第三章能量法
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能量法
1
3Eh2 10GL2
It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V
1 2
Fl
FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V
1 2
M e
T 2l 2GI P
T 2 xdx
l 2GIP
M
V
1 M
2
M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W
1 2
P
A
A
PR3
2EI
3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1
1
Vc
V
F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
能量法(上课用)
f1 f2
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
能量法
11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆
下册3-能量法-土木
2
2
2 M y ( x)
讨论：
1.杆件受组合变形作用时，其总应变能等于 各基本变形下的应变能总和（算术叠加）；
2.利用功能原理只能求单个载荷作用下在 载荷作用方向上的位移 3.曲杆某截面上的弯矩和扭矩的计算： 从该截面的形心引出切线，把载荷向该 切线平移简化即得M、T，剪力省略。
例13.2
例.已知EA、P，求 f A
可得： P M ( x ) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a3 V ( x) dx 在应用对称性，得： 2 0 2 EI 2 12EI
a
W V
Pa3 wC 6 EI
注意：使用功能原理只能求解单个力作用时沿其 作用方向的位移
二、有关应变能的两个重要概念 1、叠加原理不能用于应变能计算 注意: 应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不 等于各力分别作用时产生的变形能之和。
2、使用卡氏定理的注意事项：
①：Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能 ②：Fi视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 Fi的函数 ③、 i为 Fi 作用点处沿 Fi方向的位移。 ④、当无与 i对应的 Fi 时，先加一沿 i 方向的 Fi， 求偏导后，再令其为零。称附加力法
3、特殊结构（杆）的卡氏定理：
③、功能原理
P W fA U 2
3 PR3 PR3 fA 2GI P 2 EI
§3-3
一、卡氏第一定理
2
卡氏定理
F2
弹性体承受广义力F1、F2、……Fi，相应位 移为δ1、δd
i 1
n
Fi
1
将应变能看成是广义位移的函数，即 V V (1 , 2 , n ) 设第i个Fi方向上的位移有个微小增 量，则弹性体应变能的相应增量为
材料力学13能量法
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等 的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
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广义力，Di为广义位移。各力按
简单加载方式作用在梁上。设加
载过程中各位移和相应力的瞬时
值分别为?i， fi。
梁的余能为
表明
? ? n
Vc ? Wc ?
? F i
0
i d fi
i?1
Vc ? f (F1, F2 ,? , Fi ,? , Fn )
第三章 能量方法
第三章 能量方法
由于Fi改变了dFi，外力余功相应改变量为
?
EA( 4 ? 2l 2
2
Δ1 ?
2 2
Δ2 )
?
0
?Vε ?Δ2
?
EA 2l
2 2
(?
Δ1
?
Δ2 ) ?
F
（3） （4）
联立求解（3）,（4），得
Δ1
?
Fl EA（→）,
Δ2 ? (1 ? 2
2) Fl （↓） EA
可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。
Ⅱ. 卡氏第二定理
(1) 余能定理
图示为非线性弹性杆，Fi为
第三章 能量法
本章主要研究
? 杆件应变能的计算方法 ? 卡氏第一定理及其在结构分析中的应用 ? 卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用 ? 卡氏定理求解超静定问题的方法
第三章 能量法
§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡式定理 §3-4 用能量法解超静定系统
§3－1 概 述
能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的 内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将 力和变形（位移）作为一体讨论；
法统称为能量法。
(a)
优点：
? 1. 不管中间过程，只算最终状态
? 2. 能量是标量，容易计算
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
§3－2 应变能 ·余能
一、条件 大前提： 1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的
设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见
?AB=D1 ，
? BC= D1cos45?=
2 2 Δ1
设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见
第三章 能量方法
? AB ? 0 ,
? BC ? ? Δ2sin 450 ? ?
2 2
Δ2
D1和D2同时发生时，则有
? AB ? Δ1, ? BC ?
2
?
)n?1
结构的余能为
? Vc ?
V vc
dV
?
2vc Al ?
l (2 A)n kn (n ? 1)
( F1
cos ?
)n?1
Ⅰ. 卡氏第一定理
§3－3 卡氏定理
? ? n
Vε ? W ?
Δi 0
fi d ? i
i?1
图示梁的材料为非线性弹性体 fi 为瞬时荷载
?i为瞬时位移 Vε为最后位移Di的函数
?
1 2 FwC
?
1 2
M e?
A
?
F 2l3 96 EI
?
Me2l 6EI
?
FM el 2 16 EI
例3-1 计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能
EI (a)
A l
mo B x
? ? V?a ? V?mo ?
l M(x)dx ? 0 2EI
l Mo2dx ? Mo2l 0 2EI 2EI
例3-2 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
小变形时不计FS 产生的应变能， FN (x) — 只产生轴向线位移d Δ T(x) — 只产生扭转角 d?
M(x) — 只产生弯曲转角 d?
第三章 能量方法
对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dVε
?
dW
?
