bent函数
Bent函数应用的一些研究
收稿日期:2001 12 30作者简介:邱显杰(1975 ),男,湖南桂阳人,湘潭大学信息工程学院计算机科学系计算机软件与理论专业硕士研究生,研 究方向:编码与密码,网络安全。
文章编号:1006 2475(2002)06 0015 03Bent 函数应用的一些研究邱显杰(湘潭大学信息工程学院计算机科学系,湖南湘潭 411105)摘要:平衡性、非线性、扩散性是具有高度密码特性的布尔函数要满足的最重要的三个性质,本文给出了用Bent 函数来构造满足高次扩散准则的,具有较高非线性度的平衡布尔函数的一些方法。
关键词:布尔函数;Bent 函数;平衡函数;非线性度;扩散准则中图分类号:TN918 1 文献标识码:AThe Result on the Application of Bent FunctionsQIU Xian jie(Departmen t of Computer Science,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)Abstract:Balancedness,nonlineari ty and propagation are three of the most essential characters that Boolean functi ons with high cryp to graphic speciality have to obey.In the last chapter,some methods of using Bent functions to construct balanced Boolean functi ons satisfy ing the highly propagation characteristics wi th highly nonlinearity have been put forward.Keyw ords:Boolean function;Bent functions;balanced function;nonlinearity;propagati on criterion0 引 言Bent 函数是由Rothaus 于1976年提出的一类特殊的布尔函数[1]。
关于Bent函数的构造的一些研究
ＡＭＳＳ ｂｅｔ ｌ ｓ ｅｌ ｌ ０ Ｉ ０ － ｕｊｃ Ｃａ ｉ ａ ｍ ３） ｓｆ ｉ ｉ ５
Ｂｎ 函数是 由 Ｒ ｔ ｕ 于 １７ ｅｔ ｏ ａｓ ９６年提 出 的一 类特 殊 的布 尔 函数 … ．９２年 ，ｌ ｎＳｈｌ ｈ １８ Ｏｓ ，ｃｏｔ Ｗｅ ｈ利 ｅ ｚ和 ｌ ｃ
用 Ｂｎ 函数构造出一类循环相关特性很好 的二进制 序列 （ ｅｔ ． 称为 Ｂｎ序列）从此 ， ｎ 函数 的研究受到 ｅｔ ， ｅ Ｂ ｔ 人们 的广 泛重 视 ， 已取 得 了许多 较深入 的研 究成 ． ｎ 函数具 有 许多 优点 ： Ｂｎ 函数 具 有最 高 ｅ Ｂ ｔ 如 ｅ ｔ
的非线 性 度 ， ｎ 函数用 于 非线性组 合器 可 以很 好 的抗 击 相关 攻 击和 最 佳线性 逼 近 攻击 ， 外 ， 当选 ｅ Ｂ ｔ 另 适
取 Ｂｎ 函数作为线性组合函数 ， ｅ ｔ 还可 以使非线性组合 器输 出序列有较好的线性复杂度 ． 由于 Ｂｎ 函数 ｅ ｔ 在展频通信， 编码理论 ． 密码学等领域中的应用越来越广泛， 关于 Ｂｎ 函数的研究不断增加， ｅｔ 其中 Ｂｎ ｅ ｔ
关 于 Ｂ ｎ 函数 的构 造 的一些研 究 ’ ｅｔ
邱 显 杰
（ 湘潭大学信 息工程学 院计算 机科 学系 ， 湖南 湘潭 ４ １ ５ １１ ） ０
［ 摘要 ］ 利用频谱方法给出了两个由 ｎ ＢＩ函数构造 ｍ（ ＞ ） Ｂｎ函数的充要条件 ， 出了一些 ＢＩ 函数不 元 ｅｔ ｌ ｍ 元 ｅ ｔ 井指 ｅｔ ｌ
。 。
∈ ～
∑． ｔ ］ ＝
－
｛［
从 而
＜） Ｉ Ｆ（） Ｆ（ ） Ｉ－， ） ＋ －． ＋ １ ２ ＋ｗ － Ｆ（ ］ ．
