1-1线性代数_二元_三元一次方程组
三元一次方程组 二元一次方程组PPT课件
x y z 23 2 x + y -z 2 0 x -y 1
这个方程组和前 面学过的二元一 次方程组有什么 区别和联系？
在这个方程组中， 和 都含有三个未知 数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样 的方程叫做三元一次方程. （linear equation with three unkn一次方程组
1.创设情景，导入新课
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数 大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求 这三个数.
上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z， 由题意可得到方程组：
x y z 23 2 x + y -z 2 0 x -y 1
能不能像以前一 样“消元”，把 “三元”化成 “二元”呢？
在解三元一次方程组时的消元与解二元一 次方程组的消元有什么不同？解上面的方程 组时，你能先消去未知数y（或z），从而得 到方程组的解吗？ （先独立思考，再进行小组讨论，由学生代
表回答思考所获）
3.理解巩固
用你学到的方法解方程：
x y z 26 ① (1) 2x-y+z 18 ② x-y １ ③
所以，七，八，九年级的学生 人数分别为231,220,200人.
5.课堂小结
(1)三元一次方程组的概念； (2)三元一次方程组的解法；
三元 一次方程组 消元
二元 一次方程组
消元
一元 一次方程
(3)谈谈求解多元一次方程组的思路.
6.布置作业
1.课本习题5.9 2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题， 一元一次方程也能解决，说一下你的看法.
解：由题意设七，八，九年级的学生人数分 别为x,y,z人，得方程：
二元一次方程组三元一次方程组
解法与技巧
技巧：在解三元一次方程组时，需要 注意以下几点技巧
2. 注意观察方程组中未知数的系数是 否为零，如果为零，则可以将该未知 数消除。
1. 熟练掌握各种解法，根据具体情况 选择合适的解法。
3. 注意观察方程组中各个方程之间的 联系，利用方程之间的相互关系简化 计算。
应用与实例
• 应用：三元一次方程组在现实生活中有着广泛的应用，如几何、物理、化学等领域。例如，在几何中，三元一次方程组可 以用来描述空间中点的位置关系；在物理学中，三元一次方程组可以用来描述物体的运动状态；在化学中，三元一次方程 组可以用来描述化学反应中各物质的比例关系。
解法与技巧
解法
求解二元一次方程组的关键是通过消元法或代入法将二元方 程组转化为一元方程进行求解。
技巧
利用等式的性质（如移项、化简等）将方程组化简，以便更 容易求解。
应用与实例
应用
二元一次方程组在现实生活中有着广泛的应用，如行程问题、工程问题、价格问 题等。
实例
例如，在行程问题中，如果两个人从不同的地点同时出发相向而行，他们会在某 个地点相遇。这个问题可以用二元一次方程组来表示和求解。
实际问题的复杂性
随着社会的发展，实际问题的复杂性不断提高，需要学生具备更强的分析问题和解决问题 的能力，学习二元一次方程组和三元一次方程组将有助于学生更好地应对这些挑战。
THANKS
感谢观看
三元一次方程组则可以描述三维空间中的点 或者解决更复杂的线性关系问题，应用范围
更广泛。
难度差异
二元一次方程组的难度相对较低，通常只需要掌握基本的代数知识就能解决。
三元一次方程组的难度相对较高，需要更深入的代数知识和计算技巧。
04 实际应用案例
线性代数简介
什么是线性代数线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。
同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说，线性代数具有特殊的地位．此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。
七年级数学下册三元一次方程组解法
七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。
解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。
在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。
二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。
2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。
三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。
2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。
3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。
四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。
五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。
对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。
希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。
《三元一次方程组》参考课件
研究设计
03
对于具体的研究设计进行介绍，包括研究目的、研究假设、样
本选择、变量设置等。
02
三元一次方程组简介
三元一次方程组定义
数学定义
三元一次方程组是指包含三个未知数，且每个未知数的次数 均为1的方程组。
常见形式
三元一次方程组通常以三个方程的形式出现，其中每个方程 都代表未知数之间的一个关系式。
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《三元一次方程组》参考 课件
xx年xx月xx日
目录
• 绪论 • 三元一次方程组简介 • 三元一次方程组模型建立
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
