运筹学课件(第二讲)
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运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学 (2)ppt课件
《辞海》对运筹学解释为：“二十世纪四十年代开始形成的一门 科学，主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运 用，筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分 析与运算，作出综合性的合理的安排，以达到较经济、较有效地 使用人力、物力。近年来，它在理论与应用方面都有较大发展。 其主要分枝有规划论、对策论、排队论及质量控制等。”
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名， 由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马 对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的 上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
6
1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。 次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很 大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。 孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途 必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军 逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率 疲惫之师回救。
8
2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的， 建筑材料必须从远地通过汴水运 来。由于时间紧、任务重，按一 般的操作法肯定不能按时完成。 丁渭深思熟虑，规划并实施了一 个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
1
内容提要
绪论 线性规划与单纯形法 线性规划的进一步研究 运输问题 动态规划 存储论 排队论
2
绪论
3
第一节 运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中， 决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学， 优化科学。
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名， 由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马 对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的 上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
6
1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。 次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很 大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。 孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途 必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军 逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率 疲惫之师回救。
8
2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的， 建筑材料必须从远地通过汴水运 来。由于时间紧、任务重，按一 般的操作法肯定不能按时完成。 丁渭深思熟虑，规划并实施了一 个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
1
内容提要
绪论 线性规划与单纯形法 线性规划的进一步研究 运输问题 动态规划 存储论 排队论
2
绪论
3
第一节 运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中， 决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学， 优化科学。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学课件(第二讲)
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（1）
一般形式
maxminZ c1 x1 c 2 x 2 c n x n
a11 x1 a12 x 2 a1n x n , b1 a x a x a x , b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. a x a x a x , b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , , x n 0
