解三角形基础大题20道
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
解三角形大题专练(2020更新)
解三角形大题专练1．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.2.在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .①求sin C 的值；②若a ＝7，求△ABC 的面积．[解析](2)(文)①在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. ②因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.①求cos B ；②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . (理)①解法一：∵sin(A ＋C )＝8sin 2B2，∴sin B ＝8sin 2B 2，即2sin B 2·cos B2＝8sin 2B2，∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B2，∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117 ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517.解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.②由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－17×3217＝4，∴b ＝2.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知. （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值。
专题02 三角函数与解三角形大题基础练(解析版)
【一专三练】专题02 三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，已知cos sin a B A =．（1）求B ；（2）若a =3c =，求b 的值．2．（2023·江苏·统考一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1sin 23tan 2cos 2A B A +=+.(1)若3π4C =，求tan B 的值；(2)若A B =，2c =，求ABC V 的面积.3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．()()()sin sin sin A B A B A C -=+-+，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，6c =．(1)求角A 的大小；(2)求线段AD 的长．4．（2023·安徽安庆·统考二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin tan2A b C a ⋅=.(1)若角π6B =，求角A 的大小；(2)若4a =，1cos 28A =，求b .5．（2023·安徽合肥·校考一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且（c ﹣a ）（c +a ）+ab cos C .（1）求角A 的大小；（2）若4cos B •cos C ＝1，且a ＝S 的值.6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos c a b C C +=+.(1)求B ；(2)若2a =，求c 的取值范围.7．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD 中，AB CD ∥，BC =，2BAD BCD ∠=∠．(1)求ABC ∠；(2)若4CD =，ABD ADB ∠=∠，求四边形ABCD 的面积．在BCD △中，由正弦定理可得sin 因为AB CD ∥，所以ABD ∠=∠8．（2023·安徽滁州·校考一模）在ABC V 中，222.b c a +=（1）求cos A 的值；（2）若2B A =，b =，求a9．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形ABCD 中,(0π),1ABC AB BC CD ∠θθ=<<===,AC CD ⊥.(1)试用θ表示BD 的长;(2)求22AC BD +的最大值.10．（2023·江苏·统考一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2sin cos c b A A =-.(1)若sin 10sin B C =，求sin A 的值；(2)在下列条件中选择一个，判断ABC V 是否存在，如果存在，求b 的最小值；如果不存在，说明理由.①ABC V 的面积1S +；②bc=③222+=a b c.11．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB ＝6，AC =BC =D 在边BC 上，且∠ADC ＝60°．(1)求cos B 与△ABC 的面积；(2)求线段AD 的长．12．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在平面四边形ABCD 中，90,60,4DAB DCB ABC AB AD ∠∠∠===== .(1)求cos DBC ∠的值；(2)求AC 的长度.13．（2023·湖南永州·统考二模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且向量()2,m b a c =- 与向量()cos ,cos n A C =共线.(1)求C ；(2)若c ABC =V a b +的值.14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin sin cos tan C B B A=+(1)求A ;(2)若cos cos A C a c +,求ABC V 外接圆的半径R ．15．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin bC A B a=--.(1)求A ；(2)设2a =，当b 的值最大时，求△ABC 的面积．16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求a ，b 的值.∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，∵sin y x =的对称轴为直线ππ+2=x k ，k ∈Z ，∴由ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ，∴()f x 的对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z .（2）πsi 2()(n 6)x b g x af x b a =+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2[,23x ∈-，∴π2ππ2[,636x -∈-，∴π1sin(2)[1,62x -∈-，当0a >时，()()g x af x b =+的最大值为12a b +，最小值为a b -+，∴由1721a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，当a<0时，()()g x af x b =+的最大值为a b -+，最小值为12a b +，∴由7112a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，综上所述，4a =，5b =或4a =-，3b =.17．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，π3ABD ∠=，4AB =，AD =AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，DE EB =.(1)求BD 的长；(2)求cos ADC ∠的值.18．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b BC A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC V 的面积．19．（2023·山东济南·一模）已知函数22()cos sin cos f x x x x x =+-．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)ABC V 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2,3,2f A b c ===，求A 的内角平分线AD 的长．20．