2020届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题(解析版)
CF 3 又 CEF 90 CE 3 x2 , AE 1 PA x 2
AEC 中余弦定理 cos EAC x2 4 3 x2 ，作 PD AC 于 D ， PA PC ， 22 x
A2,0,B0, 2 ,则 AB 2 2
点 P 在圆（x 2）2 y2 2 上
202
圆心为（2，0），则圆心到直线距离 d1
2 2 2
故点 P 到直线 x y 2 0 的距离 d2 的范围为 2,3 2
则S
ABP
1 2
AB
d2
2d2 2,6
故答案选 A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于
n ，所以 n 6 ，故选 C．
【考点定位】二项式定理．
5．ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连接 DE 并延
长到点 F ，使得 DE 2EF ，则 AF·BC 的值为（ ）
A． 5 8
B． 1 8
C． 1 4
D． 11 8
【答案】B
【解析】试题分析：设
则 z 1，故选 c.
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点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、
虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问
题出错，造成不必要的失分.
平面 PAC ，APB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体一部分，
2R 2 2 2 6 ，即 R 6 , V 4 R3 4 6 6 6 ，故选 D．
2
3
38
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解法二:
设 PA PB PC 2x ， E, F 分别为 PA, AB 中点，
中档题．
ex，x 0，
7．已知函数
f
(x)
ln
x，x
0，g(x)
f
(x)
x
a
．若
g（x）存在
2
个零点，
则 a 的取值范围是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程 f (x) x a 0 有两个解，
4．二项式 x 1n n N 的展开式中 x2 项的系数为15 ，则 n （
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】二项式 x 1 n 的展开式的通项是 r1 Cnr xr ，令 r
2
得
x2
的系数是
C
2 n
，
因为 x2 的系数为15 ，所以 C2n 15 ，即
，解得：n 6 或 n 5 ，因为
【考点】全称命题与特称命题
3．设 z 1 i 2i ，则| z | 1 i
A． 0
B． 1 2
【答案】C
C．1
D． 2
【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复
数 z ，然后求解复数的模.
详解：
z
1 1
i i
2i
1 1
i i
1 1
i i
2i
i 2i i ，
BA
a
，
BC
b
，∴
DE
1 2
AC
1 2
(b
a)
，
DF 3 DE 3 (b a) ，
2
4
AF AD DF 1 a 3 (b a) 5 a 3 b ，
24
44
∴ AF BC 5 a b 3 b2 5 3 1 .
4
4
84 8
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐
D 为 AC 中点， cos EAC AD 1 ， x2 4 3 x2 1 ，
PA 2x
4x
2x
2x2 1 2 x2 1 x 2 ，PA PB PC 2 ，又 AB=BC=AC=2 ，
2
2
PA , PB , PC 两两垂直，2R 2 2 2 6 ， R 6 ， 2
∵ AE BE AB ；∴ AB AE BE 0，当 AB 过点 E 时取等号； ∴ AB AF BF 4a AB AE BE 4a ； 即直线 x m 过椭圆的右焦点 E 时， FAB 的周长最大； 此时直线 x m c 1；但 1 m 1，所以不存在 m ，使 FAB 的周长最大.故 D 错误.
1 2
1 2
1
1 4
，三棱锥
A BEF
的体积为 1 3
1 4
2 2
2 为定值，D 正确； 24
很显然，点 A 和点 B 到的 EF 距离是不相等的，C 错误.
故选：ABD 【点睛】 本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.
11．已知椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为 F 、 E ，直线 x m (1 m 1) 与椭 43
将其转化为 f (x) x a 有两个解，即直线 y x a 与曲线 y f (x) 有两个交点，
根据题中所给的函数解析式，画出函数 f (x) 的图像（将 ex (x 0) 去掉），再画出直线 y x ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 a 1 时，满足 y x a 与曲线 y f (x) 有两个交点，从而求得结果.
A． 8 6
B． 4 6
C． 2 6
D． 6
【答案】D
【解析】先证得 PB 平面 PAC ，再求得 PA PB PC 2 ，从而得 P ABC 为
正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】
解法一: PA PB PC, ABC 为边长为 2 的等边三角形，P ABC 为正三棱锥， PB AC ，又 E ， F 分别为 PA 、 AB 中点， EF / /PB ，EF AC ，又 EF CE ，CE AC C, EF 平面 PAC ，PB
详解：画出函数 f (x) 的图像， y ex 在 y 轴右侧的去掉， 再画出直线 y x ，之后上下移动，
可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点， 第 3 页 共 20 页
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 f (x) x a 有两个解， 也就是函数 g(x) 有两个零点， 此时满足 a 1，即 a 1 ，故选 C.
标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解
和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将
“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量
运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
6．直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆 x 22 y2 2 上，
A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 C．2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABD 【解析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项. 【详解】 由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得： 在 A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A 正确； 在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故 B 正确； 在 C 中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故 C 错误； 在 D 中，各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较 平稳，故 D 正确. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题.
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则 △ABP 面积的取值范围是
A． 2 ，6
【答案】A
B． 4 ，8
C． 2 ，3 2
D． 2 2 ，3 2
【解析】分析：先求出 A，B 两点坐标得到 AB ，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到
直线距离范围，由面积公式计算即可
详解： 直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点
【答案】ABD 【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】
可证 AC 平面 D1DBB1 ，从而 AC BE ，故 A 正确；由 B1D1 / / 平面 ABCD ，可知 EF / / 平面 ABCD ，B 也正确；连结 BD 交 AC 于 O ，则 AO 为三棱锥 A BEF 的高，
S△BEF
V 4 R3 4 6 6 6 ，故选 D.
