2016年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解
高中数学联赛广东预赛解答最终
高中数学联赛广东预赛解答最终公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-2019年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2019年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22. 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.解：ln 2)-.函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称.函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b (>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分 从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<. 则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分||||AQ k k ⇔<⇔>……16分 2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求 的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。
2016年全年国高中数学联赛广东省预赛试题与解答
2016年全国高中数学联赛广东省预赛试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设函数)(x f '是偶函数)(x f )0(≠x 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是_____.2. 若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是_____.3. 将正整数 ,,,2,1n 按第k 组含1+k 个数分组： ),9,8,7,6(),5,4,3(),2,1(,那么2016在第 _____ 组.4. 数列1{}n n，1, 2,n =,中的最小项的值为_____.5. 设函数21)(ax x e x f x---=当0x ≥时单调递增，则a 的取值范围为_____.6. 从m 个男生和n 个女生()104m n ≥>≥中任选2 个人当班长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同. 如果A 的概率和B 的概率相同，则(),m n 可能为______________.7. 已知锐角βα,满足条件：,1sin cos cos sin 2424=+βαβα 则=+βα_____.8. 设抛物线x y C 4:2=的焦点为F , 过点F 的直线L 与C 交于Q P ,两点. 设L 与抛物线C 的准线交于点M , 且FP FM 3=，则=||FP _____.二、解答题（本大题共3小题，共56分）9.如图1，直角梯形ABCD ，1===12AB AD DC . 将△ABD 沿BD 折起来，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2，设G 为AD 的中点，2AH HC =，BD 的中点为O . （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求平面GHB 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值；（3）在线段BC 上是否存在点E ，使得DE ∥平面GBH ，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由.10.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . 证明：（1）直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值22ba -；（2）若l 过点),(a b ，延长线段OM 与C 交于点P ，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l 的斜率bak l ⋅±=374.11.已知12,,,m a a a 都是不等于0的数)2≥m （，且对于任意整数(),0,1,2,,1,k k n n m =<-都有1220,k k m a a m a ++=证明数列12,,,m a a a 中至少存在1n +对相邻的数符号相反.解 答1. )1,0()0,1( - 提示：令xx f x F )()(=，则)(x F 为奇函数，在),0(+∞上单调递减，通过图象得0)(>x f 成立的x 的取值范围是)1,0()0,1( -.2. 5. 提示：由)0,0( 53>>=+y x xy y x ，可化为若()()()()y x y x 43459354⋅=⨯+⨯, 即2536544593=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . 易知，51,53>>y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-593x 和⎪⎭⎫ ⎝⎛-544y 均为正数.于是，由基本不等式，得 551325362 5135445932 51354459343=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+y x y x y x当且仅当943455x y -=-，即21,1==y x 时，上述不等式取等号，因此y x 43+的最小值为5.3. 63. 提示：第n 组的最后一个数为n n n ++2)1(，当n=62时，201562263622)1(=+⨯=++n n n ，故n=63. 4.提示：讨论函数xx x f =)(的最值.5. ]2/1,(-∞ 提示：题设即0,021)('>>--=x ax e x f x恒成立.设x e x g x 21)(-=，则021)('2>+-=x e xe x g x x ，所以g(x)是增函数，最小值在接近0处取得，使用洛必达法则得：2121lim )(lim =-=x e x g x ，以a 的取值范围是]2/1,(-∞ 6. (,)(10,6)m n = 提示：222()m n m n C C P A C ++= ()1122() 2m n m n C C P B m m n C +==>-=+ m n +是完全平方数，{{91634m n m n m n m n +=+=-=-=919 m n ≤+≤⇒(,)(10,6).m n =7. o90=+βα提示：由于0)sin sin cos ()cos cos sin (1sin cos cos sin 22222424=-+-=-+ββαββαβαβα， 且βα,都为锐角，因此o90=+βα.8.34提示：过点P 作准线的垂线交于点H, 则 |FP|=|PH|. 