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若4cos()2cos 23B C A ++=-．(1)求角A 的大小；(2)若a b c =+=△ABC 的面积．21．（2023·山西临汾·统考一模）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()cos 1cos a B b A =+.(1)证明：2A B =；(2)若2,c b a ==ABC V 的面积.22．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，3DC =，5AD =，7AC =，DACABC ∠=∠.(1)求ADC ∠的大小；(2)求ABC V 的面积.23．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，(1)求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；(2)在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC V 周长的取值范围．24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =，ac <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin a A c C B +=，求ABC V 的面积．25．（2023·安徽合肥·统考一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且222220b c a +-=．(1)若1tan 3C =，求A 的大小；(2)当A C -取得最大值时，试判断ABC V 的形状．26．（2023·湖南·模拟预测）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求角B 的大小；(2)若b 5a c +=，求△ABC 的面积．27．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.(1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.28．（2023·湖南张家界·统考二模）记ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a B C b B C c C +=-+.(1)求A ；(2)若a =，求ABC V 的面积的最大值.29．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π3B=．(1)若b a ca a b-=+，判断ABCV的形状；(2)求1tan tanA C+的最大值．30．（2023·山东聊城·统考一模）在四边形ABCD 中，//AB CD ．(1)证明：sin sin AD BAD BC BCD ⋅∠=⋅∠；(2)若1AD =，3AB =，BC =，2BAD BCD ∠=∠，求BCD △外接圆的面积．【答案】(1)证明见解析(2)7π【分析】(1)由平行关系得到角的数量关系，在两个三角形中分别使用正弦定理，在根据数量关系进行传递.(2)根据已知的数量关系对未知角的大小进行求解，再在BCD △使用余弦定理对未知边的大小进行求解，最后在BCD △中使用正弦定理得到外接圆半径.【详解】（1）因为//AB CD ，所以ABD BDC ∠=∠,在ABD △中，由正弦定理可知。
高考解三角形大题(30道)(精选.)
专题精选习题----解三角形1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值； （2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ，求⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若02,20<<-<<βππα，135sin -=β，求αsin .18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .（1）求PN PM ,夹角的余弦值；（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2（a 为常数）在83π=x 处取得最大值. （1）求a 的值；（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+.（1）求ab ； （2）若2223a b c +=，求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.（1）求船航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里； （2）若两船能相遇，求m.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题-带答案解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠． 所以62cos cos(4530)CBE +=-=∠． ··················· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+． 故2sin30cos15AE =12262⨯=+62=-． 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
BC D E（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠， 故10cos OB θ= 又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++-所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+所求函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+≤≤ （2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046ππθθ≤≤∴=当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈ BD A O P时'0y >，y 是θ的增函数； 所以当6πθ=时，min12010210103y-⨯=+=此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处。
大题 解三角形(精选30题)(学生版)-2024届新高考数学大题
大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2cos B +1=c a.(1)证明：B =2A ；(2)若sin A =24,b =14，求△ABC 的周长.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．3(2024·江苏·一模)在△ABC 中，sin B -A +2sin A =sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC =CM ．若∠CAM =π4，求∠BAC 的大小．4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c sin B=2b．(1)求C；(2)若tan A=tan B+tan C，a=2，求△ABC的面积．5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值；(2)若△ABC为锐角三角形，2b=3c，求sin C的值.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a sin C=c sin B,C= 2π3．(1)求B；(2)若△ABC面积为334，求BC边上中线的长．7(2024·山东淄博·一模)如图，在△ABC中，∠BAC=2π3,∠BAC的角平分线交BC于P点，AP=2.(1)若BC=8，求△ABC的面积;(2)若CP=4，求BP的长.8(2024·安徽·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6．(1)若A=2π3，C=π3，求sin∠BDC的值；(2)若CD=2，cos A=3cos C，求四边形ABCD的面积．9(2024·浙江·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sin Csin B．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为334，求AD的长．10(2024·湖北·一模)在△ABC中，已知AB=22,AC=23,C=π4．(1)求B的大小；(2)若BC>AC，求函数f x =sin2x-B-sin2x+A+C在-π,π上的单调递增区间．11(2024·福建厦门·二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sin C=2Sc2-b2.