高中物理二轮专题检测：3. 抓住“三类模型”破解竖直面内的圆周运动

专题检测（三） 抓住“三类模型”，破解竖直面内的圆周运动1.如图所示，“伦敦眼”(The London Eye)是世界著名的观景摩天轮，它总高度135米(443英尺)，屹立于伦敦泰晤士河南畔的兰贝斯区。

现假设摩天轮正绕中间的固定轴做匀速圆周运动，则对于坐在座椅上观光的游客来说，正确的说法是( )A ．因为摩天轮做匀速转动，所以游客受力平衡B ．当摩天轮转到最高点时，游客处于失重状态C ．因为摩天轮做匀速转动，所以游客的机械能守恒D ．当摩天轮转到最低点时，座椅对游客的支持力小于所受的重力解析：选B 摩天轮做匀速转动，不是平衡状态，故A 错误；当摩天轮转到最高点时，游客受到的重力与支持力的合力的方向向下，指向圆心，所以游客处于失重状态，故B 正确；摩天轮做匀速转动，所以游客的动能不变而重力势能是变化的，所以机械能不守恒，故C 错误；游客随摩天轮做匀速圆周运动，当摩天轮转到最低点时，游客受到的重力与支持力的合力的方向向上，指向圆心，所以座椅对游客的支持力大于所受的重力，故D 错误。

2.如图所示，一内壁光滑、质量为m 、半径为r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上，有一质量为m 的小球(可看做质点)在圆管中运动。

小球以速率v 0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为( )A ．m v 02rB ．mg ＋m v 02rC ．2mg ＋m v 02rD ．2mg －m v 02r解析：选C 以小球为研究对象，根据牛顿第二定律得，F N －mg ＝m v 02r ，解得F N ＝mg ＋m v 02r 。

由牛顿第三定律知：小球对圆管的作用力大小F N ′＝F N ＝mg ＋m v 02r ，方向向下。

再以圆管为研究对象，由平衡条件可得：杆对圆管的作用力大小F ＝mg ＋F N ′＝2mg＋m v 02r 。

3.[多选](2018届高三·西工大附中调研)人类向宇宙空间发展最具可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”。

设想中的一个圆柱形太空城，其外壳为金属材料，长1 600 m ，直径200 m ，内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5 m 厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜，可调节阳光的射入，太空城内部充满空气，太空城内的空气、水和土壤最初可从地球和月球运送，以后则在太空城内形成与地球相同的生态环境。

为了使太空城内的居民能如在地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，太空城将在电力的驱动下，绕自己的中心轴以一定的角速度转动。

如图为太空城垂直中心轴的截面，以下说法正确的有( )A ．太空城内物体所受的“重力”一定通过垂直中心轴截面的圆心B ．人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供C ．太空城内的居民不能运用天平准确测出质量D ．太空城绕自己的中心轴转动的角速度越大，太空城的居民受到的“重力”越大 解析：选ABD 太空城内物体随太空城做匀速圆周运动，向心力指向圆心，故其所受的“重力”一定通过垂直中心轴截面的圆心，故A 正确；人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供，故B 正确；天平的测量原理是等臂杠杆，故太空城内的居民可以运用天平准确测出质量，故C 错误；等效重力大小等于向心力，故：G ′＝mω2r ，故太空城绕自己的中心轴转动的角速度越大，太空城的居民受到的“重力”越大，故D 正确。

4.[多选](2017·揭阳二模)如图所示，小球沿水平面以初速度v 0通过O 点进入半径为R 的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力，则( )A ．球进入竖直半圆弧轨道后做匀速圆周运动B ．若小球能通过半圆弧最高点P ，则球在P 点受力平衡C ．若小球的初速度v 0＝3gR ，则小球一定能通过P 点D ．若小球恰能通过半圆弧最高点P ，则小球落地点到O 点的水平距离为2R解析：选CD 不计一切阻力，小球机械能守恒，随着高度增加，动能减少，故做变速圆周运动，A 错误；小球在最高点P 需要向心力，故受力不平衡，B 错误；恰好通过P 点，则有mg ＝m v P 2R ，得v P ＝gR ，由机械能守恒得mg ·2R ＋12m v P ′2＝12m v 02，得v P ′＝5gR >gR ，则小球一定能通过P 点，故C 正确；小球过P 点做平抛运动，有x ＝v P ·t ，2R ＝12gt 2，得：x ＝gR ·2R g ＝2R ，故D 正确。

5.如图所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)。

当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式T ＝a＋b cos θ，式中a 、b 为常数。

若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )A.b 2mB.2b mC.3b mD.b 3m 解析：选D 设小球通过P 点时的速度为v 0，绳长为R ，当θ＝0°时，有T 1＝a ＋b ＝m v 02R ＋mg ①，当θ＝180°时，有T 2＝a －b ＝m v 2R－mg ， 由机械能守恒定律得12m v 02＝mg ·2R ＋12m v 2， 则T 2＝a －b ＝m v 02R－5mg ②， ①②两式相减得g ＝b 3m，选项D 正确。

6.(2018届高三·武汉调研)将太极球及球拍简化成如图所示的小球和平板，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A 、B 、C 、D 位置时球与板间无相对运动趋势。