由 32||||2|PH |==MF MP , 我们有|PH|=34, 故|FP|=349.（1）∵=AB AD ，O 为BD 的中点,∴AO ⊥BD , 又平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD BD =,∴AO ⊥平面BCD . （2）取DC 的中点M ，连结OM ，则OM ∥BC 由图1可知，=B BD C ,=2DC ， ∴BC ⊥BD ,∴OM ⊥BD , 由（1）知，AO ⊥平面BCD ，∴OA ,OM ,BD 两两垂直，分别以射线OD ,OM ,OA 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0)O，()44G,(0,0,2A,(,0,0)2B -,(2C -, ∵2AH HC =，∴(,336H -, 设平面GHB 的法向量为(),,n x y z =，∴00GB n GH n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴30780x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，取1x =，则11,,32n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）知，OA =是平面BCD 的法向量， ∴平面GHB 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值为6cos cos ,41n OA θ==. (3)假设在线段BC 上存在点E ，使得DE ∥平面GBH ，设()01BE BCλλ=<≤,∴,02E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,又2D，∴()1,01,,3022DE n ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，∴2λ=, 这与01λ<≤矛盾，所以在线段BC 上不存在点E ,使得DE ∥平面GBH .10.（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，因为直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， 所以0,0,,21212121≠+≠+≠≠y y x x y y x x ，于是1212x x y y k l --=，00x y k OM =.因为M 为线段AB 的中点，所以0212x x x =+，0212y y y =+，又1221221=+b xa y ，1222222=+b x a y ，两式相减得， 0))((1))((12121221212=-++-+x x x x b y y y y a ， 整理得2221211212b a x x y y x x y y -=++⋅--，所以2200121222b a x y x x y y -=⋅--，所以22b a k k OM l -=⋅，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值22ba -. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分.设),(00y x M ，则)2,2(00y x P ，因为点P 在椭圆C 上，所以41220220=+b x a y ，即422202202b a y b x a =+①由（1)的结论可知22ba k k OMl -=⋅，又因为00x b y a k l --=，00x y k OM =，所以220000ba x y xb y a -=⋅--，整理可得4220202202202b a y ab bx a y b x a =+=+， 所以 400abby ax =+②， 由①②可得，)(4)(16202202200y b x a by ax +=+ 整理可得，038320200202=++y b y abx x a ， 所以03)(8)(32002002=++a x yab x y b ， 所以baa b b a b a ab x y 3746366482222200±-=-±-=，所以b a a k OM 374±-=, 所以b a baa b a k b a k OM l ⋅±=±--=-=374374222211. 不妨设0,m a >否则可将12,,,m a a a 中所有数都乘以 1.-取,1,,nj i j j b c i i m ==⋅=∑，其中01,,,n c c c 为任意实数，由已知条件有1110m m n n mjji iijjii i j j i a b a c i c a i========∑∑∑∑∑ （1）.设数列12,,,m a a a 中有k 对相邻的数符号相反，用12,,,k i i i 表示这些数对中第一个元素的下标()121.k i i i m ≤<<<≤如果1,k n <+我们取()()()12()i k i b f i x i x i x ==-⋅--，其中1,1,2,,.2l l x i l k =+=函数f 在且仅在点12,,,k x x x 处变号，注意到1,2l l x i =+我们有10, 1,2,,.i i l b b i i l k +⋅<⇔==所以，数列12,,,m a a a 中变号的数对和数列12,,,m b b b 中变号的数对的下标是相同的。
2016年全国高中数学联合竞赛加试(A)含答案解析(PDF版)
O1O2 与 AB, AC 分别交于点U ,V ．
X
证明：△ AUV 是等腰三角形．
A
O1 U
O2 V
B
C
Y
证法一 作 ∠BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外
接圆分别为ω1 和 ω2 .
由内角平分线的性质知，BP = CP
AB . AC
由条件可得 BX CY
−
a12
)
．
由已知得，对
i
=
1,
2,,
2015 ，均有
ai
−
a2 i +1
>
11 9
a2 i +1
−
a2 i +1
≥
0
．
若 a2016 − a12 ≤ 0 ，则 S ≤ 0 ．
…………………10 分
以下考虑 a2016 − a12 > 0 的情况．约定 a2017 = a1 ．由平均不等式得
∑ ∑ ∑ 1
试确定所连线段数目的最大值．
解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证
明 G 的边数不超过 15．
设
G
的顶点为
v1,
v2
,,
v10
，共有
k
条边，用
deg(vi )
表示顶点
vi
的度.