若原模型中变量xk自由变量，即xk ∈(∞,-∞)，则令 xk = x/k – x//k，其中x/k，x//k ≥0，目标函数相应变化。
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（4）
实例
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（5）
标准型的几种表示形式
顶点
设x为凸多边形区域中的一点，若x不能用凸多边形区域种不同两点的 线性组合来表示，则称x为凸多边形区域的一个顶点。
Operation Research
第二讲
线性规划问题的图解法（2）
问题实例
max Z 6 x1 4 x 2 2 x1 3x 2 100 s.t.4 x1 2 x 2 120 x , x 0 1 2
可见简写为： max Z 注意：
c x
j 1 j
n
j
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2, , m j 1,2,, n
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（3）
运筹学课件2
•有唯一解：
•例3 求解下列矩阵对策={S1，S2；A} •解：（1）这是一个无鞍点的矩阵对策。
•（2）是一个有鞍点的矩阵对策，用鞍点法求得对策的 解为(2*,1*)，对策值为V =2
• (2)2×n对策的代数解法：
• 对2×n对策，可先将2×n对策转化为Cn2个2×2子对策 ，再利用2×2对策的公式法，分别求出各子对策的值，最
•动态对策
•两人对策 •多人对策 •零和对策 •非零和对策
•纯策略对策 •混合策略对策 •有限策略对策
•无限策略对策
•三、两人有限零和对策的数学模型 • 两人有限零和对策，又称为矩阵对策。其数学模型为：
•={Ⅰ,Ⅱ;S1,S2,A}或={S1,S2;A}
• 其中策略集S1={1,2,…,m}，S2={1, 2, …, n}分别为
•3.赢得函数（支付函数） • （1）局势：对策中，每一局中人所选定策略形成的策略
组合称一个局势。设局中人1从自己的策略集S1={1,2 …,m}中选定策略i，局中人2从自己的策略集S2={1, 2 …, n}选定策略j，则(i, j)就构成两人对策中的一个局势。
• 在n个对策中，设si表示第i局中人的一个策略，则n个局 中人的策略组合形成的局势为S=(s1,s2,…sn)。 • （2）赢得函数：当一个局势S出现后，各局中人都有自 己的结果（得失），记为Hi(S)，它表示第i局中人的赢得（ 支付）值。显然Hi(S)是局势的函数。
3 1 1 1 -1 1
1 3 1 1 1 -1
•A 1 -1 3 1 1 1
=
-1 1 1 3 1 1
1 1 1 -1 3 1
1 1 -1 1 1 3
•这是一个两人有限零和对策。
四、在纯策略下有解的矩阵对策的解法 •1.解法的思想：双方都立足在不利的情况下争取最好的结 果──最大最小原则。 •例 求解矩阵对策 ={S1,S2;A}，其中:
运筹学电子教案PPT课件
11
三、运筹学的定义与研究特点
• 3、运筹学研究问题的特征：
• 1）科学性 • 2）实践性 • 3）系统性 • 4）综合性
12
四、运筹学在管理科学中的地位
• 管理科学的学科构架 • 1、基础理论部分 • 1）管理理论：企业理论、决策理论、运筹学
、组织理论、行为理论、企业经营学、生产管 理与运作理论、人-机工程等。 • 2）管理发展史：管理思想史、管理方法史、 管理科学发展史、比较管理学等。 • 3）交叉知识：数学、系统论、哲学、经济学 、人类学、心理学、社会学、计算机科学、思 维科学等。
17
五、运筹学在经济管理中运用 的主要课题
• 5、财务管理：预算、筹资、成本分析等 。
• 6、人事管理：人员需求、人力资源开发 、人员的合理利用、人才评价、工资标 准等。
• 7、设备维修与更新 8、可靠性分析 • 9、质量控制 10、项目评估 • 11、城市公用事业和服务
18
参考书目
1、管理科学(Management Science )（当代最有 代表性的杂志之一）
抽象化风气日盛、大范围问题、高维问 题、体系厐杂等。 • 2）运筹学发展展望 • 运筹学应该在三个方面都应有所发展： 运筹学的学科体系、运筹学的应用及运 筹学的数学理论。
6
二、运筹学的学科体系
• 运筹学发展到今天已经形成了一个庞大 的学科体系：
• 1、Mathematical programming : Linear programming ,Nonlinear programming , Integer programming ,Objective programming , Dynamic programming ,Stochastic programming,Geometric programming等。
三、运筹学的定义与研究特点
• 3、运筹学研究问题的特征：
• 1）科学性 • 2）实践性 • 3）系统性 • 4）综合性
12
四、运筹学在管理科学中的地位
• 管理科学的学科构架 • 1、基础理论部分 • 1）管理理论：企业理论、决策理论、运筹学
、组织理论、行为理论、企业经营学、生产管 理与运作理论、人-机工程等。 • 2）管理发展史：管理思想史、管理方法史、 管理科学发展史、比较管理学等。 • 3）交叉知识：数学、系统论、哲学、经济学 、人类学、心理学、社会学、计算机科学、思 维科学等。
17
五、运筹学在经济管理中运用 的主要课题
• 5、财务管理：预算、筹资、成本分析等 。
• 6、人事管理：人员需求、人力资源开发 、人员的合理利用、人才评价、工资标 准等。
