.解：∵方程x 2+6x+13=0中， △=36﹣52=﹣16＜0， ∴ x =−6±√16i2=﹣3±2i，故选A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 2.D【解析】2.解：∵命题“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”的否定是∀x 0∈C R Q ， x 03 ∉Q故选D 3.B【解析】3.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π． 故选B ．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题． 4.C【解析】4.解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（ 14 x 2+ 14 y 2+ 14 z 2）≥（ 12 ax+ 12 by+ 12 cz ）2，当且仅当 a12x=b12y=x12z时等号成立∵a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，…………外…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________…………内…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…∴等号成立 ∴ a 12x=b 12y=x12z∴ a+b+c x+y+z = 12故选C ．【考点精析】认真审题，首先需要了解一般形式的柯西不等式(一般形式的柯西不等式：)．5.C【解析】5.解：由等比数列性质知 a n a n+2=a n+12 ，① =f 2（a n+1），故正确； ② ≠ 22a n+1=f 2（a n+1），故不正确；③= √|a n+1|2 =f 2（a n+1），故正确；④f（a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠ ln|a n+1|2 =f 2（a n+1），故不正确；故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断)． 6.C【解析】6.解：令f （x ）=0，可得x=0或cosx 2=0 ∴x=0或x 2= kπ+π2 ，k∈Z∵x∈[0，4]，则x 2∈[0，16]， ∴k 可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6个解∴函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为6个 故选C【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．答案第6页，总8页7.D【解析】7.解：由V= 43π(d 2)3，解得d= √6V π3 设选项中的常数为 a b ，则π= 6ba选项A 代入得π= 6×916 =3.375；选项B 代入得π= 62 =3； 选项C 代入得π=6×157300=3.14；选项D 代入得π=6×1121=3.142857 由于D 的值最接近π的真实值 故选D ． 8.9【解析】8.解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5， 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环， 输出S=9．所以答案是：9． 【考点精析】利用算法的循环结构对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构和直到型循环结构．9.√5+12；√5+22【解析】9.解：（Ⅰ）直线B 2F 1的方程为bx ﹣cy+bc=0，所以O 到直线的距离为 √b 2+c 2∵以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， ∴√b 2+c 2=a∴（c 2﹣a 2）c 2=（2c 2﹣a 2）a 2 ∴c 4﹣3a 2c 2+a 4=0 ∴e 4﹣3e 2+1=0 ∵e＞1 ∴e=√5+12（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1=2bc 设矩形ABCD ，BC=2n ，BA=2m ，∴ mn =cd ∵m 2+n 2=a 2 ， ∴ m =√b 2+c2， n =√b 2+c 2∴面积S 2=4mn=4a 2bc b 2+c 2∴ S 1S 2= b 2+c 22a 2= b 2+c 22bc∵bc=a 2=c 2﹣b 2………订…………○…………___________考号：___________………订…………○…………∴ b =−1+√52c∴ S1S 2=√5+22所以答案是：√5+12，√5+2210.2【解析】10.解：由题意可得△OCD 为直角三角形，故有CD 2=OC 2﹣OD 2 ， 故当半径OC 最大且弦心距OD 最小时，CD 取得最大值．故当AB 为直径、且D 为AB 的中点时，CD 取得最大值，为AB 的一半，由于AB=4，故CD 的最大值为2， 所以答案是2．11.（1）解：∵f （x ）= a →• b →+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 √3 cosωx+λ=﹣（cos 2ωx﹣sin 2ωx）+ √3 sin2ωx+λ = √3 sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ π6 ）+λ ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ π6 = π2 +kπ，k∈z ∴ω= k 2 + 13 ，又ω∈（ 12 ，1） ∴k=1时，ω= 56∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56= 6π5（2）解：∵f（ π4 ）=0∴2sin（2× 56 × π4 ﹣ π6 ）+λ=0 ∴λ=﹣ √2答案第8页，总8页∴f（x ）=2sin （ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 由x∈[0， 3π5 ]∴ 53 x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 5π6 ] ∴sin（ 53 x ﹣ π6 ）∈[﹣ 12 ，1]∴2sin（ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 =f （x ）∈[﹣1﹣ √2 ，2﹣ √2 ] 故函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围为[﹣1﹣ √2，2﹣ √2【解析】11.（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f （x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y=Asin （ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的值域．。
2012年湖北高考理科数学试题(解析版)
由折起前 知，折起后（如图2）， ， ，且 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ．于是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 ，即 时,三棱锥 的体积最大．
解法2：
同解法1，得 ．
令 ，由 ，且 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最大值．
故当 时,三棱锥 的体积最大．
解析：令 ，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为 ，围成OC为 ，作对称轴OD，则过C点。 即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积， 。在扇形OAD中 为扇形面积减去三角形OAC面积和 ， ， ，扇形OAB面积 ，选A.