3
38
【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱
两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 第 5 页 共 20 页
二、多选题 9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根 据该折线图，下列结论正确的是（ ）
2020 届山东省淄博市部分学校高三下学期 3 月教学质量检测数学 试题
一、单选题 1．已知全集 （） A． 【答案】B
，集合 B．
，集合 C．
，则集合 D．
山东省淄博市高三第三次模拟考试数学(理)试题解析(原卷版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数12a i i+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为（ ） A.12- B ．25- C ．15 D.2 2. 己知向量,a b 的夹角为120， 2a =，且(2),a b a +⊥则b =（ ）A ．6 B.7 C ．8 D.93.已知命题2:,20p x R x ax a ∃∈++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. a<0或a>l B ．01a a ≤≥或C ．0≤a ≤1D ．01a <<4. 右图所示的程序框图，如果输入的n 为6，那么输出的n 为（ ）A. 16 B ．10 C.5 D.35. 过抛物线28y x =焦点的直线交该抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB =（ ）A. 14 B ．12 C.l0 D.8C ．向左平移6π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8. M 是正方体 1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列结论：①过M 点有且只有一条直线与直线1,AB B C 都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线1,AB B C 都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线1,AB B C 都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线1,AB B C 都平行，其中正确的是（ ）A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③9. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有l 23456，，，，，个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x,y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x,y 中有偶数且x y ≠”，则概率(|)P B A =（ ） A.12 B.13 C.14 D.2510. 若实数a ,c,d ,b 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A. 8 B ．22 C ．2 D.2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 函数[]2sin(2)(0,)6y x x ππ=-∈为增函数的区间是________， 12. 设双曲线221x y -=的两条渐近线与直线22x =围成的三角形区域（包含边界） 为D ，点P(x y)，为D 内的一个动点，则目标函数z x 2y =-的最小值为______．13. 己知x 0y 0>>，，且 115x y x y+++=，则x y +的最大值是______. 14. 己知数列{}n a 是一个单调递减数列，其通项公式是2n a n n λ=-+（其中n N *∈）则常数λ的取值范围是________．15. 对于定义在R 上的函数()f x 图象连续不断，若存在常数()a a R ∈，使得()()0f x a af x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x)是阶数为a 的回旋函数，现有下列4个命题：①2()f x x =必定不是回旋函数；②若()sin (0)f x x ωω=≠为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；④若对任意一个阶数为(0)a a ≥的回旋函数()f x ，方程()0f x =均有实数根.其中为真命题的是________. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本题满分12分）己知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()f x m n =⋅. (I)若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； ( II)在锐角∆ABC 申，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足((2)cos cos a c B b C -=, 求函数()f A 的取值范围．17. （本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．(I)求证：1AC ⊥BN ； (II)求二面角1B A N C --的余弦值．18. （本题满分12分）袋中装有大小相同的9个小球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；(II)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．19. （本题满分12分）己知数列{}n a 满足12212121,2,3()n n n n n a a a a a n N *-+=-=-=∈．(I)计算：3153()()a a a a -+-，并求5a ；(II)求21n a -(用含n 的式子表示）；(III)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．20. （本题满分13分）如图，己知抛物线2:2(0)C y px p =>和：22(4)1x y -+=，过抛物线C 上一点000(,)(1)H x y y ≥作两条直线与相切于A ，B 两点，分别交抛物线为E ，F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174． (I)求抛物线C 的方程；(II)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； (III)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．。
山东省淄博市2020届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学试卷(附参考答案)
17．（10 分）解：
方案一：如果①②③，则④；
……………………………………2 分
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ；…………4 分 2
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
求经过点 A1, M , N 的平面 A1MN 与平面 ACC1A1 所成二面角的正弦值．
21．（12 分）
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a b 0 的左右焦点分别为 F1, F2 ，离心率是
3 ，P 为 2
椭圆上的动点．当 F1PF2 取最大值时， PF1F2 的面积是 3 ．
（1）求椭圆的方程；
的最大值为
1 4
高三数学试题 第 2 页（共 6 页）
11．华为 5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
c1
c2 (a1
a2
)
b11 b21
b12 b22
，其中 c1
a1b11
a2b21 ， c2
a1b12
a2b22
．
已知定义在 R 上不恒为 0 的函数 f (x) ，对任意 a,b R 有：
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；……6 分 2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ； …………8 分
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
山东省淄博市高三第三次模拟考试数学(理)试题解析(原卷版).docx
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数12a i i+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为（ ） A.12- B ．25- C ．15 D.2 2. 己知向量,a b 的夹角为120， 2a =，且(2),a b a +⊥则b =（ ）A ．6 B.7 C ．8 D.93.已知命题2:,20p x R x ax a ∃∈++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. a<0或a>l B ．01a a ≤≥或C ．0≤a ≤1D ．01a <<4. 右图所示的程序框图，如果输入的n 为6，那么输出的n 为（ ）A. 16 B ．10 C.5 D.35. 过抛物线28y x =焦点的直线交该抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB =（ ）A. 14 B ．12 C.l0 D.8C ．向左平移6π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8. M 是正方体 1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列结论：①过M 点有且只有一条直线与直线1,AB B C 都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线1,AB B C 都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线1,AB B C 都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线1,AB B C 都平行，其中正确的是（ ）A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③9. