第二章实验数据的处理及模型参数的确定
化工仪表及自动化第2章 第二节 对象数学模型的建立
优点 缺点
简单 稳定时间长 测试精度受限
图2-7 简单水槽对象
图2-8 水槽的阶跃反应曲线
21
第二节 对象数学模型的建立
2. 矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰， 幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量 y随时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这 种形式的干扰称为矩形脉冲干扰。此外，还可以采用矩 形脉冲波和正弦信号。
化工仪表及自动化
第二章 过程特性及其数学模型
内容提要
化工过程的特点及其描述方法
对象数学模型的建立
建模目的 机理建模 实验建模
描述对象特性的参数
放大系数Κ 时间常数Τ 滞后时间τ
1
第二节 对象数学模型的建立
一、建模目的
（1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 （5）计算机仿真与过程培训系统 （6）设计工业过程的故障检测与诊断系统
18
第二节 对象数学模型的建立
三、实验建模
实验方法
研究对象特性
对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象上，加 上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测取并 记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律， 得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可以 用来表示对象的特性。
19
第二节 对象数学模型的建立
三、实验建模
系统辨识
定义：通过这种应用对象的输入输出的实测数据来决 定其模型的结构和参数 。
特点：把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部 特性上来测试和描述它的动态特性，不需要深入了解 其内部机理 。
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
高一化学实验数据处理与分析
高一化学实验数据处理与分析科学实验是化学学习中重要的一部分，通过实验可以加深对化学原理和概念的理解，并培养学生的实验操作能力和科学探究精神。
然而，仅仅进行实验还不足以完整地学习化学知识，分析和处理实验数据同样重要。
本文将就高一化学实验数据处理与分析进行探讨。
一、实验数据的记录在进行化学实验时，准确地记录实验数据是非常重要的。
通过详细记录实验操作步骤和关键数据，不仅可以帮助我们回顾实验过程，还可以为后续的数据处理提供基础。
通常，实验数据可以分为定性数据和定量数据两类。
定性数据是用来描述性质或观察结果的数据，例如物质的颜色、气味，反应是否起泡等。
在记录定性数据时，应尽量使用准确的描述词汇，避免主观判断或个人情感的干扰。
定量数据是用来表示具体数值或量化结果的数据，例如重量、体积、温度等。
在记录定量数据时，应注意选择适当的单位，并保留正确的数字位数。
在实验中，常用的数据处理方法包括均值、中位数、众数等。
二、数据的处理与分析在实验数据记录完毕后，我们需要对数据进行处理和分析，以便得出比较准确的结果和结论。
下面将介绍一些常用的数据处理与分析方法。
1. 均值均值是最常用的数据处理方法之一，通过计算数据的平均值可以得到一组数据集的总体趋势。
计算均值时，应注意采用合适的公式，并按照实际情况选择算术均值、加权均值等。
2. 标准差标准差是用来衡量数据的离散程度的指标，反映了数据的波动情况。
标准差越大，说明数据离散程度越大；标准差越小，说明数据离散程度越小。
计算标准差时，可使用合适的公式，并按照实际情况选择样本标准差还是总体标准差。
3. 相关性分析在某些实验中，我们需要分析两个或多个变量之间的相关性。
通过统计学方法，可以计算出相关系数来判断变量之间的相关程度。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等。
4. 统计检验统计检验是判断实验结果是否显著的方法之一。
通过设定显著性水平和计算检验统计量，可以进行假设检验，从而得出是否拒绝原假设的结论。
