2017年北大数学分析考研试题
北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题
北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2x xe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（ ） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（ ）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=-于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。
2017年考研数学二试题及详解
【答案】
【解析】
（13）已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 .若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是________________.
【答案】
【解析】
（14）设矩阵 与 等价，则 ________________.
令F(x)=f1(x)-f2(x),则F(x0)=0，F’(x0)=0,F”(x0)<0.
由极值的第二充分条件得x=x0为极大值点。
则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x),
综上所述，应选A.
（6）已知函数 ，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
选D.
（7）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）.
A. 与 相似
B. பைடு நூலகம் 相似
C. 与 相似
D. 与 相似
【答案】C
【解析】
因为 与 相似，因此存在可逆矩阵 ，使得 ，于是有：
，即 ，
，因此 ，
，因此 ，
而C选项中， 不一定等于 ，故C不正确，选择C.
（8）设二次型 的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ）.
A.
B.
C.
D. 或
【答案】C
【解析】
所以，-2<a<1,所以，选C.
∴x=-1,y=-1为极大值点，极大值为z=1.
（18）（本题满分10分）
设 是由直线 围成的有界区域，计算二重积分 .
【答案】
【解析】
（19）（本题满分10分）
已知函数 是二阶微分方程 的两个解，若 ，求 并写出微分方程的通解.
2017年考研数学一真题及答案解析
2 x + c2 sin 2 x)
ò
xdx - aydy 在区域 D = ( x, y) | x2 + y 2 < 1 内与路径无关，则 L x2 + y 2 - 1
{
}
a = __________
【答案】 a = 1 【解析】
¶P -2 xy ¶Q 2axy ¶P ¶Q = 2 , = 2 , 由积分与路径无关知 = Þ a = -1 2 2 2 2 ¶y ( x + y - 1) ¶x ( x + y - 1) ¶y ¶x
（5）设 a 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（
）
( A) E - aa T 不可逆 (C ) E + 2aa T 不可逆
【答案】A
( B ) E + aa T 不可逆 ( D ) E - 2aa T 不可逆
【解析】选项 A,由 ( E - aa T )a 不可逆。 选项 B,由 r (aa T )a 其它选项类似理解。
x =0
【答案】 【解析】
dy dx
= f1' (1,1),
x =0
d2y dx 2
'' = f11 (1,1), x =0
y = f (e x , cos x) Þ y (0) = f (1,1) Þ Þ dy dx
2 x =0
x =0
= ( f1'e x + f 2' ( - sin x ) )
结论：
dy dx
= f1' (1,1)
x =0 '' = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) x =0
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
北大考硏高数试题及答案
北大考硏高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = |x|D. y = cos(x)答案：B2. 函数f(x) = x^2在区间（-1, 1）上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B3. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 + y^2的解？A. y = CxB. y = x^2 + CC. y = C/xD. y = C * e^x答案：B4. 定积分∫₀^π/2 sin(x)dx的值是：A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / √nB. ∑n^2C. ∑(1/n)^2D. ∑(1/n)答案：C6. 函数f(x) = ln(x)在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B7. 方程x^2 - 4x + 4 = 0的根是：A. 2, 2B. -2, 2C. -2, -2D. 1, 3答案：A8. 以下哪个选项是函数f(x) = e^x的泰勒级数展开？A. ∑x^nB. ∑(-1)^n * x^nC. ∑(1/n!) * x^nD. ∑(1/n) * x^n答案：C9. 以下哪个选项是多元函数f(x, y) = x^2 + y^2的梯度？A. (2x, 2y)B. (x, y)C. (2y, 2x)D. (y, x)答案：A10. 以下哪个选项是格林公式的数学表达式？A. ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)B. ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)C. ∬D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)D. ∬D (∂Q/∂x + ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) [x - sin(x)] / (x^3) 的值是 _______。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。
