广义e—bent函数
基于布尔函数正规性的广义Bent函数构造
１ 概述
由Ｒ ｔａｓ 于 １７ 年提 出的 Ｂ ｎ 函数是一类重要的 ｏｈｕ Ｓ ９ ６ ０ ｅｔ 布尔 函数 【，它具 有最高 的 非线 性 度以及 稳定性 等优 点 。 Ｊ Ｊ
Ｃｈ ｅ ｔｎ ｏ ｐ ｃｒ ｌｃ ａａ ｔｒｓｉｓｏ ｅ ｅａｉｅ ｒ ａ ｎ ｕｎ ｔｏ ｒ ｔ ｉｄ．Ａｃｏ ｄｎｇ ｔ ｈｅ ｉｄｒｃ ｏ ｓｒ ｃｉｎ ｍ ｅ ｏ ｒ ｓｅ ｓ ｎ ｓ ｅ ｔａ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｆｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｎｏｍ ｌＢｅ ｔｆ ｃｉｎｓａｅ ｓｕｄｅ ｃ ｚ ｃ ｒ ｉ ｏ ｔ ｎ ｉｅ ｔｃ ｎ ｔｕ ｔｏ ｔ ｄ，ｔ ｅ ｈ ｗｏ ｎ ｗ
文献 码：Ａ 标识
中 圈分类号ｔ Ｎ １・ ９８ Ｔ １
基于布 尔函数正规性 的广 义 Ｂ ｎ 函数构 造 ｅｔ
许广魁 ，李远华 ，马风雨
（． １ 淮南师范学 院数学与计算科学系 ，安徽 淮南 ２ ２ ０ ；２ 中 国人民解放军理工大学理学院 ，南京 ２ １Ｏ ） ３０ １ ． ｌｌ １ 捕 耍 ：基于广义 Ｂ ｎ 函数 的正规性 ，结合子 空间上 的特征 函数 ，分析广义正规 Ｂ ｎ 函数的 Ｃ ｒ ｔ ｓｎ ｅｔ ｅｔ ｈｅ ｅ ｏ 谱特征 。利 用间接构造 Ｂ ｎ 函 ｓｎ ｅｔ
Ｃｏ ｓｒ ｃ ｉ ｎ ｏ ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｎ ｎ ｔ０ ｎ ｔ ｕ ｔｏ ｆ Ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ Ｂｅ ｔ ｚ Ｆｕ ｃ ｌ ｎ ‘
Ｂａ ｅ ｎＢｏ ｌ ａ ｓ ｄ ０ ｏ ｅ ｎ Ｆｕｎｃ ｉ ｎ Ｎ ｏｒ ａ ｉｙ ｔｏ ｍ ｌｔ
Ｘ Ｕ ｕａｎｇ ｋｕｉ， Ｇ － ＬＩＹｕａｎ－ ｈｕａ ，Ｍ Ａ ｎｇ ｌ Ｆｅ －ｉ
第３ ８卷 第 １ 期 １
Ｖ＿ ．８ ｏ ３ １
・
关于Bent函数的构造的一些研究
ＡＭＳＳ ｂｅｔ ｌ ｓ ｅｌ ｌ ０ Ｉ ０ － ｕｊｃ Ｃａ ｉ ａ ｍ ３） ｓｆ ｉ ｉ ５
Ｂｎ 函数是 由 Ｒ ｔ ｕ 于 １７ ｅｔ ｏ ａｓ ９６年提 出 的一 类特 殊 的布 尔 函数 … ．９２年 ，ｌ ｎＳｈｌ ｈ １８ Ｏｓ ，ｃｏｔ Ｗｅ ｈ利 ｅ ｚ和 ｌ ｃ
用 Ｂｎ 函数构造出一类循环相关特性很好 的二进制 序列 （ ｅｔ ． 称为 Ｂｎ序列）从此 ， ｎ 函数 的研究受到 ｅｔ ， ｅ Ｂ ｔ 人们 的广 泛重 视 ， 已取 得 了许多 较深入 的研 究成 ． ｎ 函数具 有 许多 优点 ： Ｂｎ 函数 具 有最 高 ｅ Ｂ ｔ 如 ｅ ｔ
的非线 性 度 ， ｎ 函数用 于 非线性组 合器 可 以很 好 的抗 击 相关 攻 击和 最 佳线性 逼 近 攻击 ， 外 ， 当选 ｅ Ｂ ｔ 另 适
取 Ｂｎ 函数作为线性组合函数 ， ｅ ｔ 还可 以使非线性组合 器输 出序列有较好的线性复杂度 ． 由于 Ｂｎ 函数 ｅ ｔ 在展频通信， 编码理论 ． 密码学等领域中的应用越来越广泛， 关于 Ｂｎ 函数的研究不断增加， ｅｔ 其中 Ｂｎ ｅ ｔ
关 于 Ｂ ｎ 函数 的构 造 的一些研 究 ’ ｅｔ
邱 显 杰
（ 湘潭大学信 息工程学 院计算 机科 学系 ， 湖南 湘潭 ４ １ ５ １１ ） ０
［ 摘要 ］ 利用频谱方法给出了两个由 ｎ ＢＩ函数构造 ｍ（ ＞ ） Ｂｎ函数的充要条件 ， 出了一些 ＢＩ 函数不 元 ｅｔ ｌ ｍ 元 ｅ ｔ 井指 ｅｔ ｌ
