河南省天一大联考2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文
河南省天一大联考2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若x ＝2，则x 2
＝4”的逆否命题是
A.若x ≠2，则x 2
≠4 B.若x ＝2，则x 2
≠4 C.若x 2
≠4，则x ≠2 D.若x 2
≠4，则x ＝2 2.不等式
28
2
x x -+<－1的解集为 A.(－3，2) B.(－3，－2) C.(－3，4) D.(－2，4)
3.已知直线x ＋2y ＝4过双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，
则此双曲线的标准方程是
A.
2211612x y -= B.221164x y -= C.221124x y -= D.22
1258
x y -= 4.已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，a 2＋a 4＋a 6＝18，则a 5＋a 7＝ A.8 B.12 C.16 D.20
5.已知直线l 和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l //α”是“l ⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ＝4，a ＝，则
sinA
sinB
＝
A.
2
3
D.3
7.已知点P 为函数y ＝x 2
lnx ＋4x 3
的图象上的一点，且点P 的横坐标为1，则该函数图象在点P 处的切线方程为
A.8x －y －4＝0
B.13x －y －9＝0
C.8x －y －3＝0
D.13x －y －8＝0
8.当x>1时，f(x)＝2x
x 4
+的最大值为 A.
14 B.1
2
C.1
D.2. 9.函数f(x)＝x 3
－12x 在区间[－3，1]上的最小值是 A.－10 B.－11 C.－15 D.－18
10.已知抛物线y 2
＝2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双
曲线C ：22
221x y a b
-=(a>0，b>0)的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则双曲线C 的离
心率为
A.3
B.4
C.6
D.9
11.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q>0，a 1＝1，a 3＝a 2＋2。
若数列{b n }的前n 项和为T n ，a n ＋1＝b n S n ＋1S n ，则T 9＝ A.
510511 B.10231024 C.10221023 D.11023
12.已知函数f(x)＝xe x
－e x
－a 有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.[－
34e 0) B.(－1，0] C.[－34e ，－3
2
e ] D.(－1，0) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02
＋6a ≤8x 0”为假命题，则实数a 的取值范围是 。
14.已知x ，y 满足约束条件x y 10
x 2y 20x 0--≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则z ＝x －3y 的最大值是 。
15.函数y ＝
13
x 2－2x 2
－96x ＋8的极小值是 。
16.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其渐
近线方程为y ＝±2x ，焦距为
P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若△PF 1F 2的面积为
P 的坐标为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分) 已知集合A ＝{x|＝
41x
->1}，B ＝{x|x 2＋(1－2a)x ＋a 2
－a<0}。
(I)求集合A，B；
(II)若A∩B＝B，求实数a的取值范围。
18.(12分)
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA－1
2
sinB)＝(sinC＋sinB)(c
－b)，c＝4。
(I)求△ABC的外接圆的半径；
(II)求△ABC的面积的最大值。
19.(12分)
已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－1，数列{b n}满足b n＝lg2a n＋log2a n＋1。
(I)求{a n}，{b n}的通项公式； (II)若数列{c n}满足c n＝a n b n，求{c n}的前n项和T n。
20.(12分)
已知函数f(x)＝e x－a－lnx(a∈R)。
(I)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与x轴负半轴有公共点，求a的取值范围；
(II)当a＝1时，求f(x)的最值。
21.(12分)
已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的最大值
为2。
(I)求椭圆的方程；
(II)过点(1，0)的直线l与椭圆C有两个交点A，B，△OAB(O为坐标原点)的面积为4
5
，求直
线l的方程。
22.(12分)
已知函数f(x)＝a2lnx＋a，且f(e)≥2，f(e2)≤3。
(I)求a的值； (II)若0<k≤2，求证：当x>1时f(x)>k(1－3
x )。
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试(二)文科数学
故选：D.
【点睛】
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
1.在坐标系中作出可行域；
2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
3.确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；
4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.
6．C
【解析】
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ,则 （ ）
A． B．4C．4或 D．3或4
12．若函数 是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在等比数列 中，若 ，则 __________．
14．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若 ，则 _______．
若 成等差数列，则 ，即 ，又由 可得： ，整理可得： ，解得： 或0（舍去）.
故选：C
10．D
【解析】
由题意知： ， ,
∵ ， ， ，∴点N的轨迹为双曲线， ，
∴点 的轨迹方程为
故选：D
11．A
【解析】
由已知抛物线的焦距为2，根据题意画出上图，过 点画 的垂线 ，则 ，又 ，故选A.
【点睛】
型如已知抛物线的方程求某线段的长度的题目通常会用到抛物线和定义及焦距，过抛物线上的点做准线的垂线做为辅助线、找到所求线段与焦距间的关系是解题的关键.
12．B
【解析】
由已知 定义域为 ，又其为减函数其，则 ， ，即 ，故选B.
【点睛】
求函数 的单调增区间、减区间分别是解不等式 ， 的 的取值范围.反之若已知 在定义域上为单调递增或单调递减，求 中的参数问题往往转化为不等式 在定义域上恒成立以求 中参数的取值问题.