1 2
FN (x) d Δ ?
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(a)
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计 算比较麻烦。
若利用外力功在数值上等于应变能，即
1 2
F
ΔAy
?
F2 N1
l1
2EA1
?
F2 N2
l2
2EA2
就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。
利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1
?
FN 2
?
F1
2 cos?
s1 ?
FN A
?
F1
2 Acos?
由
s ? k?1/ n （n>1）
得
?
?
s
(
)n
k
余能密度为
? ? vc ?
? s1 ds ?
0
s1 (s )n ds
0k
?
k
n
1 (n
?
1)
s n? 1
1
?
k
n
1 (n
?
1)
(
2
F1 Acos
卡氏第二定理的变形形式：
例3-4 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求： （1）C端挠度,（2） C端转角
?
1 2
F1 Δ1 ?
1 2
F2
Δ2
第三章 能量方法
3、有 n 个广义力同时作用时
? Vε
?
W
?
1 2
F1Δ1
?
1 2
F2Δ2
?
?
?
1 2
Fn
Δn
?
n i?1
12Fi Δi
(i ? 1,2,?,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
4、组合变形（用内力形式表示的应变能）
（2）位移计算
V?
?
W
?
1 2
P? cx
即
1 2
P? cx
?
3P 2l 4EA
得
? cx
?
3P l 2EA
分析和讨论
1 若需要位移处无外力作用,如求b截面 ?bx ,外力功表达式 中无需求的位移项,因此无法求 ?bx。
2 若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一 个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不 能求位移的大小。
对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物 理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从 几何协调关系出发，显得非常麻烦.
例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹 性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
y FN1 45o 30o FN 2
A
x
F
1
45o
这是因为 (? Px? Mo)2 ? (? Px)2 ? Mo2
即 变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的 叠加
分析与讨论
(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行 叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功。
例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
2 (D1 ? D2 )
由于是线弹性问题，结构的应变能为
（1）
Vε
?
EA?
2 AB
?
2l
EA?
2 BC
2 2l
?
EA 2l
Δ12
?
EA [ 2 2l
2 2
(
Δ1?
Δ2 )]2
?
EA 2l
Δ12
?
EA 2 2l
(1 2
Δ12
?
Δ1 Δ2
?
1 2
Δ22
)
（2）
第三章 能量方法
由卡氏第一定理，得
?Vε ?Δ1
1 T(x) d?
2
?
1 2
M (x) d?
?
FN2 (x) d x ?
T 2 (x) d x ?
M 2 (x) d x
2EA
2GI p
2EI
杆的应变能为
? ? ? ? Vε ?dl NhomakorabeaVε
?
FN2 (x) d x ? l 2EA
T 2 (x) d x ?
l 2GIp
M 2 (x) d x l 2EI
关于应变能计算的讨论：
线性函数 小前提： 缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）
二.功和应变能
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体
做了功。
恒力功：
变力功：
W ? Fp ? D1
? W ? D1 F ? dD 0
1
曲线与横轴围成的面积
在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功
扭转时外力做功
弯曲时外力做功
三.余功和余能 与余功相应的能称为余能
? W ? D1 F d D 0
与外力功
之和等于矩形面积 F1Δ 1
曲线与纵轴围成的面积
例 3－5 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在
单轴拉伸时的 s －? 关系如图b 所示。求结构的余能。
解：该题为物理非线性问题，
需用
? Vc ? V v求c dVVc。
引起的转角 ? 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 ? 上也
不作功。
例3-4 图示等截面悬臂梁， E,A,I 已知。在自由端受
简单加载方式作用在梁上。设加
载过程中各位移和相应力的瞬时
值分别为?i， fi。
梁的余能为
表明
? ? n
Vc ? Wc ?
? F i
0
i d fi
i?1
Vc ? f (F1, F2 ,? , Fi ,? , Fn )
第三章 能量方法
第三章 能量方法
由于Fi改变了dFi，外力余功相应改变量为
?
EA( 4 ? 2l 2
2
Δ1 ?
2 2
Δ2 )
?
0
?Vε ?Δ2
?
EA 2l
2 2
(?
Δ1
?
Δ2 ) ?
F
（3） （4）
联立求解（3）,（4），得
Δ1
?
Fl EA（→）,
Δ2 ? (1 ? 2
2) Fl （↓） EA
可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。
Ⅱ. 卡氏第二定理
(1) 余能定理
图示为非线性弹性杆，Fi为
第三章 能量法
本章主要研究
? 杆件应变能的计算方法 ? 卡氏第一定理及其在结构分析中的应用 ? 卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用 ? 卡氏定理求解超静定问题的方法
第三章 能量法
§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡式定理 §3-4 用能量法解超静定系统
§3－1 概 述
能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的 内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将 力和变形（位移）作为一体讨论；
法统称为能量法。
(a)
优点：
? 1. 不管中间过程，只算最终状态
? 2. 能量是标量，容易计算
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
§3－2 应变能 ·余能
一、条件 大前提： 1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的
设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见
?AB=D1 ，
? BC= D1cos45?=
2 2 Δ1
设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见
第三章 能量方法
? AB ? 0 ,
? BC ? ? Δ2sin 450 ? ?
