2000-2017年历年考研数学一真题(答案 解析)
历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设21123(x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A）321,,a b c =-==-（B）321,,a b c ===-（C）321,,a b c =-==（D）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()xf x ce =的特解的形式应该为()xQ x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nn n na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=221141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A）,a d ∉Ω∉Ω（B）,a d ∉Ω∈Ω（C）,a d ∈Ω∉Ω（D）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A）2221232y y y -+（B）2221232y y y +-（C）2221232y y y --（D）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T TQ P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010010010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择（A）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P AB P A P B ≤（B）()()()P AB P A P B ≥（C）2()()()P A P B P AB +≤（D）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A）3-（B）3（C）5-（D）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )limx x x→=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭⎰．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定，则01(,)|dz =．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy'''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂''也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydzx y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=-．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<=．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=-17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂．(,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x = ，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-vx u x x uv ∆∆∆)()(++=xu x u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++=由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x = 1121212()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt ππ==20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪=⎪ ⎪+⎝⎭，因为201210224021201kk k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n n n n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).nx x x θ=--..--2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。
2017考研数一真题及答案解析
设函数
f
(u, v) 具有 2 阶连续偏导数，
y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y x0 ， dx2
x0
【答案】 dy dx
x0
f1'
(1,1),
d 2y dx 2
x0
f ''
11
(1,1),
【解析】
x0
y f (ex , cos x) y(0) f (1,1)
dy dx x0
() 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
() 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
解：1）由于 lim f (x) 0 ，根据极限的保号性得 x x0
【答案】C
【解析】
f
(x)
f
'(x)
0,
f f
(x) 0 (1)
'(x) 0
或
f f
(x) 0 '(x) 0
(2)
，只有
C
选项满足
(1)
且满足
(2)
，所以选
C。
（3）函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2 的方向导数为（ ）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x 2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
历年考研数学一真题
历年考研数学一真题数学一是中国研究生入学考试的一门科目，属于理工科类别。
随着研究生教育的普及和竞争的加剧，考研数学一的难度逐年增加，对考生的综合能力要求也越来越高。
以下是历年考研数学一真题的一些例子，供考生们参考和复习。
注意，为了版面整洁，我将部分题目以图片形式呈现，但仍保持文字描述的准确性。
一、解析几何1.2009年考研数学一真题题目解析几何是数学一中的一个重要考点，涉及到直线、平面、曲线等几何图形的性质和变换。
下面是2009年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：已知平面上点A(-2, 2)，B(-2, 0)，C是直线2x+y-5=0上的一点，且BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，求点C的坐标。
解答步骤：首先，我们需要计算AC的斜率。
直线AC的斜率为-2/1=-2。
然后，由于BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，所以BC的斜率也为2。
根据直线BC的斜率为2，且过点B(-2, 0)，可以列出方程为：y-0=2(x+2)。
将直线2x+y-5=0与直线y-0=2(x+2)联立求解，得到点C的坐标。
2.2014年考研数学一真题题目题目描述：已知椭圆x^2/9+y^2/4=1，点P为椭圆上一点，点A(-3, 0)，直线PA和x轴交于点B，且AB为直线y=1的中垂线，求点B的坐标。
解答步骤：首先，我们需要求出点P的坐标。
将直线y=1代入椭圆方程，得到x^2/9+1/16=1，解方程后得到点P的坐标。
然后，根据点P和点A(-3, 0)，我们可以求出直线PA的方程。
最后，根据直线PA和点P，通过x轴得到点B的坐标。
二、线性代数1.2011年考研数学一真题题目线性代数是数学一中的另一个重要考点，涉及到向量、矩阵、线性变换等概念和运算。
以下是2011年考研数学一真题的一个题目示例：题目描述：设A为3阶方阵，满足A^2-3A+I=0，其中I为3阶单位矩阵，若B=2A-3I，则det(B)的值为多少？解答步骤：首先，根据已知条件A^2-3A+I=0，可以得到A^2=3A-I。
2000年-2019年考研数学一历年真题（完整版）
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a xb <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示 (B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价 (D)矩阵1(,,)m =A αα 与矩阵1(,,)m =B ββ 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z x y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰ ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰ ,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(l i m ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为X0 1 2 3P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r>时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin ee e e yx y xLLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰ .(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110(12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233d x d y z d z d x y d y d z x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z = (11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为X Y0 1 0 0.4a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 (16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =10 01,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面22z x y =+(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)22120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B)22120(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)22120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(C)22120(,)y dy f x y dx -⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >(B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ .(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是(A)1ex-(B)1ln1xx+-(C)11x +-(D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()limx f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n == 则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______.(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+ (2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度. (24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。
2017年考研数学一真题及解析
【解析】
两边求导得：
3x2 3y2 y ' 3 3y ' 0
（1）
令 y ' 0 得 x 1
对（1）式两边关于 x 求导得
6x 6 y y '2 3y 2y '' 3y '' 0
（2）
将
x
1
代入原题给的等式中，得
x y
1 or
1
x
( A)ab 1 2
(C)ab 0
B ab 1
2
D ab 2
【答案】A
【解析】 lim 1 cos
x
lim
1x 2
1
, f ( x) 在 x 0 处连续
1
b ab 1 . 选 A.
