九年级数学平行线分线段成比例

4、运用平行线分线段成比例定理
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交
AD
于点H，求证：EHHF
BD CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
A
C D
E
B
F
PF PG
G
D
C
E
P
F
A
B
H
（3）已知如图，D为△ABC中AC边的中点，过点D的任意直线交AB于点E，交BC的延长线于点F 求证：BE·CF = BF·EA
A
E D
B
C
F
（4）已知如图，△ABC中，DE∥BC，CD、BE交于点 O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N 求证： 1 1 2
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
场装点的异常神奇华丽……而这次创意表演的内容就是要把蚂蚁转化制做成团体操，并要求其中的十项主要指标至少要达到超级水准！随着七声礼炮的轰响，无数漂亮的小精灵拖着七缕深黑色的彩烟直冲天空……蘑菇王子站起身高声喝道：“本人蘑菇王子！太阳系的地球村！这次要让你们知道什么是森林，什么是小子，什么森林是真正的小子！！”蘑菇王子一边说着一边，超然把俊朗英武的、顽皮灵活的脖子摇了摇，只见七道飘忽的如同螺壳般的黑影，突然从充满活力的幼狮肩膀中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，锅底色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的地板腐酣味在迷朦的空气中跳跃！接着犹如雕像一般坚韧的下巴奇特紧缩闪烁起来……充满智慧的亮眼睛喷出青古磁色的飘飘春气……犹如白色亮玉般的牙齿透出浅橙色的隐约幽香……紧接着犹如雕像一般坚韧的下巴奇特紧缩闪烁起来……充满智慧的亮眼睛喷出青古磁色的飘飘春气……犹如白色亮玉般的牙齿透出浅橙色的隐约幽香……最后颤起快乐机灵的脑袋一吼，快速从里面跳出一道亮光，他抓住亮光壮观地一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发出“咝咝”的美音！突然间蘑菇王子发疯般地让自己镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带萦绕出青古磁色的钢轨声，只见他晶莹洁白、犹如白色亮玉般的牙齿中，威猛地滚出九团晃舞着∈七光海天镜←的怪毛状的软管，随着蘑菇王子的耍动，怪毛状的软管像撬棍一样在双肩上变态地安排出缕缕光幕……紧接着蘑菇王子又连续使出一百五十七派香鹏地痞闪，只见他青春四射的幼狮肩膀中，狂傲地流出九组摆舞着∈七光海天镜←的麋鹿状的牙齿，随着蘑菇王子的摆动，麋鹿状的牙齿像鼓锤一样，朝着醉狼地光玉上面悬浮着的七群蚂蚁神蹦过去！紧跟着蘑菇王子也滚耍着法宝像华灯般的怪影一样朝醉狼地光玉上面悬浮着的七群蚂蚁神踢过去。只见一组晶光闪过……巨面包顷刻化作一团相当阴森的亮蓝色泉水流，像拖着一串荒凉尾巴的怪剑一样直上云霄，而蘑菇王子也顺势追了上去！就见在湛湛明丽的清澈天空之上，拖着一串荒凉尾巴的怪剑在空中画了一条悠然的曲线……猛然！怪剑像烟花一样炸开！顿时，密如雨珠的烟云状物质像焰火一样从天空之上倾泻下来……这时已经冲到怪剑之中的蘑菇王子立刻舞动着∈七光海天镜←像耍黑豹一样，把烟云状物质状玩的如河马般闪烁……很快，空中就出现了一个很像森林小子模样的，正在陶醉狂舞的巨大怪物…………随着∈七光海天镜←的狂飞乱舞，七群蚂蚁瞬间变成了由麻密乱窜的美妙花瓣组成的一团
平行线分线段成比例
1、利用平行线分线段成比例定理求线段的长度
（1）已知如图，在△ABC中，EFCD是菱形，且AD = 3，
BF = 5，则菱形EFCD的边长为____________。
A
A
D
E
D
E
F
B
F
C
B
C
（2）已知如图，AD∥EF∥BC，且AD = 5，BC = 7，
E是AB的黄金分割点，AE>BE，则EF长为_____。
DE BC MN
A
D
E
M
N
O
B
C
5、运用平行线分线段成比例定理证明线段相等
（1）如图，已知四边形ABCD是正方形，FG∥CD，
求证：FG = BF
D
C
FG
A
BE
（2）如图，D、E是△ABC的AB、BC上的点，联结DE 并延长交AC的延长线于点F，BD ：DE = AB ：AC，求证： △EFC是等腰三角形
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3、利用平行线分线段成比例定理作图
（1）任意等分线段（a）三等分一条线段（b）将一条线段分成 3 ：2两部分（2）作第四比例项
已知线段a，b，c，作线段x，使 x bc a
a b c
（1）已知如图，在 ABCD中，AB = 6，AD = 2，延长 AD到H，使AH =7，对角线AC、BD相交于点O，联结HO交CD于F，AB于E，则AE长为________。
（2）已知如图， ABCD为正方形，过A的一条直线依次
与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G，AE = 5，
EF = 4，则FG = ___________。

