井眼轨道参数的插值计算

井眼轨道参数的插值计算由于实钻井眼轨道的测点与钻柱单元体的划分可能并不一致，因此钻柱单元体边界点对应的井眼轨道参数必须靠插值计算获得。

插值结果的准确与否，对钻柱单元体的受力计算有着直接的影响。

因此，提高插值计算的精度具有重要意义。

由于测点是离散的，无法知道各测段内井眼轨道的实际形态，所以测段内某点几何参数的计算方法都是建立在一定假设的基础上的。

这些计算方法多数是将测段内的井眼轨道假设为直线、折线和曲线等，早期，由于计算机能力的限制，以平均角法和平衡正切法为代表直线或折线假设，因其计算简单快速，曾经被广泛应用，但随着钻井技术的发展，弯曲的井眼轨迹增多，如果仍采用直线或折线假设，则计算精度相对较低。

由于计算技术的高速发展，直线或折线假设，目前几乎淘汰，取而代之的是以圆柱螺线和空间圆弧曲线等为代表的曲线假设，大行其道。

在进行插值计算时，各插值点的坐标增量可以采用不同的计算方法，但坐标值的累加形式是相同的，即（X 为东向位移，Y 为北向位移， Z 为垂直向位移，S 为水平位移）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=φφφa a αS S S Z Z Z YY Y X X X 121212121212所以，在以下的计算方法中将只给出坐标增量的计算式。

典型轨迹模型插值1、正切法：正切法又称下切点法，或下点切线法。

此法假定两相邻测点之间的孔段为一条直线，长度等于测距，该直线的井斜角和井斜方位角等于下测点的井斜角和井斜方位角，整个钻孔轨迹是直线与直线相连接的空间折线。

正切法井身轨迹计算图如图1所示，1、2 是孔身轨迹上相邻的两个测点，1′、2′是 1、2 两个测点的水平投影。

该测段的井斜角和井斜方位角等于下测点 2 的井斜角和井斜方位角。

对于切线法，上下两个相邻测点间各参数的计算公式如下：222222cos sin sin sin sin cos φαφαααL Y L X L S L Z ∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆式中：Z ∆——测段上下测点间垂直深度的分量（增量）（以下同）； L ∆——测段上下测点间沿钻孔轴线的距离（以下同）；Y ∆∆X ——分别为测段上下测点间水平位移在 X 轴（西东方向）的分量（增量）；水平位移在 Y 轴（南北方向）的分量（增量）（以下同）；22 φα——分别为测段下测点的井斜角和井斜方位角。

2、平均角法平均角法井眼轨迹计算图如图所示，1、2 是孔身轨迹上相邻的两个测点，1′、2′是 1、2 两个测点的水平投影，该测段的井斜角和井斜方位角等于上下两个测点的井斜角和井斜方位角的平均值。

假设测段内的井眼轨道为一条直线，其方向是上、下两侧点井眼方向的平均值，则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆cc c cc c c c L S L Z L Y L X φφααααφαφαsin cos sin sin cos sin 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121φφφαααc c 需要注意的是，当某测点的井斜角等于零时，是没有井斜方位角的。

“没有井斜方位角”，并不等于“井斜方位角等于零”。

这种情况下的平均井斜方位角可作如下处理：当01=α时，2φφ=c ；02=α时，1φφ=c ；3、平衡正切法这种方法认为井斜角和方位角，在测段的开始和末尾全部切线补偿。

根据测量的井斜角和方位角，用三角函数平均值确定钻孔轴线坐标值。

它也是把小段钻孔轴线作为折线来处理，并与以下要叙述的最小曲率法有相似的计算公式，仅少了一项修正系数。

该法得出一平滑曲线，较接近两测点间实际的钻孔轴线。

直观地看，两测点间距离越大，可能产生的误差越大。

平衡正切法井眼轨迹计算图如图所示，1、2 是孔身轨迹上相邻的两个测点，1′、2′是 1、2 两个测点的水平投影。

上段直线用上测段的井斜角和井斜方位角，下段直线用下测点的井斜角和井斜方位角。

这个钻孔轨迹是一条折点更多的空间折线。

假设测段内的井眼轨道为折线，两个线段的长度均等于测段长度的一半，其方向分别与上、下侧点的井眼方向相同，则有()()()()B L B L B S B L B Z B L B Y B L B X BL L S L Z L Y L X ≥∆⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆<∆⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆2221212211221111111111sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin φφααααααφαφαφαφαφφααααφαφα其中2)(12L L B -= . 当测点的φ = 0时，处理方法同平均角法。

4、曲率半径法这种方法是角（其切线）在每一测段开始与末尾经常被描述为一曲线，它将代表钻孔的真实轴线。

此曲线具有球面圆弧形状平滑，可用圆周或球面的一部分表示。

圆弧的精确确定由两个方向的矢量和已知的两测点间的距离所给定。

由于这种假设，因测点间大距离所造成的误差小于其他计算方法，从而该法成为钻孔空间坐标计算最精确的方法之一。

曲率半径法井眼轨迹计算图假设测段内的井眼轨道在垂直剖面图和水平投影图上均为圆弧，其有下面几种计算方法： 第一种表达形式：()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+=∆+=-=∆-=∆-=∆-=∆r SR L R S R Z r Y r X 111111cos cos sin sin cos cos sin sin φφααααααφφφφ 式中()12211212cos cos φφααR r ααL L R --=--=第二种表达形式：)sin (sin )cos (cos )cos (cos )sin (sin 12212112φφφφαααα-=∆-=∆-∆=∆-=∆r Y r X L S R Z式中：1212221180)cos (cos 180φφφαααπφαααπα-=∆-=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆⋅∆-∆=⋅∆∆=L r L R第三种表达形式：21221221212112180)sin )(sin cos (cos 180)cos )(cos cos (cos 180)cos (cos 180)sin (sin ⎪⎭⎫⎝⎛⋅∆⋅∆--∆=∆⎪⎭⎫⎝⎛⋅∆⋅∆--∆=∆⋅∆-∆=∆⋅∆-∆=∆πφαφφααπφαφφααπαααπαααL Y L X L S L Z这是最常用的公式。