x0
ax
x0 ax 2a
2a
2
（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0 ，则（ ）
x x0 () 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； () 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
f
' 2
(1,1)
（16）（本题满分
10
分）求
lim
考研数学一(一元函数积分学、中值定理、向量代数和空间解析几何
考研数学一（一元函数积分学、中值定理、向量代数和空间解析几何）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2011年)设则I，J，K的大小关系是( )A．I＜J＜KB．I＜K＜JC．J＜I＜KD．K＜J＜I正确答案：B解析：当时，因此lnsinx＜lncosx＜lncotx，故选B。
知识模块：一元函数积分学2．(2012年)设则有( )A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3正确答案：D解析：由于当x∈(π，2π)时，sinx＜0，可知也即I2一I1＜0，因此I1＞I2。
又由于对作变量替换t=x一π得由于当x∈(π，2π)时sinx＜0，ex2—e(x+π)2＜0，可知也即I3一I1＞0，因此I3＞I1。
综上所述有I2＜I1＜I3，故选D。
知识模块：一元函数积分学3．(2014年)若函数则a1cosx+b1sinx=( )A．2sinxB．2cosxC．2πsinxD．2πcosx正确答案：A解析：由于(x一acosx—bsinx)2=x2+a2cosx2x+bsin2x一2axcosx一2bxsinx+2abcosxsinx，且相当于求函数a2+b2一4b的最小值点，而a2+b2一4b=a2+(b—2)2一4，易知当a=0，b=2时取得最小值，所以应该选A。
知识模块：一元函数积分学4．(2010年)设m，n为正整数，则反常积分的收敛性( )A．仅与m取值有关B．仅与n取值有关C．与m，n取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：x=0和x=1可能是被积函数的瑕点，所以将原积分拆成考虑点x=0，注意到因为m，n是正整数，所以恒成立，故收敛，于是由比较判别法的极限形式可知，也收敛。
考虑点x=1，取函数其中0 而收敛，所以由比较判别法的极限形式可知，也收敛。
2017年考研数学一真题与解析
2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每题4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x 0在 x 0 处连续，则 axb, x 0（ A ） ab1（ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x1【详解 】 limf (x)lim2， lim f (x)bf (0) ，要使函数在 x0 处连续，x 0x 0axx 0ax2ax 0一定知足1bab 1 ．因此应当选（ A ）2a22．设函数 f (x) 是可导函数，且知足f ( x) f ( x) 0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （B ） f (1) f ( 1)（ C ） f (1)f ( 1)（ D ） f (1) f ( 1)【详解 】设 g (x)( f (x))2 ，则 g ( x)2 f ( x) f (x) 0 ，也就是2是单一增添函数．也就获得f ( x) 2f ( 1)2f (1)f ( 1) ，因此应当选（ C ）f (1)3．函数 f (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为（ A ） 12 （B ） 6(C ） 4（ D ） 2【 详 解 】f2xy, fx 2 , f2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf 4,1,0 ， 所 以xyzf (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为fr gradfuur1(1,2, 2) 2n4,1,0应当选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前面 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t )（单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) （单位：米 /秒），三块暗影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时辰为t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（ D ） t 025【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t)T2S1 ,S2 , S3分别运动的速度函数时，v(t )dt 表示时辰 T1 ,T2内所走的行程．此题中的暗影面积T1表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走行程之差，明显应当在t25时乙追上甲，应当选（ C）．E5为 n 阶单位矩阵，则．设为 n 单位列向量，（ A）E T 不行逆（ B）E T 不行逆（ C）E2T 不行逆（ D ）E 2T 不行逆【详解】矩阵T的特点值为 1和 n 1个 0 ，进而E T , E T , E2T , E2T 的特点值分别为 0,1,1,L1； 2,1,1,L,1 ；1,1,1,L,1 ； 3,1,1,L,1 ．明显只有 E T 存在零特点值，因此不行逆，应当选（ A ）．2002101006．已知矩阵A021， B020， C020，则001001002（ A）A,C相像，B,C相像（ B）A,C相像，B,C不相像（ C）A,C不相像，B,C相像（ D）A,C不相像，B, C不相像【详解】矩阵 A, B 的特点值都是122,31．能否可对解化，只要要关怀 2 的状况．000关于矩阵 A ，2E A00 1 ，秩等于1，也就是矩阵 A 属于特点值2存在两个线性没关的特001征向量，也就是能够对角化，也就是 A ~ C ．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩阵 A 属于特点值2只有一个线性没关的特001征向量，也就是不能够对角化，自然B,C不相像应选择（B）．7A, B是两个随机事件，若0P( A)1，0 P( B)1，则 P( A / B)P( A / B) 的充足必需条件是．设（ A）P(B / A) P( B / A)（ B）P( B / A) P(B / A)（ C）P(B / A)P( B / A)（ D）P(B / A) P( B / A)【详解】由乘法公式：P( AB) P( B) P(A / B), P( AB )P(B)( P( A / B) 可得下边结论：P( A / B)P( A / B)P( AB)P( AB) P( A)P( AB)P( AB) P( A)P( B) P( B)P(B)1P( B)近似，由 P( AB ) P( A) P(B / A), P( AB) P( A)P( B / A) 可得P(B / A)P(B / A)P( AB)P( AB) P( B)P( AB)P( AB)P( A)P( B) P( A)P( A)1P( A)因此可知选择（ A ）．8．