相似三角形详细讲义

(2)对称性：若 ∽ ，则 ∽ ．
(3)传递性：若 ∽ ，且 ∽ ，则 ∽ ．
三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
（4）当 或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．
（直角梯形）
相似三角形的应用
1测量物体的高度（宽度，长度）在利用相似三角形的性质解题的过程中要牢记（1）太阳光线是平行线，易找到相似三角形。2在某一时刻， 3台球的入射角和反射角会形成相似。镜子的反射，球的反弹等都会形成相似。
测量物高的方法有1利用阳光下的影子原理旗杆高：人高＝旗杆影长：人影长 缺点 需要阳光，阴天不行2利用标杆在人和旗杆中间树立一个可以测量长度的标杆，形成两个三角形相似优点无需阳光，有关数据易测，测量工具简单。缺点增加了标杆的测量，要求观察者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端对齐，三点共线。
相似三角形常见的图形
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
教育教学讲义
学员姓名：
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上课时间：
辅导科目：数学
课时数：2
课题
相似三角形
教学目标
1通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。
2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中，往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。
∴ △BCE∽△ACB．
∴ ， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
针对练习：
证法二（构造2AC）：
证法三（构造 ）：
典型例题．如图， 为 的角平分线， 垂直于 的延长线于 ， 于 ， ， 的延长线交于点 ，
求证：
证明 ， ，
， .
又 ，
∽
，
即 .
针对练习：如图，梯形 中， ， 为 的中点，分别连结 ， ， ， ，且 与 交于 ， 与 交于 ，
例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且 。
求证：∠AEF=∠FBD
例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，
求证：SQ∥AB，RP∥BC
例3、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，
求证：FC=FG
，
设 为 ，则
由勾股定理得
矩形 面积
漏解：如图所示的情况时， ，同理可得
针对练习1：如图所示直角 中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。
针对练习2： 是 的高， 是 的中点， 交 于 ，若 ， ， ，求
一、如何证明三角形相似
A．12m
B．10m
C．8m
D．7m
．（2011•丹东）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（ ）
A．1.25m
B．10m
C．20m
D．8m
（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图若AD.AC＝AE.AB,∠DAB＝∠CAE则△ADE与△ABC相似吗？
1典型例题1、已知：如图，在△ABC中，∠A长．
分析：由已知AC=6，DB=5，选用 来解决，考虑△ACD∽△ABC．
解：在△ACD和△ABC中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
求证：△DBE∽△ABC
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，
使AD=BE，求证：DF AC=BC FE
例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MD ME；（2）
（1） ；
（2）△ADE 与△ABC的周长之比；
如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，
DM＝MP＝PA，则MN＝，PQ＝。
求多边形的面积
典型例题1．如图，已知：在 与 中， ， 交 于 ，且 ， 交 于 ， 。求 和
解答： ， ∽
又 ，
，
， ∽
，
又 ∽ ， ，
相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
相似三角形与全等三角形相关联系：不相似的三角形一定不是全等三角形。（对）相似三角形也可能是全等三角形。（对）全等三角形一定是相似三角形。（对）不全等的三角形一定不是相似三角形（错）相似三角形一定不是全等三角形（错）全等三角形不一定是相似三角形（错）
3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。
4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。
教学内容
课前检测全等三角形的概念?
知识梳理
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注意：
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
对应角和对应边关系是 对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。对应角相等一般是公共角，平行时的内错角，同位角相等，对顶角相等，同角的余角或补角相等。
大边对大角，大角对大边。
温馨提示：在解题中要善于借助于中间量的牵线搭桥，这里的中间量主要指中间比，中间线段，中间角，中间等积式等。灵活的运用等积式与比例式的互化，寻找解题思路，创设条件，善于运用类比的方法分析思考问题。加强运用观察，分析，联想，归纳，探索等方法技巧。
例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则
△AGD∽∽。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，
求证：△ABC∽△BCD
例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，
以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
求证： BC2＝2CD·AC．
思考：欲证BC2＝2CD·AC，只需证 ．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？
证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
课堂练习
练习题
1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 ,则BM=______.
∴△ACD∽△ABC．
∴ ．∴ ．
设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，
∴ ．
解得：x=4（舍去负值）
∴AD=4．
针对练习：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．
（1）求证： ；
2典型例题2已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，证：AE：ED=2AF：FB。
已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点
求证：MD：ME＝ND：NE
证明：
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
（AD）2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，