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有 种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又 .
由条件概率.
21．（本小题满分13分）
设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线 ．
完整版2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2+6x+13=0的一个根是（湖北）方程x）1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i，∈Q”的否定是（“?x∈CQ）2．（2012?湖北）命题R0，?CQQQ ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C R0R0RR003．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）．． C AD．B．4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）．D．6π．B．3πAC2012+a能被13整除，则a=（）51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5．A．0 B．1 C．11 D．12222222，则=（）x=10，+y+zax+by+cz=20=40，azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且+b+cCBA ．．．．D1}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪nn）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：f仍是等比数列，则称（x）为“保等比数列函数”x2）=ln|x|）．则其中是“保等比数列函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；④f（x=x D．②④B．③④C．①③．A①②内随机为直径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB8．）取一点，则此点取自阴影部分的概率是（．D﹣A．1C﹣B．．2）在区间[0，4]上的零点个数为（湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx7 ．5 C．6 D．A．4 B曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”（10．．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（些类似的近似公式．根据x=3.14159…..≈≈C．d．≈Dd A．d≈B．d分．请将答案5分，共25二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．，则角_________C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北）设ABC的内角AB，C_________．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=12．位回2等．显然，3443，942492213．（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如，，11 999，．则：191，202，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，119文数有个：_________位回文数有个；Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有_________个．+2，，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点为，B1411122 D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B，C，．则：2112221；（Ⅰ）双曲线的离心率_________e=（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值=_________．212211二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_________．16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线_________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（t为参数）相较于A，B75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共λ?+）f（x=，设函数cos，（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos ω﹣sinω，sinω），，1）（λπ∈（xR）的图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈）的最小正周期；f（1）求函数（x上的取值范围．，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n（1）求等差数列{a}的通项公式；n 3项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若n213，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（19．2012?湖北）如图，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△的体积最大；A﹣BCD（1）当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，所成角的大小．与平面BMN并求EN20．（2012?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900工期延误天数Y 02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A是单位圆x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数（x）﹣x）的最小值；b1b2≤ab+aab；a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下命题：设a0，a0，，bb=1，则222121121112（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求r1﹣αα．α道公式（x）=x42012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）考点：复数相等的充要条件。