设X1, X2,L , X n(n 2)为来自正态整体N (,1) 的简单随机样本，若1 nX i，则以下结论中不Xn i 1正确的是（）n) 2听从 2 散布（B ）2 X n 22 散布( X i（ A）X1听从i 1nX ) 2听从 2 散布)2听从 2 散布（ C）( X i（ D）n( Xi1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）明显( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,L n 且互相独立，因此( X i)2听从i 12( n) 散布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n1)S~( n1)，因此（ C）结论也是正确的；2i1（ 3）注意X ~ N (, 1)n ( X) ~ N (0,1)n( X) 2 ~2 (1) ，因此（D）结论也是正确的；n（ 4）关于选项（ B ）：( X n X1 ) ~ N (0, 2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1) 2 ~2 (1) ，因此（B）结22论是错误的，应当选择（B）二、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数 f ( x)1，则 f (3) (0)．1 x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f( n) (0) x n，知f( n)(0)n! a n，此中 a n为睁开式中 x n的系n0n!数．因为f ( x)11x2x4L( 1)n x2 n L, x1,1 ，因此 f (3) (0)0 ．1 x210．微分方程y 2 y3y0的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30 有一对共共轭的根r12i ，因此通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11．若曲线积分xdxaydy在地区 D( x, y) | x 2 y 21 内与路径没关，则 a .Lx 2y 2 1【详解 】设P( x, y)x,Q( x, y)ay ，明显 P( x, y), Q (x, y) 在地区内拥有连续的偏 x 2 y 2x 2y 21 1导数，因为与路径没关，因此有Q Pa1xy12．幂级数( 1)n 1 nx n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解 】( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1( x n )( 1)n 1 x nx 1 n 1n 1n 11 x(1 x)2因此 s(x)12 , x( 1,1)(1 x)1 0 113 ． 设 矩 阵 A1 12 ， 1,2 ,3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向量 组 A 1, A 2 , A 3 的 秩0 1 1为．1 0 1 1 0 1 1 0 1【详解 】对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A的秩为 2，因为0 1 11 10 01, 2 , 3 为线性没关，因此向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 2．14．设随机变量X 的散布函数F (x)( x)x4 ，此中( x) 为标准正态散布函数，则2EX．【详解 】随机变量 X 的概率密度为f ( x) F (x)(x)(x4) ，因此2E(X ) xf ( x)dxx ( x)dxx x 4)dx(2x (x42(2t 4) (t) dt22(t) dt2三、解答题15．（此题满分 10 分）设函数 f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，yf ( x,cos )dy， d 2 y．ex ，求|x 0dx 2 |x 0dx【详解 】dyxxx， dy；f 1 (e ,cos x)ef 2 ( e ,cos x)( sin x)|x 0dxf 1 (1,1)dxd 2 ye xf 1 x,cos x) xxxsin xf 12xx,cos x)dx 2(ee (f 11 (e ,cos x)e(e ,cos x))cos xf 2 (esin xe x f 21 (e x ,cos x) sin 2 xf 22 (e x ,cos x)d 2 2y|x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．dx16．（此题满分 10 分）求 limn k2 ln 1k nk 1nn【详解 】由定积分的定义nk 2k lim1nklnk1lim ln 11 x ln(1 x)dxn1 nnnn k 1 nn 0k1 1 x)dx 212 ln(1 417．（此题满分 10 分）已知函数 y( x) 是由方程 x 3 y 33x 3y 20 ．【详解 】在方程两边同时对x 求导，得3x 2 3 y 2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对 x 求导，得2x 2 y( y ) 2 y 2 yy也就是 y2( x y( y ) 2 )1 y2令 y 0 ，得 x1 ．当 x 11时， y 1 1 ；当 x 21时， y 2 0 当 x 1 1 时， y 0 ， y 1 0 ，函数 y y( x) 取极大值 y 11 ；当 x 21时， y 0 ， y1 0 函数 yy( x) 取极小值 y 2 0 ．18．（此题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间 0,1 上拥有二阶导数，且f (1) 0f (x)， lim0 ，证明：x 0x（ 1）方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）方程 f (x) f (x)( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．证明：（ 1）依据的局部保号性的结论，由条件limf ( x)1，及 x 1(0, ) ，使得0 可知，存在x 0 xf (x 1) 0 ，因为 f ( x) 在 x 1,1 上连续，且 f ( x 1 ) f (1) 0，由零点定理，存在 ( x 1 ,1) (0,1) ，使得f ( )0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）由条件 limf (x)0 可知 f (0)0 ，由（ 1）可知 f ( )0 ，由洛尔定理，存在(0, ) ，使得xxf ( )0 ；设 F ( x) f (x) f (x) ，由条件可知 F ( x) 在区间 0,1 上可导， 且 F (0)0, F ( ) 0, F ( ) 0 ，分别在区间 0,, , 上 对 函 数 F (x) 使 用 尔 定 理 ， 则 存 在 1(0, )(0,1), 2 ( , ) (0,1), 使 得12 , F ( 1 )F ( 2 )0 ，也就是方程 f (x) f ( x) ( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．19．（此题满分 10 分）设 薄 片 型 S 是 圆 锥 面 zx 2 y 2 被 柱 面 z 2 2 x 所 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 的 密 度 为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程；（ 2）求 S 的质量 M .【详解 】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，获得 x 2 y 22x ．