(1)证明：△ABC是倍角三角形；(2)若c=9，当S取最大值时，求tan B.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.13(2024·山东济南·二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，∠ABC=θ，120°≤θ<180°.(1)若θ=120°，AD=3，求∠ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2 -(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且△ABC的周长为a sin Bsin A+sin B-sin C．(1)求C；(2)若a=2，b=4，D为边AB上一点，∠BCD=π6，求△BCD的面积．16(2024·广东梅州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，3a cos B-b sin A= 3c，c=2，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，(Ⅰ)当AD⊥AB，且AD=1时，求AC的长；(Ⅱ)当BD=2DC，且AD=1时，求△ABC的面积S△ABC．17(2024·广东广州·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S=-34(a2+c2-b2).(1)求B；(2)若点D在边AC上，且∠ABD=π2，AD=2DC=2，求△ABC的周长.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中a=1，cos A= 2c-12b．(1)求角B的大小；(2)如图，D为△ABC外一点，AB=BD，∠ABC=∠ABD，求sin∠CABsin∠CDB的最大值．19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(2sin A,3sin A+3cos A)，n =(cos A,cos A-sin A),f(A)=m ⋅n ,A∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f(A)=0,a=3,sin B+sin C=62，求△ABC的面积.20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b-c cos A= 2a cos B cos C．(1)求cos B；(2)若点D在AC上(与A,C不重合)，且C=π4,∠ADB=2∠CBD，求CDAD的值．21(2024·辽宁·二模)在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π4,4b cos C=2c+2a.(1)求tan C；(2)若△ABC的面积为32，求BC边上的中线长.23(2024·重庆·模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上)．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°，楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部，在线段MO 上)．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5°sin48.5°sin32°≈25，tan16.5°≈827，tan48.5°≈87，40×35≈37.4,24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 ．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c2的最小值．26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A =2a sin B ．(1)求sin A ；(2)若a =3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC 的面积．条件① ：b =6c ；条件② ：b =6；条件③ ：sin C =13．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27(2024·河南·一模)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b 2-a 2=ac .(1)求证：B =2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin (C -A )-sin B sin A的取值范围.28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a c =a 2+b 2-c 2b2，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且a =12，求线段BD 的长度的取值范围．29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c a <b ，c =2a cos A cos B -b cos2A ．(1)求A ；(2)者BD =13BC ，AD =2，求b +c 的取值范围．30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ，则称点P 为△ABC 的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．如图，已知△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，点P 为的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．(1)若b =c ，且满足PB PA=3，求∠ABC 的大小．(2)若△ABC 为锐角三角形．(ⅰ)证明：1tan θ=1tan ∠BAC +1tan ∠ABC +1tan ∠ACB ．(ⅱ)若PB 平分∠ABC ，证明：b 2=ac ．。
解直角三角形基础题专题试题精选三附答案
解直角三角形基础题试题精选三附答案一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．115．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．解直角三角形基础题试题精选三附答案参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C 的度数．解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．解答：解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3．（2015•济宁）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．解答：解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故选A．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．4．（2014•呼伦贝尔）如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A．米B．6米C．米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．解答：解：由于AB=12（米），仰角α=60°，则BC=AB•tan60°=12（米），故选C．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．解答：解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．6．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C． D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解答：解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选：B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．7．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：压轴题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．8．（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米考点：解直角三角形的应用．分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．故选：D．点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．