2012年高考数学湖北理解析版
2012年湖北卷(理数)详细解析1.A 【解析】因为判别式26413160∆=-⨯=-<，所以方程26130x x ++=无实数根，只有复数根，且复数根6643222i x i -±-±===-±.【点评】本题考查一元二次方程跟的求解以及复数的有关运算.对于一元二次方程20a x b x c ++=，若240b ac ∆=-<，则方程没有实数根，只有复数根22x aa==.来年需注意复数的概念，如共轭复数，复数的运算，复数的几何意义等，都是复数中的热门考点.2.D 【解析】本命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故D 符合. 【点评】本题考查含有量词的命题的否定.对于特称命题的否定，一般是先改变量词，再否定结论；对于全称命题的否定，也是类似的.千万不要忽略改变量词这一点，否则就是错误的.来年需注意充要条件的判断，这也是逻辑中的一大热门考点.3.B 【解析】根据图象可知，二次函数图象的顶点为()0,1，且开口向下，故可设二次函数的解析式为()()210f x ax a =+<.因为函数()f x 的图象过点()1,0，所以()2111f a =⨯+0=，解得1a =-.所以()21f x x =-+,所以()31211141|33x S x dx x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰.【点评】本题考查二次函数的图象，定积分的应用以及数形结合的数学思想方法.本题容易直接把所围成的图形当成半圆去求解面积了.来年需注意直接给出定积分解析式，却要用定积分的几何意义来数形结合去解题的一类型题.4. B 【解析】由三视图可知，该几何体的下方是一个圆柱，上方是圆柱的一半，两圆柱的底面圆半径都为1，高都为2，所以该几何体的体积221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.【点评】本题考查三视图的识别，圆柱的体积求解.对常见几何体：如圆柱，圆锥，正四棱锥，长方体，正方体及它们的组合体等的三视图要了如指掌.来年需注意圆锥与长方体等的三视图考查及体积，表面积的求解. 5.D 【解析】由题意，()20122012122201220125111341C 134C (134)a a a +=-⨯+=+-⨯+⨯++()2012134⨯,显然当()113a k k +=∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.故此时()131a k k =-∈Z .又013a <<，所以当1k =时，12a =.【点评】本题考查二项式定理的应用.运用二项式定理判断数a 能被数b 整除，关键是要能将数a 转化分解为含有数b 的因式的乘积.来年需注意利用二项式定理求解常数项，系数等题型.6.C 【解析】已知22222210,40,20a b c x y z ax by cz ++=++=++=， 则()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++.由柯西不等式得()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++， 所以上述不等式取等号，一定有,,,a kx b ky c kz === 此时()2222222a b c k x y z ++=++，即21040k =，解得12k =（舍去负值）.所以由等比性质得+1.2a b c a k x y zx +===++【点评】本题考查柯西不等式的应用.柯西不等式是考纲中的了解内容，考查一般难度并不大，但如果不了解柯西不等式的结构，求解也有一定的困难.来年需注意绝对值不等式的求解与应用7. C 【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nna a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④,11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.A 【解析】如下图所示，设O A 的中点为1O ，O B 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12O O FO 是正方形.不妨设扇形O A B 的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则21234124O A B S S S S S ππ+++==⨯=扇形, ①而22132311111,12222S S S S ππππ+=⨯=+=⨯=，即1232S S S π++=, ②由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB OFBO AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形222222111111111114422πππππ=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 3442221O ABO ABS S S P S S πππ+-====-扇形扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.9.C 【解析】由()2cos 0f x x x ==，得0x =或2cos 0x =.又[]0,4x ∈，所以[]20,16x ∈.由于()c o s 02k k ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭Z ,而在()2k k ππ+∈Z 的所有取值中，只有3579,,,,22222πππππ满足在[]0,16内.故零点个数为156+=.【点评】本题考查函数的零点个数的求解.求解函数的零点个数通常有两种方法：一、直接法，即求解出所有的零点；二、数形结合法，即转化为原函数的图象与x 轴的交点个数或分解为两个函数相等，进而判断两个函数图象的交点个数，此法往往更实用.本题是直接求解零点法，来年需注意数形结合法.10.D 【解析】设球的直径为d ,则球的体积为3344332d V r ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭（,r d 分别为圆的半径、直径），所以d =≈,对于A 项,d ≈≈;对于C 项,d ≈≈对于D 项，d ≈≈;比较各选项的被开方数大小可知,选项D 中的d 与d =≈D.