z 2 2x因此 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 22xz 0.（ 2）利用第一类曲面积分，得M(x, y, z)dS9 x 2 y 2 z 2 dSSS9 x 2 y 2 x 2y 21x 2 y 2 y 2 dxdy x 2y 22xx 2 y 2x 218x 2y 2 dxdy 64x 2y 22x20．（此题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1, 2 , 3 有三个不一样的特点值，且312 2 .（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解 】（ 1）证明：因为矩阵有三个不一样的特点值，因此A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假 若 r ( A) 1 时 ， 则 r0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r ( A) 2 ， 又 因 为312 20，也就是1 ,2 ,3 线性有关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，因此 Ax 0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．因为312 2 0 ，所1 以基础解系为 x2 ；11 又由12,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为 1 ；11 1方程组 Ax的通解为 xk 21 ，此中 k 为随意常数．1121．（此题满分 11 分）设 二 次 型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 2x 12 x 22 ax 32 2x 1x 28x 1 x 3 2x 2 x 3 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为1 y 122 y 22，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4 【详解 】二次型矩阵 A11 14 1a因为二次型的标准形为1 y 12 2 y 22 ．也就说明矩阵A 有零特点值，因此A 0 ，故 a 2.1 1 4E A1 11(3)(6)412令E A 0 得矩阵的特点值为13,26,30 ．1 1经过分别解方程组( i EA) x 0 得矩阵的属于特点值13 的特点向量 11 ，属于特点值特311 112 6 的特点向量， 30 的特点向量1征值 2232，1611 1 13 2 6因此 Q1 ,2 ,31 02为所求正交矩阵．3 611 132622．（此题满分 11 分）设 随 机 变 量 X ,Y 相 互 独 立 ， 且 X 的 概 率 分 布 为 P X 0 P{ X 2}1 ， Y 的 概 率 密 度 为22 y,0 y1f ( y)0,其余．（ 1）求概率 P （ Y EY ）； （ 2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解 】（ 1） EYyf Y ( y)dy2 y 2 dy0 32 24.因此 P YEYP Y32ydy39（ 2） ZX Y 的散布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z 21P{ Yz}1P Yz2221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z) F Z ( z)1 f (z)f ( z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其余23．（此题满分 11 分）n 次丈量，该物体的质量某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了是已知的，设n 次丈量结果 X 1, X 2 ,L , X n 互相独立且均听从正态散布N ( ,2). 该工程师记录的是 n 次丈量的绝对误差Z i X i,( i 1,2, L , ) ，利用 Z 1 , Z 2 ,L , Z n 预计参数．n（ 1）求 Z i 的概率密度； （ 2）利用一阶矩求的矩预计量；（ 3）求参数最大似然预计量．【详解】（ 1）先求Z i的散布函数为F Z ( z) P Z i z P X iX i z z P当 z0时，明显 F Z (z)0 ；当 z0时， F ( z) P Z z P X X i z2z1；i i z PZ2因此 Z i的概率密度为 f Z (z) F Z ( z)e20,z222,z 0 ．z 02z22（ 2）数学希望EZ i zf (z) dz ze 22dz，0022令 EZ Z 1 n Z i，解得的矩预计量2Z2n Z i．n i 122n i 1（ 3）设Z1, Z2,L, Z n的观察值为 z1, z2,L , z n．当 z i0, i1,2,L n 时1nn2n z i2似然函数为 L( ) f ( z i ,))n e22 i 1，i 1(2nln(21n取对数得： ln L ()n ln 2)n ln2z i222i 1令d ln L( )n1n20 ，得参数最大似然预计量为1 n2．d3z in i 1z ii 1。
历年考研数学(一)试题及详细答案解析
xxx+ +考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)2（1）设函数 f (x ) = ⎰ln(2 +t )dt ，则 f '(x ) 的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1.(C) 2. (D) 3．【答案】应选(B).【详解】 f '(x ) = ln(2 + x 2) ⋅ 2x = 2x ln(2 + x 2) ．显然 f '(x ) 在区间(-∞, +∞) 上连续，且 f '(-1) ∙ f '(1) = (-2ln 3) ∙ (2ln 3) < 0 ，由零点定理，知 f '(x ) 至少有一个零点．又 f ''(x ) = 2 ln(2 + x 2) + 4x 22 + x 2> 0 ，恒大于零，所以 f '(x ) 在 (-∞, +∞) 上是单调递增的．又因为 f '(0) = 0 ，根据其单调性可知， f '(x ) 至多有一个零点． 故 f '(x ) 有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数 f (x , y ) = arctanx 在点(0,1)处的梯度等于【 】y(A)i (B)- i .(C)j . (D) - j .【答案】 应选(A).1 - x ∂f=y=y ∂f=y 2=-x 【详解】因为∂x 21 y2 ． x 2+ y2∂y21 y2 ．x 2+ y 2∂f所以∂x (0,1)= 1，(0,1)= 0 ，于是grad f (x , y )(0,1)= i .故应选(A).（3）在下列微分方程中，以 y = C e x + C cos 2x + C sin 2x （ C ,C ,C 为任意的常数）为通解的是【】123123(A)y ' + y ' - 4y ' - 4y = 0 . (B) y ' + y ' + 4y ' + 4y = 0 .(C)y ' - y ' - 4y ' + 4y = 0 .(D) y ' - y ' + 4y ' - 4y = 0 .【答案】 应选(D).∂f∂y⎪ z【详解】由 y = C e x+ C cos 2x + C sin 2x ，可知其特征根为123λ1 = 1， λ2,3 = ±2i ，故对应的特征值方程为(λ - 1)(λ + 2i )(λ - 2i ) = (λ - 1)(λ2 + 4)= λ3 + 4λ - λ2 - 4= λ3 - λ2 + 4λ - 4所以所求微分方程为 y ' - y ' + 4y ' - 4y = 0 ．