• 7、设备维修与更新 8、可靠性分析 • 9、质量控制 10、项目评估 • 11、城市公用事业和服务
18
参考书目
1、管理科学(Management Science )（当代最有 代表性的杂志之一）
抽象化风气日盛、大范围问题、高维问 题、体系厐杂等。 • 2）运筹学发展展望 • 运筹学应该在三个方面都应有所发展： 运筹学的学科体系、运筹学的应用及运 筹学的数学理论。
6
二、运筹学的学科体系
• 运筹学发展到今天已经形成了一个庞大 的学科体系：
• 1、Mathematical programming : Linear programming ,Nonlinear programming , Integer programming ,Objective programming , Dynamic programming ,Stochastic programming,Geometric programming等。
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
管理运筹学统筹2课件
一、绘制统筹图的基本规则
（一）统筹图是有向图，箭头一律向右；
（二）统筹图中只允许有一个起始结点，一个最 终结点，不允许出现缺口；
（三）两个结2点之间只4能画一个作业相连结；
1 3
5
62
1
2
1
3
管理运筹学统筹(2)
13
第三节 统筹图的绘制
一、绘制统筹图的基本规则 （一）统筹图是有向图，箭头一律向右； （二）统筹图中只允许有一个起始结点，一个最
管理运筹学统筹(2)
28
第三节 统筹图的绘制
三、绘制统筹图的步骤 （一）明确计划目标 —— 多快好省 （二）进行任务分解 （三）按规则绘制草图
1、统筹图是有向图，箭头一律向右。 2、统筹图中只允许有一个起始结点，一个最终 结点，不允许出现缺口。
3、两个结点之间只能画一个作业相连结。 4、统筹图中不允许出现闭合回路。
32
练习：根据作业明细表绘制统筹图： 1、 作业代号 A B C D E 紧前作业 / / / A,B B,C
A
D
B
C
E
A 3D
1 B2
5
C
E
4
管理运筹学统筹(2)
33
练习：根据作业明细表绘制统筹图： 2、 作业代号 A B C D E F G H I J K
紧前作业 / A A A B C D EC F FG HIJ
2、 作业代号 A B C D E F G H I 紧前作业 / A A B B C DE G F
3、 作业代号 A B C D E F G H I J K 紧后作业 D EF G H IJ I I / K K /
管理运筹学统筹(2)
36
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添加松弛变量x3,x4,x5,则标准型为
max Z 50x1 100x2 0x3 0x4 0x5
x1 x2 x3
300
s.t.2x2x1 x2
x4 400 x5 250
x1, x2, x3, x4, x5 0
Operation Research
第二讲
该解是否为最优解
Y 结束
N 确定入基变量 和出基变量
进行基变换， 求出基可行解
Operation Research
第二讲
单纯形法的基本原理（2）
实例
工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，以及资源的限制， 如下表所示。
每生产一单位产品I可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100 元，问工厂应如何安排生产获利最多?
第二讲
线性规划问题的几何性质（1）
定义
凸集、顶点
定理
1.线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸 集。
2.线性规划问题的基可行解对应于可行域的顶 点。
3.若可行域有界，线性规划问题的目标函数一 定可以在其可行域的顶点上达到最优。
Operation Research
第二讲
线性规划问题的几何性质（2）
形区域。
任何两个凸多边形区域的集合仍为凸多边形区域。
顶点
设x为凸多边形区域中的一点，若x不能用凸多边形区域种不同两点的 线性组合来表示，则称x为凸多边形区域的一个顶点。
Operation Research
第二讲
线性规划问题的图解法（2）
问题实例
max Z 6x1 4x2
2 s.t.4
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（3）
一般形式转化为标准型
若原模型中的目标函数实现最小化，即minZ=CX，则令Z/=-Z，可 得到maxZ/=-CX，这就同标准型的目标函数形式相一致；
若原模型中的约束条件为不等式，两种情况
原约束条件左端≥右端，则添加剩余变量，约束条件化为 原约束条件左端-剩余变量=右端 (剩余变量≥0)
Operation Research
几何概念
约束直线 约束半平面 约束半平面的交集： 凸多边形 约束直线的交点 可行域的顶点 目标函数等值线： 一组平行线
代数概念
第二讲
满足一个等式约束的解 满足一个不等式约束的解 满足一组不等式约束的解
基解
基可行解
目标函数值等于一个常 数的解
Operation Research
满足非负条件的基解，成为基可行解。 对应于基可行解的基，称为可行基。
讨论：一个线性规划问题最多有多少个基可行解？
实例
max Z 6x1 4x2
2x1 3x2 100 s.t.4x1 2x2 120
x1, x2 0
Operation Research
s.t.a21x1a22 x2a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1, x2 ,, xn 0
max Z CX
s.t.