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有l 23456，，，，，个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x,y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x,y 中有偶数且x y ≠”，则概率(|)P B A =（ ） A.12 B.13 C.14 D.2510. 若实数a ,c,d ,b 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A. 8 B ．22 C ．2 D.2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 函数[]2sin(2)(0,)6y x x ππ=-∈为增函数的区间是________， 12. 设双曲线221x y -=的两条渐近线与直线22x =围成的三角形区域（包含边界） 为D ，点P(x y)，为D 内的一个动点，则目标函数z x 2y =-的最小值为______．13. 己知x 0y 0>>，，且 115x y x y+++=，则x y +的最大值是______. 14. 己知数列{}n a 是一个单调递减数列，其通项公式是2n a n n λ=-+（其中n N *∈）则常数λ的取值范围是________．15. 对于定义在R 上的函数()f x 图象连续不断，若存在常数()a a R ∈，使得()()0f x a af x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x)是阶数为a 的回旋函数，现有下列4个命题：①2()f x x =必定不是回旋函数；②若()sin (0)f x x ωω=≠为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；④若对任意一个阶数为(0)a a ≥的回旋函数()f x ，方程()0f x =均有实数根.其中为真命题的是________. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本题满分12分）己知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()f x m n =⋅. (I)若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； ( II)在锐角∆ABC 申，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足((2)cos cos a c B b C -=,求函数()f A 的取值范围．17. （本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．(I)求证：1AC ⊥BN ； (II)求二面角1B A N C --的余弦值．18. （本题满分12分）袋中装有大小相同的9个小球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；(II)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．19. （本题满分12分）己知数列{}n a 满足12212121,2,3()n n n n n a a a a a n N *-+=-=-=∈．(I)计算：3153()()a a a a -+-，并求5a ；(II)求21n a -(用含n 的式子表示）；(III)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．20. （本题满分13分）如图，己知抛物线2:2(0)C y px p =>和：22(4)1x y -+=，过抛物线C 上一点000(,)(1)H x y y ≥作两条直线与相切于A ，B 两点，分别交抛物线为E ，F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174． (I)求抛物线C 的方程；(II)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；(III)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．。
2020届山东省淄博市高三下学期3月月考数学(文)试题Word版含答案
2020届山东省淄博市高三下学期3月月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,0,1,2},{|lg(1)0}M N x x =-=+>，则M N =IA ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2、已知21z i i =++，则复数z = A ．13i -+ B ．13i - C ．13i -- D ．13i +3、下列命题正确的个数是①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“20,13x R x x ∀∈+≤ ”；②“函数()22cos sin f x ax ax =- 的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立2min max (2)()x x ax ⇔+≥在[1,2]x ∈上恒成立；④“平面向量a r 与b r 的夹角是钝角”的充要条件是0a b ⋅<r r .A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>的图像如图所示，则()f x 的解析式为A ．()2sin()263f x x ππ=++ B ．()13sin()236f x x π=-+ C ．()2sin()366f x x ππ=++ D ．()2sin()363f x x ππ=++ 5、某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值的A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.56、已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且当0x ≥时，恒有31()()22f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则(2016)(2015)f f +-= A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e +7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是A ．56B ．2C ．52D ．3 8、函数3()x y x x e =-的图象大致是9、已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A ．43-B ．23-C ．43D ．2310、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为 A ．211(,)2e e B ．211(,)e eC ．(,2)e eD ．3(,)e e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，若点E 满足123,BE EC AE AB AC λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12λλ+=12、已知0x >，观察下来结果不等式：23414272562,3,4,5,x x x x x x x x+≥+≥+≥+≥L 归纳猜想一般的不等式为13、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 14、已知,x y 满足23y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是其最小值的2倍，则a =15、点A 是抛物线24x y =的对称轴于准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上，且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，在双曲线的离心率为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）已知函数()223sin sin()2cos 2f x x x x a π=-++的最大值为3.（1）求()f x 的单调增区间和a 的值；（2）把函数()y f x =的图像向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[0,]2π 上的值域.17、（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校的人数；（2）估计该校学生身高在170185cm :之间的概率；（3）从样本中身高在180190cm :之间的男生中任选2人，求至少有1人升高在185190cm :之间的概率.18、（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//,2AB EF AB FE =，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直.（1）证明：//OF 平面BEC ；（2）证明：平面ADF ⊥平面BCF .19、（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为21,8n S a =，且1231,,16S S S +成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，若对任意n N *∈，不等式121212n n c c c S λ+++=+-L 恒成立， 求λ的取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数()2ln (,0,1),x f x a x x a b b R a a e =+--∈>≠为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围.22、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴为半径的u 圆与直线210x y -+-=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(3,2)N 和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相较于,A B 两点，设直线,,AN NP BN 的斜率分别为123,,k k k ，1323k k k +=，试求,m n 满足的关系式.。
山东省淄博市高三数学三模试卷附解析
确定第三号点有 2 种方法，此时有
种；
〔2〕第二类 A 为 1、3、7、9 号点，此时，不存在这样的点； 〔3〕第三类 A 为 2、4、6、8 号点，以 2 号点为例，有三种情况如以下列图所示：
故有
种.
综上所述，满足
共有
种.
因此，所求概率为
.
故答案为： .
【分析】
的表示角 BAC 为钝角。然后根据 A 的不同分出不同的情况进行讨论。
一、单项选择题
1.全集
，集合
高三数学三模试卷
，
，那么如图阴影局部表示的集合是〔 〕
A.
B.
C.
D.