2 2
Δ2
D1和D2同时发生时，则有
? AB ? Δ1, ? BC ?
2
?
)n?1
结构的余能为
? Vc ?
V vc
dV
?
2vc Al ?
l (2 A)n kn (n ? 1)
( F1
cos ?
)n?1
Ⅰ. 卡氏第一定理
§3－3 卡氏定理
? ? n
Vε ? W ?
Δi 0
fi d ? i
i?1
图示梁的材料为非线性弹性体 fi 为瞬时荷载
?i为瞬时位移 Vε为最后位移Di的函数
?
1 2 FwC
?
1 2
M e?
A
?
F 2l3 96 EI
?
Me2l 6EI
?
FM el 2 16 EI
例3-1 计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能
EI (a)
A l
mo B x
? ? V?a ? V?mo ?
l M(x)dx ? 0 2EI
l Mo2dx ? Mo2l 0 2EI 2EI
例3-2 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
小变形时不计FS 产生的应变能， FN (x) — 只产生轴向线位移d Δ T(x) — 只产生扭转角 d?
M(x) — 只产生弯曲转角 d?
第三章 能量方法
对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dVε
?
dW
?
1 2
FN (x) d Δ ?
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(a)
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计 算比较麻烦。
若利用外力功在数值上等于应变能，即
1 2
F
ΔAy
?
F2 N1
l1
2EA1
?
F2 N2
l2
2EA2
就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。
利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1
?
FN 2
?
F1
2 cos?
s1 ?
FN A
?
F1
2 Acos?
由
s ? k?1/ n （n>1）
得
?
?
s
(
)n
k
余能密度为
? ? vc ?
? s1 ds ?
0
s1 (s )n ds
0k
?
k
n
1 (n
?
1)
s n? 1
1
?
k
n
1 (n
?
1)
(
2
F1 Acos
卡氏第二定理的变形形式：
例3-4 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求： （1）C端挠度,（2） C端转角
?
1 2
F1 Δ1 ?
1 2
F2
Δ2
第三章 能量方法
3、有 n 个广义力同时作用时
? Vε
?
W
?
1 2
F1Δ1
?
1 2
F2Δ2
?
?
?
1 2
Fn
Δn
?
n i?1
12Fi Δi
(i ? 1,2,?,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
4、组合变形（用内力形式表示的应变能）
（2）位移计算
V?
?
W
?
1 2
P? cx
即
1 2
P? cx
?
3P 2l 4EA
得
? cx
?
3P l 2EA
分析和讨论
1 若需要位移处无外力作用,如求b截面 ?bx ,外力功表达式 中无需求的位移项,因此无法求 ?bx。
2 若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一 个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不 能求位移的大小。
对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物 理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从 几何协调关系出发，显得非常麻烦.
例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹 性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
y FN1 45o 30o FN 2
A
x
F
1
45o
这是因为 (? Px? Mo)2 ? (? Px)2 ? Mo2
即 变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的 叠加
分析与讨论
(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行 叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功。
例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
2 (D1 ? D2 )
由于是线弹性问题，结构的应变能为
（1）
Vε
?
EA?
2 AB
?
2l
EA?
2 BC
2 2l
?
EA 2l
Δ12
?
EA [ 2 2l
2 2
(
Δ1?
Δ2 )]2
?
EA 2l
Δ12
?
EA 2 2l
(1 2
Δ12
?
Δ1 Δ2
?
1 2
Δ22
)
（2）
第三章 能量方法
由卡氏第一定理，得
?Vε ?Δ1
1 T(x) d?
2
?
1 2
M (x) d?
?
FN2 (x) d x ?
T 2 (x) d x ?
M 2 (x) d x
2EA
2GI p
2EI
杆的应变能为
? ? ? ? Vε ?dl NhomakorabeaVε
?
FN2 (x) d x ? l 2EA
T 2 (x) d x ?
l 2GIp
M 2 (x) d x l 2EI
关于应变能计算的讨论：
线性函数 小前提： 缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）
二.功和应变能
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体
做了功。
恒力功：
变力功：
W ? Fp ? D1
? W ? D1 F ? dD 0
1
曲线与横轴围成的面积
在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功
扭转时外力做功
弯曲时外力做功
三.余功和余能 与余功相应的能称为余能
? W ? D1 F d D 0
与外力功
之和等于矩形面积 F1Δ 1
曲线与纵轴围成的面积
例 3－5 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在
单轴拉伸时的 s －? 关系如图b 所示。求结构的余能。
解：该题为物理非线性问题，
需用
? Vc ? V v求c dVVc。
引起的转角 ? 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 ? 上也
不作功。
例3-4 图示等截面悬臂梁， E,A,I 已知。在自由端受