三元一次方程及其解法
三元一次方程组的解法公式
三元一次方程组的解法公式
三元一次方程组是数学中比较重要的一类方程组，在很多领域，如科学、工程、经济学等都有着重要的应用。
它是由三个未知数和三个等号组成的等式组，用来求解三个未知数的值。
三元一次方程组的解法公式是：
若a、b、c均不为0，则方程组的解为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，y=\frac{a\cdot x+c}{b}$$
若a=0，则方程组的解为：
$$x=\frac{c}{b},y=\frac{c}{a}$$
若b=0，则方程组的解为：
$$x=\frac{-c}{a}, y=\frac{a\cdot x+c}{b}$$
若c=0，则方程组的解为：
$$x=0,y=\frac{-b}{a}$$
若a=b=0，则方程组的解为：
$$x=y=\frac{-c}{a}$$
若a=b=c=0，则方程组无解。
三元一次方程组的解法公式很容易理解，但实际的求解过程中，还是可能出现一些麻烦。
比如，当a=b=c＝0时，方程组就没有解，就不能使用上面的公式进行求解。
此外，有时候，三元一次方程组的解法公式求出来的解可能不太容易理解，比如当a、b、c都不为0时，求出来的解可能会比较复杂，需要大量的计算，而且解的形式也可能是不确定的。
因此，在求解三元一次方程组的时候，除了要正确使用上面的解法公式，还要注意检查方程组的系数是否满足要求，以及求出来的解是否符合预期，这样才能得到正确的结果。
三元一次方程组及解法
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义:含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．B．C．D．【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组【思路点拨】特点：①，③是比例形式，策略：引入参数k．【答案与解析】解法一：由①，设，则x＝3k+1，y＝4k+2，代入②，③得，解之，得．从而x＝7，y＝10．故原方程组的解为，解法二：由③得，则y＝5k，z＝3k．代入①、②得：，解得，故原方程组的解为．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元3. 已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值【答案与解析】解法一：②-①，得z-x＝2a④③+④，得2z＝6a，z＝3a把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．∴．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．即x+y+z=6a④④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．∴，把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组及其解法三元一次方程组是由三个一次方程组成的方程组，每个方程都是关于三个未知数的线性方程。
解决三元一次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法、克莱姆法等。
本文将以消元法为例，介绍如何解决三元一次方程组。
消元法是一种代数方法，通过对方程进行逐步变换，将三元一次方程组转化为只有一个未知数的方程，从而求得其解。
下面以一个具体的三元一次方程组为例进行解答。
假设我们有以下三元一次方程组：```2x + 3y - z = 7x - 2y + 3z = 123x + 2y + z = 10```我们可以通过消元法将方程组转化为简化形式。
我们可以选择任意两个方程，并通过消元的方式将它们的某一未知数消去。
在这个例子中，我们可以选择第一和第二个方程。
我们通过第一行乘以2，第二行乘以3，然后将它们相加，将x消去：```4x + 6y - 2z = 143x - 6y + 9z = 36```将上述两个方程相加，我们得到：```7x + 7z = 50```接下来，我们再选择另外两个方程进行消元。
我们可以选择第一行乘以3，第三行乘以2，然后将它们相加，将x消去：```6x + 9y - 3z = 216x + 4y + 2z = 20```将上述两个方程相减，我们得到：```5y - 5z = 1```现在我们得到了两个只包含y和z的方程，接下来我们可以通过解这两个方程得到y和z的值。
这里我们可以选择将第二个方程乘以5，然后与第一个方程相减，将z消去：```5y - 5z = 125y - 25z = 25```将上述两个方程相减，我们得到：```-20y = -24```解得y = 1.2。
将y = 1.2代入其中一个方程，我们可以求得z的值：```5(1.2) - 5z = 16 - 5z = 1-5z = -5```解得z = 1。
将y = 1.2和z = 1代入其中一个方程，我们可以求得x的值：```2x + 3(1.2) - 1 = 72x + 3.6 - 1 = 72x = 7 - 3.6 + 12x = 4.4```解得x = 2.2。
高考数学中的解三元一次方程方法整理
高考数学中的解三元一次方程方法整理解三元一次方程是高考数学中的一道难题，对许多同学来说都是比较困难的。
不过，在备考高考的过程中，掌握了解三元一次方程的方法，可以大大提高数学成绩。
下面将整理一些解三元一次方程的方法给大家参考。
1. 利用矩阵求解首先，我们可以利用矩阵来求解三元一次方程，该方法优点是简便快速，不需要长时间的计算过程。
矩阵法的具体步骤如下：（1）将三元一次方程化为矩阵形式$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix}$$（2）对系数矩阵进行初等变换，将其化为上三角矩阵$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22}^{(1)} & a_{23}^{(1)} \\ 0 & 0 & a_{33}^{(2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1^{(1)} \\b_2^{(2)} \\b_3^{(3)}\end{bmatrix}$$（3）通过回带求出未知数的值这个方法需要熟练掌握基本的矩阵初等变换及其性质，以及对行列式的理解和计算。