应选(D).（4）设函数 f (x ) 在(-∞, +∞) 内单调有界，{x n }为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{x n }收敛，则{ f (x n )} 收敛(B) 若{x n } 单调，则{ f (x n )} 收敛(C) 若{ f (x n )} 收敛，则{x n }收敛. (D) 若{ f (x n )} 单调，则{x n }收敛.【答案】 应选(B).【详解】若{x n } 单调，则由函数 f (x ) 在(-∞, +∞) 内单调有界知，若{ f (x n )} 单调有界， 因此若{ f (x n )} 收敛．故应选(B).（5）设 A 为n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A 3= 0 ，则【 】则下列结论正确的是：(A) E - A 不可逆，则 E + A 不可逆.(B) E - A 不可逆，则 E + A 可逆. (C) E - A 可逆，则 E + A 可逆. (D) E - A 可逆，则 E + A 不可逆.【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).(E - A )(E + A + A 2 ) = E - A 3 = E ， (E + A )(E - A + A 2 ) = E + A 3 = E ． 故 E - A ， E + A 均可逆．故应选(C).⎛ x ⎫（6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x y z ) A y ⎪ = 1在正交变换下的标⎪ ⎝ ⎭准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为【】 (A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.1【答案】 应选(B).x 2y 2 + z 2【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 - a 2c 2特征值个数为 1．故应选(B).= 1 ．故 A 的正 （7） 设随机变量 X ,Y 独立同分布且 X 的分布函数为 F (x ) ，则 Z = max{ X , Y } 的分布函数为【】(A) F 2(x ) .(B) F (x )F ( y ) . (C) 1 - [1 - F (x )]2 . (D) [1 - F (x )][1 - F ( y )].【答案】应选(A)．【详解】 F (z ) = P (Z ≤ z ) = P {max{X ,Y } ≤ z }= P ( X ≤ z ) P (Y ≤ z ) = F (z )F (z ) = F 2 (z ) ．故应选(A)．（8）设随机变量 XN (0,1) , Y N (1, 4) , 且相关系数 ρXY = 1，则【】(A) P {Y = -2X - 1} =1 (B) P {Y = 2X - 1} = 1(C) P {Y = -2X + 1} =1 (D) P {Y = 2X +1} = 1【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y = aX + b ．由 ρXY = 1 ，知 X ， Y 正相关，得a > 0 ．排除（A ） 和（C ）．由 XN (0,1) ， Y N (1, 4) ，得EX = 0, EY = 1, E (aX + b ) = aEX + b ．1 = a ⨯ 0 + b ， b = 1 ．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程 xy ' + y = 0 满足条件 y (1) = 1的解是 y = .【答案】 应填 y = ．x【详解】由dy=- y，得 dx x dy =- dx．两边积分，得ln | y |= -ln | x | +C ． y x1 y （ 11 ） 已知幂级数∑a (x + 2) ∑a (x - 2) 的收敛域为.以∑a (x - 2) 的收敛域为(1,5] ．⎰⎰⎰ ydV +⎰⎰代入条件 y (1) = 1，得C = 0 ．所以 y =．x（10）曲线sin(xy ) +ln( y - x ) = x 在点(0,1) 的切线方程为.【答案】 应填 y = x +1．【详解】设 F (x , y ) = sin(xy ) +ln( y - x ) - x ，则-11 F x (x , y ) = y cos(xy ) +y - x-1， F x (x , y ) = x cos(xy ) +y - x，F '(0,1) F x (0,1) = -1， F y (0,1) = 1．于是斜率k = - x= 1．F '(0,1)故所求得切线方程为 y = x +1．∞n在 x = 0 处收敛， 在 x = -4 处发散， 则幂级数 n =0∞ nn n =0【答案】 (1,5] ．∞∞【详解】由题意，知∑a (x + 2)n的收敛域为(-4, 0] ，则∑ a xn的收敛域为(-2, 2]．所n n =0nn =0∞nn n =0(12) 设 曲面∑是z的 上 侧 ， 则⎰⎰ xydydz + xdzdx + x 2dxdy = .∑【答案】 4π ．【详解】作辅助面∑1 : z = 0 取下侧．则由高斯公式，有⎰⎰ xydydz + xdzdx + x 2dxdy∑= ⎰⎰ xydydz + xdzdx + x 2dxdy - ⎰⎰ xydydz + xdzdx + x 2dxdy∑∑1=Ωx 2 + y 2 ≤4x 2dxdy ．n16 = 4π ⎝⎭ { }= 0 +1⎰⎰(x 2 + y 2 )dxdy =1⎰ 2πd θ ⎰ 2 r 2∙ rdr = π ．2 x 2+ y 2≤42 0 0 4(13) 设 A 为 2 阶矩阵，α1,α2 为线性无关的 2 维列向量，A α1 = 0 ，A α2 = 2α1 + α2 ．则 A 的非零特征值为.【答案】应填 1．⎛ 0 2⎫【详解】根据题设条件，得 A (α1 ,α2 ) = ( A α1 , A α2 ) = (0, 2α1 + α2 ) = (α1 ,α2 ) 0 1⎪ ．记 P = (α1 ,α2 ) ，因α1,α2 线性无关，故 P = (α1 ,α2 ) 是可逆矩阵．因此⎛ 0 2 ⎫ -1⎛ 0 2⎫ ⎛ 0 2 ⎫ AP = P 0 1 ⎪ ，从而 P AP = 0 1 ⎪ ．记 B = 0 1 ⎪ ，则 A 与B 相似，从而有 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭相同的特征值．λ -2因为| λE - B |== λ(λ - 1) ， λ = 0 ， λ = 1．故 A 的非零特征值为 1．0 λ - 1(14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P {X = EX 2 }= ．1【答案】应填.2e【详解】因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 EX = DX = 1 ．从而由 DX = EX 2 - (EX )2得 EX 2= 2 ．故 P X = EX 2 = P {X = 2} =1．