2.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数 和时间 〔单位：天〕在 天里的散点图如下列图，下面
四个回归方程类型中最适宜作为感染人数 和时间 的回归方程类型的是〔 〕
A.
B.
C.
D.
3.在正项等比数列 中，假设
16.如图，在
的点阵中，依次随机地选出 、 、 三个点，那么选出的三点满足
的
概率是________．
四、解答题
17.
的内角 、 ， 的对边分别为 、 、 ，
．
〔1〕求角 的大小；
〔2〕求
外接圆面积的最小值．
18.在图 1 所示的平面图形
中，
且
， 为 的中点，以
2〕．
是边长为 4 的等边三角形， 是
为折痕将
【分析】离心率只要找到 a 和 c 的一个等式关系，条件不够，定义来凑。得出 AB 垂直 X 轴，用通径的坐 标，加上正三角形的性质，可以得到一个关于 a、c 的关系式.
15.【解析】【解答】由图象知函数为奇函数，所以
2020届 山东省淄博市部分学校 高三下学期3月教学质量检测数学试题(解析版)
2020届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题一、单选题 1．已知全集，集合，集合，则集合（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,,则,故选B.【考点】本题主要考查集合的交集与补集运算.2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 【考点】全称命题与特称命题 3．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D 2【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4．二项式()()1nx n N *+∈的展开式中2x项的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC u u u v u u u v的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =u u u r ，BC b u u u r=，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r .【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：Q 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =Q 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈V 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．7．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉， 再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D【解析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 36446662338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多选题9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABD【解析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项. 【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误； 在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.11．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当0m =时，FAB V 3 B ．不存在m 使FAB V 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB V 的周长最大【答案】AC【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】 如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB V 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB V 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB V 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB V 的周长最大.故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12．函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ） A ．()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的； B ．2()f x 在3]上具有性质P ；C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D ．对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+【答案】AB【解析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误； 对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦ []12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB 【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin x x ==代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==所以()min 2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是2-. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【解析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和. 【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--L L ()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. 18．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）或.（2），【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得.∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f（θ）取得最大值.【考点】1.余弦定理;2．正弦定理19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析 （2）25【解析】（1）先证BC ⊥平面CMD,得BC CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M 的位置，求出平面MAB 和平面MCD 的法向量，进而求得平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值． 【详解】解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD uuu r上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC I CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA u u u v的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD uuu r的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==u u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u vu u uv 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA u u u v是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DAn DA ⋅==u u u vu u u v u u u v ，25sin ,n DA =u u u v ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是25. 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题． 20．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分． （Ⅰ）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ|= 2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．22．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()*211ln(21)241=>+∈-nk n n N k【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x x x>，取*21,21k x k N k +=∈-2121ln(21)ln(21)2121k k k k k k +->+---+，而=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--， 令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增， 因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x+->，亦即22(ln)x>，0,ln0x>>ln x>，取*21,21kx k Nk+=∈-，ln(21)ln(21)k k>+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)nknkk kπ==>+--=+∑11ln(21)()2nix n N*=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。
山东省淄博市高三三模数学试题