第四种表达形式：22180cos sin 2sin 2sin 4180sin sin 2sin 2sin 4180sin 2sin 2180cos 2sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆⋅⋅∆⋅∆⋅∆=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆⋅⋅∆⋅∆⋅∆=∆⋅∆⋅∆⋅∆=∆⋅∆⋅∆⋅∆=∆παφαφαπαφαφαπαααπαααcc cc ccL Y L X L S L Z式中：221ααα+=c ，221φφφ+=c 。

上述公式中，在分母中都有α∆ 和φ∆，只要其中一个为零，都会使公式无法计算，所以在实际应用中要考虑到以下几种特殊情况：a) 第一种特殊情况，21αα=，21φφ≠，即0,0≠∆=∆φα。

此时测段计算公式如下：πφφφαπφφφααα180sin sin sin 180cos cos sin sin cos 21221222⋅∆-⋅∆=∆⋅∆-⋅∆=∆∆=∆∆=∆L Y L X L S L Z b)第二种特殊情况，21αα≠，21φφ=，即0,0=∆≠∆φα。

此时测段计算公式如下：πφαααπφααααααααα180cos cos cos 180sin cos cos cos cos cos sin 2212212112⋅⋅∆-⋅∆=∆⋅⋅∆-⋅∆=∆∆-⋅∆=∆∆-⋅∆=∆L Y L X L S L Z c)第三种特殊情况，21αα=，21φφ=，即0,0=∆=∆φα。

此时实际上是按着正切法的公式进行计算：222222cos sin sin sin sin cos φαφαααL Y L X L S L Z ∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆d ）第四种特殊情况，21αα≠，且其中之一等于零，则为零的该测点的方位角是不存在的。

此时，可按二测点方位角相等来处理，然后代入第二种特殊情况的公式中计算。

5、校正平均角法校正平均角法是在曲率半径法公式的基础上，简化处理而导出的一种新方法。

其简化思路如下： 将 sin x 展开成麦克劳林无穷级数的形式：-+-+-=!9!7!5!3sin 9753x x x x x x级数收敛很快，可近似取前两项，即3361!3sin x x x x x -=-=。

把曲率半径法计算公式的第四种表达式中的2sinα∆和2sin φ∆作上述近似处理，得到： )2411(24822sin )2411(24822sin 2323φφφφφααααα∆-∆=∆-∆=∆∆-∆=∆-∆=∆。

将此二式代入曲率半径法计算公式的第四种表达式中，并忽略去高次微量，可使公式大为简化，即可得校正平均角法的计算公式：cc cc ccL Y L X L S L Z φαφαφαφαααααcos sin )241(sin sin )241(sin )241(cos )241(222222∆∆+∆-=∆∆∆+∆-=∆∆∆-=∆∆∆-=∆。

令2412α∆-=H f ，24122φα∆+∆-=A f 可将上式简化。

H f 和 A f 是两个小于 1 而接近于 1 的数。

当α∆ 和 φ∆ 足够小时， H f 和 A f 可近似看作等于 1，则公式完全变成了平均角法的公式。

所以，可把 H f 和 A f 看作是一个校正系数。

从公式的形式上看，它是在平均角法的基础上乘以校正系数H f 和A f ，因此取名叫校正平均角法。

平均角法是直线法，而校正平均角法在实质上是曲线法，是从曲线法的曲率半径法推演出来的。

校正平均角法形式上是直线法，实质上是曲线法，其假设更接近真实井身，因而较直线法更为精确。

6、最小曲率法最小曲率法假设两测点间的井段是一段平面上的圆弧，圆弧在两端点处与上下二测点处的井身方向线相切，即在上、下二测点的井身方向一定的情况下，把测段看成圆弧曲线，乃是所有曲线中曲率最小的曲线，所以被定名为最小曲率法。

与曲率半径法相同，圆弧的精确确定也是由测段开始与末尾两个方向的 矢量和已知的两测点间的距离所给定。

假设测段内的井眼轨道为空间圆弧，则有()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆⋅-+∆⋅++=∆-∆=-=∆∆∆⋅+=∆+=∆+=∆+=∆)/tan()sin sin cos cos (cos cos sin )/tan()sin cos cos sin (cos sin sin arctan )/sin(cos sin )/cos(cos arccos2/tg 2sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin 1111111111111111111R L ωφωφαφαR L ωφωφαφαφR L ωαR L ααφφφφφααλS ααλZ φαφαλY φαφαλX (3.108)其中()12212112cos sin sin cos cos cos 2t gφφααααεεL L R RL R λ-+=-=∆⋅= ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=2112112tg tg cos cos sin tg ααφφαφφω7、自然参数法（同下面的自然参数模型， 可以参考）假设测段内的井眼轨道的井斜和方位随段长均匀变化，则有()()[]()()[]()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+=∆+=-=∆-=∆∆+--∆+-=∆∆+-+∆+-=∆Lk φφL k ααk ααS k ααZ k L k ααk L k ααY k L k ααk L k ααX φαααB B B B A A A A B B B B A A A A 1111cos cos sin sin 2)sin(sin )sin(sin 2)cos(cos )cos(cos (3.109) 其中 φαB φαA B A φαk k k k k k φααφααL L φφk L L ααk +=-=+=-=--=--=111112121212 8、弦步法弦步法也假设相邻两测点间的井身轴线为一空间平面上的圆弧曲线。