2020-2021学年天一大联考高二上学期期末数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年天一大联考高二上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的( )A. 必要不充分条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 充分不必要条件2.在平面直角坐标系中，若点P(m −3,m +1)在第二象限，则m 的取值范围为( )A. −1<m <3B. m >3C. m <−1D. m >−13.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,c 2=a 2+b 2)，点A 为双曲线C 上一点，且在第一象限，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，若|AO|=c ，且∠AOF 1=2π3，则双曲线C的离心率为( ) A. √3+12 B. √3 C. 2D. √3+14.已知等差数列{a n }的第8项是二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，则a 9−13a 11=( )A. 23B. 2C. 4D. 65.已知a ，b ，c ∈R ，则“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在锐角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，若b 2−a 2=ac ，则1tanA −1tanB 的取值范围是( )A. (1,2√33)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,√2)7. 若函数y =f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A.B.C.D.8.已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2√2，则2a 7+a 11的最小值为( )A. 16B. 8C. 2√2D. 49.已知函数在处有极值，则等于( )A.或B.C. 或18D.10. 已知抛物线y 2=ax(a >0)的准线与圆x 2+y 2−6x −7=0相切，则a 的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 411. 已知无穷数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为其前n 项和，则“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要12. 方程e x −x −2=0的一个根所在的区间(k,k +1)(k ∈N)，则k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=2x 2+x −k ，g(x)=x 3−3x ，若对任意的x 1∈[−1,3]，总存在x 0∈[−1,3]，使得f(x 1)≤g(x 0)成立，则实数k 的取值范围是______ ．14. 若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤3x ≥1y ≥−1，则z =x −2y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=xlnx +8在区间(0,3]的极小值为______ ． 16. 若抛y =2px 的焦点与双曲线x 26−y 23=1右重合，则p 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简集合；若AB =B ，求实m 的取值范．18. (本小题满分12分) 在中，角的对边分别为不等式对于一切实数恒成立．(Ⅰ)求角C 的最大值． (Ⅱ)当角C 取得最大值时，若，求的最小值．19. 已知公比0<q <1的等比数列{a n }满足a 8+a 2=283，log 3a 3+log 3a 7=1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n=na2n，求数列{b n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=alnx+6x(a∈R)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)如果函数g(x)=f(x)−2x在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(3)当a>0时，讨论函数y=f(x)−5x零点的个数．21.已知点A(0,−2)，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(I)求椭圆C的方程；(II)设过点A的动直线l与C交于P、Q两点，当|PQ|=4√25时，求l的方程．22.已知函数f(x)=x2t−2t(x2+x)+x2+2t2+1，g(x)=12f(x)．(I)证明：当t<2√2时，g(x)在R上是增函数；(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b]，试说明存在实数k，当t>k时，g(x)在闭区间[a,b]上是减函数；(Ⅲ)证明：f(x)≥32．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，属于中档题． 解：因为a =1且b =2⇒a +b =3， a +b =3⇏a =1且b =2，则“a =1且b =2”是“a +b =3”的充分不必要条件， 故“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的必要不充分条件． 故选：A ．2.答案：A解析：解：点P(m −3,m +1)在第二象限， 则{m −3<0m +1>0， 解得−1<m <3， 故选：A根据题意可得{m −3<0m +1>0，解得即可．本题考查了坐标在象限内的符号，以及不等式组的解法，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查双曲线的定义、离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．分别在△AOF 1和△AOF 2中，通过简单的平面几何计算可求得|AF 1|和|AF 2|的长，然后结合双曲线的定义，即可求得离心率．解：由题意可知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 在△AOF 1中，∵|AO|=c =|OF 1|，且∠AOF 1=2π3，∴|AF 1|=√3c ，在△AOF 2中，∵|AO|=c =|OF 2|，且∠AOF 2=π−2π3=π3，∴|AF 2|=c ，由双曲线的定义可知，|AF 1|−|AF 2|=2a ，即√3c −c =2a ， ∴离心率e =ca =√3−1=√3+1． 故选：D ．4.答案：C解析：解：∵(x +1x +y)4的展开式中的常数项为C 40⋅C 42x 2(1x)2y 0=6， ∴a 8=6，又数列{a n }为等差数列，∴a 9−13a 11=a 1+8d −13(a 1+10d)=23(a 1+7d)=23a 8=23×6=4．故选：C ．由二项式系数的性质求出二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，得到a 8=6，由等差数列的通项公式把a 9−13a 11转化为23a 8得答案．本题考查二项式系数的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：因为b−c a<b+c a⇔b+c a−b−c a=2c a>0⇔ac >0，因为{ab >0bc >0，所以可得a 、c 同号，即ac >0，但反之不成立，故“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”的充分不必要条件．故选：A ． 由题可得b−c a<b+c a⇔ac >0，而{ab >0bc >0只能得到ac >0，反之不成立，即可得到答案本题考查不等式的性质以及充分、必要条件的判断，体现了逻辑推理、数学运算等能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵b 2−a 2=ac ，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+ac ， ∴c =2acosB +a ，∴sinC =2sinAcosB +sinA ，∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴sinA =cosAsinB −sinAcosB =sin(B −A)， ∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴A =B −A ，∴B=2A，∴C=π−3A，∴{0<2A<π20<π−3A<π2∴A∈(π6,π4)，B∈(π3,π2)，∴1tanA −1tanB=sin(B−A)sinBsinA=1sinB，∵B∈(π3,π2 )，∴sinB∈(√32,1)，∴1sinB ∈(1,2√33)，∴1tanA −1tanB的范围为(1,2√33)，故选：A．先根据余弦定理得到c=2acosB+a，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin(B−A)，根据三角形为锐角三角形，求得B=2A，以及A，B的范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．本题考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．解：函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为−1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=1x>0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x>0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2>0恒成立，不满足条件；故选A．8.答案：B解析：试题分析：由各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2√2，知a4⋅a14=(2√2)2=8，故a7⋅a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2√2，∴a4⋅a14=(2√2)2=8，∴a7⋅a11=8，∵a7>0，a11>0，∴2a7+a11≥2√2a7⋅a11=2√2×8=8．故选B．9.答案：A解析：试题分析：，依题意，解得故当时，；当时，.故答案为11或18．考点：函数的极值．10.答案：D，解析：解：抛物线y2=ax(a>0)的准线方程为x=−a4因为抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆x2+y2−6x−7=0，即(x−3)2+y2=16相切，=4，a=4所以3+a4故选：D．先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆(x−3)2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到a的值．本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．11.答案：A解析：解：∵{a n }是公比为q 的等比数列，当0<|q|<1时，S n =a 1(1−q n )1−q，n →∞lim|S n |=|a 11−q|，即“存在M >|a11−q |，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”，即“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的充分条件， 当q =−1时，|S n |={0(n 为偶数)|a 1|(n 为奇数)即取M =2|a 1|即可，即“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的不必要条件， 综上可知：即“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的充分不必要条件． 故选：A ．因为{a n }是公比为q 的等比数列，当0<|q|<1时，S n =a 1(1−q n )1−q，n →∞lim|S n |=|a 11−q|，即“存在M >|a11−q |，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”，即“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的充分条件， 当q =−1时，|S n |={0(n 为偶数)|a 1|(n 为奇数)即取M =2|a 1|可得“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”，即“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的不必要条件， 本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及等比数列求和，属中档题．12.答案：B解析：解：令f(x)=e x −x −2， 易知f(x)在其定义域上连续， f(1)=e −1−2<0，f(2)=e 2−2−2=e 2−4>0，故方程e x −x −2=0的一个根所在的区间(1,2)， 故k =1， 故选：B ．令f(x)=e x −x −2，从而转化求方程的根为求函数的零点，从而解得． 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及转化思想的应用．13.答案：k ≥3解析：解：若对任意x1∈[−1,3]，x0∈[−1,3]，都有f(x1)≤g(x0)成立，即f(x)在区间[−1,3]上的最大值都小于或等于g(x)的最大值，∵g(x)=x3−3x，∴g′(x)=3x2−3，令3x2−3=0，解得x=±1，当x∈(−1,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,3]时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故当x=1时，函数g(x)取到极小值，也是该区间的最小值g(1)=−2，又g(−1)=2，g(3)=18．∴g(x)在[−1,3]上的最大值为18．而f(x)=2x2+x−k为开口向上的抛物线，对称轴为x=−14，故当x=3时取最大值f(3)=21−k，由21−k≤18，解得k≥3．∴实数k的取值范围是k≥3．故答案为：k≥3．对任意x1∈[−1,3]，x0∈[−1,3]，都有f(x1)≤g(x0)成立，即f(x)在区间[−1,3]上的最大值小于或等于g(x)的最大值，利用导数求g(x)的最大值，再由二次函数的最值求f(x)的最大值即可．本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．14.答案：[−1,7]解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．解：实数x，y满足约束条件{x+2y≤3x≥1y≥−1作出可行域如图：由z=x−2y得y=12x−12z，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y=12x−12z，由图象可知当直线y =12x −12z ，过点A 时，直线y =12x −12z 的截距最大，此时z 最小， 由{x =1x +2y =3，解得A(1,1)， 代入目标函数z =x −2y ，得z =−1； ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−1．当直线y =12x −12z ，过点B(5,−1)时，直线y =12x −12z 的截距最小，此时z 最大， 代入目标函数z =x −2y ，得z =7， ∴目标函数z =x −2y 的最大值是7． 则z =x −2y 的取值范围是：[−1,7]． 故答案为[−1,7]．15.答案：−1e +8解析：解：∵f(x)=xlnx +8， ∴f′(x)=lnx +1=0，可得x =1e ，∴0<x <1e ，f′(x)<0，1e <x ≤3，f′(x)>0， ∴x =1e 时，f(x)的极小值为−1e +8．故答案为−1e +8．确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极小值．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16.答案：6解析：解：双曲线x 26−y 23=1的a =√6，b =√3∴c =√6+3=3∴p2=3,=6． ∴右焦点F(3) 故答案为6根据双曲的方程得其右焦点的标，而根据抛线的性质求得q ．题主要考了圆曲线共同征．考查了考生对双曲线和抛线单性质的应用．17.答案：解：根据A 得：2−x −20，即(x −2)(x1)，当2m=，即=12时，B⌀，满足题；可得2≤，即m≤1，当m>1即m>12，解：1<<2m即B=(1,2m)，∵A∩B=B，B⊆，此时m的范为12<m≤；此时m的范为−12≤m<12，当2m<，即<12时解得：2m<<，即B=(2,1)，可2m≥−1即m≥−12，综m的范围为[−12,1．解析：A中f(解析式代入fx)<0，求集即可确定出A；根据A与B的交集B到B为A的集表示B不等式的集，根2m与1的大小分类讨论求出m的范即可．此题查了交集及其运算，熟掌交集的义是解题的键．18.答案：(Ⅰ)的最大值为.(Ⅱ)的最值为．解析：试题分析：(Ⅰ)∵，∴的最大值为.……6分(Ⅱ)∵，由(Ⅰ)得∴的最值为.………………12分考点：本题主要考查余弦定理；一元二次不等式恒成立的条件，基本不等式的应用．点评：本题综合考查了余弦定理；一元二次不等式恒成立的条件，基本不等式的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19.答案：解：(1)∵公比0<q<1的等比数列{a n}满足a8+a2=283，log3a3+log3a7=1，∴{a8+a2=283a2⋅a8=3，且a2>a8，∴a2 和a8 是方程x2−283x+3=0的两个根，解方程x2−283x+3=0，得：x1=13，x2=9，∴a 2=a 1 q =9， a 8=a 1q 7=13，∴a 1=9√3，q =√33， ∴a n =9√3⋅(√33)n−1． (2)∵a n =9√3⋅(√33)n−1，∴b n =na 2n =n ⋅9√3⋅(√33)2n−1=9n ⋅(13)n ，∴S n =9⋅1⋅13+9⋅2⋅(13)2+9⋅3⋅(13)3+⋯+9n ⋅(13)n ，① 13S n =9⋅1⋅(13)2+9⋅2⋅(13)3+9⋅3⋅(13)4+⋯+9n ⋅(13)n+1，②①−②，得：23S n =3+9[(13)2+(13)3+(13)4+⋯+(13)n ]−9n ⋅(13)n+1 =3+9×19[1−(13)n−1]1−13−9n ⋅(13)n+1=3+32[1−(13)n−1]−9n ⋅(13)n+1．∴S n =92+1−(13)n−1−32⋅9n ⋅(13)n+1=112−3⋅(13)n −92n ⋅(13)n =112−(3+9n 2)⋅(13)n ．解析：(1)由已知条件，结合等比数列和对数函数的性质，推导出a 2 和a 8 是方程x 2−283x +3=0的两个根，解方程求出a 2 和a 8 ，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)由(1)和b n =na 2n ，推导出b n =9n ⋅(13)n ，由此利用裂项求和法能求出数列{b n }的前n 项和S n ． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n 项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．20.答案：解：函数函数f(x)的定义域为(0,+∞)，(1)当a =2时，f′(x)=2x −6x 2，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k =f′(1)=−4，切点为(1,6)，所以切线方程为：y −6=(−4)×(x −1)，即4x +y −10=0为所求切线方程．(2)因为函数g(x)=f(x)−2x 在(0,+∞)上单调递减⇒g′(x)=ax −6x 2−2≤0在(0,+∞)上恒成立， 即a ≤6x +2x 在(0,+∞)恒成立，6x +2x ≥2√6x ⋅2x =4√3，a ≤4√3，故实数a 的取值范围是[4√3,+∞)．(3)函数ℎ(x)=f(x)−5x =alnx +1x ， (3)f′(x)=ax−1x 2，令f′(x)=0，得x =1a ．即有f(x)min =f(1a )=a(1−lna)(ⅰ)当0<a <e 时，f(x)min >0，即有f(x)在定义域内无零点； (ⅱ)当a =e 时，f(x)min =0，则f(x)在定义域内有唯一的零点； (ⅲ)当a >e 时，f(x)min <0，①由f(1)=1>0，所以f(x)在增区间(1a ,+∞)内有唯一零点； ②f(1a 2)═a(a −2lna)，设ℎ(a)=a −2lna ，则ℎ′(a)=1−2a 因为a >e ，所以ℎ′(a)>0，即ℎ(a)在(e,+∞)上单调递增， 即有ℎ(a)>ℎ(e)>0，即，所以f(x)在减区间内有唯一的零点． 