专题01 同构函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练
专题01 同构函数型
[高考真题]
1.(2020·新课标卷Ⅱ文数·12)若2233x y x y ---<-,则( ) A .ln(1)0y x -+> B .ln(1)0y x -+<
C .ln ||0x y ->
D .ln ||0x y -< 【答案】A
【分析】将已知2233x y x y ---<-按照“左右形式形式相当,一边一个
变量”的目的变形,然后逆用函数的单调性. 【解析】由2233x y x y ---<-移项变形为2323x x y y ---<- 设()23x x f x -=-
易知()f x 是定义在R 上的增函数,故由2323x x y y ---<-,可得x y <,所以011,y x y x ->?-+> 从而ln(1)0y x -+>,故选A . 2.(2020·新课标Ⅰ理数·12)若242log 42log a b a b +=+,则( ) A. 2a b >
B. 2a b <
C. 2a b >
D.
2a b <
【答案】B
【分析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b
b b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b
a b +==+-
设2()2log x f x x =+,利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.
【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b
b b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b a b +=+-,故2222log 2log 2a b
a b +<+
设2()2log x f x x =+,则()f x 为增函数,
所以()(2)f a f b <,所以2a b <.
2()()f a f b -=2
2222log (2log )a b a b +-+=2
22222log (2log )b b b b +-+=
2
2222log b
b b --,
当1b =时,2()()20f a f b -=>,此时2()()f a f b >,有2a b >
当2b =时,2()()10f a f b -=-<,此时2()()f a f b <,有2a b <,所以C 、D 错误. 故选B.
【点评】本题需构造函数,其基本策略是:“左右形式相当,一边一
个变量,取左或取右,构造函数妥当”,我们称之为“同构函数”,然后再利用函数的单调性求值. [强化训练]
1.(2012·全国联赛)如果5533cos sin 7(cos sin )θθθθ-<-,[0,2)θπ∈,则θ的取值范围是______________. 【答案】5(,
)44
ππ
2.(2012·辽宁竞赛)不等式33
810
50(1)1
x x x x +-->++的解集是______________.
【解析】原不等式可化为:3
322
5511x x x x ??+?>+ ?
++??
构造函数3()5f x x x =+,则2()350f x x '=+>,()f x 在R 上单增 所以
2
1
x x >+,解之得21x x <-<<或-1 所以原不等式解集是{}21x x x <-<<或-1.
3.(2020·南通五月模拟·14)已知[)0,2θπ∈,若关于k 的不等
式
()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立,则θ
的取值范围
为 .
【答案】0,4π??
????
【分析】本题的实质是含参数θ(这里当然是sin θ、cos θ)的不等式
恒成立问题,
()33sin cos k θθ≤-的对称结
构,构造函数,利用函数的单调性布列不等式.
【解析】看到
()33sin cos k θθ-想“对称结构”,将它变形为:
33sin cos k k θθ
设3()f x kx =-
2()3f x kx '=
易知当(],2k ∈-∞-
时,2()30f x kx '=<,故()f x 在[)0,+∞单减,
所以sin cos sin 0
cos 0
θθθθ≤??≥??≥?
,解之得:04πθ≤≤ 所以θ的取值范围0,4π??
????
.
4.(2019·南师附中期中·14)已知函数,
,则t 的取值范围是 .
【答案】[1,)+∞
【分析】这里 可以发现13333
log log (2log 1)(3log 1)t t t t =-=---,将
移项变形为
3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥+--,易知是奇函数,33(12log )(2log 1)t f t f --=+,故进一步变形为
3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-,此时,得到一个
()33x x f x -=-3313
(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313
(12log )(3log 1)log f t f t t
-+-≥()33x x
f x -=-
“左右形式相当,一边一个变量”的不等式,令()()F x f x x =+,问题转化为33(3log 1)(2log 1)t t F F -≥-,只需研究()()F x f x x =+的单调性,逆用该函数的单调性即可.
【解析】∵13333
log log (12log )(3log 1)t t t t =-=----
∴可变形为:
3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥--- ∵是奇函数 ∴33(12log )(2log 1)t f t f --=-
∴3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+- 令()()33x x F x f x x x -=+=-+,则()ln 33ln 3310x x F x -'=?+?+> ∴()F x 单增
∴333log 12log 1t t -≥-,即3log 0t ≥,解之得1t ≥ 所以t 的取值范围是[1,)+∞.
