解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.

一、当方程组中有一个方程缺省某未知数时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.

1、解方程组3472395978.x z x y z x y z +=??++=??-+=?

，， ①②③

分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②、③先消去y ，再求解.

解：②×3+③，得111035x z +=，④

解由①、④组成的方程组，得52x z =??=-?

， ⑤ 把⑤代入②，得13

y =，所以原方程组的解为5132

x y z =???=??=-??. 二、当方程组中有两个方程缺省不同的未知数时，可将其中一个与剩余方程消去另一个所缺少的未知数；或则可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.

1、解方程组27532234 4.y x x y z x z =-??++=??-=?

，， ①②③

分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z 、y 的项，而都含有未知数x 的项，从而可用含x 的代数式分别表示y 、z ，再代入②就可以直接消去y 、z 了. 解：由③，得314

z x =-， ④ 把①、④代入②，得2x =， ⑤

把⑤代入①，得3

y=-，⑥

把⑤代入③，得

z=，

所以原方程组的解是

=-?

2、

解答：

3 x

?=?

三、当方程组中三个方程都缺省不同的未知数时，可从中挑选两个消去相同的未知数

四、当方程组中某个未知数的系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数

1、解方程组

2439 32511 56713.

x y z

++=

-+=

?-+=

，

①

②

③

分析：方程组中含y的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y.

解：①+②×2，得81331x z +=，④

②×3-③，得4820x z +=， ⑤

解由④、⑤组成的方程组，得13x z =-??

=?，⑥ 把⑥代入①，得12

y =，所以原方程组的解是1312

x y z ??=-?=???=?.

2、??

???=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x ；

解答：??

???-=-==212z y x ；

3、323231112x y z x y z x y z -+=??+-=??++=?

4、

解答：x y z ===????

?468．

5、解方程组

分析：若考虑用加减法，三个方程中，z 的系数比较简单，可设法先消去z ，① + ③

可以消去z ，得到一个只含x ，y 的方程，进一步② + ③×2，也可以消去z 得到一个只含x ，y 的方程，这样，就得到了一个关于x 、y 的二元一次方程组，实现了消元．

解：①+③ ，得5x + 5y = 25 ④

②+③×2得5x + 7y = 31 ⑤ 解由④、⑤组成的二元一次方程组得

把x = 2，y = 3代入①得3×2 + 2×3 + z = 13，

解得z = 1

∴原方程组的解是??

???===132z y x

技巧提升：本题选用了加减法，也可以使用代入法，比如将方程②变形为=x z y 27--，分别代入方程①③就可以消去未知数x.可见消元仍是解三元（或多元）一次方程组的基本思想，代入法和加减法仍是三元（或多元）一次方程组基本方法．

(009)三元一次方程组解应用题专项练习20题(有答案) ok

三元一次方程组解应用题专项练习20题（有答案） 1、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在足球比赛得4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？ 2、有甲，乙，丙三种货物，购买5件甲，2件乙，4件丙，需要80元；购买3件甲，6件乙，4件丙，需要144元。问：购买甲乙丙各一件，共需多少元.？ 3、某校初中三个年级共有651人，初二的学生数比初三的学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%，求这三个年级各有多少人？ 4、某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋、3个鹅蛋共用去了3.20元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 5、汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？ 6、一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位的数字大2，个位十位百位上数字的和是14，求这个三位数 7、36块砖，36人搬，男搬4女搬3，两个小孩搬一块。问男人，女人，小孩各多少人？ 8、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 43804380朵．

9、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，l 千克 C 水果．A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为多少元？ 10、甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。求这三个数 11、用一百块钱买一百只鸡,公鸡5块一只.母鸡三块一只.小鸡一块三只.问公鸡.母鸡.小鸡各多少只? 12、有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元，1角、5角、1元各取多少枚？ 13、甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km ，平路每小时行4km ，下坡每小时行5km ，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4 分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少? 14、一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数． 15.某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的 4 1，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？