。 。
∈ ～
∑． ｔ ］ ＝
－
｛［
从 而
＜） Ｉ Ｆ（） Ｆ（ ） Ｉ－， ） ＋ －． ＋ １ ２ ＋ｗ － Ｆ（ ］ ．
两类多输出逻辑函数的关系
本文在广义bent函数及广义部分bent函的基础上提出了多输出广义部分bent函数的定义并论证了其的存在得到了多输出广义部分bent函数的等价判别条件给出了多输出p值广义部分bent函数与多输出p值广义bent函数的关系并讨论了这两者的广义一阶chrest供了一种方法
ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｅ ｔ ｆｎ ｔｏ ． ｍｐ ｔｒ Ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａ ｏ ， ０ ８， ４ １ ：４ ６ ｅ ｅ ａｉ ｄ Ｂ ｎ ｕ ｃｉｎ Ｃｏ ｕｅ ｎ ｉｅ ｒｎ ｎ ｐｉ ｔ ｎ ２ ０ ４ （ ３） ５ －５ ． ｚ ｓ ｃｉ ｓ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｄ ｆ ｉ ｏ ｎ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｆ ｍｕ ｔ ｏ ｔｕ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｐ ｒ ａｌ Ｂ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｉｃ ｓ ｅ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒｔｒ ｎ ｆ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｅｉ ｔ ｎ ａ ｄ ｘ ｓｅ ｃ ｏ ｌ — ｕ ｐ ｔ ｅ ｅ ａｉ ｄ ａ ｔ ｌ ｎｉ ｉ ｚ ｉ ｙ ｅ ｔ ｕ ｃ ｉ ｓ ｒ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ，ｈ ｎ ｈ ｃ ｅ ｏ ｏ ｏ ｉ ｉ ｍｕ ｔ － ｕ ｐ ｔ ｅ ｅａ ｉｅ ｐ ｒｉｌ Ｂ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ａ ｄ ｈ ｒ ｌ ｔ ｎ ｈｐ ｅｗｅ ｎ ｌ ｏ ｔ ｕ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ａ ａｌ ｉ ｚ ｔ ｙ ｅ ｔ ｕ ｃ ｉ ｓ ｓ ｒｓ ｎ ｅ ， ｎ ｔ ｅ ｅ ａｉ ｓ ｉ ｂ ｔ ｅ ｍｕ ｔ— ｕ ｐ ｔ Ｐ— ａｕ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｏ ｏ ｌ ｏ ｔｕ ｉ ｖ ｌ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｚ ｐ ｒｉｌ Ｂ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｄ ａ ａｌ ｔ ｙ ｅ ｔ ｕ ｃｉ ｓ ｎ ｍｕ ｔ － ｕ ｐ ｔ ｏ ｌ ｏ ｔｕ Ｐ－ｖ ｌｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ Ｂ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｉ ｂ ａ ｎ ｄ， ｉ ｈ ｉ ｃｕ ｅ ｔ ｅ ｅ ｅａ ｉｅ ｉ ａｕ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｚ ｅ ｔ ｕ ｃｉ ｓ ｓ ｏ ｏ ｔｉ ｅ ｗｈ ｃ ｎ ｌ ｄ ｓ ｈ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｚ Ｃ ｒ ｓｅ ｓ ｎ ｐ ｃｒ ｍ ｘ ｒｓ ｉ ｎ ａ ｄ ｆ ｎ ｔ ｎ ｘ ｒ ｓ ｉｎ， ａ ｗ ｉ ａ ｍｅｈ ｄ ｏ ｏ ｓｒ ｃｉ ｇ ｍｕ ｔ— ｕ ｐ ｔＰ— ａｕ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｈ ｅ ｔ ｎ ｏ ｓ ｅ ｔ ｕ ｅ ｐ ｅ ｓ ｎ ｕ ｃ ｉ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｍｅ ｎ ｈ ｌ ｔ ｏ ｆ ｃ ｎ ｔ ｔ ｌ ｏ ｔ ｕ ｖ ｌ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｏ ｏ ｅ ｕ ｎ ｉ ｚ
广义e—bent函数
广义e—bent函数
詹榜华
【期刊名称】《通信学报》
【年(卷),期】1996(017)006
【摘要】本文针对广义ｅ－ｂｅｎｔ函数进行了讨论，证明了此类函数仅包括ｂ
ｅｎｔ函数，常数函数和形如ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝α０＋（ｘ１＋α１）（ｘ２＋α２）…的函数，其中αｉ∈｛０，１｝，ｉ＝０，１，…，ｎ。
【总页数】4页(P125-128)
【作者】詹榜华
【作者单位】北京邮电大学信息工程系
【正文语种】中文
【中图分类】TN918.2
【相关文献】
1.广义bent函数的性质与构造 [J], 梅瑞
2.一类新的二次广义Bent函数 [J], 龚心;高光普;刘文芬
3.有限域上广义部分Bent函数与广义Bent函数的关系 [J], 元彦斌;金栋梁;赵亚群;张肃
4.Bent函数和广义Bent函数的递归构造 [J], 王隽;李世取
5.一种广义Bent函数非存在性证明 [J], 张风雨;张习勇;王春铭;李玉娟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
向量输出部分Bent函数的性质
’ Ｆ（ ）一 （ ｌ ） … ，ｌ ） ． ｆ（ ， （ ） ｍ
其 中分量 函数 （ ， ≤ ｉ ）１ ≤ ， 是 上 的布 尔 函数 ． ｌ 表示 集 合 Ｅ 中的元 素个数 ． 用 Ｅｌ Ｆ是 一个 （ ） ， 一
维普资讯
・
２・
南 开 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
ｄ ｇ Ｆ）一 ｍｉ ｅ ｖ ・ ． ｅ（ ｎｄ ｇ（ Ｆ）
∈ 。
第 ４ 卷 Ｏ
Ｆ（ ）的符号 函数定义 为 （ ）一 （ １ ， 一 ）
＾
， Ｆ（ 取 值为 ０ １ 而 Ｘ（ ） 值为 一 １ １ ・ ） 或 ， ＦＸ， 取 或 ．
摘 要 ： 据 向量 输 出部 分 Ｂ ｎ 根 ｅ ｔ函数 的定 义 给 出 了 向量 输 出 部 分 Ｂ ｎ ｅ ｔ函数 的 Ｗａｓ 和 自相 关 函数 的 等 价 ｌｈ谱
条件．
关 键 词 ：布 尔 函数 ；部分 Ｂ ｎ 函数 ； ｅ ｔ函数 ；自相 关 函 数 ｅ ｔ Ｂｎ
中 图分 类 号 ： ＴＮ９ ８ １ １． 文献标识码 ： Ａ
１ 基 本 知识
令 Ｆ。 表示 只包 括元 素 ０和 １的二 元域 ， Ｆ 表 示 Ｆ。 的 维 向量 空 间． 用 ； 上 假设 和 的两个 正整 数 ， ≤ ， 把从 到 Ｆ 的映射 Ｆ（ 称 为 个 输入 ， 个输 出 的向量 布尔 函数 ， ） 记为 （ ） ， 一函数 ． 任何一 个
Ｖｏ． ０ Ｎ ６ １４ Ｏ ＿
Ｄｅ ．２ ７ ｃ ００
