大学生数学建模——机器人避障问题的研究
行走机器人避障题数学建模
AE +FB< AC1B ,记线段 AE、弧度 EF、线段 FB 为 AEFB,那么 AEFB 比任何折线
路径都短。 下面在考察一条不穿过障碍物的任何一条路径，设其分别于 OE 和 OF 的延长
线交与 P、Q 两点，记 A 和 P 之间的路径长度为 ，显然 >|AP|,又由 AE EO,
所以|AP|>AE,从而 >AE,同理可得 >BF。
问题一，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采 用穷举法列举出来，最终得出最短路径：
R A 最短路径为：70.5076 R B 最短路径为：107.9587 R C 最短路径为：102.0514 问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果： 第一种方案最短路径为：156.471 第二种方案最短路径为：157.752
5
证明：假设在平面中有 A（a，0）和 B（-a，0）两点，中间有一个半圆形的 障碍物，证明从 A 到 B 的最路径为 A B。
平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍 物相交，所以设法尝试折线路径。在 y 轴上取一点 C（0，y），若 y 适当大，则 折线 ACB 与障碍物不相交，折线 ACB 的长度为：
图 5.31
证明猜想： 如图 4.31 所示，E 点就是圆环上的一个顶点，A B 就是拉紧的绳子，O2 就
是切线 AC 和 BD 的延长线的交点，证明 O1 、E、 O2 三点共线。 我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力
相等，设为 F ，它们的合力设为 F0 ，定点对圆环的作用力设为 F1 。 那么由几何学的知识我们可以知道 F0 一定与 O1O2 共线，而又由力的平衡条
|ACB | 2 a2 +y2
机器人避障问题的解题分析(建模集训)
v1.0 可编辑可修改机器人避障问题的解题分析摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题机器人避障问题进行了全面分析，对最短路的设计进行了理论分析和证明，建立了机器人避障最短路径的几何模型，对最短时间路径问题通过建立非线性规划模型，有效地解决了转弯半径、圆弧圆心位置和行走时间等问题。
关键词：机器人避障；最短路径；Dijkstra算法；几何模型；非线性规划模型1 引言随着科学技术的进步和计算机技术的发展，机器人的应用越来越广泛，在机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径，是人工智能领域的一个重要问题。
本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物，研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题和最短时间问题。
本文以2012年“高教社”杯全国大学生数学建模竞赛D题“机器人避障问题”为例进行研究。
假设机器人的工作范围为800×800的平面正方形区域（如图1），其中有12个不同形状的静态障碍物，障碍物的数学描述（如表1）：图1 800×800平面场景图表1在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，机器人不能与障碍物发生碰撞，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。
规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。
机器人转弯时，最大转弯速度为21.0100e1)(ρρ-+==v v v （ρ是转弯半径）。
如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。
场景图中有4个目标点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，下面我们将研究机器人从O(0, 0)出发，求O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径，以及机器人从O(0, 0)出发，到达A的最短时间路径问题。
机器人避障算法研究
机器人避障算法研究随着科技的迅猛发展，机器人已经成为了人类生活中不可或缺的一部分。
它们可以为我们执行一些重复性、危险或者需要高精度要求的任务，让我们的生活更方便、更安全，甚至可以帮助我们完成一些环境过于恶劣或者人类无法完成的工作。
但是，机器人在处理任务的过程中会遇到各种各样的问题。
其中，避障就是一个非常重要的问题。
为了让机器人在执行任务的时候可以自主寻路，我们需要对避障算法进行深入研究和探讨。
一、避障算法的分类机器人避障算法可以分为传感器型、图像型和机器学习型三种类型，每种类型算法都有其优势和适用场景。
1. 传感器型避障算法传感器型避障算法主要是通过机器人上搭载的传感器进行障碍物检测和距离计算，根据传感器的测量结果来进行路径规划和避障。