代入消元法解二元一次方程组——马仲良

8.2 消元——解二元一次方程组第1课时用代入消元法解方程组陇南市武都区角弓初级中学马仲良教学目标 1、知识与技能：会熟练用代入法解简单二元一次方程组，并初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”。 2、过程与方法：通过用代入法解简单的二元一次方程组，提高学生分析问题解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：在解方程组的过程中让学生初步体会化未知为已知，化复杂为简单的化归思想，培养学生自主学习，合作交流的意识与探究精神。教学重、难点与关键教学重点：用代入法解二元一次方程组的一般步骤。教学难点：体会代入消元法和化未知为已知的数学思想。教学关键: 把方程组的某个方程变形，而后代入另一个方程中去，消去一个未知数，转化为一元一次方程。学情分析：授课对象为农村的七年级学生，基础知识薄弱，特别是对一元一次方程内容掌握的不够透彻，再加上厌学现象严峻，团结协作的能力差，本节课设计了他们感兴趣的篮球赛事为题材来研究二元一次方程组，既能调动他们的学习兴趣，又能解决本节课所涉及到的问题，为以后的进一步学习二元一次方程组做好铺垫。教学内容分析：本节主要内容是在上节已认识二元一次方程（组）和二元一次方程（组）的解等概念的基础上，来学习解方程组的第一种方法——代入消元法，并初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。二元一次方程组的求解，不但用到了前面一元一次方程的解法，是对过去所学知识的一个回顾和提高，同时，也为以后的利用方程组来解决实际问题打下来基础。通过实际问题中的二元一次方程组的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会数学的价值和意义。教具准备： PPT多媒体课件、投影仪、教案教学方法：自主——合作——展示——应用四．教学过程设计一、温故知新 1、回顾与思考问题（一）：什么是二元一次方程？含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。问题（二）：什么是二元一次方程组？把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。问题（三）：什么是二元一次方程的解？使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 问题（四）：什么是二元一次方程组的解？

二元一次方程组的解法——加减消元法优秀教案

二元一次方程组的解法（二） ——加减消元法一、教学内容解析：本节课内容节选自沪科版七年级数学上册第3章第3节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。二、学生学情分析：我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。三、教学目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 3、培养学生自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯，通过交流学习获取成功体验，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心。四、教学重难点： 1.教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。 2.教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。五、教学过程：（一）复习旧知问题导入： 1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？ 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 3.解方程???-=--=+9 3552x 4y x y 是否有其他更简单的解法？揭示课题——二元一次方程组的解法（二）设计意图：提出问题，既复习前面所学内容，增加学生的学习兴趣，又为接下来的学习做铺垫，引出课题。（二）探究新知 1.热身练习请你计算:(2a+b)-(a-b) (3m+2n)-(4m+2n) (3a+2b)+(a-2b) (3m+2n)+(n-3m) 2.学生讨论（1）请观察等式左边和右边分别有几个字母？（2）把等式的左面构造成二元一次方程组，你会用其他方法求解吗？刚才的计算对你有什么启示？

三元一次方程组应用题

1、某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 2、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少 3、一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？ 4、小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？ 5、运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 6、1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？

1．为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费最低，并说明理由． 2．有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品（三种物品均需买到），总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件？价格为2元的物品最少买几件？ 3．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格． 4．某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台5000元、B 型每台4000元、C型每台3000元，某中学现有资金100000元，计划全部用从这家电脑公司购进30台两种型号的电脑，请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． 5．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长． 6．已知某体育公司有A型、B型、C型三种型号的健身器材，其中价格分别是A 型每台5000元、B型每台3000元、C型每台2000元．某单位计划将87000元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的健身器材36台．请你设计几种不同的购买方案供学校选择，并说明理由．

三元一次方程组及其解法

7.3 三元一次方程组及其解法【教学目标】知识与能力（1）了解三元一次方程组的概念. （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．过程与方法通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路. 情感、态度、价值观通过本节的教学，应该使学生体会通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想，认识到数学的价值。【教学重点】（1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．【教学难点】针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．【教学过程】一、回顾旧知，引入新课在7.2节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在我们的小世界杯足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。问题回顾暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分。那么这个队胜了几场？又平了几场呢？解：设勇士队胜了x场，平了y场，则胜每场得分

?? ?=+=++17 39 2y x y x 解得???==25y x 提出问题：在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则 0 ?? ? ??+==+=++z y x y x z y x 18310 引出定义：像这种含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程组。一般情况下，三元一次方程组有三个方程，但不一定每个方程都出现三个未知数。二、自主探究--------三元一次方程组的解法探究一：怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言) 解方程?? ? ??+==+=++③②① z y x y x z y x 18 310 解:把③分别带入①②得???=++=+++18)(310 y z y z y z y 整理得???=+=+⑤④18341022z y z y 由?????12⑤④得? ??=+=+⑦⑥ 18342044z y z y 由⑦⑥-得2=z 把2=z 代入④得1042=+y ，即 3=y

