北京大学数学专业考研真题(数学分析)

北京科技大学历年数学分析考研真题汇编(2003-2017)

数展开式；
（2）证明： 1 sin t
1 t

1n
n1
t
1 n

t
Байду номын сангаас1 n

，
t
不是
的整数倍；
（3）利用上面结果计算广义积分： sin x dx 。
0x
北京科技大学 2013 年硕士学位研究生入学考试试题
=============================================================================================================
0 ，求曲线C
距离 XOY
面最远的点和
最近的点。
7．（15 分）设 f x 在a, b 连续，在 a, b 可导，且 f x 0 。试证明：存在
, a, b ，使
f f

eb b

ea a
e
。
8．（15 分）设 f (x) 在区间[1,1]上连续且为奇函数, 区域 D 由曲线y 4 x 2 与
a
4a
(a,b), 使得
f ( ) f ( 2 ) 1 . 4(b a)
1
（2）求极限 lim x et d t x x 0
3. (20 分 )
设
f
(x )

g(x) x
ex
,
x 0 ，其中 g(x) 有二阶连续的导数，且
0,
试题编号： 613 试题名称：
数学分析
（共 2 页）
适用专业：
数学，统计学

北京大学2008数学分析试题及解答

9.
∫设1函数
f (x)
在区间
[0,
1∫]
上有一阶连续导函数,
1
且
f (0)
=
f (1),
g(x)
是周期为
1
的连续函数,
并且满足
g(x) dx = 0. 记 an = f (x)g(nx) dx, 证明 lim nan = 0.
0
0
n→∞
10. 若 f (x∑ )n在∫区b间i [0, 1] 上 Riemann∫可1积, 并且对 [0, 1] 中任意有限个两两不相交的闭区间 [ai, bi], 1 ⩽ i ⩽ n,
∃ξ ∈ (ξ2, ξ1), 使得 f ′′(ξ) > 0. 因此若 f ′′(x) 在 R 上不变号, 则 f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R.
若 ∃y0 ∈ R, 使得 f ′(y0) > 1, 则 f (x) > f ′(y0)(x − y0)f (y0), 这将与 lim (f (x) − x) = 0 矛盾. 从而 x→+∞
9.
∫1
∫1
∫ nx
n f (x)g(nx) dx = f (x) dx g(t) dt
0
(0
∫ nx 0
) 1 ∫ 1 (∫ nx
)
= f (x) g(t) dt −
g(t) dt f ′(x) dx
∫ 1 (∫0 nx
)0
0
0
=−
g(t) dt f ′(x) dx.
∫x 令 G(x) = g(t) dt, 则
∫ 1 (∫ nx
)
lim nan = lim −
n→∞
n→∞
0

2015北京大学计算数学专业考研(数学科学学院)专业目录招生人数参考书目历年真题复试分数线答题方法

2
E 是单位变换)
7、(12 分)、V 是内积空间， , 是 V 中两个长度相等的向量，证明必存在某个正交变换，将变到。 8、(12 分)、A 是复矩阵，B 是幂零矩阵，且 AB=BA，证明|A+2010B|=|A|。 9、(11 分)、求过 z 轴且与平面 x 2 y 3z 1 夹角为 60 的平面的方程。
三、2015年北京大学计算数学专业考研参考书
科目 601数学基础考试1 (数学分析) 书名《数学分析》《数学分析解题指南》蓝以中作者方企勤出版社上海科学技术出版社北京大学出版社北京大学出版社
801数学基础考试2 (高《高等代数简明教程》
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(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系 X’O’Y’，求在此坐标系中 f 的变换公式。 12、(12 分)、用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛物线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。
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0
xf ( x)dx 与