传感器常见的类型有超声波、激光雷达、红外线等。
由于传感器的精度和响应速度较高，因此传感器型避障算法被广泛应用于工业自动化和机器人导航。
2. 图像型避障算法图像型避障算法通过使用摄像头或者深度相机等设备，对机器人周围的环境进行视觉识别和分析，从而判断地面的地形、避开障碍物、规划最佳路径。
这种算法广泛应用于无人驾驶、智能家居、商业物流等领域，尤其是在机器人越野、复杂环境下的移动中，图像型避障算法的应用尤为突出。
3. 机器学习型避障算法机器学习型避障算法是最近几年出现的一种算法，它利用深度学习和强化学习等机器学习技术，通过机器自主学习周围环境和历史经验，从而进行障碍物检测和路径规划。
这种算法广泛应用于智能家居、医疗机器人、智能农业等领域。
二、机器人避障算法的研究进展机器人避障算法的研究已经有了很大的进展。
近年来，人们在机器人避障方面取得了很多成果，例如：1. 激光雷达技术的应用激光雷达是机器人避障中应用最为广泛的传感器之一。
激光雷达可以高精度地检测物体的距离和位置，在避障算法中扮演着非常重要的角色。
近年来，人们得到的最突出的成就之一是开发了具有高精度激光雷达的移动机器人系统，这些系统可以在大型仓库等环境中自主运行，从而提高了运行效率。
机器人避障问题研究报告
D題：机器人避障问題本文就机器人避强冋題，建立了相应的优化模里。
模1-：关干Hl器人从区域中一点到达另一贞的遐障最短路径的问题。
首先，题恿，师出HI器人行走的可行区域与危险区域；其次，在证明了具有園形限定区域的最皱路径间题为根据的前提下，可以得岀最短路径一定是由直线和闊弘组成，并依此建立了线岡结沟，将路径则分为若干个逆种线圆结构来求辭最短路径通用模型；最后，根弼最姬路径通用模型，采用穷举法把可能路径的最短路径列举出来，通il比较最终得出各种最短路径的坐标及总路程8UT：(1 ) 0-A的最矯路程为：471.04个单位(2) O T B的最短路程为:853.71个单位(3 ) 0->C的最短路程1088.20个单位(4 ) O T A—B T C T O的最短路径为：2730.01个单E模塑二：关于机器人UEM中一点到这另一点的避障最類时间路径的间题。
首先，根锯題意,找出公共切点，得出转弯时最大圆和最小圆的圆心坐标,确定冏心的变化X 围；其次，依擴圆心的变ItX围，得出转弯半径的变化X围；然后，利用MATLAB^件编程来求解最姬时间路径通用模型；最后，根据最短时间路径通用模里，得出所有结果，通过比较最终得岀机最后,我『1对模型进行了改进、检验、评价与推广。
关键词：优化模型最短路程线圆结构最短时间穷举法1问題重述1.1背景资料图1是一个800x800的平面场景图,在原点0(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景X围内活动。
图中有12f不同形状的区域是机器人不能与之发生磁撞的障碍物，障1.2 息(1)在图1的平面场景中，障碍物外荷定一点为机器人要到这的目标点。
现定机器人的行走路径由直筑段和冏弧组成，其中冏弧是机器人转弯路径。
(2)机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弘组成，也可以由两个或多个相切的凰聲路径组成，但毎个圆聲的半径最小为10个单也。
(3)HI器人直线行走的最大速度为v0 = 5个单位/秒。
“机器人避障问题”论文
机器人避障问题摘要移动机器人是一种能够在工作环境中自由移动并完成预定任务的智能系统，移动机器人的避障问题则是移动机器人控制领域的研究热点。
本文针对移动机器人的避障问题，建立了最短路径及最短时间路径的数学模型。
并应用于解决本题给定的路径规划问题，获得了满足问题需求的全部最优路径。
对于最短路径问题，本文分析了障碍物对移动机器人运行的影响，给出了最优移动规则；建立了简化的路径网格模型，将其抽象为由节点及边构成的两维图，并确定了其各项参数，再使用经典的Dijkstra算法获得可行的最短路径。
由于计算机行走过程与障碍物之间还需满足一定的间隔约束，故上述结果可能并非最优，故我们实际还需对次优的几条参考路径（也可通过以上Dijkstra算法获取）进行精算，经准确计算获得各段路径的具体位置后，确定实际的最短路径。
为方便计算，文中推导了自指定点向指定圆作切线，两个相离圆的内、外切线方程的解析表达式，给出了闭式结果，作为MATLAB编程的依据，从而大大提高了运算处理的速度及精度。
考虑到移动机器人需完成由O→A→B→C→O的多点移动，且中间不能折线运行，即机器人在通过上述点时一般必须以圆弧通过，且其上下游多数也是圆弧路径，其通过点并不固定。
为此，理论推导了该未知圆弧的约束公式，以各圆心之间距离最小作为优化条件，建立数学模型，再使用MATLAB中的fmincon有约束优化工具箱获得了理想的结果。
对于最短时间路径问题，本文分析了移动机器人弯道运行的速度曲线，特别是对O→A两点间的避障问题进行了详细的理论分析与推导，通过几何关系得出了转弯半径与总的移动距离、移动时间的严格数学关系，此后借助MATLAB优化函数fminsearch获得最佳的转弯半径。