9．（2015•海宁市模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质；作图—复杂作图．专题：探究型．分析：连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．解答：解：连接AB，∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．（2014•历下区二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（）A．2 B．4 C．D．考点：解直角三角形．分析：先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC﹣DC即可求解．解答：解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，∴BC=AC=6．在Rt△DBC中，∵∠C=90°，∴tan∠DBC==，∴DC=BC=4，∴AD=AC﹣DC=6﹣4=2．故选A．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．11．（2014•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，正切=对边÷邻边，即tanA=．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴tanA==．故选C．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，用到的知识点有正切=对边÷邻边．12．（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．解答：解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°，∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC，∵AM⊥BC于M，∴CM=BC=20海里．在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，∴AC===（海里）．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM=BC=20海里是解题的关键．13．（2014•渝北区自主招生）已知一直角三角形的两直角边的比为3：7，则最小角的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：计算题．分析：设BC=3x，则AC=7x，再利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．解答：解：如图，BC：AC=3：7，设BC=3x，则AC=7x，所以AB==x，所以sinA===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．14．（2014•厦门）sin30°的值是（）A．B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解答：解：sin30°=．故选：A．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．15．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系；坐标与图形性质．分析：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．解答：解：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中，tanα==，解得：m=4，则OP==5，故sinα=．故选A．点评：本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．二．填空题（共7小题）16．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是2．考点：解直角三角形；菱形的性质．专题：应用题．分析：在直角三角形ADE中，cosA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．解答：解：设菱形ABCD边长为t，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3，∴DE==4，∴tan∠DBE===2．故答案为：2．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．17．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为30°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30°．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．18．（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．考点：锐角三角函数的增减性．分析：根据余弦值的取值范围，列不等式求解．解答：解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．19．（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．20．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是75°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．解答：解：∵在△ABC中，cosA=，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．点评：本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属基础题．21．（2014•滨州二模）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA= 2．考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．分析：首先根据三角形内角和可得∠BAO=∠ACO，再根据正切定义计算出tan∠OCA．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠BAO=∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA=tan∠BAO==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切定义：锐角A的对边a与邻边b 的比叫做∠A的正切．22．（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．考点：解直角三角形．分析：先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．解答：解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案为．点评：本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．三．解答题（共8小题）23．（2014•南京校级二模）计算：﹣2cos30°+（）﹣2﹣|1﹣|．考点：特殊角的三角函数值；绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=3﹣2×+4﹣（﹣1），=3﹣+4﹣+1，=+5．点评：本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．24．（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B点作BD⊥AC于D．分别在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．解答：解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB=45°，∠BAC=66.5°，∴在Rt△ADB中，AD=，在Rt△CDB中，CD=BD，∵AC=AD+CD=24m，∴+BD=24，解得BD≈17m．AB=≈18m．故这棵古杉树AB的长度大约为18m．点评：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形，利用三角函数求三角形的边．25．（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在直角△CBE中利用三角函数首先求得EC的长，则OF即可求解，然后在直角△AOF 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵在直角△CBE中，∠CEB=30°，BC=11，∴EC=22，则EB==11≈19，∵在直角△AOF中，∠AFO=52°，OF=18+19+26=63，∴OA=OF•tan∠AFO≈63×1.28=81（米）．