偏微分方程式之求解

第六章偏微分方程式之求解

在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finite difference)何有限元素法(finite element)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。

值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。

本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。

6.1 偏微分方程式之分类

偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。

6.1.1依阶数的分类

偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：

一阶偏微分方程式：

xy

二阶偏微分方程式：

三阶偏微分方程式：

6.1.2 依非线性程度分类

偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性 (linear)，似线性

(quasilinear)，以及非线性三类。 例如，以下之二阶偏微分方程式 (Constantinides and Mostoufi,1999)

可依系数 ( )之情况，进行如下表之归类 类别 情况

线性 似线性

系数 ( )为定值，或仅为 (x,y)函数

系数 ( )为依变数 (dependent variable)u 或其比方程式中之偏微 分低阶之偏微分项的函数，如 ( ) (x,y,u, u x, u y)

非线性

系数 ( )中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如 () (x,y,u, 2u x 2

,

2

u y 2, 2u x y)

另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型 (elliptic) ，拋 物线型

(parabolic)，以及双曲线型 (hyperbolic) 。具体上来说，此类偏微分方程 式二阶线性之

一般式为

系数a,b,c,d,e 和 f 是定值或为 u 的函数。若 g=0，则上式为其次是偏微分方程 式。式子

( )之分类及代表性例子，请见下表

(c ~

u) a ~

u f

2

热传导或扩散方程式

u

2 u

xt

a()

2

u

y 2

22

uu b( ) c( ) 2 x y

x

2

d() 0

22

uu

b c

2

x y

y

2

d u

e u fu g 0 xy

方程式类别 判断式 椭圆型 b 2 4ac 0 拋物线型

b 2

4ac 0

代表性范例

Laplace 方程式，

Poisson 方程式， 22

uu

22

xy 22

uu

22

xy

f (x,y)

x 2

t

(c ~ u) a ~

u f

~ 2u ~

d ~

t u

2

(c~ u) a~u f ~

注：二维系统之运操作数 之定义为 i j xy

6.1.3 起始条件和边界条件的分类

为了能获得偏微分方程式之解答， 为三类。现以一维之动态热传递方程式 T

2

T

2

tx 为例，进一步说明如何区分这些边界条件及起始

条件 (Constantinides and Mostoufi ,1999)。

(i) 第一类： Dirichlet Condiction

若依变量 (T)本身， 在某个独立变量值时， 被指定， 则此条件称为 Dirichlet

Condiction ，亦称为 essential 边界条件。下图为一典型的 Dirichlet 条件示 意图

图 6.1 平板 Dirichlet Condiction 示意图

由图中很清楚的显示，该平板之边界条件为

at x 0,t 0 at x 0, t 0 at x 0,t 0

Dirichlet Condiction 。同时，若再起始时，各处

之温度分布可以位置之函数表示，即

T f (t) , at t 0, 0 x 1 此亦属 Dirichlet 型之边界条件。

(ii) 第二类： Neumann condition

Neumann condition 系指依变量之变化率之边界条件为定值，抑或独

T T 1, t0

T 0

0 1 x

T f (t), t0

双曲线型

2

b 2

4ac 0

22

波动方程式 2

x u

2 t u

2

其起始条件和边界条件可依其特性区分

(拋物线型偏微分方程式 )

T f (t) , T T 1 , T

T 0 , 此边界条件依定义，即

为