若
deg(vi
)
≤
3
对
i
=
1,
2, ,10
都成立，则
∑ =k
1 2
10 i =1
deg(vi )
≤= 1 ×10× 3 2
2016年高中数学联赛试题答案
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
广东省2016年高考数学适应性考试试题 理(全国卷,含解析)
广东省2016年高考数学适应性考试试题 理（全国卷，含解析）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B = （ ） A ．[3,1]-- B ．(,3][1,0)-∞--C ．(,3)(1,0]-∞--D ．(,0)-∞ 【答案】B【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞ ，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)A B =-∞-- ．2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则7i 1ia a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C【解析】∵z为纯虚数，∴a =∴7i 3i i 1i 3a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)n n- B ．32n+ C ．3nD ．132n -⋅【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2a S a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，1239a a =⎧⎨=⎩，经代入选项检验，只有C 符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ）A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 223(2sin 2)2222x x x x =-=-)6x π=+，故选B ．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题【答案】D8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 【答案】A【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317P C ==． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122⋅==a b a ，∴||+==a b==10．62)21(x x -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615【答案】D【解析】2612316611()()()22rr r r r rr T C x C xx --+=-=-， 令1230r -=，解得4r =．∴常数项为446115()216C -=． 11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y 【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为2依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =D ．12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=00||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．①231y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；②32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>，符合条件；③0x y e '=>，符合条件；④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2na 成等差数列，则=n a ． 【答案】n【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+当1n =时，2111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =当2n ≥时，2211122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--， ∴2211()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=，∴{}n a 是等差数列，其公差为1， ∵11a =，∴*(N )n a n n =∈．16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =，由2sin aA=，得2sin a A == ∵2222cos a b c bc A =+-，∴222431bc b c a =+-=-=，∴11sin 22ABC S bc A ∆===．18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5ab =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元． 19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，F ．∵4BF ==，3PF =，∴3(2P，(2,0,FB =- ，(0,2,0)AC =，3(,0,22AP = ．∵0FB AC ⋅= ，∴FB AC ⊥． ∵0FB AP ⋅= ，∴FB AP ⊥ ．∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A = ， ∴FB ⊥平面APC ．PCABEF（2）∵(2,0,0)AB =，3(,2,22PC =-- ，记AB 与PC夹角为θ，则cos =AB PC AB PC θ⋅==【方法2】（1）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA=∵2223912PA PF AF +=+==，∴PA BF ⊥．∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF 平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．PN MB ==，32AN =，52NC ==，BC =PC ==，MC ==，135744cos22MPC+-∠===⋅∴异面直线PC与AB20．（本小题满分12分）已知抛物线C：xy42=，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点1P、2P和点3P、4P，线段21PP、43PP的中点分别为1M、2M．（1）求21MFM∆面积的最小值；（2）求线段21MM的中点P满足的方程．【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F，设直线12PP的方程为(1)y k x=-，0k≠．联立2(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k-++=．（*）22222[2(2)]416(1)0k k k k∆=-+-=+>．设111(,)P x y，222(,)P x y，则21222(2)kx xk++=．设111(,)M MM x y，则1112122222(1)MM Mx x kxky k xk⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩．类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．∴1||FM ==2||2||FM k ==， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+．∵1||2||k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=．令()0f x '=，得210x mx -+=．当240m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得1x =2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<， ∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211(()()ln 2m m m m f x =+-=，而22222044m m m -+-+-<<，40124m <=<=（∵2m >），∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x +-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）．（*）记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥．由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ， AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．【解析】（1）连接FC ，OF ， ∵ AB AF =，OB OF =，EFG COABAF∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是O 的直径，∴CF BF ⊥． ∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C的交点为,A B ．（1（2【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45 ．∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 即直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2(sin )2cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =，∵1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴2(2)2(1)22t t -+=+，∴240t -+=，∴124t t =24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞ ．。