化学反应动力学模型的建立与拟合
化学反应动力学模型的建立与拟合第一章前言化学反应动力学研究是化学领域中的一个重要方向，它关注的是化学反应的速率和机理。
模型的建立和拟合是化学反应动力学研究中的核心问题。
本文旨在介绍化学反应动力学模型的建立和拟合方法，帮助读者深入了解这一领域的研究。
第二章化学反应动力学模型的建立化学反应动力学模型是一种描述化学反应速率和机制的数学模型。
化学反应动力学模型的建立首先需要确定反应速率的表达式。
反应速率是衡量反应速度的重要指标，其计算表达式通常是基于反应物浓度和反应物之间的相互作用关系的。
在确定反应速率的表达式之后，又需要推导反应机理，即确定反应中各步骤的反应物、产物以及转化的能量变化。
推导反应机理的方法包括实验方法和计算化学方法。
2.1 反应速率表达式的确定反应速率决定着化学反应的速度，因此，确定反应速率表达式是化学反应动力学模型建立的第一步。
反应速率表达式通常以反应物浓度为自变量，以反应速率为因变量表示，包括一阶反应、二阶反应、三阶反应等。
表达式的形式可能是线性的、非线性的或者分段的。
确定反应速率表达式需要实验数据的支撑，实验数据有助于选择最符合实际情况的数学模型。
2.2 反应机理的推导反应机理包括反应物的相互作用关系以及各步骤的能量变化，是建立化学反应动力学模型的另一个关键步骤。
反应机理的推导可采用实验方法和计算化学方法。
实验方法主要包括化学动力学实验和反应机理分析实验。
计算化学方法则是通过分子力学模拟、量子力学计算等手段进行分析。
第三章化学反应动力学模型的拟合化学反应动力学模型的拟合是指将模型与实验数据进行比对和调整以达到最优拟合效果的过程。
模型的拟合需要结合实验数据和模型参数，常用的拟合方法有最小二乘法、非线性最小二乘法、贝叶斯法等。
3.1 最小二乘法最小二乘法是一种基于残差平方和来比较不同模型拟合效果的方法。
当残差平方和越小时，模型的拟合效果越好。
具体地，最小二乘法通过定义残差平方和的数学形式，通过对其优化求解出最优参数的值。
高三物理实验的数据处理与分析
高三物理实验的数据处理与分析在高三物理学习中，实验是探究物理规律和加深理解的重要方式。
而实验的数据处理与分析是实验结果的关键环节，它能帮助我们更好地理解实验现象，并将其与理论知识相结合。
本文将介绍高三物理实验的数据处理与分析的方法和技巧。
1. 实验数据的处理在进行物理实验时，我们需要记录实验现象、观测数据和所采用的仪器，这些数据经过处理后可以反映出物理过程和规律。
以下是实验数据处理的一般步骤：1.1 数据筛选与整理首先，我们需要对实验数据进行筛选和整理。
将实验数据按照时间、位置或参数等进行分类，并剔除明显不符合实验目的的异常数据。
1.2 数据单位和精度在进行实验数据处理时，我们需要确定使用的数据单位和精度。
合适的单位和精度有助于减小数据处理过程中的误差，并提高实验结果的准确性。
1.3 计算数据平均值对于一系列实验数据，我们通常需要计算其平均值。
通过求平均值，可以减少个别数据对实验结果的影响，并更准确地得出结论。
1.4 统计数据误差在进行数据处理时，我们需要对实验数据的误差进行统计分析。
常见的误差包括随机误差和系统误差。
通过统计数据误差，可以评估实验数据的可靠性和精确性。
2. 实验数据的分析实验数据处理结束后，我们需要进行数据分析，以从中提取有关实验现象和规律的信息。
以下是实验数据分析的几种常见方法：2.1 数据图表展示利用数据图表是数据分析的重要手段。
我们可以借助折线图、柱状图或散点图等方式，将实验数据以图表的形式直观地展现出来，从中观察数据的趋势和规律。
2.2 数据趋势分析通过对数据的趋势进行分析，我们可以发现实验中存在的规律和关系。
例如，可以通过线性回归分析来拟合实验数据，得出相关的物理关系方程。
2.3 数据对比与验证在数据处理和分析过程中，我们可以将实验数据与理论模型或已知结果进行对比和验证。
通过对比分析，可以检验实验数据的可靠性，并验证物理规律的适用性。
2.4 结果的解释和讨论在分析实验数据时，我们还需要对实验结果进行解释和讨论。
实验数据处理方法
实验数据处理方法引言实验数据处理是科学研究中非常重要的一环。
不仅需要采集准确的数据，还需要对数据进行合理的处理。
准确的数据处理方法可以帮助研究人员得到科学、可靠的结论。
本文将介绍一些常用的实验数据处理方法。
均值与标准差均值和标准差是最常用的描述数据集中趋势和离散程度的统计量。