则a >e 时f(x)在定义域内有两个零点．综上所述：当0<a <e 时，f(x)在定义域内无零点； 当a =e 时，f(x)在定义域内有唯一的零点； 当a >e 时，f(x)在定义域内有两个零点．解析：本题考查了函数导数的几何意义、单调性与导数的关系及函数零点个数判定，属于中档题． (1)利用导数几何意义求切线方程；(2)函数在某区间单调减，则导数在该区间小于等于0恒成立，在用恒成立问题的处理方法求解； (3)结合函数图象找函数零点个数．21.答案：解：(Ⅰ)设F(c,0)，由条件知，2c =2√33，c =√3，又c a =√32，∴a =2， 则b 2=a 2−c 2=1， ∴C 的方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)当直线l ⊥x 轴时不符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线l ：y =kx −2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y=kx−2x24+y2=1，得(1+4k2)x2−16kx+12=0．x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2，∴|PQ|=√k2+1|x1−x2|=4√k2+1⋅√4k2−34k2+1，又|PQ|=4√25，得4√1+k2⋅√4k2−34k2+1=4√25，解答：k=±1，∴直线l的方程为y=x−2或y=−x−2．解析：(Ⅰ)设出F(c,0)，由AF的斜率为2√33求得c，再由椭圆的离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；(Ⅱ)由题意可知，当直线l⊥x轴时不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx−2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式求解得k，则直线l的方程可求．本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，是中档题．22.答案：解答：解：(I)证明：由题设易得g(x)=e2x−t(e x−1)+x，g′(x)=2e2x−te x+1.又2e x+e−x≥2√2,且t< 2√2得t<2e x+e−x，te x<2e2x+1，即g′(x)=2e2x−te x+1>0.由此可知，g(x)在R上是增函数．(II)因为g′(x)<0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时g′(x)=2e2x−te x+1<0，即t>2e x+e−x在闭区间[a,b]上成立即可．因为y=2e x+e−x在闭区间[a,b]上连续，故在闭区间[a,b]上有最大值，设其为k，于是在t>k时，g′(x)<0在闭区间[a,b]上恒成立，即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数．(III)设F(t)=2t2−2(e x+x)t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t−e x+x2)2+12(e x−x)2+1易F(t)≥12(e x−x)2+1，令H(x)=e x−x，则H′(x)=e x−1，易知H′(0)=0.当x>0时，H′(0)>0；当x<0时，H′(0)<0.故当x=0时，H(x)取最小值，H(0)=1.所以12(e x−x)2+1≥32于是对任意的x，t，都有F(t)≥32,即f(x)≥32解析：分析：(Ⅰ)由已知解出g(x)的值，进而得到g′(x)的值，接下来采用分析证明法来分析，若证g(x)为R上的增函数，只需证2e2x−te x+1>0，即证t<2e x+e−x，又因为2e x+e−x≥2√2，且t<2√2，所以即证，再利用综合证明的方法写出来即可．(Ⅱ)若证明g(x)在[a,b]上的减函数，只需证明g′(x)<0，即2e2x−te x+1<0，t>2e x+e−x，因为y=2e x+e−x在闭区间[a,b]上连续，故有最大值，令这个最大值为实数k即可．(ⅢⅢ)已知f(x)含有t，可以把f(x)转换成关于t的一元二次函数F(t))=2t2−2(e x+x)t+e2x+(e x−x)2+1，再令H(x)=e x−x，通过求解H(x)的单调性和最x2+1，通过配方，易得F(t)≥12值，可以得到H(x)的最小值为1.就可以得出f(t)≥3，即证．2⋅点评：本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．。
2020-2021学年河南省天一大联考高二上学期期末考试数学(理)含答案
绝密食启用前考生注意：juf南省天一大联考2020-2021学年（上）高二年级期末考试理科数学l答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2回答选得题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对JSill里目的答案标号涂擦。
如需改动，用t章、皮擦干净后，再选涂其他答案；标号＠回答非选梅N2时，〉｜每答案写在答题卡上＠写在本试卷上无究生。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。
一、远择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目要求的＠l不制之二！＿＜－！的解灿x －÷LA.(-3, 2)B.(-3, -2)C.(-3, 4)2下苦IJ命题为真命题的是D.(-2, 4)A.3xoεR, xo 2+4xo+6运。
B.正切函数y=tanx a（］定义域为R C函数y＝土的单调递减区间为（－＝，O)U叨，＋∞）D矩形的对角线相等且互相平分3己知直线x+2y=4过双由线C:兰兰＝I α＞ 0 b > 0) i'.J<J 一个焦点及酬的一个揣点，贝。
此双曲线的标准方程是22A 主二－二一＝l 16 122 2 Bι二－二－＝l164α。
C.x2L-1124D. x 2L-12584已知｛an};;i-J 等差数列，公室主d =2,a2+a.+a6= 18，则as+ai =A.8B.12C.16D.205已知直线l平日两个不同的平而α，p ，着αJ_j3，则“／／／，α”是“／J_j3＇’的A充分不必要条件B必要不充分条伶c.充要条件D.既不充分也不必要条伶6在.6.ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, A=60。
，c=4,a=2.J宁，Sill A则一＝..：.＝sinB2－3A －J－3C.扫D.37在四楼锥P -ABCD 中，PD .l 平而ABCD .,AB//DC, CADC =90。
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(二) 数学(理) Word版含解析
绝密★启用前大联考2020－2021学年高二年级阶段性测试(二)理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，则257是这个数列的A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项2.已知集合A＝{x|xx2-≤0}，B＝{x|－x2＋x＋2≥0}，则A∩B＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|0≤x<2}D.{x|－1≤x≤0}3.抛物线y2＝4x的焦点到直线x＋y－3＝0的距离d＝C.1D.24.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a>b”是“a＋sinA>b＋sinB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：∀x∈R且x≠kπ(h∈Z)，都有sinx＋1sin x≥2；命题q：∃x0∈R，x02＋x0＋1<0。
则下列命题中为真命题的是A.p∧(⌝q)B.p∧qC.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)6.若x ，y满足约束条件y 0x 20y 0-≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则z ＝xy 的最大值是 A.2C.1D.－27.在等比数列{a n }中，a 1，a 5是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 3＝A.4B.－4C.±4D.±28.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则2b 24a+的最小值为B.1D.2 9.在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝400，则数列{a n }的前13项和S 13＝A.260B.520C.1040D.208010.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＋bc ，sinA ＝2sinB ，则角C ＝ A.6πB.3πC.34πD.56π 11.已知关于x 的不等式kx 2－3kx ＋2k ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是A.[0，4]B.[0，3]C.(－∞，0]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[4，＋∞)12.已知点F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为14的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝150°，则C 的离心率为B.13C.12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是()A. 若x≠2，则x2≠4B. 若x=2，则x2≠4C. 若x2≠4，则x≠2D. 若x2≠4，则x=22.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.已知点P为函数y=x2lnx+4x3的图象上的一点，且点P的横坐标为1，则该函数图象在点P处的切线方程为()A. 8x−y−4=0B. 13x−y−9=0C. 8x−y−3=0D. 13x−y−8=08.当x>1时，f(x)=xx2+4的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 29.