5.(2020·南通如皋创新班四月模拟·2)已知实数a ,b ∈(0,2),且满
足22
44242
a
b a b b --=
--,则a +b 的值为_______. 【答案】2
【分析】将22
4
4242
a b a b b --=
--化为:2222(2)2a b a b -+=-+,设()22x f x x =+,则()f x 在()0,2上递增,由()()2f a f b =-,得a +b
的值.
【解析】由22
4
4242
a b a b b --=
--,化简为:22222(2)a b a b -+=+-,即2222(2)2a b a b -+=-+,
3313
(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x x f x -=-
设()22x
f x x =+,则()f x 在()0,2上递增,因为a ,b ∈(0,2),所以
2-b ∈(0,2),
且()()2f a f b =-,所以2a b =-,即2a b +=.
6.(2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·
14))已知实数1x ,2x 满足1
31x x e e =,()522ln 2x x e -=,则12x x =______.
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式,令
222ln 2,t x t x e +-==,得到3t te e =,研究函数()x f x xe =的单调性,求
出1,x t 关系,即可求解.
解法一:实数1x ,2x 满足1
3
1x x e e =,()522ln 2x x e -=,
2120,x x e >>,222ln 20,t x t x e +-=>=,则3t te e =,
()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>,
所以()f x 在(0,)+∞单调递增,而3
1()()f x f t e ==,
5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.
解析二:对1
3
1x x e e =两边取自然对数得:11ln 3x x +=,
对()5
22ln 2x x e -=两边取自然对数得:
()22ln ln ln 25x x +-= (※) 为使两式结构相同,将(※)进一步变形为:
()()22ln 2ln ln 23x x -+-=
设()ln f x x x =+,则1()10f x x
'=+>
所以()f x 在(0,)+∞单调递增,()3f x =的解只有一个.
∴12ln 2x x =-, ∴()5
1222ln 2x x x x e =-=
【点评】两种解法实质相同,其关键是对已知等式进行变形,使其“结
构相同”,然后构造函数,利用函数的单调性,利用是同一方程
求解.
7.设方程24x x +=的根为m ,设方程2log 4x x +=的根为n ,则m n += . 【答案】4
8.已知a 3-3a 2+5a =1,b 3-3b 2+5b =5,那么a +b 的值是 . 【解析】由题意知a 3-3a 2+5a -3=-2,b 3-3b 2+5b -3=2,
设f (x )=x 3-3x 2+5x -3,则f (a )=-2,f (b )=2. 因为f (x )图象的对称中心为(1,0),所以a +b =2.
点评:本题的难点在于发现函数的对称性,对于三次函数f (x )y =ax 3
+bx 2+cx +d 其对称中心为(x 0,f (x 0)),其中f ″(x 0)=0. 9.(宿迁·2018·期中)不等式x x x x x x 6
3242-+2+≤-+2++2()()的解集
是 .
【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征,发现其含有
x x +2()、两个因式,将不等式转化为“一边一个变量”的形式为:
x x x x x x 64232-+≤+2-+2++2()()(),构造函数f x x x x 32=-+(),
题目转化为求解f x f x 2≤+2()()的问题. 因为f x x x 2'=3-2+1(),
易知f x x x 2'=
3-2+1>0()恒成立,故f x ()为R 上的单调增函数,所以由f x f x 2≤+2()()立得:x x 2≤+2,解之得x -1≤≤2.
【方法点拨】
1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1);
2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题,或运用同一方程代入.
[数学]数学高考压轴题大全
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. ⒉圆锥曲线方程 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 二、高考试题回放 1.(福建)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A . 33 B .32 C .2 2 D .23
2.(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于 . 3.(福建)如图,P 是抛物线C :y=2 1x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4.(湖北)已知点M (6,2)和M 2(1,7).直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3:2,则m 的值为 ( ) A .2 3 - B .3 2- C .4 1 D .4 5.(湖北)两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 ( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.(湖北)直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. (Ⅰ)求实数k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由. 7.(湖南)如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 ( )
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、(2009)函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2 π 的偶函数 2、(2008)已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能... 是( ) 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D . 2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称,那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( )