材料力学B弯曲应力
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材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学5弯曲应力_图文
（1）合理安排载荷 （2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料弯曲应力
材料弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是指在横截面上的一个点上由于外部载荷而引起的正应力（垂直于横截面的方向）。
弯曲应力的大小取决于材料的弯曲形状、外部载荷的大小和分布、以及材料的截面性质。
弯曲应力（σb）可以用以下的公式表示：
其中：
•σb是弯曲应力；
•Mc是在横截面上的一个点上的弯矩；
•S是该点处横截面的静力矩。
弯曲应力的单位通常是帕斯卡（Pascal，Pa）或兆帕（Megapascal，MPa）。
弯曲应力会导致材料产生弯曲变形。
对于均匀材料的简单弯曲梁，弯曲应力在横截面上是不均匀的，最大的弯曲应力通常出现在横截面的最外层纤维，而中性轴上的应力为零。
了解弯曲应力是设计和分析工程结构、梁、梁板等零件的重要因素。
在工程实践中，通常需要考虑弯曲应力来确保结构的安全性和稳定性。
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
材料力学-弯曲应力
对于宽为b高为h的矩形截面：
W
bh3 12
bh2
h
6
2
对于直径为d的圆形截面：
W d 4 64 d 3
d
32
2
限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：
max
M max W
设σt 表示拉应力，σc 表示压应力，则：
t max t
cmax c
塑性材料， [σt]= [σc]= [σ]；
所以由（1）式：
A
d
A
A E
y
d
A
E
A y d
A
E
Sz
0
由（2）式：
说明中性轴过形心
A z
d
A
A zE
y
d
A
E
A
yz d
A
E
I yz
0
由于y轴是对称轴，此 式自然满足。
由（3）式：
A
y
d
A
A
yE
y
d
A
E
A
y2
d
A
E
Iz
M
1 M
EI z
1 为梁轴线变形后的曲率 ；
由变形几何关系得到 y
由物理关系得到
bh2 2b3 W
63
故： b 121.6 mm
h 2b 243.2 mm
选取截面为： 125 250 mm 2
e.g.3 已知：l=1.2m，[σ]=170MPa， 18号工字钢，不计自重。
求：P 的最大许可值。
P A
解：作弯矩图， 由图可得：
M
| M |max Pl 1.2P N m
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
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第五章 弯曲应力
材料力学
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形前 a
O
1 变形几何关系
变形后
b H d
O1
dq
a
O G’
G ' H ' GH G ' H ' OO1 x OO1 GH
b
O1 H’
G c
( y )dq dq y dq
x
c
d y
x
y
y
中性层曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学 性质有关。 距中性层的距离。
材料力学
两个问题：中性层位置？曲率半径 =？
3 静力等效关系
F dA
x A
Ey
A
dA EAFra bibliotekydA
ES z
0
S z ydA
A
横截面对中性轴的静矩（或面积矩）.
由于
E
0 ，则必有
z
Sz 0
则
yC
A
ydA A
Sz 0 A
y
这表明：中性轴必定通过截面形心.
第五章 弯曲应力
材料力学
静力等效关系
M
y
A
( dA) z Eyz
A
dA
E
A
yzdA
EI yz
0
I yz yzdA
A
横截面对y轴、z轴的惯性积。
由于y轴是对称轴，则必有
I yz 0
横截面上无侧弯矩！
y
z
第五章 弯曲应力
材料力学
静力等效关系
M
z
材料力学
观察变形现象
1.横向线仍保持直线.
2.纵向线弯曲为曲线.
3.纵向线仍与横向线相 正交. 4.底部纵线伸长，顶部纵 线缩短. 5.纵线间距离保持不变.