A 为圆周的最高点，C 为最低点，B 、D 与圆心O 等高。

若球恰能到达最高点，设球的重力为1 N ，不计球拍的重力。

则下列说法正确的是( )A ．球恰能到达最高点，说明球到最高点速度为零B ．平板在C 处对球施加的力的大小为1 NC ．当球运动到B 位置时，平板与水平方向的夹角为45°D ．球从A 到C 的过程中机械能守恒解析：选C 设球运动的线速度为v ，做圆周运动的半径为R ，球恰能到达最高点，即在最高点平板没有弹力，则在A 处mg ＝m v 2R ，A 错误；在C 处球与板间无相对运动趋势即无摩擦力，F －mg ＝m v 2R，解得F ＝2mg ＝2 N ，B 错误；在B 处球与板间无相对运动趋势即球不受摩擦力作用，受力分析如图，则tan θ＝F 向mg＝1，则θ＝45°，C 正确；球从A 到C 的过程中，动能不变，势能减小，机械能不守恒，D 错误。

7．小明撑一雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径为R ，现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω匀速旋转，伞边缘上的水滴落到地面，落点形成一半径为r 的圆形，当地重力加速度的大小为g ，根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为( )A.g (r 2－R 2)2ω2R 2B.g (r 2－R 2)2ω2r 2C.g (r －R )22ω2R 2 D.gr 22ω2R 2 解析：选A 设伞边缘距地面的高度为h ，伞边缘水滴的速度v ＝ωR ，水滴下落时间t ＝2h g ，水滴平抛的水平位移x ＝v t ＝ωR 2h g ，如图所示。

由几何关系得R 2＋x 2＝r 2，可得h ＝g (r 2－R 2)2ω2R 2，A 正确。

8．[多选]长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v ，下列说法中正确的是( )A ．v 的极小值为gLB ．v 由0逐渐增大，向心力也逐渐增大C ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大解析：选BCD 如图甲所示，小球在最高点速度有最小值0，此时杆向上的支持力为F N ＝mg ，故A 错误。

v 由0逐渐增大，则F 向＝m v 2L 逐渐增大，故B 正确。

如图乙所示，当最高点速度为v ＝gL 时，有mg ＝m v 2L，杆对小球作用力F ＝0。

当v 由gL 增大时，杆对小球有拉力F ，有mg ＋F ＝m v 2L ，则F ＝m v 2L－mg ，随v 逐渐增大而逐渐增大，故C 正确。

当v 由gL 减小时，杆对小球有支持力F ，有mg －F ＝m v 2L ，则F ＝mg －m v 2L ，随v 逐渐减小而逐渐增大，故D 正确。

9.[多选](2017·南昌模拟)如图所示，在半径为R 的水平圆盘中心轴正上方水平抛出一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，当圆盘半径Ob恰好转到与小球初速度方向相同且平行的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b ，重力加速度为g ，小球抛点a 距圆盘的高度h 和小球的初速度v 0可能应满足( )A ．h ＝g π2 ω2，v 0＝Rω2πB ．h ＝8π2g ω2，v 0＝Rω4πC ．h ＝2g π2 ω2，v 0＝Rω6πD ．h ＝32π2g ω2，v 0＝Rω8π解析：选BD 由平抛运动规律，R ＝v 0t ，h ＝12gt 2，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b ，需要满足n ·2π＝ωt (n ＝1,2,3，…)，联立解得：h ＝2gn 2π2ω2，v 0＝ωR 2n π(n ＝1,2,3，…)。

当n ＝1时，h ＝2g π2 ω2，v 0＝ωR 2π，选项A 错误；当n ＝2时，h ＝8g π2ω2，v 0＝ωR 4π，选项B 正确；当n ＝3时，h ＝18g π2 ω2，v 0＝ωR 6π，选项C 错误；当n ＝4时，h ＝32g π2 ω2，v 0＝ωR 8π，选项D 正确。

10.[多选]如图所示，半径为R 的14圆弧轨道与半径为R 2的光滑半圆弧轨道通过图示方式组合在一起，A 、B 分别为半圆弧轨道的最高点和最低点，O 为半圆弧的圆心。

现让一可视为质点的小球从B 点以一定的初速度沿半圆弧轨道运动，恰好通过最高点A 后落在14圆弧轨道上的C 点，不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A ．小球运动到A 点时所受合力为零B ．小球从B 点出发时的初速度大小为 52gRC ．C 点与A 点的高度差为3R 5D ．小球到达C 点时的动能为25－14mgR 解析：选BD 由于小球刚好能通过半圆弧轨道的最高点A ，故小球在A 点由重力提供其做圆周运动的向心力，选项A 错误；在A 点时，有mg ＝m v A 2r ，其中r ＝R 2，解得v A ＝ gR 2，由机械能守恒定律可得：12m v B 2＝mgR ＋12m v A 2，代入数据可解得v B ＝ 52gR ，选项B 正确；由平抛运动规律可得：x ＝v A t ，y ＝12gt 2，由几何关系可得：x 2＋y 2＝R 2，联立求解得：y ＝(5－1)R 2，故C 点与A 点的高度差为(5－1)R 2，选项C 错误；由动能定理可知：E k C ＝12m v A 2＋mgy ，解得：E k C ＝25－14·mgR ，选项D 正确。