中考数学专题37 方案设计型问题

学科教师辅导讲义

年级：辅导科目：数学课时数：3

课题方案设计型问题

教学目的

教学内容

一、【中考要求】

方案设计问题是通过设置一个世纪问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案较优。方案设计问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力。

它包括测方案设计、作图方案设计和经济类方案设计。

（一）测量方案设计题，一般限定条件、限定测量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行测量并计算，要注意的是设计出来的方案要有课操作性。

（二）作图、拼图方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，它把作图的技能考查放在一个世纪生活的大背景下，考查学生的综合创新能力，它给同学们的创造性思维提供广阔的空间与平台。此类题常以某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，通过某些辅助线，将面积分割或分割后拼出符合某些条件的图形。

（三）经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多。

方案设计题贴近生活，具有角强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思考，要先思考后动手，设计性问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。

近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目。这类命题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等。

二、【考点知识梳理】

1．“动手操作”类题，多指对某种图形按照要求完成某些操作，进而对结果进行探究，直至解决的一类题型．“方案设计”是指根据要求，构造某种问题的具体解决方案或者对问题给出的若干种解决方法进行比较的一类题型．2．实际操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：(1)裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性相联系；(2)与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性问题．

3．方案设计问题的题型主要包括：(1)根据实际问题拼接或分割图形；(2)利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.

三、【中考典例精析】

类型一动手操作题

如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是()

A．2＋10 B．2＋210 C．12 D．18

【点拨】动手操作法．

【答案】B 提示：利用勾股定理即可得出结果． 类型二 方案设计题

为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1 600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球

的单价比为3∶2，单价和为80元．

(1)篮球和排球的单价分别是多少元？

(2)若要求购买篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？

【点拨】本题综合考查方程和不等式组的实际应用，正确理解题意找出题目的等量和不等量关系是解题的关键．注意求n 的整数解时不要漏解．

【解答】(1)设篮球的单价为x 元，则排球的单价为23x 元，依题意得x ＋23x ＝80，解得x ＝48，∴2

3

x ＝32.

即篮球和排球的单价分别是48元和32元．

(2)设购买的篮球数量为n 个，则购买的排球数量为(36－n)个．

由题意得?

????

n>25，

48n ＋32(36－n )≤1 600，

解得25

而n 为整数，所以其取值为26、27、28，对应的36－n 的值为10、9、8，故共有三种购买方案． 方案一：购买篮球26个，排球10个； 方案二：购买篮球27个，排球9个； 方案三：购买篮球28个，排球8个．

四、【课堂训练】

1．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是( )

A ．669

B ．670

C ．671

D ．672

解析：第n 次操作得到3n ＋1个小正方形，所以3n ＋1＝2 011，所以n ＝670. 答案：B

2．(1)【操作发现】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 的内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．

(2)【解决问题】 保持(1)中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AD

AB 的值．

(3)【类比探究】 保持(1)中的条件不变，若DC ＝n·DF ，求AD

AB

的值．

解：(1)同意．

连结EF.则∠EGF ＝∠D ＝90°，EG ＝AE ＝ED ，EF ＝EF. ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF ，∴GF ＝DF. (2)由(1)知，GF ＝DF.

设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y.

∵DC ＝2DF ，∴CF ＝x ，DC ＝AB ＝BG ＝2x ， ∴BF ＝BG ＋GF ＝3x.

在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2， 即y 2＋x 2＝(3x)2.

∴y ＝22x ，∴AD AB ＝y

2x

＝ 2.

(3)由(1)知，GF ＝DF ，设DF ＝x ，BC ＝y ， 则有GF ＝x ，AD ＝y. ∵DC ＝n·DF ，∴DC ＝AB ＝BG ＝nx. ∴CF ＝(n －1)x ，BF ＝BG ＋GF ＝(n ＋1)x. 在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2， 即y 2＋[(n －1)x]2＝[(n ＋1)x]2.

∴y ＝2nx ，∴AD AB ＝y nx ＝2n

n

.

3．君实机械厂为青扬公司生产A 、B 两种产品，该机械厂由甲车间生产A 种产品，乙车间生产B 种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A 种产品比乙车间每天生产的B 种产品多2件，甲车间3天生产的A 种产品与乙车间4天生产的B 种产品数量相同．

(1)求甲车间每天生产多少件A 种产品？乙车间每天生产多少件B 种产品？

(2)君实机械厂生产的A 种产品的出厂价为每件200元，B 种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A 、B 两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司出厂价购买A 、B 两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案．

解：(1)设乙车间每天生产x 件B 种产品，则甲车间每天生产(x ＋2)件A 种产品． 根据题意3(x ＋2)＝4x ，解得x ＝6.∴x ＋2＝8.

因此，甲车间每天生产8件A 种产品，乙车间每天生产6件B 种产品． (2)设青扬公司购买B 种产品m 件，则购买A 种产品(80－m)件． 15 000<200(80－m)＋180m ≤15 080，解得46≤m<50. ∵m 为整数，∴m 为46或47或48或49.

又∵乙车间8天只能生产48件，∴m 为46或47或48. 故共有三种购买方案：

方案1: 购买A 种产品32件，B 种产品48件； 方案2: 购买A 种产品33件，B 种产品47件； 方案3: 购买A 种产品34件，B 种产品46件．

4．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球(除数不同外，其余都相同)．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．

(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；

(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．

解：(1)画树状图如下：

或列表如下：

由图(表)知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，所以积为0的概率为P ＝412＝1

3

.

(2)不公平．

因为由图(表)知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种，

所以积为奇数的概率为P 1＝412＝1

3；

积为偶数的概率为P 2＝812＝2

3

.

因为13≠2

3

，所以该游戏不公平．

游戏规则可修改如下：

若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢．(只要正确即可)

七、【课后达标练习】

1．（10龙岩）我校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A 、B 两种篮球共20个供学生训练 使用．若购买A 种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买A 种篮球12个， 则购买两种篮球共需费用840元． （1）A 、B 两种篮球单价各多少元？

（2）若购买A 种篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你按要求设计出所

有的购买方案供学校参考，并分别计算出每种方案购买Ａ、B 两种篮球的个数及所 需费用．

2．（10常州）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则： 同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜否则小黄胜。（如果指针恰好在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）

（1）这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由； （2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则.

3．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

4．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

5．（10河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为：

y =100

1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利

润 = 销售额－成本－广告费）．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），

当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100

1x 2

元的附加费，

设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．

（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，

求a 的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月

利润较大？

6.如图，小明想用皮尺测量池塘A 、A 间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习有关知识后，他想出了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A 、B 两点的点O ，连接OA 、OB ，分别在OA 、OB 上取中点C 、D ，连接CD ，并测得CD=a ，由此他即知道A 、B 间的距离是（ ）

A.12

a ； B.2a ； C.a ； D.3a

7.如图，转盘被分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5 6，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率是2/3，并说明你的设计理由（设计方案可用土所示，也可以用文字表述）。

8.市"康智'牛奶乳业有限公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产 压库”,要求这两种产品全年共新增产品20件,这20件的总价值p(万元)满足:110

产品 每件产品的产值 甲 4.5万元 乙

7.5万元

6

54

3

21

∠?

仅供个人参考

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For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.

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