广义e—bent函数
广义e—bent函数
广义曲线，也称弯曲曲线，是以某种函数定义的曲线，比较常见的有椭圆、双曲线等，而广义e—bent函数是在这类曲线的几何表示中，非常重要的一种。
首先，它是由实数坐标空间中的正切函数形成的曲线，定义域是实数轴，值域也是实数轴。
除此之外，它也可以表示矢量空间中的角度，其值域被定义为(0,2π]。
其次，广义e—bent函数涉及到多个非常重要的物理量与数学量，比如电阻、
感应电动势以及圆周率等，可以用来表示曲线在区间内的定义方程。
此外，广义e—bent函数可以用于大规模的物理、力学模拟等的计算，因为它
能够非常有效地捕捉曲线的变化与极值，比如电势能量更新和冗余运动等。
有助于精确地模拟物体的运动轨迹，改善控制模型的精度与准确度。
最后，广义e—bent函数也可以用于优化算法，它可以用于矢量空间中的非线
性优化，用来有效地求解最小值问题。
因此，广义e—bent函数在数学、力学、控
制系统等科学领域中扮演着重要的角色，被广泛应用于多个领域，对科学的发展及应用有着重要影响。
向量输出部分Bent函数的性质
’ Ｆ（ ）一 （ ｌ ） … ，ｌ ） ． ｆ（ ， （ ） ｍ
其 中分量 函数 （ ， ≤ ｉ ）１ ≤ ， 是 上 的布 尔 函数 ． ｌ 表示 集 合 Ｅ 中的元 素个数 ． 用 Ｅｌ Ｆ是 一个 （ ） ， 一
维普资讯
・
２・
南 开 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
ｄ ｇ Ｆ）一 ｍｉ ｅ ｖ ・ ． ｅ（ ｎｄ ｇ（ Ｆ）
∈ 。
第 ４ 卷 Ｏ
Ｆ（ ）的符号 函数定义 为 （ ）一 （ １ ， 一 ）
＾
， Ｆ（ 取 值为 ０ １ 而 Ｘ（ ） 值为 一 １ １ ・ ） 或 ， ＦＸ， 取 或 ．
摘 要 ： 据 向量 输 出部 分 Ｂ ｎ 根 ｅ ｔ函数 的定 义 给 出 了 向量 输 出 部 分 Ｂ ｎ ｅ ｔ函数 的 Ｗａｓ 和 自相 关 函数 的 等 价 ｌｈ谱
条件．
关 键 词 ：布 尔 函数 ；部分 Ｂ ｎ 函数 ； ｅ ｔ函数 ；自相 关 函 数 ｅ ｔ Ｂｎ
中 图分 类 号 ： ＴＮ９ ８ １ １． 文献标识码 ： Ａ
１ 基 本 知识
令 Ｆ。 表示 只包 括元 素 ０和 １的二 元域 ， Ｆ 表 示 Ｆ。 的 维 向量 空 间． 用 ； 上 假设 和 的两个 正整 数 ， ≤ ， 把从 到 Ｆ 的映射 Ｆ（ 称 为 个 输入 ， 个输 出 的向量 布尔 函数 ， ） 记为 （ ） ， 一函数 ． 任何一 个
Ｖｏ． ０ Ｎ ６ １４ Ｏ ＿
Ｄｅ ．２ ７ ｃ ００
文 章编 号 ： ４ ５７ ４ （０ ７ ０ —０ １０ ０ ６ —９ ２ ２ ０ ） ６０ ０ —５
向量 输 出部 分 Ｂ ｎ ｅ ｔ函数 的性 质
bent-negabent函数的构造
bent-negabent函数的构造
bent-negabent函数是一个可以用来表示复杂分类问题的非线性函数，它在机器学习领域有着广泛的应用。
bent-negabent函数由两部分组成，
即“bent”和“negabent”。
bent部分是个S曲线，它由三个部分组成，即0到正1/3处的单调
递增函数，中间部分的单调减函数和最后从正2/3处到1的单调递增函数，满足y=1时的x=1，y=0时的x=0。
negabent部分的函数与bent部分的函数相似，也是三个部分组成，
分别是从0到负1/3处的单调递减函数，负2/3处到0处的单调减函数和
最后从负1到0的单调递减函数，满足y=0时的x=0，y=-1时的x=1。
最后，bent-negabent函数将bent部分和negabent部分合并成一个
整体，它以x=0和x=1为起点和终点，当x位于[0,1]的某一点时，它的
值为bent和negabent的组合，即bent(x) + negabent (x)。
关于Bent函数的一些研究
第 １ ４卷第 １ 期 ２０ 年 ３月 ０２