绪论
课程背景
1 2
课程简介
介绍《三元一次方程组》这门课程的背景和意 义，包括课程的定位、目标和主要内容等。
发展历程
简述三元一次方程组的历史背景和演变过程， 包括国内外的研究现状和发展趋势等。
根据研究问题，收集与之相关的数据，并确保数 据的准确性和完整性。
分析问题
对问题进行分析，确定所需要用到的变量和数学 模型。
模型建立
确定方程组的形式
根据分析问题所得出的结论， 确定方程组的形式。
确定未知数
根据方程组的形式，确定需要求 解的未知数。
列出方程组
将未知数代入方程组中，列出方程 组。
THANKS
3
应用领域
阐述三元一次方程组在各个领域中的应用，如 科学、工程、经济、医学等。
研究方法
科学研究方法
01
介绍科学研究的基本步骤和方法，包括提出问题、进行文献综
述、提出假设、进行实验或调查、分析和解释数据等。
研究方法选择
02
详细阐述针对三元一次方程组这一特定研究对象的研究方法，
三元一次方程组知识讲解
三元一次方程组知识讲解a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中，a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃,c₁,c₂,c₃为系数，d₁,d₂,d₃为常数。
解方程组的目标是找到x,y,z的值，使得方程组中的每个方程都得到满足。
解三元一次方程组的方法有很多种，下面将介绍其中的两种常用方法。
1.消元法：消元法是通过变换方程组中的方程，逐步去除未知数的系数，从而得到最终结果。
首先，我们可以使用第一个方程来消去x，方法是将第一个方程乘以a₂/a₁，再与第二个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，我们可以使用第三个方程再次消去x，方法是将第三个方程乘以a₁/a₃，再与第一个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁(0)x+(b₃-(a₃/a₁)b₁)y+(c₃-(a₃/a₁)c₁)z=d₃-(a₃/a₁)d₁在这个新的方程组中，已经消去了x，我们可以将其简化为两元一次方程组，然后使用二元一次方程组的解法来求解y和z的值。
最后，再将y和z的值带入原方程组中的任一方程，求解x的值。
2.矩阵法：矩阵法是通过将方程组转化为矩阵的形式来求解。
将方程组表示为如下的增广矩阵：┌┐a₁b₁c₁，d₁a₂b₂c₂，d₂a₃b₃c₃，d₃└┘首先，我们对矩阵进行初等行变换，使得矩阵的左上角的元素为1，其它行的第一列元素为0。
得到一个新的矩阵：┌┐1**，*0**，*0**，*└┘接下来，我们使用行变换将矩阵的左下角和右上角的元素变为0。
三元一次方程组课件
三元一次方程组的解集
解集的概念
解集的求解方法
三元一次方程组的解集是指满足方程 组中所有方程的一组未知数的值。
通过代入法、消元法、行列式法等方 法求解三元一次方程组，得到解集。
解集的表示方法
解集可以用集合、表格或图形等形式 表示，其中每个元素表示一个解。
02
三元一次方程组的解法
消元法
总结词
通过逐步消除一个或多个变量，将三元一次方程组简化为二元或一元一次方程，进而求 解。
详细描述
在交通问题中，通常需要解决的是如何合理分配道路资源以最大化交通流量。通过建立三元一次方程组，可以描 述车辆数量、道路容量和交通流量之间的关系，为交通管理部门提供决策依据。
THANKS
感谢观看
03
三元一次方程组的应用
在几何中的应用
计算几何图形面积
通过三元一次方程组，可以求解几何图形的面积，例如三角形、 矩形等。
求解何问题
利用三元一次方程组，可以求解一些几何问题，例如求两线交点、 求点到直线的距离等。
计算几何图形的周长
通过三元一次方程组，可以求解一些几何图形的周长，例如圆、椭 圆等。
加减消元法
总结词
通过对方程组中的各个方程进行加减操作，消除一个 或多个变量，将三元一次方程组简化为二元或一元一 次方程，进而求解。
详细描述
加减消元法是另一种常用的解三元一次方程组的方法。 它通过对方程组中的各个方程进行加减操作，消除一个 或多个变量，将三元一次方程组简化为更简单的形式。 与消元法不同的是，加减消元法通常在一次操作中消除 多个变量，从而减少所需的步骤数。加减消元法的步骤 包括：将方程组整理成标准形式、选择消元的方向和步 骤、进行加减消元操作、求解得到变量的值。
《三元一次方程组》 讲义
《三元一次方程组》讲义在数学的世界里，方程是我们解决问题的有力工具。
而当我们面对涉及三个未知数的情况时，三元一次方程组就登场了。
今天，咱们就一起来深入了解一下三元一次方程组。
一、什么是三元一次方程组三元一次方程组，简单来说，就是由三个方程组成的一组方程，每个方程都含有三个未知数，并且未知数的最高次数都是 1。
举个例子，像下面这样的就是三元一次方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＋ z ＝ 6 ＼＼2x y ＋ 3z ＝ 14 ＼＼3x ＋ 2y z ＝ 7＼end{cases}＼在这个方程组中，x、y、z 就是我们要去求解的未知数。
二、三元一次方程组的解满足三元一次方程组中所有方程的一组未知数的值，就是这个三元一次方程组的解。
比如说，如果 x ＝ 1，y ＝ 2，z ＝ 3 能够同时让上面的三个方程都成立，那么（1, 2, 3) 就是这个三元一次方程组的一组解。
三、解三元一次方程组的基本思想解三元一次方程组的基本思想和我们解二元一次方程组是类似的，那就是消元。
通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后再进一步转化为一元一次方程，从而求解出未知数的值。
那怎么消元呢？常见的方法有代入消元法和加减消元法。
四、代入消元法代入消元法，就是从一个方程中求出一个未知数用另外两个未知数表示的式子，然后把这个式子代入到另外的方程中，消去这个未知数，从而得到一个二元一次方程组。
比如说，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＋ z ＝ 6 ＼＼2x y ＋ 3z ＝ 14 ＼＼3x ＋ 2y z ＝ 7＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中得到 x ＝ 6 y z ，然后把这个式子代入到第二个和第三个方程中，就可以消去 x ，得到关于 y 和 z 的二元一次方程组。