答：大明塔高约81米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26．（2015•南宁模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出=，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=，列出方程，求出x的值即可．解答：解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∵∠BPD=45°，∴PD=BD，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.01．解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．点评：此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．27．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意可先过点D作DM⊥EF，垂足为M，在Rt△EMD中，可求出EM，进而EF=EM+MF，再在Rt△CEF中，求出CE的长．解答：解：过点D作DM⊥EF，垂足为M，由题意可知四边形ADMF为矩形，∴DM=AF=6，MF=DA=1.5，在Rt△EMD中，EM=DM•tan∠EDM=6tan37°，∴EF=EM+MF，DM=AF=6tan37°，∴EF=EM+MF=6tan37°+1.5．∵AC=3，∴CF=AF﹣AC=3，在Rt△CEF中，CE=≈6.7．答：拉线CE的长为6.7米．点评：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．28．（2015•东台市一模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．29．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD==≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD=≈12.11（米），…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．30．（2011•兰州）已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．。
(完整版)高考解三角形大题(30道)
专题精选习题 ---- 解三角形1.在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为cos A 2 cosC2c a a, b, c ，已知.cos Bb（ 1）求sin C的值；sin A1, b（ 2）若 cos B2 ，求 ABC 的面积 S .42.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是a, b, c ，已知 sin C cosC 1 sin C.（ 1）求 sin C 的值；2（ 2）若 a 2b 24(ab) 8，求边 c 的值 .3.在ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a, b, c .（ 1）若 sin( A) 2 cos A ，求 A 的值；6（ 2）若 cos A1, b 3c ，求 sin C 的值 .34. ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33, sin B5, cos ADC 3 ，求 AD .13 55.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是（1）求ABC的周长；（2）求cos( A C)的值 .6.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是5（ 1）当p4,b 1时，求 a,c 的值；（ 2）若角B 为锐角，求 p 的取值范围.7.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是（1）求A的值；（2）求sin B sin C的最大值 .8.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是1a, b, c ，已知 a 1,b 2, cosC.4a, b, c .已知 sin A sin C p sin B( p R) ，且 ac 1 b2.4 a, b, c .且 2a sin A (2b c) sin B (2c b) sin C .1a, b, c ，已知 cos2C.4（ 1）求sin C的值；（ 2）当a2,2 sin A sin C 时，求 b, c的长.9.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是a, b, c ，且满足 cosA2 5, AB AC 3 .25（ 1）求ABC 的面积；（ 2）若 b c 6 ，求 a 的值 .10.在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a,b,c ， cos(C) cos(C) 2 .442（ 1） 求角 C 的大小；（ 2）若 c 2 3 ， sin A2 sin B ，求 a,b .11.在ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a, b, c ，且 . a cosC1c b2（ 1）求角 A的大小；（ 2）若 a 1，求 ABC 的周长 l 的取值范围 .12.在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a,b,c ，且满足 (2b c) cos A a cosC0 .（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若a3 3 3ABC 的形状，并说明原由 .，SABC4，试判断13.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且 2(a2b2c2 )3ab.（ 1）求sin2AB ；2（ 2）若c 2，求ABC 面积的最大值.14.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且满足 4a2 cos B 2ac cos B a2b2 c 2.（ 1）求角B的大小；（ 2）设m(sin 2 A, cos2C), n (3,1) ，求 m n 的取值范围.115.已知m(sin x,cos x), n (cos x, cos x)(0) ，若函数 f (x) m n的最小正周期为2 4.（1）求函数y f ( x)取最值时x的取值会集；（ 2）在ABC 中，角A, B,C的对边分别是a, b, c ，且满足 ( 2a c) cos B bcosC ，求 f ( A) 的取值范围 .16.如图，ABC中，sin ABC 3, AB 2 ，点D在线段AC上，且 AD 2DC , BD 4 3.233 (1)求 BC 的长；A(2)求 DBC 的面积.DB C17.已知向量a(cos,sin), b(cos,sin ), a b 25.5（ 1）求cos() 的值；（ 2）若0,0， sin 5.2，求 sin21318.在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c ，已知 sin 2 2C sin 2C sin C cos 2C 1 ，且a b 5 ，c7 .（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积 .119.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且满足 cos A ( 3 sin A cos A).2（ 1）求角A的大小；（ 2）若a 2 2, S ABC 2 3 ，求b, c的长.20.已知函数 f ( x)3 sin x 1cos x, (x R)，当x [ 1,1]时，其图象与x轴交于M , N两点，22最高点为 P .（ 1）求PM , PN夹角的余弦值；（ 2）将函数 f ( x) 的图象向右平移 1 个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的 2 倍，而得到函数 y g (x) 的图象，试画出函数y g( x) 在[2,8] 上的图象.3 321.已知函数f ( x)2a sin2 x 2 sin x cos x a （a为常数）在 x3处获取最大值 .（ 1）求a8的值；（ 2）求f( x) 在 [ 0,] 上的增区间.22.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且 b2c2a2bc .