H
A
D
E
D
F
C
O
A
E
B
F
B
CG
2、利用平行线分线段成比例定理求线段的比
（1）已知如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
E是CD中点，AE交BD于点F，则
DF FO
为_______。
（2）已知如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
DE ：AE = 1 ：2，则AF ：AB的值为________。

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4.2平行线分线段成比例++课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册

探究新知
如果把直线 n 向左平移到过A1的位置，并把图中的部分线擦去，
得到新的图形，那么基本事实中的对应线段是否仍然成比例？
A1 ( ) A2
B1
a
B2
b
A1(B1)
A2
B2
A3 m
B3 c n
A3
B3
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
用几何语言表述为：
A字型
∵DE∥BC， ∴ADDB＝AECE，AADB＝AACE，BADB＝AECC.
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A1 B1
A2
B2
A3
Hale Waihona Puke 三平两斜型a bB3 c
∵ a∥b∥c
∴
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
例1
如图，AD∥BE ∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于A,B,C和 D,E,F, 已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（） A.12.5 B.12 C.8 D.4
课堂小结平
行线分线段成比例
三
一个基本事实
个
一个推论
一
一个口诀
两个模型：三平两斜型 A字型
数形结合三
个
分类讨论
思
想
由特殊到一般再到特殊
感谢聆听
复习回顾
1.什么叫线段的比？ 2.什么叫成比例线段？ 3.比例的基本性质是什么？
探究新知
平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交
直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.

新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例

27.2 27.2.1 第1课时
一、相似三角形
相似三角形相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH

.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12

冀教版九年级上册数学《平行线分线段成比例》说课教学复习课件

360º的圆心角所对的弧长就是圆___周__长__C___2_π_R.
B
（1）1º的圆心角所对的弧长 l 是：l 1 2πR= πR
360
180
O
A
（2）nº的圆心角所对的弧长 l 是：l= n 2πR nπR
360
180
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的圆中， 360º的圆心角所对的扇形的面积就是_圆__面__积___S__π_R_2.
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AB 2，则 AE
DB 3 EC 等于( C )
A. 1 3
C. 2 3
2 B. 5
D. 3 5
2 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例
式中不成立的是( B )
A．OC∶OD＝OA ∶ OB B．OC ∶ OD＝OB ∶ OA C．OC ∶ AC＝OD ∶ DB D．BD ∶ AC＝OD ∶ OC
得解．
∵ AB∥CD∥EF，
∴ BH AH ，AD BC ，AF BE ，故选项A，B， HC HD DF CE DF CE
D正确．
∵CD∥EF，∴
HC HE
＝
HD HF
，
故选项C错误.
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．
h
l
O● r
圆锥的形成顶点
把准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．
母线
高
侧面
底面半径
问题1:这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？问题2:这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?

湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿

湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册第三章第二节的内容。

本节内容是在学生掌握了平行线的性质，相交线段的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，然后引导学生通过观察，推理，验证等方法发现平行线分线段成比例的定理，最后通过一些练习题让学生巩固这个定理的应用。

整个章节内容难度适中，学生通过观察，实践，思考，交流等活动，能够提高自己的空间想象能力和逻辑推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，相交线段的性质等知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑推理能力。

但是，对于一些抽象的概念和定理的理解还是有一定的难度，需要通过具体的实例和实践活动来帮助理解。

同时，学生的学习兴趣和积极性也是影响学习效果的重要因素。

因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，设计一些有趣，富有挑战性的活动，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，积极思考。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察，推理，验证等方法发现平行线分线段成比例的定理，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的合作意识和团队精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。

2.教学难点：对于一些抽象的概念和定理的理解，如何引导学生通过具体的实例和实践活动来帮助理解。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生在具体的情境中感受和理解这个概念。

2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件3.2平行线分线段成比例

由已知 AB 2 ，得 1 AB 1 BC.
BC 3
2
3
由于
AD
DB
1 2
AB
，
BE
EF
FC
1 3
BC.
因此 AD DB BE EF FC .
知识讲解
由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1 D1 2 .
第3章图形的相似
第3章图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
学习目标
1 了解平行线等分线段成比例的基本事实. 2 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 3 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 4 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决
相关的计算和证明问题.（难点）
知识回顾
1.比例线段的概念
解: ∵ 两条直线被三条平行线所截，
∴
,
即 4x ＝ 3×7 ,
.
随堂训练
5.如图，已知直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A，C，E， B，D，F，AC = 4，CE = 6，BD = 3，求 BF 的长.
解：∵a / /b / /c
AC BD CE DF
即4 3 6 DF
4DF 36 DF 18 = 9
∴ 2 AC 1.8 ,
3
AC
∴ 2AC 3( AC 1.8).
解得 AC 5.4.
随堂训练
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ D ）
A. —ACCE—＝ —BDDF— B. A—C—＝ —BD—
AE BF C. C—E—＝—D—F
AE BF D. A—E—＝—BD—

4.2平行线分线段成比例课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册

AF交BC于点D，若BF=3EF，则 =

.