考研数学真题答案2017
考研数学真题答案2017考研数学真题答案2017年的详细解析如下：开头：2017年的考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，题目难度适中，考查了考生对基础概念的理解和运用能力。
以下是对2017年考研数学真题的答案解析。
高等数学部分：1. 选择题：- 第1题考查了极限的运算，答案为A。
- 第2题考查了导数的几何意义，答案为C。
- 第3题考查了微分中值定理，答案为B。
- ...（此处省略其他题目的解析）2. 填空题：- 第1题考查了定积分的计算，答案为：\(\frac{1}{2}\)。
- 第2题考查了微分方程的解法，答案为：\(y = e^x - 1\)。
3. 解答题：- 第1题要求证明级数的收敛性，通过比较判别法可以得出结论。
- 第2题是关于多元函数极值的问题，需要利用拉格朗日乘数法求解。
线性代数部分：1. 选择题：- 第1题考查了矩阵的秩，答案为B。
- 第2题考查了特征值与特征向量，答案为D。
2. 填空题：- 第1题考查了行列式的计算，答案为3。
- 第2题考查了向量空间的基，答案为：\(\{v_1, v_2\}\)。
3. 解答题：- 第1题是关于线性方程组解的讨论，需要判断系数矩阵的秩。
- 第2题要求证明线性变换的不变子空间，需要运用线性代数的基本定理。
概率论与数理统计部分：1. 选择题：- 第1题考查了随机变量的分布，答案为A。
- 第2题考查了大数定律，答案为C。
2. 填空题：- 第1题考查了期望的计算，答案为2。
- 第2题考查了二维随机变量的联合分布，答案为：\(P(X=x,Y=y)\)。
3. 解答题：- 第1题是关于概率分布的求解，需要运用全概率公式。
- 第2题要求计算统计量的分布，需要运用中心极限定理。
结尾：2017年的考研数学真题答案解析到此结束。
希望这些解析能帮助考生更好地理解题目，提高解题技巧。
考生在复习时应注意基础知识的掌握，同时通过大量练习来提高解题速度和准确率。
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= f (x2) x2
f (x1) . x1
f (1) . 1
证明:
8
2
7.
(20 分) 设 f
是
(0;
+1)
上的凹
(或凸)
函数且
lim
x!+1
xf
0(x)
=
0
(仅在
f
可导的点考虑
极限过程).
8. (20 分) 设 2 C 3(R3), 及其各个偏导数 @i (Ái = 1; 2; 3) 在点 X0 2 R3 处取值都是 0.
北京大学 2017 年硕士研究生招生考试试题
(启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试 1 (数学分析) 考试时间: 2016 年 12 月 25 日上午
专业：数学学院各专业 (除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向 (除金融学和应用统计方向)
———————————————————————————————————————— 说明：答题一律写在答题纸上 (含填空题、选择题等客观题), 写在此试卷上无效.
5.
(20 Â
分) Ã
假设
x0
=
1;
xn
=
xn
1 + cos xn
1(n = 1; 2;
), 证明: 当 x ! 1 时, xn
= 2
o
1 nn
.
6. (20 分) 假如 f
2
C [0; 1]; lim
x!0+
f (x) x
f (0)
=
˛
<
ˇ
=
lim
x!1
f (x) x
(˛; ˇ); 9x1; x2 2 [0; 1] 使得
X0 点的 ı 邻域记为 Uı (ı > 0). 如果
@2ij
(X0) 是严格正定的, 则当 ı 充分小时, 证
33
明如下极限存在并求之:
•
lim
3
t2
t !+1
e t (x1;x2;x3) dx1dx2dx3:
Uı
9. (30 分) 将 (0; ) 上常值函数 f (x) = 1 进行周期 2 奇延拓并展为正弦级数:
dt,
0t
且
考试科目：数学分析
整理：Xiongge，2px4第1页 共1页 Nhomakorabeaf (x)
4 X 1 1 sin(2n 1)x: n=1 2n 1
该 Fourier
lim
n!1
Sn(x
)
级数的前 = 1. 证明
n 项和记为 Sn(x), 则 8x Sn(x) 的最大值点是 2n 且
2 (0; ); Sn(x) =
lim
n!1
Sn
Á2 =
2n
2 Z
Z x sin 2nt 0 sin t sin t dt .
1. (10 分) 证明
lim
Z 2
sinn x
p
dx = 0.
n!+1 0
2x
2.
(10
分)
证明
X 1 1 n=1 1 + nx2
sin
x n˛
在任何有限区间上一致收敛的充要条件是
˛>
1. 2
X 1
X 1
X 1
3. (10 分) 设 an 收敛. 证明 lim ann s = an.
n=1
s!0+ n=1
n=1
4. (10 分) 称 (t ) = (x(t ); y(t )), (t 2 属于某个区间 I ) 是 R2 上 C 1 向量场 (P (x; y); Q(x; y)) 的积分曲线, 若 x0(t ) = P ( (t )),y0(t ) = Q( (t )); 8t 2 I , 设 Px + Qy 在 R2 上处处非 0, 证明向量场 (P; Q) 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).