2. 消元法求解其次，我们可以利用消元法来求解三元一次方程，消元法在高考数学中是必不可少的一种方法，因为它是解决一次方程的标准方法。
消元法的具体步骤如下：（1）先将三元一次方程转化为方程组的形式：$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\end{cases}$$（2）利用第一和第二个方程消去 $x_1$，得到一个二元一次方程：$$a_{22}^{(1)}x_2 + a_{23}^{(1)}x_3 = b_2^{(1)}$$（3）利用第二步中得到的二元一次方程，再次消去 $x_2$，得到一个一元一次方程：$$a_{33}^{(2)}x_3 = b_3^{(2)}$$（4）此时，我们可以代入值求解未知数的值，最后回带检验求得的答案是否正确。
解三元一次方程
解三元一次方程三元一次方程，又称为三元线性方程，是指由三个未知数及三个一次项的一元一次方程组组成的方程组，其可以用于解决三重参数的实际问题，是一种经典的数学方程，被广泛地应用在数学、物理、化学等诸多领域。
下面就介绍三元一次方程的解法。
一、矩阵方法：使用矩阵方法进行求解时，首先将三元一次方程写成矩阵形式，然后采用行列式求解，即可得到未知量的值，从而求解三元一次方程。
二、消元法：消元法，即高斯消元法。
其基本思想简单易懂，但限制也较大，必须保证当前的非首元的系数用其首元乘以系数倍后，可以消去当前未知数的项。
三、分部求解法：采用分部求解法时，首先将原方程组按未知数拆分为多个一元方程组，然后分别解出每个一元方程，把解带回原来的方程组，联立求解，即可得到未知数的值，最后可以求出三元一次方程的解。
四、特例法：如果三元一次方程的系数存在一些特殊构型，比如某两个变量的系数相等、另一个变量的系数为零等，就可以采用特例法进行求解。
五、代数位移法：代数位移法是一种巧妙的求解三元一次方程的方法。
它的基本思想是利用一定的代数变换使方程的系数变成某种特殊结构，从而有利于简化求解工作，从而得出方程的解。
总结：1. 矩阵方法：将三元一次方程写成矩阵形式，然后采用行列式求解，即可得到未知量的值。
2. 消元法：假定当前的非首元的系数可以用其首元乘以系数倍后，可以消去当前未知数的项。
3. 分部求解法：将原方程组按未知数拆分为多个一元方程组，然后分别解出每个一元方程，把解带回原来的方程组，联立求解，即可得到未知数的值。
4. 特例法：如果三元一次方程的系数存在一些特殊构型，可以采用特例法进行求解。
5. 代数位移法：利用一定的代数变换使方程的系数变成某种特殊结构，从而有利于简化求解工作，从而得出方程的解。
通过以上介绍的五种解法，大家可以选择一种最合适的解法，进行三元一次方程的求解。
此外，完全可以使用多种解法结合，从而求出三元一次方程的解。
只要我们能灵活运用数学知识，就可以解决三元一次方程，灵活掌握各种解法，数学天赋就不会是一种障碍。
第十一讲 三元一次方程及其解法
分析：
(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列 岀关于这些未知数的几个方程？请试一试。
(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？ 请试一试.
问题2
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元 纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 分析： 这个问题中包含有 三 个相等关系：
①×2-② ,③-②,得
z 2 y 2 z 5 z 2 x 4 z 13
4.若要先消去y,用加减法怎样消元？
①×2-② , ①×3-③,得
x y z 6 方案(2) 由②+③,得 4 x 5 y 15 方案(3) 由①+②-③,得x+3z=11
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组 的基本思路一样，即 三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
Hale Waihona Puke 一元一次方程例1 解三元一次方程组
你还有其它解 法吗？试一试， ③ 并与这种解法 解：将③分别代入① ② ，消去x 进行比较. 得 3Y2Z=1 y-z=-2 y=5 解这个二元一次方程组，得 ｛z=7 分析：方程①+② y=5 将 ｛ z=7 代入 ③，得 X=-2 消去z,再由②-③消 X=-2 去z，组成一个二 所以原方程组的解是 Y=5 元一次方程组 Z=7
第十一讲 三元一次方程及其解法
解二元一次方程组有哪几种方法 ？它们的实质是什么？
消元
二元一次方程组
代入
加减
一元一次方程
3.已知x的3倍与y的4倍的和等于19，怎样用等式 表示这样的数量关系？
问题1
一副扑克牌共54张，老师将一副扑克分给甲、乙、丙 三名小朋友，甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到 的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张，问老师 分给甲、乙、丙各几张牌？
3.6 三元一次方程组及其解法(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
x＝1， 故这个三元一次方程组的解为y＝2，
z＝3.
x∶ y=1∶ 2， ①
(3) ൞y∶ z=2∶ 3， ② 解x：+由y+①z=和36②；，③得 x∶y∶z＝1∶2∶3， 所以设 x＝k，y＝2k，z＝3k(k≠0)． 将 x＝k，y＝2k，z＝3k 代入③， 得 k＋2k＋3k＝36，解得 k＝6. 所以 x＝6，y＝12，z＝18.