均值是数据集中所有数据的平均值，计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中n是数据集的样本数量，x1, x2, …, xn是数据集中的各个观测值。
标准差是反映数据集的离散程度的量，计算公式为：std = sqrt(((x1 - mean)^2 + (x2 - mean)^2 + ... + (xn - mean)^2) / n)其中 mean 是数据集的均值。
零假设检验与p值零假设检验是用于推断数据样本与总体的关系的统计方法。
它通过设立一个零假设和另一个备择假设，并计算出一个p值来判断是否拒绝零假设。
零假设通常表示数据没有显著差异或者没有关联。
p值是概率值，代表了观察到的或更极端结果的概率，当这个概率小于设定的显著性水平时，我们将拒绝零假设。
常见的显著性水平包括0.05和0.01。
方差分析方差分析是一种多样本比较的统计方法，用于确定多个样本间是否有显著差异。
它通过比较不同样本组的均值差异和样本内部的离散程度来推断总体的差异。
方差分析可以划分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是将样本按照一个因素进行分组比较，而多因素方差分析则考虑了多个因素对样本的影响。
方差分析的基本原理是通过计算组间离差与组内离差的比值来判断组间差异是否显著。
当组间离差远大于组内离差时，表明不同样本组的均值存在显著性差异。
相关分析相关分析是用于研究两个变量之间相关程度的统计方法。
它可以帮助研究人员了解两个变量的关系强度和方向。
常见的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于线性关系，Spearman相关系数适用于有序变量的关系，判定系数反映了自变量对因变量变异的解释程度。
单室模型
2
X
* 0
的计算：
（1）基本思想：静脉注射后体内血药浓
度立即达到稳态血药浓度。
（2）计算公式
X
* 0
CssV
3 给予负荷剂量后体内的C～t关系：
来源一：静脉注射 的浓度；
X
* 0
经过t时间后剩余
来源二：静脉滴注经过t时间后所产生的 浓度。
（二）达坪分数fss 1 概念：
2 计算：
（1）
fss 1 eKt
应用:可计算静脉滴注经过某一时间后体 内血药浓度达到坪浓度的百分数。
结论： 单室模型静脉滴注达坪分数与滴 注时间有关。
（2）
fss 1 e0.693n
f ss
1 (1)n 2
应用:可计算静脉滴注经过n个半衰期后 体内血药浓度达到稳态浓度的百分数。
dXu KeX dt
3 尿药排泄量与时间的关系
Xu KeX 0 (1 eKt ) K
4 尿药亏量与时间的关系
X时u达为尿t时药间排的泄累总积量药X量u，当t→∞则e-kt→0。此
X
u
KeX 0 K
X
uBiblioteka XuKeX 0 K
e Kt
(
X
u
X
u
)
称为待排泄原型药量，或尿药亏量。
（1）该两式表示单室模型单剂量静脉注射体
内药物浓度随时间变化的规律。
（2）药时曲线
（3）直线方程：
lg
X
Kt 2.303
lg
X0
K
或
第二章 过程建模
2.1 先验知识
4.两个基本方法：
1）机理法建模：
根据生产过程中实际发生的物化机理，写出各种有关的 平衡方程，分析过程内在联系，消去中间变量，写出输入与 输出间的关系。
应用条件：充分掌握机理，能比较确切进行数学描述。
2）试验法建模：
根据过程输入、输出的实测数据，经过数学处理（过 程辨识与参数估计）得到完全从外特性上和过程相吻合的 数学模型。
4）滞后（迟延）过程
Q0
e-τs
Q1
纯迟延
u
Ku
Q0
1 Cs
Q1
_ Q2
h
(1)传递函数：
1 R
H (s) K e 0 s U (s) Ts 1 K （多容） e 0 s （Ts 1 n ）
4）滞后过程
(2)响应曲线：
0
2、无自平衡过程
1）单容过程
u
ku
Q1
流出量Q2由水泵强制打出。Q2 的大小决定于水泵的容量和转速 ，而与水槽水位的高低无关
一阶微分方程式
(4)原理框图：
u
Ku
Q1
1 C2 s
h1
1 R2
自平衡单容对象
1）单容过程
(5)响应曲线： u
阀门开度
u0
u0
流
量
Q
t0
dQ
Q1
Q2
t
Q10 Q20
t0
dh
t
液
位
h
h( )
t
h0
t0
多 容
1）单容过程
(6)特征参数： （选学）
放大系数K ∵ h(∞)＝KΔ u0
与输入稳态值之比，
消去中间变量，得：