用加减消元法解方程组

8.2 消元——加减消元法解二元一次方程组（第1课时）一、学习目标 1. 进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元思想。 2. 能理解、运用加减消元法解简单的二元一次方程组。 3. 培养阅读课本的方法，提高自学能力。二、温故知新： 1．根据等式性质填空: <1>若a =b ，那么a ±c = . (等式性质1) <2>若a =b ，那么ac = . (等式性质2) <3>思考:若a =b ，c =d ,那么a ±c =b ±d 吗? 2．用代入法解方程的关键是什么？ 3．之前我们用什么方法解过下面这个方程组？ ???=+=+40 222y x y x 具体步骤是：由①得 =y . ③，把③代入①得 .从而达到消元的目的。（即把二元一次方程变成我们较熟悉的一元一次方程）三、学习内容：（一）提出问题，阅读课本，得出加减法的定义。 1．解这个方程组???=+=+40 222y x y x 除了用代入法，还有别的方法吗？ 2. 请大家认真阅读课本99面第二个思考前的内容。回答第一个思考中的问题。 3．探讨：课本上的这半句话：“②－①可消去y ，得 x =18”中隐含了那些步骤？ 4. 思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组???=-=+. 81015,6.3104y x y x 5．总结得出加减法的定义。

初一（）班号姓名 2．填空题。（1）已知方程组???=-=+6 32173y x y x 两个方程只要两边就可以消去未知数。（2）已知方程组???=+=-10 62516725y x y x 两个方程只要两边就可以消去未知数。 3．选择题。（1）用加减法解方程组???=--=+1756 76y x y x 应用（） A.①-②消去y. B.①-②消去x. C. ②-①消去常数项. D. 以上都不对. （2）方程组???=-=+5231323y x y x 消去y 后所得的方程是 A.6x =8. B.6x =18. C.6x =5. D.x =18. （三）例题分析。例3．用加减法解方程组 ???=-=+336516 43y x y x 解：（四）练习。 1．用加减法解下列方程组。 ???=+=+5238 52)1(y x y x ???-=-=+2 236 32)2(y x y x 四、小结。五、布置作业。 P 103 习题8.2第3大题。

三元一次方程与应用及答案

三元一次方程提高一．填空题（共1小题） 1．已知，，．则a=_________，b=_________c=_________．二．解答题（共8小题） 2．解方程组： 3．解方程组：． 4．已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），求的值． 5．解方程组． 6．（2012?包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？

7．（2011?贵阳）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要_________分钟，生产1件B产品需要_________分钟．（2）求小李每月的工资收入范围． 8．（2010?宜宾）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 9．（2010?娄底）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟内可以通过840名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教室里最大有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．

《加减消元法解二元一次方程组》教学设计学习资料

§7.2二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计福建省晋江市第一中学许清海一、教学内容解析：本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。本节内容的教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。二、教学目标设置：通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下：（一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。（二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。（三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 3、通过知识的学习形成辩证唯物主义观以解决问题。三、学生学情分析：

三元一次方程组的解法及技巧解析

三元一次方程组的解法及技巧解析初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。优立方数学为大家提供了三元一次方程组的解法知识点，希望对大家有所帮助。 1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如，等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一

个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. (2)怎样解三元一次方程组? 解三元一次方程组例题解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解. 解：由(2)，得x=y+1.(4) 将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得把y=9代入(4)，得x=10. 因此，方程组的解是法二：加减法解：(3)-(1)，得x-2y=-8(4) 由(2)，(4)组成方程组

解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7. 因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由(1)+(2)-(3)，得y=9. 把y=9代入(2)，得x=10. 把x=10，y=9代入(1)，得z=7. 因此，方程组的解是注意： (1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. (2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确

《用代入消元法解二元一次方程组》教案

课题：8.2二元一次方程组的解法（1）【教学目标】 1.会运用代入消元法解二元一次方程组． 2.初步体会解二元一次方程组的基本思想—“消元” 3.体会把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想. 【教学重点】代入法的步骤，会用代入法解二元一次方程组【教学难点】对代入消元法解方程组过程的理解，及方程组未知数系都不为１（或－1）时，如何用一个未知数表示另一个未知数。【回顾与思考】问题1：什么是二元一次方程？问题2：什么是二元一次方程组？问题3：什么是二元一次方程的解？问题4：什么是二元一次方程组的解？问题5：什么叫做解方程？【新课】探究试练：｛x=5