3y=6
xy－z=－3
x－z=1
y－x=－1，
ቐ x+z=3， 2y－z=0
感悟新知
知识点 2 解三元一次方程组
知2－讲
1. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加
减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一
次方程 .
2. 求解方法 加减消元法和代入消元法 .
是三元一次方程，三元一次方程组中的方程，可 以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一 次方程，只需方程组中共有三个未知数即可.
2. 三元一次方程组
知1－讲
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫
作三元一次方程组 .
必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3)
有三个方程；(4)都是一次方程 .
B.
1 x
，1y，1z不是整式，故
B
不是；
C. 方程组含有四个未知数，故 C 不是；
D. 符合三元一次方程组的定义 . 答案：D
知1－练
1-1.下列方程组中，不是三元一次方程组的是( B )
x+y=1，
x2－4=0，
x=2，
A. ቐ2y+z=－2，B. ቐ y+1=x， C. ቐ2y=－3， D.
三元一次方程组及其解法
解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转
化为解 一元一次方程 .
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
针对练习
1.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,
y=60. 求a,b,c的值.
－＋ = 0，
①
解:根据题意，得三元一次方程组൞4＋2＋ = 3， ②
代入消元法和加减消元法
消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
二元一次方程组
消元
一元一次方程
加减
化二元为一元
化归转化思想
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
知识精讲
知识点一 三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，
共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1
10
5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列
出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼
儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数
.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维
生素，得方程组
5 x 5 y 10 z 35,
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组及其解法
七年级数学·人教版
学习目标：
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消
元”思想.
3.会解较复杂的次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组.
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三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。
解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x yx解得 2.y ⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，∴3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，∴11,10.y z ⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。
解法1：由①得y=2x ，z=7x ，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x ，得y=2； 把x=1，代入z=7x ，得 z=7.∴1,2,7.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k ，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。
解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k ，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k ，得x=1； 把k=1，代入y=2k ，得y=2； 把k=1，代入z=7k ，得 z=7.∴1,2,7.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.典型例题举例：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧===++③②①4:5:2:3:111z y x y z y x分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =23y ； 由③得z=45y .从而利用代入法求解。
解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z 的形式呢？通过观察发现②、③中都有y 项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y 比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。
解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k ，并代入①，得k=3. 把k=3，代入x=10k ，得x=30； 把k=3，代入y=15k ，得y=45； 把k=3，代入z=12k ，得 z=36.∴30,45,36.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组34,6,2312.x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。
（二） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
解：⎪⎩⎪⎨⎧∆∨=-+∆=++∨=+-③②①1232643z y x z y x z y x（明确消z ，并在方程组中体现出来——画线）①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√) ②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得5216,3418.x y x y +=⎧⎨+=⎩④⑤解得2,3.x y =⎧⎨=⎩把x=2 ，y=3代人②，得 z=1.∴2,3,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组2439,32511,56713.x y z x y z x y z ⎧++=∨⎪⎪-+=∨∆⎨⎪-+=∆⎪⎩①②③分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。
以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。
解：②×2 得 6x －4y+10z=22， ④ 2x +4y+ 3z=9， ①①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x －6y+15z=33 ，⑥ 5x －6y+7z =13， ③ ⑥－③得 4x +8z =20 . x +2z=5 . ⑦由⑤、⑦得81331,2 5.x z x z +=⎧⎨+=⎩⑤⑦解得1,3.x z =-⎧⎨=⎩把x=-1 ，z=3代人① ，得 21=y . ∴1,1,23.x y z =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 是原方程组的解.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。
课堂练习1.解下列方程组（1）2000x x y y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩（2）6810x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩2．解下列方程组（1）63z x y x y z x y =+⎧⎪++=⎨⎪-=⎩ （2）17221343x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩3．有这样一个数学题：在等式2y ax bx c=++中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？（2）你能求出a,b,c的值吗？4.解方程组4422825x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩5.解方程组3248234855622x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩6.解方程组21231438x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩7. 解方程组345a bb ca c+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。
解: 设甲是x，乙是y，丙是z则x+y+z=35 (1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5 (2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2 (3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10EX:1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。
问甲乙丙每件各多少元？2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。
求三个年级各有多少人？AW: 1式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5答案：这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。
2：去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200训练集中营1。