【点评】本题考查球的直径与体积的关系，估算法.根据球的直径与体积的关系，即可用体积来表示直径；然后比较各选项中的表示直径的式子，看哪个最接近求出的式子即可.11年考查的是以放射性元素为背景，考查了导数的运算，难度不算大，主要是要读懂题意，本题承接了11年的思想，难度不大，重在考查数学知识在实际生活中的应用.来年需注意一些常见知识的实际应用，比如线性规划，函数的应用，数列的应用等. 11.23π【解析】因为已知()()a b c a b c a b +-++=,所以()22a b c a b +-=，即222a b c a b+-=-,故2221a b cab+-=-，即222122a b cab+-=-，故1c o s 2C =-.所以23C π=.【点评】本题考查余弦定理的应用.正余弦定理是解三角形的有力武器，本题只考查到余弦定理，来年需注意它们的结合考查.12. 9【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,满足判断条件3?n <;第二次:n=2,s=4,a=5,满足判断条件3?n <;第三次:n=3,s=9,a=7,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.13.（1）90; （2）910n ⨯.【解析】按照回文数的定义，1位回文数有1,2,3，…9等9个，又已知2位回文数有9个，3位回文数有90910=⨯个，4位回文数有1001,1111,……,1991,2002,…,9999,共90910=⨯个，5位回文数有2910⨯个，6位回文数有2910⨯个，…以此类推，故猜想()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 【点评】本题考查归纳推理的应用.对于归纳推理问题，关键是要归纳前几项所共有的性质，这就需要学生有一定的归纳与猜想能力.来年需注意类比推理的创新性问题.14.（1）12；（2）22【解析】（1）由图象可知，O B 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =，又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=， 所以a =,整理得()22222c aa c -=，得22c a ac -=.所以210e e --=，解得12e =（负值舍去）（2）连结O B ，设B C 与x 轴的交点为G，则1BF =.在直角三角形1OBF 中，有11,O B BF BG O F ⊥⊥, 所以1111122O B F S O B B F F O B G ∆==,得11BF O B ab BG F Oc==.所以2aOG c==.所以32242||2||a b S OG GB c=⋅=.而112121||||22S F F B B bc ==,所以331321222S ce S a===【点评】本题考查双曲线的离心率，点到直线的距离，四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切，得到圆心到该直线的距离等于半径，这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程，轨迹问题，特别是双曲线的定义的应用.15. 2【解析】由勾股定理，得CD ==r 为O 的半径，是定值），所以当O D 取最小值时，C D 取得最大值.显然当O D AB ⊥时，O D 取得最小值，故此时122C D A B ==,故所求的C D 的最大值2.【点评】本题考查直角三角形的性质以及转化与化归的能力.本题将求解C D 的最大值转化为求O D 的最小值，进而转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想的作用之巨大.来年需注意弦切角，切线长定理，相似三角形的性质等题型.16.55,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】曲线()21,1x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩化为直角坐标方程是()22y x =-，射线4πθ=化为直角坐标方程是()0y x x =≥.联立()()22,0,y x y x x ⎧=-⎪⎨=≥⎪⎩消去y 得2540x x -+=，解得121,4x x ==.所以121,4y y ==.故线段A B 的中点的直角坐标为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即55,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，中点坐标公式的应用问题.()()1122,,,A x y B x y 两点的中点坐标公式为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.来年需注意极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆锥曲线的位置关系，交点个数等题型.17. 【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 18. 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'n n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 19. 【解析】【点评】本题考查三棱锥的体积，直线与平面所成的角以及线线垂直的探讨性问题；考查空间想象，逻辑推理，以及运算求解的能力.本题将三棱锥的体积与基本不等式结合考查，实为一种创新.求解最值时注意验证等号成立的条件，因为实际问题要求相关量都为正数；对于线面角的求解，可以用两种方法：向量法与直接法求解.来年需注意二面角的求解，这是高考的考查频度最高的几何考题.20.【解析】【点评】本题考查随机变量的期望，方差，古典概型.本题有两个随机变量，分别是 与Y，两个随机变量之间的关系要理清理顺，不要混淆，各自对应的概率要求解正确；来年需注意频率分布直方图的应用考查，概率与生活热点话题结合考查等题型.21.【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的性质，数学归纳法等；考查分类讨论的数学思想，运算求解，逻辑推理的能力.本题利用导数求函数的最值，利用最值来证明不等式；层层递进，难度一步一步递增，学生若做不出前一问，就很难做出后一问，来年需注意导数判断函数的极值，含有对数函数或指数函数的导数综合应用，导数的实际应用等.。