0
f ( x) dx 均收敛 x

0
x t f ( x)dx 在 (1,1) 上有定义，并且有连续导函数。
其中为 x xdy ydz zdx ，

2
8、 (15 分)、计算曲线积分 I
y 2 z 2 1与 x y z 0
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简答题采用“定义+框架+总结”答题法。首先把题干中涉及到的最重要的名词(也叫大概念)进行阐述，就像解答名词解释一样。这一环节不能省略，否则无意中丢失很多的分数，这是很多考生容易忽视的一点。读懂题意，列要点进行回答。回答要点一般 3-5 点，每条 150-200 字。进行简单的总结，总结多为简单评析或引申。【答题示范】：例如“简答公共财政的职能。 ” 第一，公共财政的定义。(不能缺少) 第二，公共财政的 3 大职能。(主体部分) 第三，总结评析。【简答题答题注意事项】：第一，在回答简答题的时候，要采取“总-分-总”答题结构。即在回答要点之前进行核心名词含义的阐释，最后写几句起总结的话，这样不会给人一种太突兀的感觉。第二，在回答的时候字数一般在 600-800 为佳，时间为 15-20 分钟。通常字数应该是本题分值的至少 30 倍，即， 1 分至少 30 个字。第三，如果课本没有明确答案，那你也不能拍脑门乱写，好的策略是向课本靠拢，将相关的你能够想到的内容往 4×150 里套就行了。

北京大学基础数学-701数学基础考试1(数学分析)串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝.doc

北京大学基础数学专业-701数学基础考试 1 （数学分析）串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝报考北京大学基础数学专业考研专业课资料的重要性根据考研淘宝的统计，87. 3%以上报考北京大学基础数学专业考研成功的考生，尤其是那些跨学校的考研人，他们大多祁在第一时间获取了北京大7基础数汐专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料，精准确定专业课考核范围和考点重点，才确保了白己的专业课高分，进而才才最后考研成功的。

如果咱们仔细的研究下问题的木质，不难发现因为非统考专业课的真题均是市北京大学基础数学专业自主命题和阅卷，对于跨校考研同学而言，初试和复试命题的重点、考点、范用、趋势、规律和阅卷的方式等关键信息都是很难获取的。

所以第一时间获取了北京大学基础数学专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料的考生，就占-得了专业课复习的先机。

专业课得高分便不难理解。

那么怎么样才能顺利的考入北京大学基础数学专业呢？为了有把握的的取得专业课的高分，确保考研专业课真正意义上的成功，考研专业课复习的首要工作便是全面搜集北京大学基础数学专业的内部权威专业课资料和考研信息，建议大家做到以下两点：1、快速消除跨学校考研的信息方面的劣势。

这要求大家杳询好考研的招生信息，给大家推荐一个考研淘宝,有详细的考研招生信息。

2、确定最合适的考研专业课复习资料，明确专业课的复习方法策略，并且制定详细的复习计划，并且将复习计划较好的贯彻执行。

北京大学701数学基础考试1 （数学分析）冲刺点题串讲班讲义：北京大学基础数学学专业考研冲刺阶段唯一内部冲刺辅导讲义，把2012年考研的考点范围进行了圈定，并且重点讲解，能够涵盖所有的考试重点考点范围。

北京大学基础数学专业权威导师亲白授课并制作讲义，根据考研淘宝和北京人学基础数学专业老师签订的合作协议，可以命屮至少80% 以上的考点。

根据往年命题经验和2012年考研命题考点信息讲授重点范围，规范答题步骤, 重点预测大题，题型解法讲解到位，属于考前重点范用圈定的内部辅导资料。

北京大学2020年数学分析试题及解答

注这里的结论为裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 168 页定理 4, 若想更为熟悉这方面的内容, 可以翻阅该书. 解决这题的方法是想下连续函数的情形怎么证明, 做一个类比即可.
2. 记
∆(f, n, m)
=
f
(( n
+
)) 1
π 2
−
f
(( n
+
) 1
π 2
+
) 1 m
= =
( n
)
⩽
F
( ∑∑ni=ni=1 1x∫i x∫xixi− xii1−1ff(t()t)ddt t )
⩽
∑n
i=1
F (xi) F (1)
∫ xi
xi−1
f (t)
dt.
又因为 F (x) 在 [0, 1] 上一致连续, 故 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时, |F (xi) − F (xi−1)| < ε, 此时
,
记
M
= maxx0⩽x⩽2x0 |f (x)| ,
则
( ([ ] { })) ( ({ } )) ( ([ ] ))
x
x
f (x) = f x0
+
x0
x0
⩽f
x
x0 ([
x]0
+1 )
+ f x0
x −1
x0
⩽M+
x x0
−1
f
(x0)
⩽
M
+
x
− x0 x0
f
(x0),
再结合
limx→+∞
M x

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

B 7 ! AB BA
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1

北京大学2016年数学分析试题及解答

10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义

北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考谢惠民数学分析习题课讲义)

或任意 n ≥ N 有则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有