2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测(三)理

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测

（三）理

一、选择题(每小题5分,共45分)

1sin,则2sin2-1=()

A.B.-C.D.±

1.B【解析】由已知得cos θ=,所以2sin2-1=-cos θ=-.

2.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值是()

A.B.C.D.-

2.B【解析】sin 239° tan 149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=(-c os 31°)(-tan 31°)=sin 31°=.

3y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则

φ=()

A.B.

C.D.

3.D【解析】由题可知=3-1?T=8,所以ω=.由函数图象过点(1,1),将其代入函数式,解得

φ=.

4a,b,c为三角形ABC三边,a≠1,b

log c+b a+log c-b a=2log c+b a log c-b a,则三角形ABC的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定

4.B【解析】由log c+b a+log c-b a=2log c+b a log c-b a得,

即log a(c-b)+log a(c+b)=2,∴log a(c2-b2)=log a a2,即c2-b2=a2,∴a2+b2=c2,∴该三角形为直角

三角形.

5g(x)是将函数f(x)=cos 2x向左平移个单位得到的,则g等于() A.1 B.-C.0 D.-1

5.D【解析】由f(x)=cos 2x向左平移个单位得到的是g(x)=cos 2,则g=cos 2=cos π=-1.

6.已知tan(π-α)=-2,则=()

A.-3

C.3

D.-

6.D【解析】根据tan(π-α)=-2可得tan α=2,从而

=-.

7.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()

A.B.C.D.

7.B【解析】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C得a2≤b2+c2-bc,变形得b2+c2-a2≥bc,∴cos A=,又∵A为三角形的内角,∴A的取值范围是.

8ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,△ABC的面积为,则C=

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

8.C【解析】∵△ABC中,∠B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得,∴sin ∠C=,∴∠C=60°或120°,当∠C=60°时,∠A=90°;当∠C=120°时,∠A=30°.当∠A=90°时,∴△ABC的面积为·AB·AC=;当∠A=30°时,∴△ABC的面积为·AB·AC·sin ∠A=,不满足题意,则∠

C=60°.

9.已知f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,则sin 2θ+cos 2θ的值为()

A.B.2 C.D.1

9.D【解析】∵f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴(-x)2+(sin θ-cos θ)(-x)+sin θ=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ,∴sin θ-cos θ=0,即sin θ=cos θ,∴sin 2θ+cos

2θ=2sin2θ+cos2θ-sin2θ=sin2θ+cos2θ=1.

二、填空题(每小题3分,共15分)

10ABC中,已知角C=,a2+b2=4(a+b)-8,则边c=. 10.2【解析】由a2+b2=4(a+b)-8得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得

c2=a2+b2-2ab cos=4+4-2×2×2×=4,所以c=2.

11.已知tan α=2,tan(α+β)=,则tan β的值为.

11.- 【解析】tan β=tan[(α+β)-α]= =-.

12f(x)=4sin2x+(x∈R)有下列结论:

①y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数;

②y=f(x)的图象可由y=4cos的图象平移得到;

③P(4,0)是y=f(x)的一个对称中心;

④y=f(x)的图象关于直线x=对称;

⑤函数f(x)在区间上单调递增.

其中正确结论的序号是.

12.①②④⑤【解析】函数f(x)=4sin的周期为T==π,①正确;y=4cos=4cos-2x+=4sin2x+,将其向左平移得到4sin2x++=4sin2x+=4sin,②正确;在f(x)=4sin2x+中,令x=4,得

y=4sin8+≠0,③错误;在f(x)=4sin中,令x=,得f(x)=4sin=4,因此④正确;在f(x)=4sin2x+中,令2kπ-≤2x++2kπ,解得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,所以⑤正确.

三、解答题(共60分)

13.(12分f(x)= (cos2x-sin2x)+2sin x cos x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)设x∈,求f(x)的值域和单调递减区间.

13.【解析】(1)f(x)= cos 2x+sin 2x=2sin,∴T=π.

(2)∵x∈,∴-≤2x+≤π,

∴-≤sin≤1,

∴f(x)的值域为.

当≤2x+≤π时f(x)单调递减,解得x∈,∴f(x)的单调递减区间为.

14.(12分ABC中,已知tan A·tan B=.

(1)求tan C的取值范围;

(2)若△ABC边AB上的高CD=2,求△ABC面积S的最小值.

14.【解析】(1)在△ABC中,tan C=-tan(A+B)=,

由tan A tan B=,A,B都是锐角,

所以tan C=3(tan A+tan B)≥6=4,当tan A=tan B=时tan C有最小值,故tan C≥4. (2)设AD=x,BD=y,则tan A=,tan B=,

所以,即xy=3,且x>0,y>0,

所以S△ABC= (x+y)CD=x+y≥2=2,

当x=y=时“等号”成立.

所以△ABC面积S的最小值为2.

15.(12分f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0).y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.

(1)求φ;

(2)求函数y=f(x)的单调递增区间;

(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

15.【解析】(1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,

∴sin=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z,

∵-π<φ<0,∴φ=-.

(2)由(1)知φ=-,∴y=sin.