（ 1）求角A的大小；（ 2）若函数f ( x) sin xcosxcos2x，当 f ( B)213 ，求b的值.2时，若a22223.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a, b, c，已知.B,sin A 3 , b335（1）求sin C的值；（2）求ABC的面积 .24.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且 b cosC (3a c) cos B .（1）求sin B的值；（2）若b 2，且a c，求ABC的面积 .25.已知函数f ( x)3 sin xcos x cos2x1 222 2 .(1)求f ( x)的单调区间；（ 2）在锐角三角形ABC 中，角A, B, C的对边分别是a, b, c ，且满足 ( 2b a) cosC c cos A ，求 f ( A) 的取值范围.26.在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ， a sin Asin B b cos2 A2a .（ 1）求b ；a（ 2）若c2b23a2，求角B.27.港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站为 31海里，该轮船从 B 处沿正西方向航行20 海里后到达 D 处观察站，已知观察站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A还有多远？28.某巡逻艇在 A 处发现在北偏东45 距 A 处8海里的 B 处有一走私船，正沿东偏南15 的方向以12海里 /小时的速度向我岸行驶，巡逻艇马上以12 3 海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A上有一座海拔1km的山岳，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00 时，测得此船在岛北偏东15 、俯角为 30 的 B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为 60 的 C 处.（ 1）求船航行速度；（ 2）求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站P 的最短距离 .30.以下列图，甲船由 A 岛出发向北偏东45 的方向做匀速直线航行，速度为船从 A 到出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发，朝北偏东匀速直线航行，速度为m 海里 / 小时 .（1）求 4 小时后甲船到 B 岛的距离为多少海里；（2）若两船能相遇，求 m.15 2 海里/小时，在甲（ tan1）的方向做2。
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解三角形基础大题20道一、解答题1．在△ABC 中，3a cos B ＝b sin A ． （1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积． 2．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状．4．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值. 5．已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积，22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较33b c +163S 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为23S =，外接圆直径为4，求ABC 的周长. 7．在ABC ∆中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. （1）求角A ；（2）若7BC =，·20AB AC =，求||AB AC +. 8．如图，已知△ABC 中，AB ＝362，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长．9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知7a =2b =，60A =︒.（1）求sin B 的值； （2）求c 的值. 10．若ABC 2,1,6b c ==A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值； (2) 求sin 2sin AC的值. 11．ABC 中，角A B C ,,的对边长分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=.（1）求角A 的大小； （2）若1a =，3B π=，求ABC ∆的面积.12．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处（A 在B 的正西侧）.监控中心C 在河流北岸，测得45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，1206m AB =，监控过程中，保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120︒.A ，B ，C ，D 视为在同一个平面上，记ADC 的面积为S ，DAC ∠θ=.（1）求AC 的长度；（2）试用θ表示S ，并求S 的最大值. 13．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ； （2）求∠A ．14．在ABC ∆中，32b =，6cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求cos 2C 的值．15．设ABC 中，()cos cos 3cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c . （1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 16．△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，3＝acosC ． （1）求角C 的大小；（2）若b 3=c 11=a .17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．18． 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．19．已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2sin a C =． （1）求A ；（2）若2a =，ABC b ，c ． 20．已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a B a B b A =-，求(A)f 的取值范围.参考答案1．（1）3π；（2）3． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ； （2）由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求． 【详解】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =， 因为sin A ≠0，sin B B =，所以tan B = 因为0＜B ＜π， 所以3B π=，（2）因为b ＝2，c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 可得22144222a a a a =+-⨯⨯，所以a =，c 3=，所以11223323ABCSacsinB ==⨯⨯=． 【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题 2．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题 3．（Ⅰ）60A =︒；（Ⅱ）等边三角形. 【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状． 【详解】（Ⅰ）∵22(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==， ∴60A =︒．（Ⅱ）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，∴sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=， ∴sin()0,A C A C -==， ∴60A B C ===︒， ∴ABC 为等边三角形． 【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.4．（1）3π；（2. 