12年高考真题——理科数学(湖北卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程26130x x ++=的一个根是（ ）（A ）32i -+ （B ）32i + （C ）23i -+ （D ）23i +2．命题“0R x Q ∃∈ð，30x Q ∈”的否定是（ ）（A ）0R x Q ∃∉ð，30x Q ∈ （B ）0R x Q ∃∈ð，30x Q ∉ （C ）R x Q ∀∉ð，3x Q ∈ （D ）R x Q ∀∈ð，3x Q ∉3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）（A ）25π （B ）43（C ）32（D ）2π4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）83π （B ）3π（C ）103π（D ）6π5．设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）11 （D ）126．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ） （A ）14 （B ）1 （C ）12 （D ）34 7．定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③()f x =④()ln ||f x x =。
则第3题图O xy其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）（A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ❿湖北）方程⌧ ⌧的一个根是（）✌．﹣ ♓ ． ♓ ．﹣ ♓ ． ♓．（ ❿湖北）命题❽ ⌧ ✈， ✈❾的否定是（）✌． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ．（ ❿湖北）已知二次函数⍓♐（⌧）的图象如图所示，则它与✠轴所围图形的面积为 （）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）✌． ． ⇨ ． ． ⇨．（ ❿湖北）设♋ ☪，且 ♎♋♎，若 ♋能被 整除，则♋（）✌． ． ． ． ．（ ❿湖北）设♋，♌，♍，⌧，⍓， 是正数，且♋ ♌ ♍ ，⌧ ⍓ ，♋⌧♌⍓♍，则 （）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）定义在（﹣ ， ）✉（ ， ）上的函数♐（⌧），如果对于任意给定的等比数列 ♋⏹❝，♐（♋⏹）❝仍是等比数列，则称♐（⌧）为❽保等比数列函数❾．现有定义在（﹣ ， ）✉（ ， ）上的如下函数：♊♐（⌧） ⌧ ；♋♐（⌧） ⌧；♌♐（⌧） ；♍♐（⌧） ●⏹⌧．则其中是❽保等比数列函数❾的♐（⌧）的序号为（）✌．♊♋ ．♌♍ ．♊♌ ．♋♍．（ ❿湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 ✌中，分别以 ✌， 为直径作两个半圆．在扇形 ✌内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）✌． ﹣ ．﹣ ． ．．（ ❿湖北）函数♐（⌧） ⌧♍☐♦⌧ 在区间☯， 上的零点个数为（）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）我国古代数学名著《九章算术》中❽开立圆术❾曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，❽开立圆术❾相当于给出了已知球的体积✞，求其直径♎的一个近似公式♎☟．人们还用过一些类似的近似公式．根据⌧⑤判断，下列近似公式中最精确的一个是（）✌．♎☟ ．♎☟ ．♎☟ ．♎☟二、填空题：（一）必考题（ 题）本大题共 小题，考试共需作答 小题，每小题 分，共 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．．（ ❿湖北）设 ✌的内角✌， ， ，所对的边分别是♋，♌，♍．若（♋♌﹣♍）（♋♌♍） ♋♌，则角 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果♦♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如 ，， ， ， 等．显然 位回文数有 个： ， ， ⑤， 位回文数有 个： ， ， ，⑤， ， ，⑤， ．则：（♊） 位回文数有♉♉♉♉♉♉♉♉♉个；（♋） ⏹（⏹ ☠ ）位回文数有♉♉♉♉♉♉♉♉♉个．．（ ❿湖北）如图，双曲线﹣ （♋，♌＞ ）的两顶点为✌ ，✌ ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为☞ ，☞ ．若以✌ ✌ 为直径的圆内切于菱形☞ ☞ ，切点分别为✌， ， ， ．则：（♊）双曲线的离心率♏♉♉♉♉♉♉♉♉♉；（♋）菱形☞ ☞ 的面积 与矩形✌的面积 的比值 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．二、填空题：（二）选考题（请考生在第 、 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑，如果全选，则按第 题作答结果计分．）．（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：几何证明选讲）如图，点 在 的弦✌上移动，✌，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，则 的最大值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：坐标系与参数方程）：在直角坐标系⌧⍓中，以原点 为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线→与曲线（♦为参数）相较于✌， 来两点，则线段✌的中点的直角坐标为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ ❿湖北）已知向量 （♍☐♦⌧﹣♦♓⏹⌧，♦♓⏹⌧）， （﹣♍☐♦⌧﹣♦♓⏹⌧， ♍☐♦⌧），设函数♐（⌧） ❿ ↖（⌧ ）的图象关于直线⌧⇨对称，其中 ，↖为常数，且 （， ）（ ）求函数♐（⌧）的最小正周期；（ ）若⍓♐（⌧）的图象经过点（， ）求函数♐（⌧）在区间☯， 上的取值范围．．（ ❿湖北）已知等差数列 ♋⏹❝前三项的和为﹣ ，前三项的积为 ．（ ）求等差数列 ♋⏹❝的通项公式；（ ）若♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求数列 ♋⏹ ❝的前⏹项和．．