经分析计算，得到下述结果：结论1：机器人完成O→A，O→B，O→C及O→A→B→C→O的最短路径总距离分别是：471.04、853.70、1050.50、2712.68单位长度；总时间分别是96.02、179.07、235.19及570.36秒。
机器人壁障问题数学建模
机器人避障问题摘要：当今科学技术日益发达，高科技产品尤其是机器人在我们日常生活中运用的越来越广泛，它能够代替人类完成许许多多的工作，但如何能让机器人自动化的完成人类交给的任务成为设计机器人的关键。
我们做此题就是为了更好的利用机器人为我们提供方便，提高生活质量，若机器人程序设计不当不仅不会给人类带来方便，还很有可能给我们的生活带来更多的麻烦。
本题中提出了如何让机器人能够自动识别障碍物，保证机器人能够在合理区域行走，并设计出如何能让机器人自动判断最短路程于最短时间下行走路线的问题。
所以解决好本题可以为我们的生活提供帮助。
本文通过运用两点之间直线最短理论，优化问题，最短路问题，图论，以及运用matlab软件编程及作图的方法，阐述了机器人避障问题的相对优化方案的解决办法，即“两点之间直线最好，转弯半径最小”的理论，通过计算中的比较与选择把四条最短路径都求出了相对最优解，论证了转弯速度不会随着r的增加一直增大或减小，而是有一个最小极点的思想。
从而求出了r，以及最短的时间。
问题一，通过对最短路问题的分析，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径：O →A 最短路径为：471.0372O →B 最短路径为：838.0466O →C 最短路径为：1085.7531O→A→B→C→O最短路径为：2834.6591问题二，通过建立时间t与r的关系式，得出r在11.504时，从O到A的时间相对最短，最短时间为98.606004。
我们可以利用此篇论文解决生活中实际的问题，在计算时可以节省大量的时间，使机器人又准确又完善的完成我们给定的任务，从而进行拓展，给定区域内任何两个点，我们都可求出其最短路径和走完全程的最快时间。
从而可以让机器人帮助我们给家里打扫卫生或设计自动吸尘器等，也可使机器人在最短的时间完成工作，提高效率，延长机器人的使用寿命。
关键字：最短路问题优化问题 matlab一 问题重述 随着现代科学技术日新月异的发展，机器人越来越多的出现在日常生活中,它既可以通过运行预先编排的程序为人类服务，根据人工智能程序自动处理一些生活中问题，进而协助或者相应地取代人类的工作，可以说机器人的创新与改进正一步步影响着人类的发展。
机器人避障问题模型研究
２ 模 型假 设
１ ） 假设绕过障碍物我们均走最小半径的圆弧 ； ２ ） 假设 机 器人 能够 抽象 成点 来处理 ；
３ ） 假 设不 考虑 弧度 计算 ；
圆相 切 ， 切点 分别 为 Ｅ和 Ｆ， 当 Ｙ趋 近 于 Ｙ 时 ， 显 然 Ａ Ｃ Ｂ是这 种折 线 路 径 中最 短 的。 因 为 当 ： ０＜ Ｏ ｔ ＜
１ ８
数
字
通
信
第４ ０卷
与障碍 物 问的最 近距离 为 １ ０个单 位 ， 否则将 发 生碰 撞， 若碰 撞 发生 ， 机 器 人则无 法完 成行 走 。 建立 机器人 从 区域 中一点 到达 另一 点 的避 障最 短路径 和 最短 时问路 径 的数 学模 型 。场 景 图 中有 ４ 个 目标 点 ０（ ０ ， ０） ， ４（ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ） ， Ｂ（ １ ０ ０ ，７ ０ ０ ） ， Ｃ （ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 。具 体分 别计算 ：机 器人 从 ０（ ０ ， ０ ） 点
出发 ， Ｄ 一４， Ｄ —Ｂ， Ｄ — Ｃ和 Ｄ —Ａ —Ｂ —Ｃ — Ｄ 的最 短路 径及 长度 。
问题 ： 证 明绳 子拉 紧时 的情况 ， 则 为 ２个 点 之 间
的最 短路 径 。 假设 在平 面 中有 Ａ（ ａ ， ０ ） 和 曰（一ａ ， ０ ） ２点 ， 中
间有 １ 个半圆形的障碍物 ， 证 明从 到 Ｂ的最路径
分析 中的绳子拉到最紧时的情况 。
Ｔ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ是 满足 条件 Ａ到 的最短 路径 。
第 ６期
侯学 慧 ： 机器人避 障问题模型研究
ｌ ９
３ ． ２ 模型 准 备 １
所 以，
＝２ 一Ｏ ｔ 一卢 一
机器人避障问题论文
D题机器人避障问题摘要本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。
针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。
针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。
圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。
关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型一.问题的重述图是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