由题意得f(x)单调递增时有2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

∴函数y=sin的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.

(3)∵|y'|='=2cos≤2,

∴曲线y=f(x)的切线的斜率取值范围是[-2,2],

而直线5x-2y+c=0的斜率为>2,

∴直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

16.(12分)如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P 引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.

16.【解析】∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ.

∴∠OCP=120°.

在△POC中,由正弦定理,得,

∴,∴CP=sin θ.

又,∴OC=sin(60°-θ).

∴△POC 的面积为S (θ)= CP ·OC sin 120°=sin θ·sin(60°-θ)·sin θ sin(60°-θ)=

sin θ×cos(2θ-60°)- ,θ∈(0°,60°). 故当θ=30°时,S (θ)取得最大值为.

17.(12分f (x )=sin(ωx+φ),其ω>0,|φ|<,若coscos φ-sinsin φ=0,且图象的两条对称轴间的最近距离是. (1)求函数f (x )的解析式;

(2)若A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且f (A )=-1,求sin B+sin C 的取值范围. 17.【解析】(1)由已知可得,coscos φ-sinsin φ=cos·cos φ-sinsin φ=cos =0,

∵|φ|<,∴-+φ<,∴+φ=,∴φ=,

又图象的两条对称轴间的最近距离是,∴周期为π,∴ω=2.

∴f (x )=sin .

(2)由f (A )=-1,知sin =-1,

∵A 是△ABC 的内角,∴0

由sin B+sin C=sin B+sin =sin,

∵0

∴

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第1讲蝗制与

任意角的三角函数课时作业理

1．设集合M ＝??????

???

?x ???

x ＝k

2·180°＋45°，k ∈Z

，N ＝??????

???

?x ?

x ＝k

4·180°＋45°，k ∈Z

，则( ) A ．M ＝N B ．M ?N C ．N ?M D ．M ∩N ＝?

2．(xx 年青海西宁复习检测)若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．若角α是第一象限角，则α

2是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一或第三象限角

D ．第二或第四象限角

4．(xx 年四川成都模拟)若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0

5．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( ) A.

55 B ．－55 C.2 55 D ．－2 55

6．(xx 年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>0

7．设α是第二象限角，点P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15

x ，则tan α＝( )

A.43

B.34 C ．－34 D ．－43 8．(xx 年河北衡水二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx

＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ? ??

??π4的值为( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－45 9．(xx 年广东深圳二模)以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平

面直角坐标系，角θ的终边过点P (1,2)，则tan ? ????θ＋π4＝________.

10．在如图X3-1-1的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合

?????

???

?θ?

0<θ＜3π2中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )

图X3-1-1

A.13

B.12

C.23

D.3

11．判断下列各式的符号：

(1)tan 125°·sin 278°； (2)cos 7π12tan

23π12

sin

11π12

12．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；

(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

第1讲弧度制与任意角的三角函数

1．B 解析：方法一，由于M ＝??????

???

?x ???

x ＝k

2·180°＋45°，k ∈Z

＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝?

?????

???

?x ???

x ＝k

4·180°＋45°，k ∈Z

＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ?N .故选B.

方法二，在M 中，x ＝k

2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇

数；在N 中，x ＝k

4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必

有M ?N .故选B.

2．D 解析：由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限．故选D.

3．C 解析：∵α是第一象限角，∴2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π＜α2＜π

＋k π，

k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α

是第三象限角．

4．B 解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则tan α－sin α>0，故B 错误．故选B.

5．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2.∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 5

故选D.

6．C 解析：tan α＝sin α

cos α

>0，而sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.

7．D 解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝1

5x ＝

x 2

＋16

，

解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－4

8．D 解析：由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－4

.再根据函数f (x )

＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π

，所以

ω＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．所以f ? ????π4＝sin ? ??

??π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D. 9．－3 解析：由题意知tan θ＝21＝2，所以tan ?

????θ＋π4＝tan θ＋tan

41－tan θtan

π4＝

2＋11－2×1＝－3.

10．A 解析：该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出

的结果是sin θ，需sin θ＞tan θ，且sin θ＞cos θ.∵当θ∈?

????0，π2时，总有tan θ

＞sin θ；当θ∈? ????π2，π时，总有sin θ＞0，tan θ＜0，cos θ＜0；当θ∈?

????π，3π2时，tan θ＞0，sin θ＜0.故当输出的结果是sin θ时，θ的取值范围是? ??

??π2，π.结合几何概型公式，得输出sin θ的概率为π－

π232

π－0＝1

3.故选A.

11．解：(1)∵125°，278°角分别为第二、四象限角， ∴tan 125°＜0，sin 278°＜0.

因此tan 125°·sin 278°＞0.

(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，

∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.

因此cos 7π12tan

23π12

sin

11π12

>0.

12．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，θ所对的弧长为l .

(1)依题意，得???

θR 2＝4，θR ＋2R ＝10.

∴2θ2

－17θ＋8＝0.解得θ＝8或12

∵8>2π(舍去)，∴θ＝1

2 rad.

(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12

lR ＝12

θR 2＝14

θR ·2R ≤14?

??θR ＋2R 22

＝100.

当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.