函数f(x)=x3−12x在区间[−3,1]上的最小值是()A. −10B. −11C. −15D. −1810. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. 4C. 6D. 911. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1=1，a 3=a 2+2.若数列{b n }的前n 项和为T n ，a n+1=b n S n+1S n ，则T 9=( )A. 510511B. 10231024C. 10221023D. 1102312. 已知函数f(x)=xe x −e x −a 有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4e 3,0)B. (−1,0]C. [−4e 3,−2e 3]D. (−1,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+6a ≤8x 0”为假命题，则实数a 的取值范围是______ ． 14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．15. 函数y =13x 3−2x 2−96x +8的极小值是______ ． 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其渐近线方程为y =±2x ，焦距为2√10.点P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若△PF 1F 2的面积为4√10，则点P 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．sinB)= 18.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA−12 (sinC+sinB)(c−b)，c=4．(Ⅰ)求△ABC的外接圆的半径；(Ⅱ)求△ABC的面积的最大值．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，数列{b n}满足b n=log2a n+log2a n+1．(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n}满足c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=e x−a−lnx(a∈R)．(Ⅰ)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴负半轴有公共点，求a的取值范围；(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的最值．21.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C有两个交点A，B，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，求直线l的方程．522.已知函数f(x)=a2lnx+a，且f(e)≥2，f(e2)≤3．(Ⅰ)求a的值；).(Ⅱ)若0<k≤2，求证：当x>1时，f(x)>k(1−3x答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，所以命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是：“若x2≠4，则x≠2”．故选：C．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x2+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l和两个不同的平面α，β，α⊥β，若l//α，则l与β平行，相交或在平面β内都有可能；若l⊥β，则l⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l⊥β”，“l⊥β”推不出“l//α”，故“l//α”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，即28=b2+16−4b，也即b2−4b−12=0，解得b=6或b=−2(舍去)，所以sinAsinB =ab=2√76=√73，故选：B．由题意利用余弦线定理求得b的值，再利用正弦定理求得sinAsinB的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由y =x 2lnx +4x 3，得y′=2x ⋅lnx +x +12x 2， ∴y′|x=1=13， 又x =1时，y =4，∴该函数图象在点P 处的切线方程为y −4=13(x −1)，即13x −y −9=0． 故选：B ．求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出x =1时的y 值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．8.【答案】A【解析】解：因为x >1， 故f(x)=x x 2+4=1x+4x≤2√x⋅4x=14， 当且仅当x =4x ，即x =2时取等号， 故f(x)=x x 2+4的最大值为14． 故选：A ．将函数f(x)变形为f(x)=1x+4x，然后利用基本不等式进行求解，即可得到最值．本题考查了函数最值的求解，涉及了利用基本不等式求解最值的应用，在应用基本不等式求解最值的时候要注意三个条件是否成立：一正、二定、三相等，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：f′(x)=−12+3x 2=3(x +2)(x −2)，当−3≤x <−2时，f′(x)>0，f(x)递增；当−2<x ≤1时，f′(x)<0，f(x)递减， 所以当x =−2时f(x)取得极大值，即最大值，为f(−2)=22， 又f(−3)=15，f(1)=−5， 所以f(x)的最小值为f(1)=−11． 故选：B ．求导数f′(x)，利用导数判断f(x)的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值．本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p=2，则抛物线y2=2px(p>0)的直线方程为x=−1，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，取x=−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba)，如图，则S△OAB=12×2ba×1=ba=2√2，则e=ca =√1+(ba)2=√1+8=3．故选：A．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)若a1=1，a3=a2+2.则q2=q+2，解可得q=2或−1，又由q>0，则q=2，则S n=a1(1−q n)1−q=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，则b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，则T9=(1S1−1S2)+(1S2−1S3)+⋯…+(1S9−1S10)=1S1−1S10，又由S n=2n−1，则T9=121−1−1210−1=10221023，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)由等比数列的通项公式求出q的值，即可得S n=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，变形可得b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，将S n=2n−1代入计算可得答案．本题考查数列的求和，涉及等比数列的性质和前n项和公式的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数f(x)=xe x−e x−a有且仅有两个不同的零点，则a=(x−1)e x有且仅有两个不同的零点，则y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，g′(x)=xe x，令g′(x)>0，解得：x>0，令g′(x)<0，解得：x<0，故g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故g(x)min=g(0)=−1，而x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，如图示：结合图象，−1<a<0，故选：D．问题转化为y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，根据函数的单调性求出g(x)的范围，结合函数的图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．13.【答案】(83,+∞)【解析】解：根据命题与它的否定命题一真一假，因为命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，所以它的否定命题是￢p：“∀x∈R，x2+6a>8x”为真命题；即“∀x∈R，x2−8x+6a>0”为真命题，所以△=64−24a<0，解得a>83；则实数a的取值范围是(83,+∞)．故答案为：(83,+∞)．根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．本题考查了根据命题的真假求参数的范围，也考查了转化能力，是基础题．14.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x−y−1=0，取x=0，解得A(0,−1)，化目标函数z=x−3y为y=x3−z3，由图可知，当直线y=x3−z3过点A(0,−1)时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z=x−3y的最大值为3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】−856【解析】解：∵y=13x3−2x2−96x+8，∴y′=x2−4x−96，令y′>0，解得：x>12或x<−8，令y′<0，解得：−8<x<12，故函数在(−∞,−8)递增，在(−8,12)递减，在(12,+∞)递增，故函数y=13x3−2x2−96x+8的极小值是y|x=12=−856，故答案为：−856．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．