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x x2
2-1 -1–3 线性插值——程序框图 LINEPLOT(N,X,Y,X0,Y0) DO J=1,N-1 J1=J+1 X0<=X(J1) no CONTINUE yes
J=J-1
T=(X0-X(J))/(x(J1)-x(J)) Y0=Y(J)+T*(Y(J1)-Y(J)) RETURN
令x x
有y a bx
有y a bx
平方根曲线
2-2-2-2 线性模型的推广——应用示例 例1：Arrhenius公式的应用
k Ae
令y ln k , x
Ea RT
ln k ln A
Ea RT
E 1 , a ln A, b a T R
y a bx
(两点式)
Lagrange插值（三点插值,抛物线插值）： xi-1 xi xi+1
( x xi )( x xi 1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xi 1 )( x xi ) p2 ( x ) yi 1 yi yi 1 ( xi 1 xi )( xi 1 xi 1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi 1 xi 1 )( xi 1 xi )
No x(Cu) y(Mo) 1 285 4.6 2 290 4.7 3 300 4.7 4 303 4.9 5 310 4.9 6 318 5.1 7 325 5.0 8 335 5.3 9 338 5.4
一元线性回归的数学模型：
y (Mo)
y=ax+b+ε
n个实验点
5.4
5.2
yi=axi+b+εi 回归直线： y=ax+b
i 1 i 1
n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
an b xi yi
a xi b xi2 xi yi
（正规方程组）
y a
b
i
b xi n
2-1 -1–4 线性插值——应用示例
开始
输入：数据点X(I),Y(I)，未知点X0
调用线性插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0
输出：X0,Y0值
结束 显示程序 显示输入 显示输出
2-1-2-1 一元三点Lagrange插值——问题的提出
例：计算乙醇的平均摩尔体积 实验测得25℃时乙醇溶液的平均摩尔体积 V（cm2mol-1）与乙 m 醇的物质的量分数的关系如下
2-1-1 –2 线性插值——方法原理 定义： 设y =f(x)在区间[a,b]上有意义，且已知在点a<x0<x1<… <xn<b上的值y0, y1,…, yn,若存在一简单函数pn(x),使 pn(xi) = yi (i=0,1, …,n) 成立， 则称pn(x)为 f(x)的插值函数， x0，x1，…，xn为插值节点 区间[a,b]为插值区间 ，求pn(x)的方法称为插值法 y=f(x) y 几何意义： y=p(x)
RETURN
2- 1- 2-4 一元三点Lagrange插值——应用示例
开始 输入：数据点X(I),Y(I)，未知点X0
调用lagrange插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0 输出：X0,Y0值
结束
显示程序
显示输入
显示输出
2-2-1-1 一元线性回归——问题的提出 例:铜钼矿中钼对铜含量的线性依赖关系
dpA n rA kA pA dt
● 数学模型中各参数的确定 利用实验得到的全部信息，确定数学模型中的待定参数 例：镍硅藻土上苯加氢合成环己烷是表面反应控制的固体 催 化 剂 上 的 气 相 反 应 。 在 160oC ， 微 分 反 应 器 中 的 初 始反应速率方程为
3 3 ka bHbB pH pB r0 (1 bH pH bB pB ) 4
x 0.0891 0.1153
Vm / cm2mol-1
21.22 22.16
பைடு நூலகம்
计算x=0.1,0.2,0.3,0.4 时的 Vm。
0.1435
0.1739 0.2068 0.2424
23.18
24.32 25.57 26.95
0.2811
0.3234 0.3697 0.4207
28.47
30.15 32.01 34.07
根据k和T数据，可确定指前因子A和活化能Ea。
2-2-2-2 线性模型的推广——应用示例 例2：Clausius-Clapryron方程式的应用