五、加减消元法加减消元法呢，就是通过把方程组中的两个方程相加或者相减，消去一个未知数。
比如对于上面的方程组，如果我们把第一个方程乘以 2 ，得到 2x＋ 2y ＋ 2z ＝ 12 ，然后用这个式子减去第二个方程 2x y ＋ 3z ＝ 14 ，就可以消去 x ，得到 3y z ＝－2 。
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x3
a11a22b3 a11a22a33
a12b2a31 b1a21a32 a12a23a31 a13a21a32
a11b2a32 a12a21b3 b1a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
11
三项的分母相同，均为
2 2 1
D1 1 1 3 2 1 1 111 2 1 3 2 1 1 5,
0 1 1 1 2 1
D2 2 1 3 111 2 3 1 1 11 2 2 1 10,
类似地, 消去 x1, 得 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时, 得
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
aa2111xx11
a12b2
b1 b2
a12 a22
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
将 a11 a12 的第一列换成 b1
a21 a22
b2
将 a11 a12 的第二列换成 b1
a21 a22
b2
含参二元一次方程组求解
当 D 0 时,
二元线性方程组
aa2111xx11
a12 a22
13
例2
解线性方程组
2xx1 12xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解： D 2 1 3 11 1 (2) (3) (1) 2 11
1 1 1
111 2 2 1 131 5 0,
a13a22b3 a13a22a31
x2
a11b2a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23b3 b1a21a33 a13b2a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
15
D称为三阶行列式
12
三阶行列式中的符号
a11 a12 a13
D
a21
a22
a23
a31 a32 a33
对角线法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
• 与主对角线平行的蓝线上三元素的乘积冠以正号， • 与副对角线平行的黄线上三元素的乘积冠以负号． • 对角线法则适用于二阶与三阶行列式．
线性代数——先修课 第一章 线性方程组
§1.1 二元、三元一次方程组的求解
1
内容提要
从鸡兔同笼问题谈起 某类二元、三元一次方程组的求解 2、3阶行列式的引入
2
从“鸡兔同笼”问题谈起
线性
一次函数 一次方程
一次方程组 线性方程组
3
例1. 《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 解：设鸡和兔的数量分别为 x, y, 则
x y 35 2x 4 y 94 因为94-35-35=24，故兔子数量 y=24/2=12, 则鸡的数量x=35-12=23 (实际上，就是用方程②-方程①×2，消去x，求出y后，代回求得x)
4
含参二元一次方程组求解
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
组的求解公式
方程个数 = 未知数个数 系数组成的行列式 D ≠ 0 所求出的解是唯一的
ห้องสมุดไป่ตู้
进一步思考：
四阶、五阶,…,n阶行列式的概念？
四元、五元,…,n元线性方程组有 无类似的求解公式？
当方程个数 ≠ 未知数个数时，怎 么办？
当系数组成的行列式 D = 0时，怎 么办？
线性方程组解数是多少？无解， 唯一解，很多解
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
两式分母相同，且由方程组的四个系数确定。
为了方便, 引入记号
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1) (2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2, 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2;
a13 x3 a 23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
10
含参三元一次方程组求解
可得
x1
b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
b1a23a32 a12b2a33 a11a23a32 a12a21a33
x2 x2
b1 b2
的解为：
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
其中
D a11 a21
a12 , a22
D1
b1 b2
a12 , a22
D2
a11 a21
b1 . b2
含参三元一次方程组求解
类似地, 用消元法求解如下三元一次方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 D a31 a32 a33
1. 六项代数和，每一项都是三个元相乘； 2. 分析每项三个元素的下标，它们取自不同的行与列; 3. 行下标按升序排列后, 列下标恰好取遍1,2,3的所有全排列.
1 0 1 1 2 2
D3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 111 5,
1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
14
本讲小结
引入二阶、三阶行列式的概念 给出一类二元、三元线性方程
副对角线
主对角线
称为：二阶行列式
7
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
分子由方程组的两个系数及两个常数项共同确定。
b1a22