【分析】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，可得sin 2sin cos A A A =，化简即可求值；（2）由2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=b c bc bc +-≥， 所以4bc ≤，再根据面积公式即可得解. 【详解】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， 可得sin 2sin cos A A A =，在ABC 中，0A π<<，sin 0A ≠， 可得：1cos 2A =，故3A π=； （2）由（1）知3A π=，且2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=2b c bc bc bc bc +-≥-=， 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△， 当且仅当4b c ==时取等号，所以ABC 【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.5．（1）当,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）33b c +≥【分析】（1）先化简函数()f x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角A ，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小． 【详解】解：（1）∵()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）由题意可得2sin 226A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴62A ππ+=，∴3A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得221b c bc +-=，==，∴()()3322b c b c b c bc +=++--()b c =+-0≥=， 当且仅当b c =时取等号，∴33b c +≥ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6．（1）3π；（2）6+. 【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 82S ac B ac ==⇒=，由正弦定理可知4sin bb B=⇒= 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为6+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.7．（1）3A π=；（2【分析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式222||||2?·cos BC AB AC AB AC A =+-，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出22||AB AC +的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.【详解】（1）原式可化为：sin sin()sin()B A B A B =+--sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B A B A B =+-+=，(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2A ∴=， 又(0,)A π∈，3A π∴=；（2）由余弦定理，得222||||2cos BC AB AC AB AC A =-⋅+，7BC =，···cos 20AB AC AB AC A ==， 22||89AB AC ∴+=，222||||28940129AB AC AB AC AB AC +=++=⋅+=， 129AB AC ∴+=【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，考查了平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握计算公式及法则是解本题的关键，属于基础题. 8．（1）3，（2）7 【分析】（1）在△ABC 中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出120ACD ∠=︒，然后在ACD △中利用余弦定理求解即可 【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，sin sin AC ABABC ACB=∠∠,则sin 45sin 23sin sin 60AB ABC AC ACB ︒⋅∠===∠︒， （2）因为∠ACB ＝60°，所以120ACD ∠=︒, 在ACD △中，由余弦定理得，7AD ===【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．（1）sin B =；（2）3c =. 【分析】由正弦定理求出sin B ，由余弦定理列出关于c 的方程，然后求出c ． 【详解】解：（1）因为a =2b =，60A =︒.由正弦定理sin sin a b A B =，可得2sin 60sin B =︒，所以sin 7B =；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-22222cos60c c =+-⨯︒， 3c =，1c =-（舍），所以3c =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．10．（1）cos A =（2）sin 2sin A C =【分析】(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA, (2)先用余弦定理求出边a ，再将式子化简sin22sin cos 2cos sin sin A A A aA C C c⋅==⋅，求解即可. 【详解】（1）因为ABC所以 11sin 1sin 222ABCSbc A A ==⨯=，所以sin 3A = ． 因为 ABC 中，A ∠为锐角，所以cos A ==. （2）在ABC 中，由余弦定理，222222cos 1213a b c bc A =+-=+-⨯=，所以a = 由正弦定理=sin sin a c A C , 所以sin =sin A a C c.所以sin22sin cos 2cos sin sin A A A a A C C c ⋅==⋅==. 【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.11．（1）6π；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理可得：222b c a +-=，代入余弦定理，即可得解； （2）根据内角和为π，求出角C ，解得ABC ∆为直角三角形，即可得解. 【详解】（1）因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得：222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==， 所以6A π=.（2）因为6A π=，3B π=，所以2C π=，所以b =ABC S ∆=. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.12．（1）240m ；（2）()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，2.【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理解三角形即可得AC .（2）由（1）知AC 的长度，利用正弦定理求AD 的长度，结合DAC ∠θ=，利用面积公【详解】（1）在ABC 中，45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，所以60ACB ︒∠=.因为AB =，所以，由正弦定理得sin 60sin 45AB AC︒︒=，所以240m AC =；（2）在ADC 中，设DAC ∠θ=，则60ACD θ︒∠=-， 由正弦定理得sin sin AC ADADC ACD=∠∠.所以()60AD θ︒=-.所以()11sin 24060sin 22S AC AD θθθ︒=⨯⨯=⨯⨯-. ()2cos21)2sin 2301θθθ︒⎤=+-=+-⎦因为060θ︒︒<<.所以当30θ︒=时，S 取到最大值2.答：AC 的长度为240m ，()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，S 取到最大值2.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题. 13．（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【分析】由正弦定理求得b ，由余弦定理求得cos ∠A ，进而求出∠A 的值． 