（ ❿湖北）如图 ， ✌， ，过动点✌作✌，垂足 在线段 上且异于点 ，连接✌，沿✌将 ✌折起，使 （如图 所示），（ ）当 的长为多少时，三棱锥✌﹣ 的体积最大；（ ）当三棱锥✌﹣ 的体积最大时，设点☜， 分别为棱 ，✌的中点，试在棱 上确定一点☠，使得☜☠，并求☜☠与平面 ☠所成角的大小．．（ ❿湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量✠（单位：❍❍）对工期的影响如下表：降水量✠✠＜ ♎✠＜ ♎✠＜ ✠♏工期延误天数✡ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量✠小于 ， ， 的概率分别为 ， ， ，求：（✋）工期延误天数✡的均值与方差；（♋）在降水量✠至少是 的条件下，工期延误不超过 天的概率．．（ ❿湖北）设✌是单位圆⌧ ⍓ 上的任意一点，♓是过点✌与⌧轴垂直的直线， 是直线♓与⌧轴的交点，点 在直线●上，且满足丨 丨 ❍丨 ✌丨（❍＞ ，且❍♊）．当点✌在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 ．（✋）求曲线 的方程，判断曲线 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（♋）过原点且斜率为 的直线交曲线 于 、✈两点，其中 在第一象限，它在⍓轴上的射影为点☠，直线✈☠交曲线 于另一点☟，是否存在❍，使得对任意的 ＞ ，都有 ✈☟？若存在，求❍的值；若不存在，请说明理由．．（ ❿湖北）（✋）已知函数♐（⌧） ❒⌧﹣⌧❒ （ ﹣❒）（⌧＞ ），其中❒为有理数，且 ＜❒＜ ．求♐（⌧）的最小值；（✋✋）试用（✋）的结果证明如下命题：设♋ ♏，♋ ♏，♌ ，♌ 为正有理数，若♌ ♌ ，则♋ ♌ ♋ ♌♎♋ ♌ ♋ ♌ ；（✋✋✋）请将（✋✋）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当↑为正有理数时，有求道公式（⌧↑）❒ ↑⌧↑﹣ ．年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ❿湖北）考点：复数相等的充要条件。
（完整版）年湖北高考数学试卷理科+答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）数学（理工类）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是”的否定是A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D 3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示的图像如图所示， 则它与x 轴所围图形的面积为轴所围图形的面积为A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33Sx dx x dx x x ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C. 103πD.6π 此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1 1，高为，高为，高为 4 4，现，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B5.5.设设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=a A.0 B.1 C.11 D.12()()2012201220121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a CCCC a L ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选，故选 DD 6.6.设设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b cx y z A. 14 B. 13 C.12 D.34 由柯西不等式知()()()22222222222++++++=400a b cx y zax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b cx y z 恰好满足取等条件==a b c x y z ，令===,=,=,=a b ck a kx b yk c zk x y z代入到222++=10a b c 中得中得()2222211++=10,=,>0=42k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得++1=====++2a b c a b ck x y z x y z ，故选C7.7.定义在（定义在（定义在（--∞，∞，00）∪（）∪（00，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
2012年湖北高考数学理科试题详细解答
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方块涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉C 300,R x C Q x Q ∀∉∈D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.25π B.43C.32D.2π由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 83π B.3π C. 103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=a A.0 B.1 C.11 D.12 ()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D 6.设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b c x y zA. 14B. 13C.12D.34由柯西不等式知()()()2222222++++++=400a b c x y z ax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b c x y z 恰好满足取等条件==a b c xyz，令===,=,=,=a b c k a kx b yk c zk xyz代入到222++=10a b c 中得()2222211++=10,=,>0=42kx y zk k k ∴∴，所以由合比定理得++1=====++2a b c a b c k x y zxyz，故选C7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。