2022届山东省淄博市高三三模数学试题一、单选题1．若集合1|0+2x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}2,1,1,2,3B =--，则()A B =R （ ）A ．{2,1}--B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．{}1-【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】{}1|0|12+2-⎧⎫=≥=≥<-⎨⎬⎩⎭或x A x x x x x ，{}|1=≤<-2RA x x ，所以()A B =R {2,1}--.故选：A.2．已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断【详解】当直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行时，21112a a +=≠，解得12a =-，当1a =时，直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=重合，所以p 是q 的既不充分也不必要条件， 故选：D3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线被圆224x y +=所截得的弦长为p =（ ） A ．1 BC ．2D ．4【答案】C【分析】有几何关系，圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p【详解】由题，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有2222,0A A A A x y y x +==<，解得1A x =-，故12p-=-，得2p =，4．若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（ ） A ．259π3B ．37π3C ．(25352)π+D ．(2572)π+【答案】A【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式得答案． 【详解】解：如图，由题意可知，5OA OB ==，13O A =，24O B =， 则222211534OO OA O A --，222222543OO OB O B --，∴圆台的高为437+=，∴圆台体积为12597(91216)33ππππ⨯⨯++=． 故选：A ．5．如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =， 则2210CF CB BF =+=， 即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．6．已知π(,0)2∈-απ22sin()4αα=+，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】π2cos 2sin()cos )4αααα=+=+，221cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααααα∴-=+-=+，1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，cos sin 0αα∴+=或1cos sin 2αα-=，由cos sin 0αα+=平方可得1sin 20α+=，即sin 21α=-，由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，因为π(,0)2∈-α，所以2(π,0)α∈-，sin 20α<， 综上，sin 21α=-. 故选：C7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,,a S S -成等差数列．若存在两项*,(,N )m n a a m n ∈18a ，则19m n+的最小值是（ ） A ．16 B ．2C ．103 D ．83【答案】B【分析】由已知条件及等差中项的性质可得2q18a 可得8m n +=，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设2312S S a =-，即1223122()()a a a a q a a +=+=+，又{}n a 为正项等比数列， 所以2q，0n a >，18a =，则2221164m n a qa +-=，即2264m n +-=， 所以8m n +=，则19119191()()(10)(102888m m n m n m n n n m +=⨯++=⨯++≥⨯+=， 当且仅当36n m ==时等号成立，满足*,N m n ∈， 所以19m n+的最小值为2. 故选：B8．正2022边形122022A A A 内接于单位圆O ，任取其两个不同顶点i A 、j A ，则1i j OA OA +≤的概率是（ ）A ．6762021B ．6752021C ．6742021D ．6732021【答案】B 【分析】分析可得23i j AOA ππ≤∠≤，计算出满足条件1i j OA OA +≤的向量的取法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】222222cos 1i j i j i j i j OA OA OA OA OA OA AOA +=++⋅=+∠≤，可得1cos 2i j AOA ∠≤-，因为0i j AOA π≤∠≤，所以，23i j AOA ππ≤∠≤， 对于任意给定的向量()12022j OA j ≤≤，满足条件1i j OA OA +≤的向量的取法有22167532022ππ÷+=， 因此，1i j OA OA +≤的概率为6752021P =. 故选：B. 二、多选题9．已知矩形ABCD 中2AB =，1AD =．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线Γ的焦点，另外两点在双曲线Γ上，则该双曲线的离心率可为（ ）A B C 2 D 【答案】ACD【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出2c 、2a 的值，即可求得双曲线Γ的离心率.【详解】分以下三种情况讨论：①若A 、B 两点在双曲线Γ上，则22c =，由勾股定理可得BD =，由双曲线的定义可得21a BD AD =-=，此时，双曲线Γ的离心率为22c e a ==同理，若C 、D 两点在双曲线Γ上，则e =②若A 、D 两点在双曲线Γ上，则21c AD ==，BD =由双曲线的定义可得22a BD AB =-， 此时，双曲线Γ的离心率为222c e a ===， 同理，若B 、C 两点在双曲线Γ上，则2e =； ③若A 、C 两点在双曲线Γ上，则2c AC BD == 由双曲线的定义可得21a AB BC =-=， 此时，双曲线Γ的离心率为22ce a== 同理，若B 、D 两点在双曲线Γ上，则e =故选：ACD.10．已知复数12,z z ，满足120z z ⋅≠，下列说法正确的是（ ） A ．若12=z z ，则2212z z = B ．1212z z z z +≤+ C ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R D ．1212z z z z =【答案】BD【分析】对选项A ，C ，利用特殊值法即可判断A ，C 错误，对选项B ，根据复数模长的性质即可判断B 正确，对选项C ，根据复数模长公式即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，设11i z =+，2z，则12z z ==()2211i 2i z =+=，)2222z ==-，不满足2212z z =，故A 错误.对选项B ，设12,z z 在复平面内表示的向量分别为12,z z ，且120,z z ≠， 当12,z z 方向相同时，1212z z z z +=+， 当12,z z 方向不相同时，1212z z z z +<+， 综上1212z z z z +≤+，故B 正确.对选项C ，设11i z =+，21i z =-，()()121i 1i 2z z =+-=∈R ，()()()2121i 1ii 1i 1i 1i z z ++===∉--+R ，故C 错误. 对选项D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,0a b c d ≠，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，则12z z =2121z z z z =，故D 正确. 故选：BD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立 B ．()1522P A B =C ．()25P B =D ．()245|8P A B =【答案】BD【分析】由题设求出()i P A 、(|)i P B A (1,2,3)i =，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，根据()(),()i i P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性. 【详解】由题意11()2P A =，21()5P A =，33()10P A =，先1A 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则15(|)11P B A =， 先2A 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则24(|)11P B A =， 先3A 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则34(|)11P B A =， 所以1115()(|)()22P A B P B A P A ==，B 正确；2224()(|)()55P A B P B A P A ==，3336()(|)()55P A B P B A P A ==， ()1122339(|)()(|)()(|)()22P B A P A P B A P A P B B A A P P ++==，C 错误； 则11()()()P A P B P A B ≠，22()()()P A P B P A B ≠，33()()()P A P B P A B ≠，A 错误； ()2222()(|)()|()(845)P A B P B A P A P A B P B P B ⋂===，D 正确.故选：BD12．已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()22f x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于1x =对称B ．()()4f x f x +=C ．若函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()f x 在区间[]2021,2022上单调递增D ．若函数()f x 在区间()0,1上的解析式为()ln 1f x x =+，则()f x 在区间()2,3上的解析式为()()ln 11f x x =-+ 【答案】BC【分析】利用函数的对称性可判断A 选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B 选项；利用函数周期性可判断C 选项；设()2,3x ∈，利用()()22f x f x =--【详解】对于A 选项，因为()()22f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于点()1,1对称，A 错；对于B 选项，因为()()22f x f x +-=且函数()f x 为偶函数，所以，()()22f x f x +-=可得()()22f x f x ++=，所以，()()22f x f x +=-， 所以，对任意的x ∈R ，()()4f x f x +=，B 对； 对于C 选项，因为()()4f x f x +=，若函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()f x 在区间[]2021,2022上单调递增，C 对； 对于D 选项，当()2,3x ∈时，()21,0x -∈-，()20,1x -∈，所以，()()()()()22222ln 211ln 2f x f x f x x x =--=--=--+=--⎡⎤⎣⎦，D 错. 故选：BC. 三、填空题13．若()346*,4m m A C m m =∈≥Ν，则m =___________．【答案】7【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【详解】因为()346*,4m m A C m m =∈≥Ν，所以(1)(2)(3)(1)(2)64!m m m m m m m -----=⨯，即6(3)4!m -=，解得7m =. 故答案为：714．设()()232,2x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩．若()()2f a f a =+，则=a __________．【答案】19【分析】由分段函数各区间上函数的性质有02a <<3a =，即可求结果.【详解】由y =(0,2)上递增，3(2)y x =-在(2,)+∞上递增， 所以，由()()2f a f a =+，则02a <<，3a =，可得19a =. 故答案为：1915．设随机变量()~2,X B p ，满足()15116P X ≥=．若21Y X =-，则()D Y =_____． 【答案】32【分析】由题设有(1)1(0)P X P X ≥=-=求出参数p ，再由二项分布方差公式求()D X ，最后根据方差的性质求()D Y .【详解】由020215(1)1(0)1C (1)16P X P X p p ≥=-==--=，故21(1)16p -=，则34p =，所以3~2,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3332(1)448D X =⨯-⨯=，而21Y X =-，则()34()2D Y D X ==.故答案为：32四、双空题16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1:3:6．2022年3月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11．其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________ 【答案】 2 29.9【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可. 【详解】设二线城市房产均价为x ，方差为y ，因为二、三、四线城市数量之比为1:3:6，二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米， 所以13610.50.8101010x +⨯+⨯=， 解得2x =（万元/平方米），由题意可得22213611[(20.8)][10(10.8)][8(0.50.8)]101010y =+-++-++-， 解得29.9y =，故答案为：2；29.9. 五、解答题17．已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相邻的最高点和最(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长． 【答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)AD =. 【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得π()sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得1ω=，即可得解析式.（2）由已知有π3A =，根据ABCABDACDSSS=+及三角形面积公式可得AD =，再应用余弦定理求b c +，进而可得AD 的长． 【详解】(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1ω=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈，因为[0,]A π∈，所以π3A =， 因为A 的平分线AD 交BC 于D ， 所以ABCABDACDS SS=+，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD =由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD =18．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知35S a =，且22a -，3a ，5S 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2n b ={}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-； (2)13(23)()2n n T n =-+.【分析】（1）根据等差数列的通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解； （2）由（1）求出n b ，根据错位相减法求和即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由35S a =得：253a a =，整理得12d a =， 因为22a -，3a ，5S 成等比数列，所以232523(2)5(2)a a S a a =-=-， 解得30a =（舍去），或32510a a =-，又由12d a =， 解得11a =，2d =，满足条件，故()12121n a n n =+-=-． (2)由（1）得()21212n n n S n +-==，所以122()2n n n b -===，所以1(21)()2n nn n a b =-⋅，所以23111113()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，则2341111111()3()5()(21)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减得：23111111112[()()()](21)()222222n n n T n +=⨯+++--⨯ 21111()[1()]11222(21)()12212n n n -+-=+⨯--⨯-131(23)()22n n +=-+. 所以13(23)()2n n T n =-+.19．选修4-4：坐标系与参数方程元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6 折，若摇出2个幸运号则打7 折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案. 【答案】(1)247256P =. (2)选择第二种方案更划算.【详解】试题分析：（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都没有摸出幸运球，其概率为223344416P ⨯⨯==⨯⨯ ，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为23116⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）选择方案一的价格为9.4 （万元），选择方案二，先列出付款金额X 的分布列，求X 的期望，然后再比较.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A ，则()223344416P A ⨯⨯==⨯⨯，故所求概率()()232471116256P P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． （2）若选择方案一，则需付款100.69.4-=（万元）． 若选择方案二，设付款金额为X 万元，则X 可能的取值为6,7,8,10， ()()221122322122156,74441644416P X P X ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯======⨯⨯⨯⨯，()2232232217844416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯，()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.937516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）9.4<（万元），所以选择第二种方案根划算．20．已知如图，在多面体ABCEF 中，2AC BC ==，120ACB ∠=，D 为AB 的中点，//EF CD ，1EF =，BF ⊥平面AEF ．(1)证明：四边形EFDC 为矩形；(2)当三棱锥A BEF -体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）依题意可得CD AB ⊥且1CD =，从而得到四边形EFDC 为平行四边形，由线面垂直的性质得到BF EF ⊥，从而得到CD BF ⊥，即可得到CD ⊥平面ABF ，从而得到CD DF ⊥，即可得证； （2）由（1）可得1136ABF V SEF AF BF =⋅=⋅利用基本不等式求出三棱锥A BEF -体积最大值，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 【详解】(1)解：因为120ACB ∠=，2AC BC ==，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥，且sin301CD BC =︒=， 又因为1EF =，所以CD EF =，因为//EF CD ， 所以四边形EFDC 为平行四边形，因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF EF ⊥，所以CD BF ⊥， 因为BFAB B =，,BF AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ， DF ⊂平面ABF ，所以CD DF ⊥，所以四边形EFDC 为矩形．(2)解：由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF AF ⊥，22223AB BC CD =-所以三棱锥A BEF -的体积 2221111()1361212ABF V SEF AF BF AF BF AB =⋅=⋅≤+==， 当且仅当AF BF =时等号成立，此时FD AB ⊥，据（1），以D 为坐标原点，分别以,,DA CD DF 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示．由已知可得下列点的坐标：(3,0,0)A ，(3,0,0)B ，3)F ，(0,3)E -， 所以(3,0,0)AB =-，(3,3)AE =--，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即33030x y z x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取3y =0x =，1z =， 所以平面ABE 的一个法向量为(0,3,1)m =， 因为(3,0,3)BF =是平面AEF 的法向量，设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则32cos 26m BF m BFθ⋅==⋅⋅ 故平面AEF 与平面ABE 221．如图，已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b+=>>的离心率12e =，由椭圆E 的四个顶点围成的四边形的面积为3(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的右顶点，过点(2,0)M a -且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于点,B C （点B 在MC 之间），若N 为线段．．BC 上的点，且满足MB BN MCNC=，证明：2ANC AMC ∠=∠．【答案】(1)2211612x y +=; (2)证明见解析.【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程，进而可求出结果；（2）设直线l 的方程为8 (0)x my m =->，与抛物线联立，结合韦达定理证得点N 在直线2x =-上，从而可得出结论. 