2e三、解答题：(15－23 小题，共 94 分. )(15)(本题满分 10 分) [sin x - sin(sin x )]sin x求极限limx →0x 4【详解 1】lim x →0[sin x - sin(sin x )]sin x x 4= limx →0[sin x - sin(sin x )] x 3＝ lim x →0 cos x - cos(sin x )cos x 3x 2= lim x →0 1 - cos(sin x ) 3x 2 1 (sin x )2 = lim sin(sin x )cos x (或= lim 2 1 sin 2 x + o (sin 2 x )，或= lim 2 ) x →0 6x x →0 3x 2 x →0 3x 2⎰⎰ π ππ 2 21π sin x ππ0 0= 1 ． 6【详解 2】lim [sin x - sin(sin x )]sin x 4 = lim [sin x - sin(sin x )]sin x 4x →0xx →0sin xt 2 ＝ lim t - sin t = lim 1 - cos t = lim 2 （或= lim sin t） t →0 t 3 t →0 3t 2 t →0 3t 2 t →0 6t= 1． 6（16）(本题满分 9 分)计算曲线积分 sin 2xdx + 2(x 2-1) ydy ，其中 L 是曲线 y = sin x 上从(0, 0) 到(π , 0)L的一段．【详解 1】按曲线积分的计算公式直接计算．sin 2xdx + 2(x 2-1) ydy L= ⎰ [sin 2xdx + 2(x 2 -1) sin x cos x ]dx = ⎰ x 2 sin 2xdxx 2 cos 2x ππ 2π= - + ⎰0 0x cos 2xdx = -2+ ⎰0 x cos 2xdxπ 2 x sin 2xππsin 2x = -+22π 2- ⎰0dx=- ．2【详解 2】添加辅助线，按照 Green 公式进行计算．设 L 1 为 x 轴上从点(π , 0) 到(0, 0) 的直线段． D 是 L 1 与 L 围成的区域⎰L +L = - sin 2xdx + 2(x 2 -1) ydy⎡ ∂(2(x 2-1) y - ∂ sin 2x ⎤= -⎰⎰⎰⎰ ⎢∂x∂y ⎥dxdy 4xydxdyD⎣⎦D= -⎰ ⎰ 4xydydx = -⎰ 2x sin 2 xdx = -⎰ x (1- cos 2x )dxx 22 1+ 2 - = ⎰= 2⎰1 2Lπ⎰ 2 =⎰ 2⎰π 2 = -+ ⎰ 2⎩ πππ 2x sin 2x ππsin 2x = - + ⎰0x cos 2xdx = - + 2 2- ⎰0dxπ 2=- ．2因为 ⎰L 0sin 2xdx 2(x 1) ydy sin 2xdx 0π故 ⎰L sin 2xdx + 2(x π 21) ydy =-2【详解 3】令 I = sin 2xdx + 2(x 2-1) y dyL= ⎰ sin 2xdx - 2 ydy + 2x 2ydy = I + I∂P ∂P对于 I 1 ，记 P = sin 2x ,Q = -2y ．因为 ∂y = ∂x= 0 ，故 I 1 与积分路径无关．I 1 = ⎰0 sin 2xdx = 0 ．对于 I 2 ，I 2 = 2x 2ydy = L π2x sin x cos xdx 0 πx sin 2xdx 0x 2cos 2x π = - + ⎰0 0x cos 2xdxπ 2πx cos 2xdx2π 2 x sin 2xππsin 2x = -+22π 2- ⎰0dx=-．2故⎰L sin 2xdx + 2(xπ21) ydy =-2⎧ x 2 + y 2 - 2z 2 = 0, 17（本题满分 11 分）已知曲线C : ⎨ x + y + 3z = 5,求C 上距离 xoy 面最远的点和最近的点．【详解 1】 点(x , y , z ) 到 xoy 面的距离为| z | ，故求C 上距离 xoy 面最远的点和最近的点的2- - 2⎪ ⎩ ⎩⎛ 4 ⎫ ⎪ ⎛ 4 ⎫ 坐标等价于求函数 H = z 2 在条件 x 2 + y 2 - 2z 2= 0, x + y + 3z = 5 下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数L (x , y , z , λ, μ) = z 2 + λ(x 2 + y 2 - 2z 2 ) + μ(x + y + 3z - 5) ，⎧L x ' = 2λ x + 2μ = 0, ⎪L ' = 2λ y + μ = 0, ⎪⎪ y由⎨L z' = 2z - 4λ z + 3μ = 0, ⎪x 2 + y 2 - 2z 2 = 0, ⎪⎩x + y + 3z = 5.得 x = y ，⎧2x 2 - 2z 2 = 0, ⎧x = -5, ⎪ ⎧x = 1, ⎪ 从而⎨ 解得⎨ y = -5, 或⎨ y = 1,⎩2x + 3z = 5. ⎪z = 5. ⎪z = 1.根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(-5, -5, 5) 和(1,1,1) ．【详解 2】 点(x , y , z ) 到 xoy 面的距离为| z | ，故求C 上距离 xoy 面最远的点和最近的点的⎛ x + y - 5 ⎫2坐标等价于求函数 H = x 2 + y 2 在条件 x 2 + y 2- 2 ⎪ = 0 下的最大值点和最小 值点．构造拉格朗日函数⎝ 3 ⎭L (x , y , z , λ) = x 2 + y 2 + λ ⎛ x 2 + y 2 - 2 (x + y - 5)2 ⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭⎧ L ' = 2x + λ 2x - (x + y - 5) = 0, ⎪ x 9⎪ ⎪⎝ ⎭ 由 L ' = 2 y + λ 2 y - (x + y - 5) = 0, ⎨ y 9⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎛ x + y - 5 ⎫2⎪x 2 + y 2 - 2 ⎪ = 0. ⎩⎪⎝ 3 ⎭ 得 x = y ，从而2x 2- 2x - 5)2= 0 ．9解得⎩ ⎩3 + 2(cos θ + sin θ )⎩ ⎩xx 2⎧x = -5, ⎧x = 1, ⎪ y = -5, 或⎪ y = 1, ⎨ ⎪z = 5. ⎨ ⎪z = 1.根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(-5, -5, 5) 和(1,1,1) ．【详解 3】由 x 2 + y 2 - 2z 2= 0 得⎧⎪x = ⎨ ⎪⎩ y = 2z cos θ ,2z sin θ.代入 x + y + 3z = 5 ，得z =5所以只要求 z = z (θ ) 的最值． 令 z '(θ ) =5 2(- sin θ + cos θ )= 0 ，得cos θ = sin θ ，解得θ = π , 5π．从而(3 + 2(cos θ + sin θ ))24 4⎧x = -5, ⎧x = 1, ⎪ y = -5, 或⎪ y = 1, ⎨ ⎪z = 5. ⎨ ⎪z = 1. 根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(-5, -5, 5) 和(1,1,1) ．（18）(本题满分 10 分)设 f (x ) 是连续函数，（I ）利用定义证明函数 F (x ) =⎰f (t )dt 可导，且 F '(x ) =f (x ) ；（II ）当 f (x ) 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数G (x ) = 2⎰也是以 2 为周期的周期函数． f (t )dt - x ⎰0f (t )dtx +∆x x（I ）【证明】 F '(x ) = limF (x + ∆x ) - F (x )= lim⎰f (t )dt - ⎰0 f (t )dt∆x →0∆x∆x →0∆x⎰ 2 2 x 2 x x +∆x = limxf (t )dt = lim f (ξ )∆x = lim f (ξ ) = f (x )∆x →0∆x ∆x →0 ∆xx +∆x ∆x →0 【注】不能利用 L ’Hospital 法则得到 lim⎰xf (t )dt = limf (x + ∆x ) ．