16.【答案】(√6,4)【解析】解：如图，由已知可得，c=√10，ba=2，又a2+b2=c2，∴a=√2，b=2√2，则双曲线方程为x22−y28=1．由已知可得，|F1F2|=2√10，设P(m,n)(m>0,n>0)，则12×2√10×n=4√10，得n=4，∴m22−168=1，解得m=√6(m>0)．∴P的坐标为(√6,4)．故答案为：(√6,4)．由已知求得双曲线方程，再由已知三角形的面积求得P点纵坐标，进一步求得P的横坐标得答案．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x+3x−1<0}={x|−3<x<1}，B={x|(x−a)(x−a+1)< 0}={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=1⋅2n−1=2n−1，n∈N∗，∴b n=log2a n+log2a n+1=log22n−1+log22n=n−1+n=2n−1，n∈N∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n=a n b n=(2n−1)⋅2n−1，∴T n=c1+c2+c3+⋯+c n=1×1+3×21+5×22+⋯+(2n−1)×2n−1，2T n=1×21+3×22+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，两式相减，可得−T n=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n−1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n−1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n−1)×2n=−(2n−3)×2n−3，∴T n=(2n−3)×2n+3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e x−a −lnx ，则f′(x)=e x−a −1x ，故f(1)=e 1−a ，f′(1)=e 1−a −1，故切线方程是：y −e 1−a =(e 1−a −1)(x −1)，即y =(e 1−a −1)x +1， 切线过定点(0,1)，若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x 轴负半轴有公共点， 则e 1−a −1>0，解得：a <1；(Ⅱ)a =1时，f(x)=e x−1−lnx ，函数的定义域是(0,+∞)， f′(x)=e x−1−1x ，f″(x)=e x−1+1x 2>0，故f′(x)在(0,+∞)递增， 而f′(1)=0，故x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故f(x)min =f(1)=1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程，根据切线的斜率，得到关于a 的不等式，解出即可；(Ⅱ)代入a 的值，求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， { x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4，△OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可； (Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可． 本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(e)≥2，f(e 2)≤3，∴{a 2+a ≥22a 2+a ≤3，解得{a ≤−2或a ≥1−32≤a ≤1，故a =1； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得f(x)=lnx +1，要证当x >1时，f(x)>k(1−3x )，即证x >1时，lnx +1>k ⋅x−3x，①当x =3时，ln3+1>0恒成立， ②当1<x <3时，x−3x<0，问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立，∵x ∈(1,3)，∴x −3<0，x(lnx +1)>0，故k >0>x(lnx+1)x−3成立，③当x >3时，x−3x>0，问题转化为k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立， 令g(x)=xln(x+1)x−3(x >3)，则g′(x)=(1−x)(lnx+1)+1(x−3)2，当x >3时，1−x <−2，lnx +1>1，故(1−x)(lnx +1)+1<0，故g′(x)<0恒成立，故g(x)在(3,+∞)上单调递减，当x →+∞时，显然lnx +1>2， 故x(lnx +1)>2x >2(x −3)，故g(x)>2(x−3)x−3=2，结论成立，综上，当x >1时，f(x)>k(1−3x ).【解析】(Ⅰ)根据题意得到关于a 的不等式组，解出a 即可； (Ⅱ)通过讨论x 的范围，将问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立或k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立，再根据函数的性质证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(二)数学(文)试题
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，等差数列的基本性质，等差中项，属于容易题.
6．D
【分析】
设双曲线 的方程为 ，半焦距为 ，求出双曲线的渐近线方程，根据题意求出 的值，利用离心率可得出 的值，进而可得出该双曲线的实轴长.
【详解】
设双曲线 的方程为 ，半焦距为 ，
双曲线的离心率为 ，则 ，
即双曲线的渐近线方程为 ，焦点 到一条渐近线的距离为 ，
9．D
【解析】
原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 轴的交点为 ，且图象在 两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数 的正负，得出原函数 的单调区间．
10．A
【分析】
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试（二）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．如果 ，那么下列不等式错误的是（）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆E交于A，B两点.若四边形 面积的最大值为8，则a的最小值为（）
A． B．2C． D．4
12．对于函数 ，将满足 的实数 称为 的不动点.若函数 （ 且 ）有且仅有一个不动点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
（1）求椭圆E的方程.
（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
河南省天一大联考2020-2021学年上学期高二年级阶段性测试(一)文科数学试题
16．在正项等比数列 中，若 ，则 的取值范围是______．
三、解答题
17．记等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 和 的通项公式；
（Ⅱ）若 且 ，求 ．
18．已知函数 ，不等式 的解集是 .
6．C
【分析】
由正弦定理得 ，再由余弦定理即可得解.
【详解】
由 及正弦定理得 ，
设 ， ，则 ， ．由余弦定理得 ，
又 ，所以 ．
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.
7．B
【分析】
由题意画出可行域，转化目标函数 为 ，数形结合即可得解.
【详解】
由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．
【点睛】
本题考查了构造新数列求数列通项的方法和分组求和法的应用，属于中档题.
A． 海里B． 海里C． 海里D． 海里
12．已知 ，则 的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．关于 的一元二次不等式 的解集为__________．
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为_______．
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.
9．D
【分析】
由题意构造新数列可得数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，进而可得 ，利用分组求和法即可得解.
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(一)(11月)数学(文)试题
6．B
【解析】
根据题意数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，则
故选B
7．C
【解析】
做出不等式组对应的平面区域的可行域如图所示，由 可得 ，
平移直线 ，由图象可知，
当直线 经过点 时，直线的截距最小，此时 最小，为 ，
当直线 经过点 时，直线的截距最大，此时 最大，联立直线方程可得 ，此时 ，
7．若实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项的和为（ ）
A． B． C． D．
9． 年 月 日 时，第 号台风“杜苏苪”的中心位于甲地，它将以每小时 千米的速度向西偏北 的方向移动，距台风中心 千米以内的地区都将受到影响．若距甲地正西方向 千米的乙地 日 时开始受台风影响，则 的值为( )
据此可得： .
点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用 转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
15．3
【解析】
根据题意 ，由余弦定理可得
则 的面积
即答案为3
16．
【解析】
由题意可得，当 时，有：
两式做差有： ，
当 时， 也满足上面的通项公式，
20．已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
21．某大理石工厂初期花费98万元购买磨大理石刀具，第一年需要各种费用12万元，从第二年起，每年所需费用比上一年增加4万元，该大理石加工厂每年总收入50万元.