常 德 师 范 学 院 学 报 ｆ自 然 科 学 版 ）
Ｖ ． ４ Ｎｏ． １ １
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元布尔 函数的集合 ， （ ＝Ｌ ，２…， ） ￡ ） （ ｌ ， 是 人们的 广 泛 重 视 ， 已取 得 了许 多 较 深 人 的 研 究 成 体 ｎ 邑 ０１ ． 果 ． ０Ｊｅｔ ＿ Ｂｎ 函数具有许多优点 ： Ｂ ｎ 函数具有最 全体 ｎ元线性布尔函数的集合， ：｛，｝ １ 如 ｅｔ
一
２ 主要成果
定理 ３ 设 ， ｆ ）：， ，２…， ） ｎ ｆ ， 是 元平衡布尔 １ 函数 ， （ ）＝ｇ Ｙ ，２… ，ｍ 是任意一个 ｍ元布 ｇＹ （ ＩＹ ， Ｙ ）
尔 函数 （ 未必 是平 衡的 ）则 Ｆ ， ）＝ Ｆ（ ， ， ， ， （ ｙ Ｉ … ２
些研 究 ， 且发 现 利用 Ｂｎ 函数 的 满 足扩 散 准 则 并 ｅｔ
尔 函数 ．
怍
者． 邱显杰（９ｓ 男 硕 士研究生 １７一）
ｌ １ ＝
造 出更 多 更好 的 Ｂｎ 函数 以及 如 何 拓 宽 Ｂｎ 函数 ｅｔ ｅｔ 的应用 领域是 两 个 非 常有 意 义 的研 究 课 题 ． 文 对 本
２～， 中 ｃ∈ 其
…
＝ ｆ，ｆ（ｌ。， ， ）≠ （ ，， ０ ｌ， ，２… ００
，
０ ）
Ｂｎ 函数的构造和应用进行 了一些探讨 ． ｅｔ 首先 ， 以文 对任意布尔函数 ｆ （ ） ， ， 表示，的重量 ， 即，的真值 献 ［］ ８和文 献 ［ ］ ９ 的结论 为基础 ， 利用 布尔 置换 ， 构造 表中 ｌ 的个 数 ． 了一种 新 的 Ｂｎ 函数 ， ｅｔ 即定 理 ４ 另 外 ， ； 由于 具有 较 高的非线性 度的平衡布尔 函数在密码学 中有着非常 广泛的 应用 ， 本文 也 对 这类 布 尔 函数 的构 造 进行 了
Bent函数之和为Bent函数的等价判别及其相关系数
Bent函数之和为Bent函数的等价判别及其相关系数
周宇;罗彦锋
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(043)004
【摘要】分别从平衡函数和概率角度给出了k(k≥2)个Bent函数的和函数是Bent 函数的充要条件,并计算了这类函数对的相关系数.
【总页数】4页(P140-143)
【作者】周宇;罗彦锋
【作者单位】兰州大学,数学与统计学院,甘肃,兰州,730000;西安电子科技大学,综合业务网理论与关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;兰州大学,数学与统计学院,甘肃,兰州,730000
【正文语种】中文
【中图分类】TN918.1
【相关文献】
1.有限域上广义部分Bent函数与广义Bent函数的关系 [J], 元彦斌;金栋梁;赵亚群;张肃
2.Bent函数和广义Bent函数的递归构造 [J], 王隽;李世取
3.部分Bent函数的本质结构特征及等价刻划 [J], 刘海波;徐汉良;张莉;王新梅
4.bent函数和半bent函数的二阶非线性度下界 [J], 李雪莲;胡予濮;高军涛
5.广义部分Bent函数和广义Bent函数的关系 [J], 赵亚群; 李世取
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密码学中布尔函数论文
密码学中的布尔函数摘要：本文介绍布尔函数中的bent函数及其的密码性质。
关键词：布尔函数；bent函数；线性；密码；相关度中图分类号：g712 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2012）22-368-01布尔函数（单输出和多输出）在密码算法的设计与分析中占有极其重要的地位.人们对布尔函数的平衡性、对称性、高非线性、相关免疫性、扩散性等进行了深入研究，特别是对抵抗相关攻击的相关免疫函数类、抗线性分析的bent函数类进行了系统的研究，取得了丰富的成果。