大家能不能求出y 的值？你是如何求出y 的值的？大家能不能求出x 、y 的值？你是如何求出x 、y 的值的？运用上述方法，能不能求出下面这个方程组的解：设计意图：采用逐层递进的方法引导学生找出代入的方法。归纳：大家是如何求出这些方程组的解的? （1）将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数（变形）；（2）用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值（代入求解）；（3）把这个未知数的值再代入一次式求得另一个未知数的值（再代入求解）；（4）写出方程组的解（写解）。由此可以看出，解方程组的方法是要减少未知数的个数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想叫做消元思想。这种把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。｛ x=10－y 3y+10x=8 ｛ y=2x 3y+10x=8 ｛ 3x ＋4y =3 5x －y=2

三元一次方程组的解法及运用

三元一次方程组的解法及运用三元一次方程组的解法基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 2x 6y 3z 6① 例解方程组3x 15y 7z 6② 4x 9y 4z 9③ 思路探索：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y,z的二元一次方程组，最后求x。课时训练试题：解下列方程组 y 2x 7 （1）5x3y 2z2 （2） 3x 4z 4 7x 6y 7z 100 （3）x2y z0 （4）3x y 2z0 3x 2y z 3 （5）2x y z 4（6）4x 3y 2z 10 4x 9y 12 3y 2z 1 7x 5z 43 4 2x 4y 3z 9 3x 2y 5z 11 5x 6y 8z 0 2x 6y3z 6 3x 12y7z 3 4x 3y 4z 11

x y 1 x:y:z 1:2:3 （7）（8）y z 2 2x y 3z 15 z x 3 实际问题与二元一次方程：常见题型有以下几种情形：（1）和、差、倍、分问题。此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。例 1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货 35 吨。3辆大车与 5辆小车一次可以运货多少吨？ ? （2）行程问题（基本关系：路程＝速度×时间。）相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地：甲的时间 =乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 ②同地不同时；甲的时间 =乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。车上（离）桥问题： ①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 ②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 ④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

3元一次方程组解法

3元一次方程组解法本周目标：会解三元一次方程组．通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力.培养抽象概括的数学能力．重点、难点：三元一次方程组的解法．解法的技巧．重点难点分析： 1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如，等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法（1）解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. （2）怎样解三元一次方程组？解三元一次方程组例题 1.解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．

解：由（2），得x=y+1．（4）将（4）分别代入（1）、（3）得解这个方程组，得把y=9代入（4），得x=10．因此，方程组的解是法二：加减法解：（3）-（1），得x-2y=-8 （4）由（2），（4）组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入（1）中，得z=7．因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y 值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由（1）＋（2）-（3），得y=9．把y=9代入（2），得x=10．把x=10，y=9代入（1），得z=7．因此，方程组的解是注意：（1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确求解方程组．

人教版初一数学下册消元法——解二元一次方程组 (加减消元)

教学设计消元法——解二元一次方程组 (加减消元法) 教学目标：理解解二元一次方程组的思路是“消元”，体会化归思想；会用加减消元法解简单的二元一次方程组，并能选择适当方法解二元一次方程组；会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系．重点：用加减消元法解简单的二元一次方程组．难点：用二元一次方程组解简单的实际问题．教学流程：一、知识回顾问题1：解二元一次方程组的基本思路：答案：二元一次方程组――消元－→一元一次方程问题2：用代入法解二元一次方程组的关键？答案：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 二、探究1 问题1：还记得等式的性质1吗？答案：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝b±c 问题2：方程组 10 216 x y x y += ? ? += ? ① ② 除了用代入法求解外，还有其他方法呢？追问1：这两个方程中，y的系数有什么关系？答案：两个方程中y的系数相等追问2：用②－①可消去未知数y吗？解：②－①，得 2x＋y－(x＋y)＝16－10 解得： x＝6 把x＝6代入①得：

y＝4 所以这个方程组的解是： 6 4 x y =? ? =? 追问3：①－②也能消去未知数y，求出x吗？问题3：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：分析：未知数y的系数互为相反数，由①＋②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值. 解：①＋②，得 3x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8 18x＝10.8 x＝0.6 把x＝0.6代入①，得 3×0.6＋10y＝2.8 y＝0.1 所以这个方程组的解是： 0.6 0.1 x y = ? ? = ? 追问：①＋②，这一步的依据是什么？答案：等式的性质1 问题4：你能归纳刚才的解法吗？定义：当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 练习1：(1)如何用加减消元法消去未知数x，求出未知数y？解：(1)①－②，得

三元一次方程组及解法资料讲解

要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程的定义: 含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． (2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．