n j 1
Pj
x
j
b
x
j
0
j 1,2,, n
第二讲
单纯形法的基本原理（5）
4.最优解检验
检验方法：将基变量用非基变量线性表示，然后带入目标函数， 如果非基变量前面的某个系数大于零，说明仍没有达到最优解； 否则，该解为问题最优解。
x1 x2 x3 300 x3 300 x1 x2 2x1 x2 x4 400 x4 400 2x1 x2 x2 x5 250 x5 250 x2
Operation Research
第二讲
单纯形法的基本原理（3）
1.建立模型
设决策变量xj （j=1,2)表示生产成品j的数量，则问题可归结为
max Z 50x1 100x2
x1 x2 300 s.t.2x2x12x520 400
x1, x2 0
2.转化为标准型
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0
基
=
Operation Research
第二讲
线性规划问题解的性质（3）
基解、基可行解、可行基
设XB=（x1,x2,…,xm)为基B所对应的基变量,令非基变量 xm+1,xm+2,…,xn=0，可以求出一个解XB=（x1,x2,…,xm,0,0,…,0)，该 解的称为基B的基解。
第二讲
线性规划问题的图解法（4）
无可行解区域
用图解法求解 max Z x1 x2
x1 x2 10 s.t.2x1 x2 30
x1, x2 0
图解法的几点讨论
(1)若线性规划问题有可行解．则可行解区域是一个凸多边形，它可能是 有界的；也可能是无界的。
s.t.a21x1a22 x2a2n xn , b2 am1x1 am2 x2 amn xn , bm
x1, x2 ,, xn 0
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（2）
线性规划问题图解法的几种特殊情况
有多重最优解
将上例中目标函数由Z=6x1+4x2 变为Z=4x1+6x2 后，再用图解法进行求 解
可行解区域无界
用图解法求解 max Z x1 x2
2x1 x2 4 s.t.x1 x2 2
x1, x2 0
Operation Research
x1 x1
3x2 2x2
100 120
x1, x2 0
求解步骤
求满足约束条件的可行域
建立直角坐标系，以x1为横轴，x2为纵轴； 确定非负约束x1 ≥0， x2 ≥0的各点集合，即第一象限； 确定满足约束条件2x1+3x2 ≤100的各点集合。在坐标系中画出直线
2x1+3x2 =100，该直线为边界的左下方的半平面即为满足约束条件 2x1+3x2 ≤100的各点集合； 同理，确定其他各约束条件的点集合；
点集合的交叉区域即为该问题的可行域。
Operation Research
第二讲
线性规划问题的图解法（3）
从可行域中找出目标函数的最优解
画目标函数的等值线； 平移等值线，在可行解区域内找到目标函数的最优解。
原约束条件左端≤右端，则添加松弛变量，约束条件化为 原约束条件左端+松弛变量=右端 (松弛变量≥0) 在原模型中引入剩余变量(或松弛变量)后，使问题的变量维数增加，目
标函数并不发生改变，即在目标函数中，附加变量的系数为0。
若原模型中变量xk自由变量，即xk ∈(∞,-∞)，则令 xk = x/k – x//k，其中x/k，x//k ≥0，目标函数相应变化。
运筹学课程
Operation Research
第二讲
线性规划问题的图解法（1）
相关概念
可行解
满足线性规划问题约束条件的解，都称为该线性规划问题的可行解， 所有可行解集合称为可行解集（或可行域）。
最优解
是目标函数达到最优值（最大值或最小值）的可行解，称为最优解。
凸多边形区域
设x1,x2为多边形区域中的两点，若两点连线上的任意一点，即 ax1+（1-a)x2,(0≤a≤1)仍属于该多边形区域，则该多边形区域为凸多边
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（4）
实例
Operation Research
第二讲
线性规划模型的几种形式（5）
标准型的几种表示形式
向量形式
max Z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn b1
(2)若线性规划问题有最优解，则最优解可能是唯一的；也可能是无穷多 个。如果是唯一的，这个最优解一定在该凸多边形的某个顶点上；如果 是无穷多个，那末这些最优解一定是凸多边形的一条边界（包括此边界 的两个端点）。总之，如果线性规划问题有最优解，则这个最优解一定 可以在凸多边形的顶点达到。
(3)若线性规划问题有可行解，但是没有有限最优解。这时凸多边形是无 界的。
单纯形法的基本原理（4）
3.确定初始基，并求出基解
系数矩阵为
x3 x4 x5
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
x1 x2
1 1 2 1 0 1
则可令x3,x4,x5位初始基变量，则基解为(0,0,300,400,250) 是基可行解
第二讲
Operation Research
称为线性规划问题的可行解；在可行解中，目标函数达到最大值的 解，称为最优解。
因此，线性规划问题可行解的求取可转化为求解有约束条件组成的非齐次线 性方程组。
Operation Research
第二讲
线性规划问题解的性质（2）
基、基变量、非基变量
设A是约束条件方程组的m*n为系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中 m*m阶非奇异子矩阵（|B|≠0)，则称B为线性规划问题的一个基。 与基对应的决策变量称为基变量，否则称为非基变量。
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1, x2 ,, xn 0
两端乘以“-1” 决策变量一定是非负。
n
可见简写为： max Z c j x j j 1
s.t.