本文介绍布尔函数中的bent函数。
抗线性分析是密码系统必须具备的安全性能，所以非线性性是布尔函数最重要的密码学性质之一。
由rothaus 提出的bent函数是一类重要的密码函数，具有最高非线性度，由于其在密码、编码理论、序列以及设计理论中的重要应用，引起了密码学界的极大关注，取得了一系列的研究成果。
给出了bent函数的定义如下：定义1 如果元布尔函数的所有谱值都等于，称为bent函数。
另外，bent函数还有一些等价定义：定理1 设是元布尔函数，那么下面说法是等价的。
为bent函数。
对每一个都有，其中：是的第行。
其中：为矩阵；为的序列：为的序列，；；为集合中元素的个数；；为的非线性度。
一直以来对bent函数的构造都是研究者所关心的问题。
构造方法可分为两种，一种是间接构造，即用已有的函数来构造新的bent 函数；另一种就是直接构造。
至今所知道的直接构造主要有两类：一种是m（）类，另一类是ps（）类。
下面再介绍两个定理：定理2 （）：令，则是元bent函数，其中是上的任意置换，而是上任意的布尔函数。
若将的子空间e的指示函数定义为，而ps类bent函数就是将由所有或个的“不交的”维子空间的指示函数的模2和所组成的函数的集合，其中，“不交的”意味着任意两个这样的子空间只交于0元素，且它们的维数都是p，所以任意两个这样的子空间的直和是。
在参考文献中给出了的一种划分，从而得到了一种构造这类函数的方法，并且给出了对应bent函数的代数范式。
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bent函数
bent 函数是一类基于内插的全局最优化算法，用于解决复杂的非线性问题。
该算法
的提出者是科学家M.J.D. Powell，因此也被称为Powell算法。
Bent函数通过利用多项式内插技术来解决非线性最优化问题。
它的优点在于快速收敛，而且具有较高的精度和可靠性，适用于大多数无约束和约束问题。
在介绍Bent函数之前，我们先来看一下最优化问题的基本概念。
最优化问题通常指的是在一定的约束条件下，寻找目标函数取得最大或最小值的问题。
给定一目标函数f(x)，其中x是需要优化的参数向量，可以表示为：
f(x) = f(x1,x2,...,xn)
其中，x1,x2,...,xn是需要优化的参数。
优化问题通常形式化为：
minimize f(x)
subject to g(x) ≤ 0
h(x) = 0
其中，g(x) ≤ 0和h(x) = 0是问题的约束条件。
如果没有约束条件，则称为无约束问题。
传统的优化算法通常采用迭代搜索的方法，即从一个初始点开始不断寻找目标函数的
最小值。
这类算法的性能通常取决于所选的搜索方向和步长。
缺点是容易陷入局部最优解，难以找到全局最优解。
Bent函数的核心思想是通过内插来优化搜索方向和步长。
具体地，Bent函数利用一个多项式序列P(x)来逼近目标函数f(x)，其中n次多项式P(x)形式定义如下：
其中，m为内插点数量。
当m=n+1时，多项式完全拟合了f(x)。
因此，利用多项式P(x)来求解最优化问题等价于求解一系列无约束问题，每个无约束问题的目标函数为：
其中，x为参数向量。
在Bent函数中，搜索方向和步长由P(x)的一阶和二阶导数提供。
具体地，搜索方向
由一阶导数给出，步长由二阶导数给出。
因此，Bent函数能够更快地收敛到全局最优解，并具有更高的精度和可靠性。
另外，Bent函数还可以通过不同的形式定义基函数来适应不同类型的优化问题。
例如，可以通过定义虚拟基函数来处理离散参数优化问题，定义支撑向量机来处理分类问题，定
义径向基函数来处理回归问题等。
总的来说，Bent函数是一种高效、精确和可靠的全局最优化算法，可用于求解各种类型的非线性问题。
它的核心思想基于内插，并通过多项式拟合来求解无约束问题，使得搜索方向和步长更容易优化。
虽然Bent函数的实现需要一定的数学技术，但它的优点在于通用性和可扩展性，能够在许多优化问题中得到广泛应用。