文 章编 号 ： ４ ５７ ４ （０ ７ ０ —０ １０ ０ ６ —９ ２ ２ ０ ） ６０ ０ —５
向量 输 出部 分 Ｂ ｎ ｅ ｔ函数 的性 质
用特征矩阵的方法构造bent函数
用特征矩阵的方法构造bent函数Bent函数是一类在密码学和编码理论中广泛应用的布尔函数，其具有最大的非线性度和最小的自相关度。
在构造Bent函数的过程中，特征矩阵是一种常用的方法。
特征矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是Bent函数的阶数。
特征矩阵的每个元素都是一个复数，其值为Bent函数在对应输入上的值。
特征矩阵的构造方法如下：1. 将Bent函数的输入按照二进制表示，得到n个二进制位。
2. 构造一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素为(-1)^(i·j)。
3. 将Bent函数在所有输入上的值按照二进制表示，得到一个长度为n的01序列。
4. 将上述01序列转化为一个长度为n的复数序列，其中0对应1，1对应-1。
5. 将上述复数序列与特征矩阵相乘，得到一个长度为n的复数序列。
6. 将上述复数序列转化为一个长度为n的01序列，其中正实数对应0，负实数对应1。
7. 将上述01序列转化为Bent函数在所有输入上的值。
通过特征矩阵的方法，可以构造出许多Bent函数。
例如，对于阶数为8的Bent函数，其特征矩阵为：1 1 1 1 1 1 1 11 i -1 -i 1 -i -1 i1 -1 -1 1 1 -1 -1 11 -i 1 i 1 i -1 -i1 1 1 1 -1 -1 -1 -11 -i -1 i -1 i 1 -i1 -1 1 -1 -1 1 -1 11 i 1 -i -1 -i 1 i其中i为虚数单位。
通过特征矩阵的方法，可以构造出许多其他阶数的Bent函数。
特征矩阵是一种常用的构造Bent函数的方法，其优点是简单易行，且可以构造出许多不同阶数的Bent函数。
在密码学和编码理论中，Bent函数具有重要的应用价值，因此特征矩阵的方法对于实际应用具有重要的意义。
关于Bent函数的一些研究
第 １ ４卷第 １ 期 ２０ 年 ３月 ０２
常 德 师 范 学 院 学 报 ｆ自 然 科 学 版 ）
Ｖ ． ４ Ｎｏ． １ １
Ｍａ． ｒ抛
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｏ ｒａ ｏ ０埘
Ｔ ａｈ￣ ｕ 姆（ ｅｅｅ ｄ 曲ｒＩ ｃ ｎ Ｅ 嘏岫） ａ ｉ ￣ ｄ Ｓｃ
…
，
元布尔 函数的集合 ， （ ＝Ｌ ，２…， ） ￡ ） （ ｌ ， 是 人们的 广 泛 重 视 ， 已取 得 了许 多 较 深 人 的 研 究 成 体 ｎ 邑 ０１ ． 果 ． ０Ｊｅｔ ＿ Ｂｎ 函数具有许多优点 ： Ｂ ｎ 函数具有最 全体 ｎ元线性布尔函数的集合， ：｛，｝ １ 如 ｅｔ
一
２ 主要成果
定理 ３ 设 ， ｆ ）：， ，２…， ） ｎ ｆ ， 是 元平衡布尔 １ 函数 ， （ ）＝ｇ Ｙ ，２… ，ｍ 是任意一个 ｍ元布 ｇＹ （ ＩＹ ， Ｙ ）
尔 函数 （ 未必 是平 衡的 ）则 Ｆ ， ）＝ Ｆ（ ， ， ， ， （ ｙ Ｉ … ２
些研 究 ， 且发 现 利用 Ｂｎ 函数 的 满 足扩 散 准 则 并 ｅｔ
尔 函数 ．
怍
者． 邱显杰（９ｓ 男 硕 士研究生 １７一）
ｌ １ ＝
造 出更 多 更好 的 Ｂｎ 函数 以及 如 何 拓 宽 Ｂｎ 函数 ｅｔ ｅｔ 的应用 领域是 两 个 非 常有 意 义 的研 究 课 题 ． 文 对 本
２～， 中 ｃ∈ 其
…
＝ ｆ，ｆ（ｌ。， ， ）≠ （ ，， ０ ｌ， ，２… ００