(II) 【证法 1】根据题设，有∆x →0∆x∆x →0 ∆xG '(x + 2) = ⎡2⎰ x + 2 f (t )dt - (x + 2)⎰ 2f (t )dt ⎤' = f (x + 2) - ⎰f (t )dt ， ⎣⎢ 0 0 ⎥⎦G '(x ) = ⎡2⎰ x f (t )dt - x ⎰ 2 f (t )dt ⎤' = 2 f (x ) - ⎰ 2f (t )dt ． ⎣⎢ 0 0 ⎥⎦当 f (x ) 是以 2 为周期的周期函数时， f (x + 2) = f (x ) ．从而G '(x + 2) = G '(x ) ．因而G (x + 2) - G (x ) = C ．取 x = 0 得， C = G (0 + 2) - G (0) = 0 ，故 G (x + 2) - G (x ) = 0 ．即G (x ) = 2⎰f (t )dt - x ⎰0f (t )dt 是以 2 为周期的周期函数．【证法 2】根据题设，有x +22G (x + 2) = 2⎰0f (t )dt - (x + 2)⎰0 f (t )dt ，2x +222x + 2= 2⎰0 f (t )dt + x ⎰2 f (t )dt - x ⎰0 f (t )dt -2⎰0 f (t )dt ．对于⎰2f (t )dt ，作换元t = u + 2 ，并注意到 f (u + 2) = f (u ) ，则有x +2xxx⎰2f (t )dt = ⎰0 f (u + 2)du = ⎰0 f (u )du = ⎰0 f (t )dt ，x +22因而 x ⎰2f (t )dt - x ⎰0 于是x f (t )dt = 0 ．2G (x + 2) = 2⎰0 f (t )dt - x ⎰0 f (t )dt = G (x ) ．即G (x ) = 2⎰f (t )dt - x ⎰0f (t )dt 是以 2 为周期的周期函数【证法 3】根据题设，有x +22G (x + 2) = 2⎰0f (t )dt - (x + 2)⎰0 f (t )dt ，xx +222= 2⎰0 f (t )dt + 2⎰xf (t )dt - x ⎰0 f (t )dt -2⎰0 f (t )dtx0 ⎰⎰= ⎰ 2x⎰ ⎰ π nx2x +22= 2⎰0 f (t )dt - x ⎰0 f (t )dt + 2⎰xf (t )dt -2⎰0 f (t )dt= G (x ) + 2(⎰x +2f (t )dt - ⎰ 2f (t )dt )．当 f (x ) 是以 2 为周期的周期函数时，必有事实上x + 2d ( 2x +22xf (t )dt 0f (t )dt )f (t )dt ． dx所以x + 2 = f (x + 2) - f (x ) = 0 ，⎰2f (t )dt ≡ C ．0+22取 x = 0 得， C ≡ ⎰2f (t )dt = ⎰2 所以x f (t )dt ．2G (x + 2) = 2⎰0 f (t )dt - x ⎰0 f (t )dt = G (x ) ．即G (x ) = 2⎰f (t )dt - x ⎰0 f (t )dt 是以 2 为周期的周期函数(19)(本题满分 11 分)∞(-1)n -1将函数 f (x ) = 1 - x 2(0 ≤ x ≤ π ) 展开成余弦级数，并求级数∑的和．n =1n【详解】将 f (x ) 作偶周期延拓，则有b n = 0, n = 1,．a 0 = 2 ⎰ π ⎛ (1 - x 2)d x = 2 1 - π 2 ⎫ ⎪ ．πa = 20 ⎝ 3 ⎭ πf (x )cos nxdxnπ ⎰02 ⎡ = ⎢π π cos nxdx -⎤ πx 2 cos nxdx ⎥ π ⎣ 0 0 2 ⎡ π ⎤ π⎦ -2 ⎡ 0x 2sin nx π 2x sin nx ⎤ = ⎢ 0 - ⎰ x 2cos nxdx ⎥ = ⎢ - ⎰ dx ⎥π ⎣ 0 ⎦ 0 π ⎣ 0 0 n ⎦= 2 2π (-1)n -1 =4(-1)n -1 ．π n2n2n =⎪ a∞π2∞(-1)n -1所以 f (x ) = 1 - x 2= 0 +∑a cos nx = 1 -+ 4∑cos nx ， 0 ≤ x ≤ π ．2n =1π2n∞(-1)n -13n =1n 2令 x=0，有 f (0) = 1 -+ 4∑2n =1又 f (0) = 1 ，所以∑n =1(-1)n -1π 2．n212（20）(本题满分 10 分)设α , β 为 3 维列向量，矩阵 A = ααT + ββ T ，其中α T , β T 分别是α , β 得转置．证明： （I ）秩r ( A ) ≤ 2 ；（II ）若α , β 线性相关，则秩r ( A ) < 2 ．【详解】（I ）【证法 1】r ( A ) = r (ααT+ ββ T) ≤ r (ααT) + r (ββ T) ≤ r (α ) + r (β ) ≤ 2 ．【证法 2】因为 A = ααT+ ββ T， A 为3⨯ 3 矩阵，所以r ( A ) ≤3 ． 因为α , β 为 3 维列向量，所以存在向量ξ ≠ 0 ，使得αT ξ = 0, β T ξ = 0于是A ξ = ααT ξ + ββ T ξ = 0所以 Ax = 0 有非零解，从而r ( A ) ≤ 2 ．【证法 3】因为 A = ααT+ ββ T，所以 A 为3⨯ 3 矩阵．⎛ α T ⎫又因为 A = αα T + ββ T = (α β 0) β T ⎪，0 ⎪所以| A |=| αβ ⎝ ⎭a T0 | β T = 0故r ( A ) ≤ 2 ．（ II ） 【 证 法 】 由 α , β 线 性 相 关 ， 不 妨 设 α = k β ． 于 是r ( A =) αr (αT + βTβ =() r 2(+1 k ) T β )β ≤ r ．(21) (本题满分 12 分)．设n 元线性方程组 Ax = b ，其中∞ 3⎪ ⎪ ⎪ - aD ⎛ 2a 1 a 22a 1 ⎫ ⎪ ⎛ x ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎪ 1 a 2 2a 1 ⎪ x ⎪ 0 ⎪ A = ⎪ ， x = 2 ⎪ ， b = ⎪ ．a 2 2a 1 ⎪x ⎪ 0 ⎪ ⎝ n ⎭ ⎝ ⎭ a 2 2a ⎪⎝ ⎭（I ）证明行列式| A |= (n + 1)a n ；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x 1 ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．2a 1 a 2 2a a 2 【详解】（I ）【证法 1】数学归纳法．记 D n =| A |=以下用数学归纳法证明 D n = (n + 1)a ． n当 n = 1时， D 1 = 2a ，结论成立．2a 当 n = 2 时， D 2 =a 21= 3a 22a，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将 D n 按第一行展开得a 2 1 D n = 2aD n -1 -0 2a a 2= 2aD n -12 n -2= 2ana n -1 - a 2 (n - 1)a n -2= (n + 1)a n故A = ( n + 1 )a n．12a 1a 2 2a 1a 2 2a n12a 1a 2 2a 1a 2 2a n -1n == 2aD n -1 - a D 【 注 】 本 题 （ 1 ） 也 可 用 递 推 法 ． 由 D 2n -2D - aD = a (D - aD ) == a n -2 (D - a n -2 D ) = a n ．于是 D = (n + 1)a nnn -1n -1n -221n2a 1a 2 2a （I ）【证法 2】消元法．