【详解】(1)由题设可知，23ab =83ab =因为12c e a ==，222b c a +=，所以2a c =，3b c =， 所以2c =，4a =，23b = 所以椭圆E 的标准方程为2211612x y +=． (2)由（1）可知(8,0)-M ，设直线l 的方程为8 (0)x my m =->，其与椭圆22:11612x y E +=的交点为()()1122,,,B x y C x y ，联立22116128x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(43)481440m y my +-+=，22(48)4(43)1440m m ∆=-+⨯>，即2m >，所以1224843my y m +=+，12214443y y m ⋅=+，设点00(,)N x y ，因为12MB y MC y =，所以12yBN NC y =，即1010120202(,)(,)y x x y y x x y y y --=--，所以120122y y y y y =+所以06y m=，0082x my =-=-，因为点N 在直线2x =-上，因为直线2x =-垂直平分线段MA ， 所以NM NA =， 即AMC MAN ∠=∠，因为ANC ∠为MNA △的一个外角， 所以2ANC AMC MAN AMC ∠=∠+∠=∠【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．已知,2m m ∈≥N ，,a b 为函数()()e xx f x m m=-的两个零点，a b <，曲线()y f x =在点(,0)a 处的切线方程为()y g x =，其中e 2.71828=为自然对数的底数．(1)当0x >时，比较()f x 与()g x 的大小；(2)若120x x <<，且12()()f x f x n ==，证明：212ln ln nx x m m-<+． 【答案】(1)()()f x g x > (2)证明见解析【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程，作差后构造函数()()()F x f x h x =-，利用导数求最小值为0，可得()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，可得2103()11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，再利用放缩法求证即可. 【详解】(1)令()(e )0xx f x m m=-=，因为a b < 所以函数()f x 的两个零点分别是0a =，ln b m =， e ()(1)1xf x x m+'=-，所以11(0)1m f m m -='-=，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为1my x m-=， 所以1(e )(e 1)()()x x x m x m x x m m mf xg -=---=-， 若0x >，则()()0f x g x ->，即()()f x g x >． (2)e ()(1)1xf x x m+'=-，所以(ln )ln f m m ='，所以曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程为ln (ln )y m x m =-， 记()ln (ln )h x m x m =-，)(()()()ln (l )n e xF x x m mf x h x m x m =-=---， e (1)l 1(n )x x m x m F +-=-'，2)0(()e xF mx x '+'>=，所以()F x '在(0,)+∞上单调递增，又(ln )0F m '=， 所以当(0,ln )x m ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当(ln ,)x m ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()F x 在ln x m =处取得极小值，即()(ln )0F x F m ≥=， 即当0x ≥时，()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，则0ln (ln )m x m n -=， 所以0ln ln nx m m=+，因为()h x 是增函数， 220()()()h x f x n h x ≤==，即20x x ≤，结合（1），设1()m g x x n m-==的根为3x ，则31mnx m =-，因为()g x 为减函数，113()()()g x f x n g x <==，所以13x x ≥， 所以2103()11ln ln x x mn x x m m m --<-=++， 设1()ln x x x x ϕ-=-，22111()0(2)x x x x x xϕ-=-=>≥'， 所以()ϕx 在[2,)+∞上单调递增，1()(2)ln 202x ϕϕ≥=->， 所以1ln 0m m m-->，所以11ln m mm -<， 所以112ln ln m mm m >+-， ()()e 11xf x x m+'=-，()(2)0x e f x x m =+'>'，所以单调递增，因为1(0)10f m'=-<，(ln )ln 0f m m '=>，所以存在唯一4(0,ln )x m ∈，使得4()0f x '=，当4(0)x x ∈,时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当4(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 因为(0)(ln )0f f m ==，若关于x 的方程()f x n =有两个正根，必有0n <， 所以()112ln ln m m n m nm +<-，所以212ln ln n x x m m-<+ 【点睛】思路点睛：本题第二问难度很大，证明212ln ln nx x m m-<+的过程中， 用导数最值先证明2103()11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，再利用()112ln ln mm n m n m +<-放缩得证，思维难度较大，属于难题.。
2020年山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题
2020年山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题一、选择题1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U=，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）（ ） A ．{}3B ．{}2,5C ．{}1,4,6D ．{}2,3,52.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-3.设1i2i 1iz -=++，则||z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D4.二项式()()1+∈*N nx n 的展开式中2x项的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A ．58-B ．18C ．14D ．1186.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C．D．⎡⎣7.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）8.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A．B．C．D二、填空题9.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）10.已知,∈R a b ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 11.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．12.已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 三、解答题13.已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.14.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCNπ∠=，在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、.（Ⅰ）若a b c 、、依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值15.如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．16.如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x ,y ）13-x 22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值17.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑，回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y b t -18.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中∈R a ，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()211ln(21)241=>+∈-∑*N nk n n k四、不定项选择题19.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳20.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF=，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值21.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A ．当0m =时，FAB 3B ．不存在m 使FAB 为直角三角形C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大22.函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ）A ．()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的；B ．2()f x 在3]上具有性质P ；C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D ．对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+参考答案1.【解析】{}2,3,5A =,{}2,5UB =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B ．【答案】B2.【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-【答案】C3.【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选C. 【答案】C4.【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rrr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【答案】C5.【解析】设BA a =，BCb =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【答案】B6.【解析】 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A ． 【答案】A7.【解析】画出函数()f x 的图像，e =x y 在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．