d ln p H 纯组分气-液（气-固）两相平衡的方程式： dT RT 2
上式中：p:T/K时液（固）饱和蒸气压；ΔH：相变热 不定积分：
H 1 ln p ( )C R T
0.4771
36.37
2-1-2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理
线性插值公式：二点(xi-1,yi-1),(xi,yi)
yi yi 1 p1 ( x) y yi 1 ( x xi 1 ) xi xi 1 p1 ( x) x xi x xi 1 yi 1 yi xi 1 xi xi xi 1
即
y( x) ( (
k i j i j k
i2
i2
x xj xk x j
)) y k
2-1- 2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理
编程难点：如何确定使用哪三 个结点进行插值
y( x) ( (
k i j i j k
i2
i2
x xj xk x j
2-2-2-1 线性模型的推广——方法原理 曲线类型及变换公式
双曲线型
1 b a y x
令y
1 1 , x y x
有y a bx
b 幂指数型 y ax
令y ln y, x ln x
令y ln y, x 1 x 令y ln y
令y
令
离差平方和
y a
b
i
b xi n
xi yi
1 xi yi n 1 xi2 ( xi ) 2 n
b Lxy / Lxx a y bx
2-2-1-2 一元线性回归——方法原理 注意： 1.线性相关系数R—衡量回归方程式与数据相符合的程度。 若R1，则数据点落在直线上。
第二章
实验数据的处理及模型参数的确定
引言：1.问题的提出 ● 从实验数据确定函数关系式，以预测任意x值时的函数y值 ： 20 14.15 25 9.24
例：298K时，SbH3在Sb上的分解的数据如下 t/s pA/kPa 0 101.33 5 74.07 10 51.57 15 33.13
aA 产物
xj xj+1 xj+2
xi-1
xi
xi+1
x
2- 1- 2-3 一元三点Lagrange插值——程序框图
LGRG2(X,Y,N,T,Z) Do J=3,N-1 I=J yes T>X(I) no CONTINUE no
|T-X(I-1)|<=|T-X(I)|
yes I=I-1
P=(T-X(I))* (T-X(I+1))/(X(I-1)-X(I))/(X(I-1)-X(I+1)) Q=(T-X(I-1))*(T-X(I+1))/(X(I)-X(I-1))/(X(I)-X(I+1)) R=(T-X(I-1))* (T-X(I))/(X(I+1)-X(I-1))/(X(I+1)-X(I)) Z=P*Y(I-1)+Q*Y(I)+R*Y(I+1)
LXX=SXX-SX*SX/n,LYY=SYY-SY*SY/n,LXY=SXY-SY*SX/N
SX : X SXX : X SYY : Y
2 2
SY : Y SXY : XY
B=LXY/LXX,A=(SY-B*SX)/N,R=LXY/SQRT(LXX*LYY)
RETURN
2-2-1-4 一元线性回归——应用示例 开始
模型参数 ka ── 表观速率常数 bH ── H2的吸附系数 bB ── C6H6的吸附系数
引言：2.常用的数学方法
插值法
函数关系
● 线性插值 ★ ● Lagrange插值 ● 埃米尔特插值 回归分析
● 一元线性回归★ ● 线性模型的推广★ ★ ● 多元回归 可化为多元线性回归的问题 ● 多项式拟合简介 ● 逐次回归分析 数值微分 相关关系
残差： =yi-（axi+b） εi
5.0
4.8
4.6
280
290
300
310
320
330
340
x (Cu)
2-2-1-2 一元线性回归——方法原理 最小二乘法：
n
εi 第i点残差： =yi-（axi+b）
n 2 i
当残差的平方和为最小时，对应的a、b值是最佳值。
Q ( yi a bxi ) 2
输入：数据点数N 铜与钼的实验数据X(I),Y(I) （I=1，N）
调用一元线性回归子程序计算A，B，R 输出：A，B，R
结束
显示程序
显示输入
显示输出
2-2-2-1 线性模型的推广——方法原理 变量x与y之间存在某种非线性关系
确定曲线类型 （非线性关系）
线性关系
实际 经验
散点图 形状
非线性关系
最小二乘法 确定系数
y
y=p(x) y=f(x)
yi-1 xi-1