记| A |= a2a 1 03a 2a 22a 1 03 a12 04a 3a 2=12a 1a 2 2a 1a 2 2a nr - 1 ar 22 1 1 2a 1a 2 2a 1a 2 2a nr - 2 ar 33 2得 ，2 1 2a 1a 2 2a 1a 2 2a nr - n - 1 arnnn -1 2a 0= (n + 1)a n ．1 3 a124a 13n a n - 1 01 n + 1a n n（II ）【详解】当a ≠ 0 时，方程组系数行列式 D n ≠ 0 ，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将 D n 得第一列换成b ，得行列式为1 10 2a a 2 D n -1= na n -1所以， x 1 = D n -1 =D n a ． (n + 1)a（III ）【详解】 当a = 0 时，方程组为⎛ 0 1 ⎫ ⎛ x 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫0 1 ⎪ x ⎪ 0 ⎪⎪ 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪⎪ = ⎪ 1 ⎪x ⎪ 0 ⎪⎪ n -1 ⎪ ⎪ 0 ⎪ x ⎪ 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ n ⎭ ⎝ ⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为n - 1 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为x = (0 10)T+ k (1 00)T，其中k 为任意常数．(22) (本题满分 11 分)设随机变量 X 与Y 相互独立， X 的概率密度为 P ( X = i ) =1(i = -1, 0,1) ， Y 的概率 312a a 2 2a 1=1 2a a2 12a 1= a 2 2a a 2 1a 2 2a 12a na 2 2a n -1⎩2 ⎛ =z z⎪ ⎪ 密度为f ( y ) =⎧1, 0 ≤ y < 1,记 Z = X + Y ．⎛ 1 Y⎨0, 其它.⎫（I ）求 P Z ≤ 2 X = 0⎪ ；⎝ ⎭（II ）求 Z 的概率密度 f Z (z ) . （I ）【详解】解法 1．⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ P Z ≤ 2 X = 0 ⎪ = P X + Y ≤ 2 X = 0 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭=⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1P Y ≤ 2 X = 0 ⎪ = P Y ≤ 2 ⎪ = 2 .解法 2．⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ P X + Y ≤ 2 , X = 0 ⎪P Z ≤ X = 0 ⎪ = ⎝ ⎭⎝ 2 ⎭P ( X = 0) ⎛ 1 ⎫ P Y ≤ , X = 0 ⎪ = ⎝⎭ = PY ≤ 1 ⎫ 1 .（II ）解法 1．P ( X = 0)F Z ( z ) = P {Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z }⎝2 ⎭ 2 =P{X+Y ≤ z,X=-1}+P{X+Y ≤ z,X=0}+P{X+Y ≤ z,X=1} =P{Y ≤ z+1,X=-1}+P{Y ≤ z,X=0}+P{Y ≤ z-1,X=1}=P{Y ≤ z+1}P{X=-1}+P{Y ≤ z}P{X=0}+P{Y ≤ z-1}P{X=1} = 1[P {Y ≤ z+1} + P{Y ≤ z} + P{Y ≤ z-1}] 3 = 1[F ( z + 1) + F ( z ) + F ( z - 1)]3 YY Yf ( z ) = F ' ( z ) = 1 ⎡ f( z + 1) + f (z ) + f ⎧ 1 , -1 < z < 2;(z - 1)⎤ = 3解法 2．3 ⎣ YY Y⎦ ⎨ ⎪⎩0, 其它.n ∑i11-∑ Xin (n - 1) ∑ jkf Z (z ) = ∑ P ( X = i ) f Y (z - i )i =-11⎧ 1, -1 < z < 2;= ⎡ f (z + 1) + f (z ) + f(z - 1)⎤ = ⎪33⎣ Y Y Y⎦ ⎨ ⎪⎩0, 其它.（23）(本题满分 11 分)21 n设 X 1, X 2 X n 是来自总体 N (μ σ, 的简单随机样本 ，记 X =∑ X i ，i =1n 22 22S =( X - X ) n - 1 i =1， T = X - S ． n（1）证明T 是 μ 2的无偏估计量；（2）当 μ = 0, σ = 1 时，求 DT . . 【详解 1】（1）首先T 是统计量．其次E (T ) = E ( X 2 ) - 1ES 2n= D ( X 2 ) + (EX )2 - 1 ES 2 = 1 σ 2 + μ2 - 1σ 2 = μ 2n n n对一切 μ,σ 成立．因此T 是 μˆ 2的无偏估计量． 【详解 2】（1）首先T 是统计量．其次n21n2 1nT = Xn - 1n (n - 1) i =1= ∑ X j X k ，j ≠knn2ET =E ( X )(EX ) = μ ，n - 1 j ≠k对一切 μ,σ 成立．因此T 是 μˆ 2的无偏估计量．（2）解法 2．根据题意，有 N (0,1) ， nX 2χ 2 (1) ， (n - 1)S 2 χ 2 (n - 1) ．于是 D (nX 2) = 2 ， D ((n - 1)S2) = 2(n - 1) ．所以 D (T ) =⎛ 2 - 1 2 ⎫D X n⎪1 nX⎝⎭=1D(nX 2 ) +n21n2 (n -1)2D ((n -1)S 2 )= 2n (n -1)。
2017数学一考研真题-答案
T
2
λ
0， λ
λn
0或λ
1
1，
1
αT α
1
λ1
λn 得 A 的特征值为 λ1
0, λn
E - ααT 的特征值为 λ1
即 E - αα 不可逆，应选（A）
T
λn
1
1 ， λn
0 ,从而 E - ααT
0，
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）已知矩阵 A 0 2 1 B 0 2 0 C 0 2 0 ,则 0 0 1 0 0 1 0 0 0
S2
S1
10 ，所以 t0
25
）
（5）设 为 n 维单元列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（
（A） E- T 不可逆（B） E+ T 不可逆（C） E+2 T （D） E-2 T A 【答案】 令 A = αα ， A2 = A ， 【解析】 令 AX = λX ，由 A - A X = λ - λ X = 0 得 λ 因为 tr A
数学一
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的
1 cos x ,x 0 （1） 若函数 f x 在 x 0 连续，则 ax b, x 0
（A） ab A 【答案】
1 1 （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2 2 2
lim
n
1 1 1 x (2 1 ) 1 1 1 2 1x ) dx l n (1 x d) x ( ) x 2 l n ( 2 20 1 x 2 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l n 2 x( 1 d) x l n 2 l n 2 0 2 2 1 x 2 4 2 2 4
2017年考研数学一试卷真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。