（1）到第几年末总利润最大，最大值是多少？
2020-2021学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b23.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥04.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.109.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.2410.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项【正确答案】：C【解析】：求出a n=2n，即可求出n的值．【解答】：解：由题意可得公差为2，首项为2，则a n=2+2（n-1）=2n，∴2n=2020，即n=1010，故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b2【正确答案】：B【解析】：根据不等式的性质对每一选项进行判断即可．【解答】：解：已知a＜0＜b，对于a2＜b2和ab＞b2，若a=2，b=-1，AD选项错误，等于C，b正数，a负数， $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ =-[（- $\frac{b}{a}$ ）+（-$\frac{a}{b}$ ）]＜-2 $\sqrt{(-\frac{b}{a})\bullet (-\frac{a}{b})}$ =-2，则C选项错误，而 $\frac{a}{b}$ 是负数，故B选项正确，故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质及不等式大小的判断，属于基础题．3.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥0【正确答案】：A【解析】：根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】：解：命题是特称命题，则其否定是全称命题，即∀x∈（0，+∞），xlnx≥0，故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$【正确答案】：A【解析】：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】：解：椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1得∴c1= $\sqrt{2}$ ，∴焦点坐标为（ $\sqrt{2}$ ，0）（- $\sqrt{2}$ ，0），双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1的焦点必在x轴上，则半焦距c2= $\sqrt{m+1}$ ，∴ $\sqrt{m+1}$ = $\sqrt{2}$解得实数m=1．故选：A．【点评】：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：解关于q的不等式，再结合集合的包含关系判断即可．【解答】：解：由命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，即- $\frac{1}{2}$ ＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：对f（x）求导，根据f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，得到关于a的方程，再求出a的值．【解答】：解：由f（x）=ax+lnx，得 $f'(x)=a+\frac{1}{x}$ ，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴f'（1）=3，∴a+1=3，∴a=2．故选：B．【点评】：本题考查了利用导函数研究曲线上某点的切线，考查了方程思想，属基础题．7.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$【正确答案】：A【解析】：利用余弦定理|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC可求得|AB|，利用正弦定理即可求解．【解答】：解：∵△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，∴由余弦定理得：|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC，可得：7=|AB|2+4-2|AB|，即|AB|2-2|AB|-3=0，∴|AB|=3．∴sinA：sinC=BC：AB=2：3．故选：A．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关定理是基础，属于基础题．8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.10【正确答案】：B【解析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合进行求解即可求得最小值．【解答】：解：画出约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如阴影部分所示：目标函数z=x+3y可化为y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z，平移目标函数知，当直线y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z经过点A时，直线y=-$\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z的截距最小，此时z最小．由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$ ，解得A（3，1），代入目标函数得z=3+3×1=6．即z=x+3y的最小值为6．故选：B．【点评】：本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义与数形结合法，是解决此类问题的基本方法，是中档题．9.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.24【正确答案】：C【解析】：由等比数列的性质即可求得a9，再由等差数列的性质即可求解．【解答】：解：因为在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，所以 ${{a}_{9}}^{2}$ =8a9，解得a9=8或a9=0（舍），所以b9=a9=8，因为数列{b n}是等差数列，所以b7+b11=2b9=16．故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．10.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$【正确答案】：A【解析】：由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|的值推出三角形PF1F2为直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求解．【解答】：解：由题意可得：a= $\sqrt{5}$ ，b=1，c=2，所以|F1F2|=2c=4，又|OP|=2，所以|OP|= $\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$ ，所以三角形PF1F2是以点P为直角的直角三角形，所以|PF1|⊥|PF2|，则|PF ${}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$ ，又|PF ${}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{5}$ ，所以|PF1||PF2|=2，则三角形PF1F2的面积为S= $\frac{1}{2}×|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×2=1$ ，故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的定义以及直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）【正确答案】：D【解析】：分别根据导数图象，判断函数的单调性，即可．【解答】：解：对于A，由f′（x）图象知，当x＜-1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，故A错误，对于B，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，函数为减函数，则x=3是函数的一个极大值点，故B错误，对于C，f′（3）=f′（5），故C错误，对于D，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，则f（-1）＜f（3）成立，故D正确，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]【正确答案】：B【解析】：由已知得到方程m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，构造函数h（x）=x2-lnx-x，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．【解答】：解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，即m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有解．设h（x）=x2-lnx-x，则h′（x）=2x- $\frac{1}{x}$ -1= $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$ ，令h′（x）=0得x=1．∴当 $\frac{1}{2}$ ＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，∴h（x）在（ $\frac{1}{2}$ ，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．∴当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=0，∵h（ $\frac{1}{2}$ ）=ln2- $\frac{1}{4}$ ，h（2）=-ln2+2，且h（2）＞h（ $\frac{1}{2}$ ），0＜m≤ln2- $\frac{1}{4}$ ．从而m的取值范围为（0，ln2- $\frac{1}{4}$ ]故选：B．【点评】：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，解题关键是将已知转化为方程在某区间上有解，属于中档题．13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．【正确答案】：[1]31【解析】：由x2-3x+2=0，解得x，然后求出公比q，再求出S5的值．【解答】：解：由x2-3x+2=0，解得x=1，2，∵数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，∴a1=1，a2=2，∴公比q=2．∴其前5项和S5= $\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$ =31．故答案为：31．【点评】：本题考查了一元二次方程的解法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：将4x+y=8转换为y=8-4x，代入xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，解一元二次函数在x＞0的区间的最值即可．【解答】：解：已知正实数x，y满足4x+y=8，则y=8-4x，即xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，x＞0，且仅当x=1时，xy的最大值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{3}}{2}$【解析】：在△ABC中，由b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB可求得ac=6，从而可求得△ABC的面积．【解答】：解：在△ABC中，∵B= $\frac{2π}{3}$，b2=（a+c）2-6=a2+c2+2ac-6，又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×（- $\frac{1}{2}$ ）=a2+c2+ac，∴ac=6，∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB= $\frac{1}{2}$ ×6× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ，故答案为： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ．【点评】：本题考查余弦定理与三角形面积公式的应用，考查运算能力，属于中档题．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．【正确答案】：[1]【解析】：由已知可得AF=BF=AB，分析出点A，B关于x轴对称，设出点A的坐标代入抛物线方程，再由抛物线定义可得AF的关系式，联立方程即可求解．【解答】：解：因为三角形ABF为等边三角形，则AF=BF，又点F在抛物线的对称轴x轴上，所以点A，B两点的横坐标相等，纵坐标相反，则设点A（m，n）（n＞0），所以B（m，-n），满足n2=2m，且AB=2n，又由抛物线的定义可得AF=AB=m+ $\frac{p}{2}=m+\frac{1}{2}$ =2n，联立方程 $\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}=2m}\\{m+\frac{1}{2}=2n}\end{array}\right.$ ，解得n=2 $±\sqrt{3}$ ，所以三角形ABF的边长为2n=4 $±2\sqrt{3}$ ，故答案为：4 $±2\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查了抛物线的定义以及等边三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出p、q命题为真命题时a的取值范围，再结合复合命题的真假可得答案．