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(144.50,591.65)
（140.69，596.35）
（150，600）
（140.69，596.35）
（100，700）
最短路线长为1088.42 坐标如下：
起点（切点）
终点（切点）
圆弧圆心
（0，0）
（232.11，50.23）
（232.11，50.23）
（238.54，54.79）
（230，60）
(150,435)
(147.96,444.79)
(222.04,460.21)
(222.04,460.21)
（230，469.99）
（220，470）
（230，469.99）
（230，530）
（230，530）
（225.50，538.35）
（220，530）
（225.50，538.35）
(144.50,591.65)
第一， 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和 O→A→B→C→O的最短路径。
第二，机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径人行走的总距离和总时间。
2、 模型假设 （1）、假设机器人能够抽象成点来处理。 （2）、假设机器人可以立即变速。
， ; 则 综上可得的坐标，可求出，从而求出. 5.2 最短路径模型的建立
假设机器人从起点到到目标点，经过的路径都是由圆弧和线段组成，设有m条线段，n条圆 弧。有p个切点，那么目标函数可以表示为：
5.3 最短时间路径模型的建立 假设和分别是两条切线的长度，为经过路径圆弧线所对的圆心角，那么 目标函数表示为：
,=
,=
，.为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角圆弧的切点。 则：
由上图可得：
则： 所以可得最短路径： （2） 对于从起点经过若干点然后到达目标点的状况，因为不能走折线 路经，就必须考虑在经过路径中的一个目标点时转弯的状况，在转弯处 圆弧的半径均按照最小转弯半径来计算。
要求出机器人从Ａ绕过障碍物经过Ｍ点到达目标点Ｂ的最短路径，
（238.54，54.79）
（336.46，215.21）
（336.46，215.21）
(344.36,219.98)
(345,210)
(344.36,219.98)
(500.64,230.02)
(500.64,230.02)
(508.51,234.74)
(500,240)
(508.51,234.74)
边长130
11 正方形 (640, 520)
边长80
12 长方形 (500, 140)
长300，宽60
在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要 求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径 由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转 弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个 相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障 碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个 单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
三、符号说明
符号
符号说明
路径的总长度
转弯半径 第段切线总长度
第段圆弧的长度
所走路径时间
四、问题的分析 1、问题一，要求定点（0, 0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达目 标点的最短路径，利用线圆结构来解，然后采用穷举法列出到每个目标 点的可能路径的最短路径，然后比较其大小便可得出到目标点的最短路 径。要求定点经过中间的若干点按照一定的规则绕过障碍物回到点，这 是除考虑经过障碍物拐点的问题外，还应考虑经过路径中的目标点处转 弯的问题，我们在拐点即途中目标点处都采用最小转弯半径形式求的最 短路径。 2、问题二，就是机器人从定点出发到达目标点最短时间路径，由问题 一的求解经验，我们可以知道最短时间路径不能用简单的线圆结构解 决，而在此问中，圆心的坐标是可变的，并且半径也是一个大于10个单 位的变量，这就增加了问题的难度。所以我们在题一的基础上，要对路 径巧妙优化，一在拐点和目标点处都采用最小转弯半径的形式；二可以 适当的变换拐点处的拐弯半径，使机器人能够沿直线安全通过途中的拐 点。然后建立数学优化模型，最终求得最小时间的路径。
关键词 ：最短路径 最短时间路径 避障路径 平面解析几何
一、问题重述 1.1 背景
机器人技术应该说是一个科学技术发展共同的一个综合性的结果， 同时，为社会经济发展产生了一个重大影响的一门科学技术，它的发展 归功于在第二次世界大战中各国加强了经济的投入，就加强了本国商务 经济发展。