【答案】C8.【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，故选D ． 【答案】D9.【解析】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【答案】1610.【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224aba b ---+≥⨯==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab+的最小值为14. 【答案】1411.【解析】()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x取得最小值，此时sin x x ==()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-.【答案】 12.【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=，1 213.【解析】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++.又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 14.【解析】（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴a =c -4、b =c -2．又因∠M C N =π，,可得,恒等变形得c 2-9c +14=0，解得c =7，或c =2． 又∵c ＞4，∴c =7．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长f （θ）=|AC |+|BC |+|AB |=,又,当,即时，f （θ）取得最大值.【答案】（1）7c =或2c =.（2）2sin 2sin 33πθθ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭23 15.【解析】（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD ．因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BCCM =C ,所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==， 25sin ,5n DA =， 所以面MAB 与面MCD 25. 【答案】（1）见解析 （22516.【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++， |PQ |=2221()1Q k x x k +-=-+，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f （k ）在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 17.【解析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑，721()0.55ii y y =-=∑，，．因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．（Ⅱ）由9.32 1.3317y =≈及（Ⅰ）得71721()()2.890.10328()ˆiii i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-≈-⨯≈. 所以，关于的回归方程为：．将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.18.【解析】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：x()0,11()1,+∞()'h x -+()h x极小值()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取21,21+=∈-*N k x k k ，ln(21)ln(21)k k >+--=，故1(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2=∴>+∈*N n i x n .【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析.19.【解析】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：AB D 【答案】AB D20.【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：AB D【答案】AB D21.【解析】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤；即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误. 故选：AC 【答案】AC22.【解析】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB 【答案】AB。
(附加15套模拟试卷)山东省淄博市2020届高三3月第一次模拟考试数学(文)试题及答案
山东省淄博市2020届高三3月第一次模拟考试数学（文）试题及答案本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在学优网试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.集合{{}2,log ,0A x y B y y x x A B ====>⋂，则等于A.RB. ∅C. [)0+∞，D. ()0+∞，A 、7B 、8C 、9 10、C 4、已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f （2）＝1，则f （－2）＝ A 、－1 B 、1 C 、－5D 、5 5. 将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 12x π=-6. 已知命题:12p a b ≠≠或，命题:3q a b +≠，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 函数1sin y x x=-学优网的图象大致是8、曲线2()1xf x e x x =+++上的点到直线23x y -=的距离的最小值为B.C.9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.16B.12C.34D.5610.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 A. b a MO MT -=- B. b a MO MT ->- C. b a MO MT -<-D. b a MO MT -=+第II 卷学优网（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x 的个数共有_____个.12. 在约束条件2430,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩下，目标函数32z x y =+的最大值是＿＿＿＿13、若直线3y kx =+与圆22x y +＝1相切，则k ＝＿＿＿＿＿14. 已知向量,a b r r满足2,3,2a b a b ==+=r r r r a b 与r r 的夹角为_________.15.对于函数()f x ，若存在区间[](){},,A m n y y f x x A A ==∈=，使得，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①()cos2f x x π=；②()21f x x =-；③()21f x x =-；④()f x =log ()21x -.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________（请写出所有正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知函数()()21sin cos 022f x x x x πωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，其图象两相邻对称轴间的距离为2π.（I ）求ω的值；（II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()0c f C ==，若向量()1,sin m A =u r与向量()3,sin n B =r共线，求a ，b 的值.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC//AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F 是线段EB 的中点. （I ）证明：CF//平面ADE ； （II ）证明：BD AE ⊥；18. （本小题满分12分）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B 的考生有20人。
2020届高三下学期3月月考数学(文)试题(解析版)
2020届高三文数3月份考试试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x ==-，则A B =I（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. ⎡⎤⎣⎦D. (⎤⎦【答案】D【解析】【分析】 化简集合A 和B ，然后求出A B I 即可.【详解】{}{}2|230|31A x x x x x =+-≤=-≤≤， (){}{}{22ln 220B x y x x x x x ==-=->=<<，∴(A B ⎤=⎦I . 故选：D.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2.若()(),22a R i a i R ∈-+∈，则a =（ ）A. 4B. 4-C. 1D. 1-【答案】A【解析】【分析】由复数的运算，结合复数的概念即可求出结果.【详解】()()()22224i a i a a i -+=++-Q ，40a ∴-=，4a =.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.属于基础题型.3.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为（ ） A. 43 B. 53 C. 54 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线方程为34y x =， 可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=． 故选C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．4.已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线2213y x -=的渐近线平行，则直线l 的方程是（ ）A. 2y =+B. 2y =+或2y =+C. 23y x =+或23y x =-+D. 23y x =+ 【答案】B【解析】【分析】根据直线与直线平行关系，并结合直线的截距式，可得结果.【详解】双曲线2213y x -=的渐近线的斜率为 因为所求直线与双曲线的渐近线平行故直线l 的方程是2y =+.故选B.【点睛】本题考查直线方程的求法，以及直线与直线的位置关系，属基础题.5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且·23n n S k =-，则k a =（ ） A. 4B. 8C. 12D. 16 【答案】C【解析】【分析】。