【解答】：解：命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；若P真命题，则a≤（x+ $\frac{1}{x}$ ）min．因为x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，所以x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x\bullet \frac{1}{x}}$ =2，当且仅当x= $\frac{1}{x}$ 时，即x=1时等号成立，所以a≤2；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若q真命题，则，Δ=a2-4a＜0，即0＜a＜4．若命题p∧q是真命题，则p．q都是真命题，即 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$ ，所以0＜a≤2．故答案为：实数a的取值范围为{a|0＜a≤2}．【点评】：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d 的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和T n．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{4{a}_{1}+6d=22}\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$ ，∴a n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得：b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ = $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ =$\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ），∴T n=b1+b2+…+b n= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ ）+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ ）+…+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ +…+ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{n}{3n+1}$ ．【点评】：本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，由此求得∠B，∠C的值，代入求值即可．【解答】：解：（Ⅰ）已知等式（2b-c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC，整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA= $\frac{1}{2}$ ，∴A= $\frac{π}{3}$；（Ⅱ）∵b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcosA，即12=b2+c2-bc，∴12=（b+c）2-3bc，∵b+c=6，∴bc=8，∴ $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$ ．当b=2，c=4时，C= $\frac{π}{2}$，B= $\frac{π}{6}$，∴sin（B-A）=sin（- $\frac{π}{6}$）=- $\frac{1}{2}$ ．当b=4，c=2时，B= $\frac{π}{2}$，∴sin（B-A）=sin $\frac{π}{6}$ = $\frac{1}{2}$ ．综上所述，sin（B-A）的值为- $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ ．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？【正确答案】：【解析】：（1）当x=0时，y=28，代入y的解析式中，可求得k的值；由题意可得，每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，然后根据利润=销售价格×年销售量-成本，写出L的解析式即可；（2）结合（1）中L的解析式，利用基本不等式，即可得解；【解答】：解：（1）∵不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，∴当x=0时，y=28，∴28=30- $\frac{k}{10}$ ，解得k=20，∴y=30- $\frac{20}{x+10}$ ，∵每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，∴每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，∴L=y•（1.5× $\frac{80+160y}{y}$ ）-（80+160y+x）=40+80y-x=40+80•（30- $\frac{20}{x+10}$ ）-x=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x（x≥0）．（2）由（1）知，L=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x=2450- $\frac{1600}{x+10}$ -（x+10）≤2450-2 $\sqrt{\frac{1600}{x+10}\bullet (x+10)}$ =2370，当且仅当 $\frac{1600}{x+10}$ =x+10，即x=30时，等号成立，此时L取得最大值，为2370万元，故该工厂计划投入促销费用30万元，才能获得最大利润．【点评】：本题考查函数的实际应用，以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a ＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意可得e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，b2=a2-c2，$\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，解得c，a，b，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，在化简计算k OA k OB=k2，即可解得k的值．【解答】：解：（Ⅰ）因为e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以a= $\sqrt{2}$ c，又b2=a2-c2，所以b=c，所以左顶点与上顶点的直线方程为 $\frac{x}{-\sqrt{2}c}$ + $\frac{y}{c}$ =1，即x- $\sqrt{2}$ y+ $\sqrt{2}$ c=0，所以 $\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，c= $\sqrt{2}$ ，a=2，b=$\sqrt{2}$ ，所以椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{2}$ =1．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，理由如下：由题知- $\sqrt{2}$ ＜m＜ $\sqrt{2}$ 且m≠0，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\righ t.$ ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以x1+x2= $\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$ ，x1x2= $\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$ ，Δ=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2+2）＞0恒成立，因为k OA k OB= $\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{(k{x}_{1}+m)(k{x}_{2}+m)}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km({x}_{1}+{x}_{2})+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$= $\frac{{k}^{2}(2{m}^{2}-4)-4{k}^{2}{m}^{2}+{m}^{2}(1+2{k}^{2})}{2{m}^{2}-4}$ =$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ ，所以 $\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ =k2，所以（2k2-1）m2=0，解得k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以存在实数k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，使得k OA k OB=k2成立．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将a=-1代入f（x）中，求出f'（x），根据导函数f'（x）在不同区间上的符号，确定f（x）的单调区间；（Ⅱ）对f（x）求导，将f′（x）＞xlnx+2恒成立转化为 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立，然后令g（x）= $\frac{lnx}{x}$ - $\frac{2}{x}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ ，判断g（x）的单调性，进一步求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）定义域为R，由a=-1，得 $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）=-x2+2x+3=-（x+1）（x-3），令f′（x）＞0，得-1＜x＜3，令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3∴函数f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵ $f(x)=\frac{a}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）＞xlnx+2，即ax2+2x+3＞xlnx+2，∵x∈（1，e3），∴原问题等价于 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立．令 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}，(1＜x＜e^{3})$ ，则$g′(x)=\frac{1-lnx}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\frac{3x-xlnx+2}{x^{3}}$ ，令h（x）=3x-xlnx+2（1＜x＜e3），则h′（x）=2-lnx，∴当x∈（1，e2）时，h′（x）＞0，当x∈（e2，e3）时，h′（x）＜0，∴h（x）在区间（1，e2）上是增函数，在区间（e2，e3）上是减函数，又h（1）=5＞0，h（e3）=2＞0，∴当x∈（1，e3）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴函数 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 在区间（1，e3）上是增函数，∴ $g(x)＜g(e^{3})=\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，∴ $a≥\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，即实数a的取值范围为 $[\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}，+∞)$．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想，属中档题．。
天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(一)数学(文)试题
（2）求证： 平面 ；
（3）求 与平面 所成角的正弦值.
22．如图，在平面直角坐标系 ，过点 且互相垂直的两条直线分别与圆 交于点 与圆 交于点 .
（1）若 ，求 的长；
（2）若 的中点为 ，求 面积的取值范围.
参பைடு நூலகம்答案
1．D
【分析】
直线 的斜率 ，故 ，得到答案.
【详解】
直线 的斜率 ，设直线 的倾斜角为 ，
二、填空题
13．已知点 ，点 ，则线段 的垂直平分线的方程为__________
14．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧面都是正方形，且AA1⊥底面ABC，M是侧棱BB1的中点，则异面直线AC1和CM所成的角为____.
15．若直线 与圆 相交于 两点，若 为等边三角形，则 _____.
16．如图，已知矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ， .现沿 将图形折起，使 ，则三棱柱 的外接球的表面积为___________.
9．D
【分析】
由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.
【详解】
由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，
图中， 与底面垂直，且 ，
由勾股定理可得 ，所以最长的棱为 ，故选D.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.