机器人避障技术是评价移动机器人智能程度的关键指标，就是看其 对未知障碍物的处理能力及对路径最优的识别能力，理想的机器人处于 一位未知的，复杂的，动态的非结构化环境中，在实际控制系统时，常 常会碰到一些系统需要大量的实验和不断尝试才能达到很好地控制效 果，这种控制方式带有大量的主观性，同时这些系统很难用具体的数学 模型来描述，对它们的控制方法是从人的生活经验中得到的，而经典控 制理论则无能为力，因此，而设计有效的定性与定量的转换模型（控制
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询 等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包 括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列 出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行 为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包 括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
1 正方形 (300, 400)
边长200
2
圆形
圆心坐标(550, 450)，半径70
3 平行四边 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400,
形
330)
4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点 坐标(410, 100)
5 正方形 (80, 60)
边长150
我们把路径图抽象为下面的几何图形，对这段路径求解
如图，是出发点，是目标点,和是两个固定的圆，是一个可以绕点点转 动的圆环，三个圆的半径均为,均为切点，a、b、c、e，f分别是A、、 A、A、的长度，。均是已知点，是未知点，则最短可表示为：
其中:
用模型一求解，下面求
因为在的角平分线上，所以, 因为与垂直，方向向量为:
（1）有已知定理可知，不管起点到目标点之间有多少障碍物，最 短路径都是由若干个线圆结构组成。因为本题中障碍物在拐点处的危险 区域是一个半径为10个单位的圆弧，所以，我们在求两点之间的最短路 径取最小转弯半径计算可得到最优值。
如上图，设圆心,起点为,目标点和，圆的半径为r，AB的长度为a，AO的 长度为b，BO的长度为c，角度=
五、模型的建立 5.1 模型准备
引理【1】具有圆形限立区域的最短路径是有两部分组成的：一部 分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限立区域的部分 边界，这两部分是相切的，互相连接的。
根据引理【1】，起点到目标点无论中间障碍物有多少，最短路径 应该是若干个线圆结构组成。在本题中存在障碍物的状况，且障碍物在 拐点处的危险区域是一个半径为10的圆弧，结合引理【1】，易知求两 点之间的最短路径中的转弯半径应按最小的转弯半径来算才能达到最 优。
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人
评 分
备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
机器避障问题
摘要 本文研究了机器人避障最短路径及最短时间路径的问题。移动机器 人路径规划是指在有障碍物的工作环境中， 如何寻找一条从给定起点 到给定目标点的运动路径，使机器人在运动过程中能安全无碰撞地绕过 所有障碍物，并走的是最短路径以及最短时间路径，主要研究了在一个 区域中存在１２个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中 的若干目标点到达最终目标点的两种情形。 根据定理一最短路径有直线和圆弧所组成，故而我们在以可视图法 所建的求解环境基础上建立了线圆结构，这样可以将任何路径分割为若 干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况，我 们在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，然后建立了最短路径最优 化模型。 对于问题一，把可能路径的最短路径采用穷举法列出来，得出最短 路径为,最短路径为,最短路径为,最短路径为. 对于问题二，建立了优化模型，得圆心，半径为时，时间最短为， 最短时间路径如图所示。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1.
2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
（727.12，512.98）
（727.12，512.98）
（730，595.99）
（720，520）
（730，595.99）
（730，600）
（730，600）
（727.72，606.36）
（720，600）
（727.72，606.36）
（700，640）
最短路线长度为2726.03 坐标如下：
起点（切点）
最短路线长度为854.84 坐标如下：