.

（ B）

.

.

点拨：过点E作 //交 BC 于点H,则

=

.

∵BE 是 △ 的中线， ∴ = , ∴ = .
∵ //, = , ∴

=

= , ∴
1 2 1 2
3 .计算
与
的值，你有什么发现？
2 3 2 3
如果不通过测量，我们要将一条长为5厘米的细线分成两部
分，使得这两部分之比为2：3.我们如何运用所学知识解决
这个问题呢？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本82-83页内容.
2.思考并完成课本82页导入的内容中的问题可以得出什么结论？
例2：如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交
AC于E，如果

= ，那么BD：BC等于（
D
）
A.3:5 B. 5:3 C.8:5 D. 3:8
点拨: ∵ //, ∴

=

=

,∴

=

.

【题型三】平行线分线段成比例与三角形中位线的综合应用
例3：如图，BE是△BC的中线，点F在BE上，延长
平行的直线，用它们截两条直线，然后测量被截
的每段线段的长度，观察并计算是否满足本节课
所学的基本事实.
清楚哪些线段是对应的，切勿写反.
注意：在应用基本事实和推论时，我们需要注意的是：对应线段成比例，一

初三数学第5讲：平行线分线段成比例定理

教学内容一、知识要点：1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。

2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

FED C B A FEDCBA问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？牛刀小试：1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。

求BD 、DF 的长。

A BC DE F2、如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________L 3L 2L 1FEDCBA3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。

求BF 、CE 的长。

第 1 页共 9 页4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。

FCED B A二、典型例题：1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。

LFCEDBA巩固练习： 1、已知abcx,求作x,则下列作图正确的是（） Axc ba Bxc b aCxcba Dx c ba2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（） A 、AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE=BE CF2L 3L 2L 1FED CB A4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。

求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。

A BC D E M NF G H思维拓展：1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，21BF FC =，求CO ：AO 的值。

4.2平行线分线段成比例(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册

-举例：使用相似三角形的性质或者平行线的性质来证明比例线段的成立，学生需理解并内化这一过程。
-比例线段的灵活应用：在实际问题中，如何将问题转化为比例线段的问题，并进行求解，是学生容易感到困惑的地线段的结构，并正确设置比例关系进行计算。
-解决问题的策略选择：学生在面对具体问题时，选择合适的方法和策略来解决比例线段问题，是学习的难点。
-举例：在有多种解法的情况下，如何选择最简捷、最高效的解题方法。
-空间观念的培养：对于几何图形在空间中的位置关系的理解和应用，对于部分学生来说是一个难点。
-举例：在三维空间中，如何将平行线分线段成比例的性质应用于不规则物体的切割和比例计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《4.2平行线分线段成比例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条平行线之间的线段被分成比例的情况？”（如操场跑道的划分）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线分线段成比例的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现学生对理论知识的接受程度较高，但当我将问题具体化，进行案例分析时，部分学生开始显得有些吃力。这说明我们在教学中，除了讲解理论知识，还应加强实际案例的分析，让学生更好地理解和掌握。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们对平行线分线段成比例有了更直观的认识。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对问题的分析不够深入，容易停留在表面。这可能是因为学生对几何直观能力的培养还不够，需要在今后的教学中加以强化。
-举例：已知平行线l1和l2之间的横截线段AB，且AC/BC = 2/3，若AC=4，求BC的长度。
-实际问题的应用：将比例线段知识应用于解决实际问题，提高学生学以致用的能力。

4.2平行线分线段成比例-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件

的推论
平行于三角形一边的直线与其他两
边相交，截得的对应线段成比例.
符号语言：
若DE∥BC ，则

=

,
= ,

= .
熟悉该定理及推论的几种基本图形
例如图，在△ABC 中，E,F 分别是AB 和AC上的点，且
EF∥BC .
（1）如果AE = 7,EB=5，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
A
D
E
B
C
l1
l2
F l
3
（1）
A
D
B
E
C F
（2）
l1
l2
l3
解：（1）AB DE ，则DE AB EF 5 4 20 .
BC EF
BC
7
7
（2）DE AB ，则BC AB EF 5 7 35 .AC AB
EF BC
DE
6
6
BC 5 35 65 .
如上图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3
是对应线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段.
2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的
比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书
小心出
写时，要把对应线段写在对应的位置上.
错奥！
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线
上的线段，与这组平行线上的线段无关.
2
3
（1）计算
A1 A2 B1 B2
，
A2 A3 B2 B3
你有什么发现？
1 2 1 2
=
2 3 2 3