【详解】（1）由正弦定理得sin bB ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． （2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为()0,180A ︒︒∈，所以∠A ＝120°．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b 的值，是解题的关键． 14．（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合cos A =，可以求出sin A 的值，运用正弦定理，可以求出a 的值；（Ⅱ）由cos 3A =，2B A π=+，运用诱导公式，可以求出sin B 的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出cos B 的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sin C ，最后利用二倍角的余弦公式求出cos 2C 的值.【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==．因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos a A =， 所以3a =．（Ⅱ）因为cos 3A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==，cos 3B ==-． 所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=． 故27cos212sin 9C C =-=． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.15．（1）π3B =（2）面积S 的最大值为2；此时b =【分析】（1）在三角形中，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，结合条件可得π2sin sin 03A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求出答案；（2）由2248a c +=可得2ac ≤，则11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=，此时2a =，1c =，再由余弦定理即可求出答案． 【详解】解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B+=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 222S ac B =≤⋅=，∴ABC 面积S 且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题．16．（1）6C π=（2）a =【分析】（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC acosC =得acosC =，即可得出.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，代入化简即可得出. 【详解】解（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，cosC =∵0＜C ＜π，∴sinC ≠0，故cosC ≠0∴3tanC =又0＜C ＜π， ∴6C π=.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，得2=a 22+-acos 6π，即a 2﹣3a ﹣8＝0，解得a 32±=， 又a ＞0，∴a =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．（1）（2 【分析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c bC B=求解即可；（2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B ==，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+，又3cos 5B =，4sin 5B =，故34cos 525210A =-⨯+⨯=， 因为0πA <<，所以sin A =因此πππ1cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+==． 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.18．（1）34；（2）b =【分析】（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得3sin cos 4B B =，根据同角三角函数基本关系式即可求得tan B ；（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形面积公式求得c 的值，代入所给等式，即可求解b 的值. 【详解】（1）在ABC 中， 由三角形面积公式得，1sin 2S ac B =， 由余弦定理得，222cos 2c a b B ac+-=，()2223163c S b a +=-，∴()222316S c a b =+-， 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==， 又()0,B π∈，∴sin 0B >，故cos 0B >，∴sin 3tan cos 4B B B ==. （2）由（1）得3tan 4B =， ()0,B π∈,∴3sin 5B =， 42S =，10a =，∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==， 解得14c =，()2223163c S b a +=-，∴b ===. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题. 19．（1）3A π=；（2）2b c ==.【分析】（12sin sin C A C =，消去sin C ，可得sin A ，可得答案；（2）由（1）所求A 及1sin 2bc A =可得bc 的值，再由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得b ，c 的值. 【详解】解：（12sin a C =，2sin sin C A C =，因为sin 0C ≠，所以sin A =． 因为A 为锐角，所以3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+-，得：224b c bc +-=．又ABC ∆1sin 2bc A = 所以4bc =．则228b c +=．解得2b c ==． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，需注意公式的灵活运用. 20．（1）5,,.88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）11(,)22- 【分析】（1）根据降幂公式化简()f x 的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间； （2）由正弦定理边化角，从而可求得4B π=，根据锐角三角形可得,42A ππ<<从而可求出答案． 【详解】解：（1）111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+1(sin 2cos 2)2x x =+)24x π=+，由222,Z,242k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈得,88k x k π5ππ+≤≤π+ 所以()f x 的单调递减区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）由正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A B A B B A =-，∵sin 0,A ≠∴cos2cos sin B B B =-，即(cos sin )(cos sin )cos sin B B B B B B -+=-，(cos sin )(cos sin 1)0B B B B -+-=，得cos sin 0B B -=，或cos sin 1B B +=， 解得4B π=，或2B π=（舍），∵ABC 为锐角三角形，3+,4A C π=∴0,230,42A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得,42A ππ<<∴352,444A πππ<+<sin(2),242A π-<+<∴())24f A A π=+的取值范围为11(,)22-．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题．。