，
０ ）
Ｂｎ 函数的构造和应用进行 了一些探讨 ． ｅｔ 首先 ， 以文 对任意布尔函数 ｆ （ ） ， ， 表示，的重量 ， 即，的真值 献 ［］ ８和文 献 ［ ］ ９ 的结论 为基础 ， 利用 布尔 置换 ， 构造 表中 ｌ 的个 数 ． 了一种 新 的 Ｂｎ 函数 ， ｅｔ 即定 理 ４ 另 外 ， ； 由于 具有 较 高的非线性 度的平衡布尔 函数在密码学 中有着非常 广泛的 应用 ， 本文 也 对 这类 布 尔 函数 的构 造 进行 了
bent函数
bent函数bent 函数是一类基于内插的全局最优化算法，用于解决复杂的非线性问题。
该算法的提出者是科学家M.J.D. Powell，因此也被称为Powell算法。
Bent函数通过利用多项式内插技术来解决非线性最优化问题。
它的优点在于快速收敛，而且具有较高的精度和可靠性，适用于大多数无约束和约束问题。
在介绍Bent函数之前，我们先来看一下最优化问题的基本概念。
最优化问题通常指的是在一定的约束条件下，寻找目标函数取得最大或最小值的问题。
给定一目标函数f(x)，其中x是需要优化的参数向量，可以表示为：f(x) = f(x1,x2,...,xn)其中，x1,x2,...,xn是需要优化的参数。
优化问题通常形式化为：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x) ≤ 0和h(x) = 0是问题的约束条件。
如果没有约束条件，则称为无约束问题。
传统的优化算法通常采用迭代搜索的方法，即从一个初始点开始不断寻找目标函数的最小值。
这类算法的性能通常取决于所选的搜索方向和步长。
缺点是容易陷入局部最优解，难以找到全局最优解。
Bent函数的核心思想是通过内插来优化搜索方向和步长。
具体地，Bent函数利用一个多项式序列P(x)来逼近目标函数f(x)，其中n次多项式P(x)形式定义如下：其中，m为内插点数量。
当m=n+1时，多项式完全拟合了f(x)。
因此，利用多项式P(x)来求解最优化问题等价于求解一系列无约束问题，每个无约束问题的目标函数为：其中，x为参数向量。
在Bent函数中，搜索方向和步长由P(x)的一阶和二阶导数提供。
具体地，搜索方向由一阶导数给出，步长由二阶导数给出。
因此，Bent函数能够更快地收敛到全局最优解，并具有更高的精度和可靠性。
另外，Bent函数还可以通过不同的形式定义基函数来适应不同类型的优化问题。
例如，可以通过定义虚拟基函数来处理离散参数优化问题，定义支撑向量机来处理分类问题，定义径向基函数来处理回归问题等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广义e—bent函数
广义曲线，也称弯曲曲线，是以某种函数定义的曲线，比较常见的有椭圆、双曲线等，而广义e—bent函数是在这类曲线的几何表示中，非常重要的一种。
首先，它是由实数坐标空间中的正切函数形成的曲线，定义域是实数轴，值域也是实数轴。
除此之外，它也可以表示矢量空间中的角度，其值域被定义为(0,2π]。
其次，广义e—bent函数涉及到多个非常重要的物理量与数学量，比如电阻、
感应电动势以及圆周率等，可以用来表示曲线在区间内的定义方程。
此外，广义e—bent函数可以用于大规模的物理、力学模拟等的计算，因为它
能够非常有效地捕捉曲线的变化与极值，比如电势能量更新和冗余运动等。
有助于精确地模拟物体的运动轨迹，改善控制模型的精度与准确度。
最后，广义e—bent函数也可以用于优化算法，它可以用于矢量空间中的非线
性优化，用来有效地求解最小值问题。
因此，广义e—bent函数在数学、力学、控
制系统等科学领域中扮演着重要的角色，被广泛应用于多个领域，对科学的发展及应用有着重要影响。