第五章 弯曲应力
材料力学
变形假设
1) 平面假设
对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与 梁轴正交，只是横截面间做相对转动。
2) 单向受力假设 各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无 挤压或拉伸作用。
材料力学
对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面 上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。
M （x ）y x Iz
max
M ( x) M ( x) I z / ymax Wz
这里，弯矩M是截面位置x的函数。
第五章 弯曲应力
材料力学
梁的弯曲正应力强度条件
max
M max ymax Iz
第五章 弯曲应力
材料力学
推论 1.横截面上只存在正应力.
(纵向线与横向线保持直角.) 2.正应力分布不是均匀的. (纵向线中既有伸长也有缩短的.)
第五章 弯曲应力
材料力学
中性层和中性轴
如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤 维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个 平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的中性层， 中性层与各横截面的交线成为中性轴。
y
z
称为抗弯截面模量
第五章 弯曲应力
材料力学
弯曲正应力的分布
z
y
max
max
max
M z ymax Iz
M z ymax Iz
z
max
y
第五章 弯曲应力
材料力学
抗弯截面模量
bh3 2 Iz bh Wz＝ 12 h h 6 2 2
hb3 2 Iy hb Wy＝ 12 b b 6 2 2
zc
3
Wy
Iy zmax
hb hb (1 ) 6 hb
2
3 1 1 3
第五章 弯曲应力
材料力学
§5-3 横力弯曲时的正应力 纯弯曲 梁的纯弯曲段只受弯矩 的作用，并且各横截面 上弯矩相等。 横力弯曲
梁的受力段受剪力和弯 矩同时作用，弯矩是横 截面在梁轴上的位置函 数。
第五章 弯曲应力
b
y
h
z
z
y
d
3 I d Wy Wz＝W 64 d d 32 2 2
d4
第五章 弯曲应力
材料力学
yD
b
h
C
b1
yc
z
d
Iz D 3 Wz Wy W (1 4 ) ymax 32
d D
h1
Iz bh 2 b1h1 Wz (1 3 ) ymax 6 bh
第五章 弯曲应力
材料力学
2 物理关系
根据单向受力假设, 横截面上任意点受单轴向应力作用. 根据胡克定律 Ey
x
x
x E x
M x
M
( y)
x
( y)
y M M x ( y) y
M
M y
( y)
x M y M
第五章 弯曲应力
材料力学
正应力的分布规律
第五章 弯曲应力
轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1）试求梁上的最大拉应力和最大压 应力，并指明产生于何处。（2）若=160MPa，校核此梁的 强度。 q=50kN/m
A c
y2=48mm
B 2m
RA RB 1m
z
y1=142mm
y
解： (1) 求支反力
RA 37.5kN
RB 112.5kN
第五章 弯曲应力
A
( dA) y y dA
2
Ey 2
A
dA
E
EI z
A
M
I z y 2dA –––截面对Z轴的惯性矩
A
Mz EI z
EIz –––截面抗弯刚度
y
1
z
第五章 弯曲应力
材料力学
联立方程
x
y
x E x
Ey
Mz EI z
1
最后可得
My x Iz M M max I z / ymax Wz Iz Wz ymax
材料力学
q=50kN/m A B 2m RA
37.5
(2) 画弯矩图
RA 37.5kN
极值点弯矩： 1m C点：
RB 112.5kN
x1 0.75m
M C 14.1kN m
50
RB B点：
62.5
(kN)
FQ
x1
C
B
M B 25kN m
最大弯矩：
M C
14.1
M max M B 25kN m
第五章 弯曲应力
材料力学
§5-1 纯弯曲
在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段 称为处于纯弯曲状态。
可以看出, 纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶.
第五章 弯曲应力
材料力学
纯弯曲
只在常值弯矩作用下的梁段.
第五章 弯曲应力
材料力学
横力弯曲 剪力和弯矩同时存在的梁段.
第五章 弯曲应力
或
max
M max Wz
解决三类问题
(1) 校核强度 (2) 设计截面尺寸 (3) 计算许用载荷
max
M [ ] Wz max
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
第五章 弯曲应力
材料力学
例 5-1 T形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性