要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．

三元一次方程组及应用

三元一次方程组及应用一、知识体系 1、概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程。由三个三元一次方程组成的叫做三元一次方程组。 2、方法：代入消元法、加减消元法。先消掉一个未知数，化成二元一次方程组。 3、基本关系量：（一）销售问题： ·基本量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：盈利：售价＞进价利润=售价－进价＞0 亏损：售价＜进价利润=售价－进价＜0 利润=售价－成本亏损额=成本－售价、利润=成本×利润率亏损额=成本×亏损率售价=标价×10 折数售价=进价×（1＋利润率）总价=单价×数量数量之和=甲商品＋乙商品＋丙商品（二）增长率或百分比的问题增长（降低）率问题：增长量=原有量×增长率现有量=原有量＋增长量 =原有量×（1＋增长率）减少量=原有量×降低率现有量=原有量－减少量 =原有量×（1－降低率）（四）储蓄问题（银行利率问题）利息=本金×利率本息和=本金＋利息 =本金×（1+利率）利息税=利息×利息税率所得金额=本息和－利息税（五）浓度问题：溶质=溶液×浓度百分数溶液=溶质＋溶剂 m 溶液=m 溶质+m 溶剂 m 溶质=m 溶液×m 浓度百分数 =（m 溶质+m 溶剂）×浓度百分数 %100?=成本利润利润率%100?=成本亏损额亏损率%100?+=溶剂溶质溶质浓度百分数m m m

3、已知，则x ∶y ∶z ＝___________. 4、若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 5、若方程组的解x 与y 相等，则a 的值等于（） A 、4 B 、10 C 、11 D 、12 6、已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）2＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值. 7、解方程组（1（2）三、知识拓展 1、一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女 x －3y ＋2z ＝0 3x －3y －4z ＝0 4x ＋3y ＝1 ax ＋（a －1）y ＝3

第2课时用加减消元法解方程组

第2课时用加减消元法解方程组 1.用加减法解二元一次方程组. 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想. 自学指导：阅读教材第94至97页，回答下列问题：自学反馈 1.已知方程组 317 236 x y x y += -= ? ? ? ，，两个方程只要两边分别相加，就可以消去未知数 y. 2.已知方程组 25716 25610 x y x y ? -= += ? ? ，，两个方程只要两边分别相减，就可以消去未知数x. 3.用加减法解方程组 6719 6517 x y x y += ? -= ? - ? ，① ② 应用(B) A.①-②消去y B.①-②消去x C.②-①消去常数 D.以上都不对 4.方程 3213, 325 x y x y += -= ? ? ? 消去y后所得的方程是(B) A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18 活动1 提高问题，引发讨论我们知道，对于方程组 22, 240 x y x y += += ? ? ? ① ② 可以用代入消元法求解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？活动2 导入知识，解释疑难 1.问题的解决上面的两个方程中未知数y的系数相同，②-①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18，把x=18代入①得y=4.另外，由①-②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40.即-x=-18，x=18，把x=18代入①得y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 379, 47 5. x y x y + ? = -= ? ? ① ② 分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值. 解：由①＋②得7x=14,x=2. 把x=2代入①得y= 3 7 ,

代入消元法解二元一次方程组教案

代入消元法解二元一次方程组教案商丹高新学校赵冬梅一、教学目标 1、知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组。 2、过程与方法：理解消元思想，知道消元法是一种重要的数学方法。 3、情感与态度：通过用代入消元法解二元一次方程组的过程，让学生体会转化的思想方法。二、重难点重点：用代入消元法解二元一次方程组难点：对代入消元法解方程组过程的理解。为什么要消元？怎样才能消元？三、教学过程 1、情境导入今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？（教师引导学生分别用一元一次方程和二元一次方程解决，观察、分析这两个方程的区别与联系。）解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只，根据题意可得 2x + 4（35-x）= 94 设鸡有x只，兔有y只，根据题意可得

2、总结规律（1）消元思想: 解二元一次方程组时，把未知数的个数由多变少，逐个解决的思想叫做消元思想。（2）代入消元法: 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求出方程组的解。 3、例题讲解用代入法解方程组 4、堂堂清：

用代入法解下列方程组答案： 5、归纳小结用代入法解二元一次方程组的一般步骤（1）选择一个系数较为简单的方程，把一个未知数用另一个未知数表示出来，得到“第三个”方程。（2）把“第三个”方程代入另一个方程，实现消元，使二元一次方程转化成一元一次方程，求出未知数。（3）将所得的未知数的值代入“第三个”方程，求出另一个未知数的值。（4）验证并写出方程组的解。 6、布置作业用代入法解下列方程组