专题01 同构函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

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重难点：导数中的同构问题12大题型(学生版)-高中数学

重难点：导数中的同构问题12大题型一、常见同构模型①对于xf (x)+f(x)>0(<0)，构造h(x)=xf (x)；一般的，对于xf (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=x n f(x)．②对于xf (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xx；一般的，对于xf(x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x) x n．③对于f (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xe x；一般的，对于f (x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x)e nx．④对于f (x)+f(x)>0(<0)，构造h x =e x f x ；一般的，对于f (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=e nx f(x)．⑤对于f (x)>f(x)tan x(或f (x)<f(x)tan x)，即f (x)cos x-f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x)cos x．⑥对于f (x)cos x+f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x) cos x．⑦对于f (x)f(x)>0，构造h(x)=ln f(x).⑧对于f (x)+ln af(x)>0(<0)，构造h(x)=a x f(x).⑨对于f (x)ln x+f(x)x>0(<0)，构造h(x)=f(x)ln x.⑩乘积同构模型：(11)商式同构模型：(12)和差同构模型：二、六大超越函数图像表达式图像极值点y=x ln x(x>0)1e,-1ey=xe x-1,-1ey=xln x(e,e)y=e xx1,ey=ln xx (x>0)e,1ey=xe x1,1e三、添项同构乘法同构：ln a ⋅e x ln a >ln x ⇔x ln a ⋅e x ln a >ln x ⋅e ln x ，对变形要求低，找亲戚函数xe x 与x ln x 易实现，但构造的函数xe x 与x ln x 均不是单调函数加法同构：a x >log a x ⇔a x +x >log a x +x =a log ax +log a x ，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.四、常见结构①a x >log a x ⇒e x ln a>ln x ln a⇒x ln a ⋅e x ln a >x ln x =ln x ⋅e ln x ⇒x ln a >ln x ⇒a >e 1e；②e λx >ln x λ⇒λe λx >ln x ⇒λx ⋅e λx >x ln x ⇒λx ⋅e λx >ln x ⋅e ln x ⇒λx >ln x ⇒λ>1e ；③e ax +ax >ln x +1 +x +1=e ln x +1+ln x +1 ⇒ax >ln x +1④xe x=ex +ln x≥x +ln x +1；x +ln x =ln xe x ≤xe x -1题型归纳题型一：同构训练1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)log 2x -k ⋅2kx ≥0(2)e 2λx -1λln x ≥0；(3)x 2ln x -me m x≥0(4)a e ax +1 ≥2x +1xln x (5)a ln x -1 +2x -1 ≥ax +2e x (6)x +a ln x +e -x ≥x a (x >1)(7)e -x -2x -ln x =0(8)x 2e x +ln x =0．题型二：利用f (x )与x 构造2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，xf (x )-f (x )x 2>0，且f -2=0，则不等式f (x )x >0的解集是()A.-2,0 ∪0,2B.-∞,-2 ∪2,+∞C.-2,0 ∪2,+∞D.-∞,-2 ∪0,23.已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，且x -1 f x +f x >0,f 2-x =f x e 2x -2，则不等式f ln x e 2<f 2x 的解集是()A.0,e 2B.1,e 2C.e ,e 2D.e 2,+∞4.已知f (x )为偶函数，且f (1)=0，令F (x )=f (x )x2，若x >0时，xf (x )-2f (x )>0，关于x 的不等式F (ln x )<0的解集为()A.x 1e <x <1 或1<x <e B.x 0<x <eC.x 1e <x <eD.x 0<x <1e或x >e 5.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)=4，当x >0时，有xf (x )+2f (x )>0，则f (x )>16x2的解集为．题型三：利用f (x )与e x 构造6.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，对任意x ∈R ，f '(x )>f (x )恒成立，且f (1)=1，则不等式ef (x )>ex 的解集为()A.(1，+∞)B.[1，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，0]7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，且满足f (x )>f '(x )对∀x ∈R 恒成立，e 为自然对数的底数，则A.e 2017f (2018)<e 2018f (2017)B.e 2017f (2018)=e 2018f (2017)C.e 2017f (2018)>e 2018f (2017)D.e 2017f (2018)与e 2018f (2017)的大小不能确定8.已知函数f (x )定义域为R ，其导函数为f x ，且3f x -f x >0在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是()A.f 1 <e 3f 0B.f 1 <e 2f 0C.f 1 >e 3f 0D.f 1 >e 2f 09.已知函数f (x )是定义域R 上的可导函数，其导函数为f (x )，对于任意的x ∈R ,f (x )<-f (x )恒成立，则以下选项一定正确的是()A.5f (ln5)<2f (ln2)B.6f (ln6)>3f (ln3)C.2f (ln5)>5f (ln2)D. 3f (ln6)<6f (ln3)题型四：函数f (x )与sin x ，cos x 的构造10.已知函数f (x )的定义域为(0,π)，其导函数是f (x )．若f (x )sin x -f (x )cos x >0恒成立，则关于x 的不等式f (x )<2f π6sin x 的解集为()A.0,π6B.π6,πC.-∞,π6D.π6,π211.已知奇函数f x 的定义域为-π2,π2 ，且f ′x 是f x 的导函数，若对任意x ∈-π2,0 ，都有f ′x cos x +f x sin x <0则满足f θ <2cos θ⋅f π3的θ的取值范围是()A.-π2,π3 B.-π2,π3 ∪π3,π2 C.-π3,π3D.π3,π212.已知函数y =f x 对任意的x ∈-π2,π2 满足f (x )cos x -f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f -π3>2f -π4 B.f π3<2f π4 C.2f 0 <f π3D.2f 0 >f π413.(多选)已知函数y =f x 是偶函数，对于任意的x ∈0,π2满足f x cos x +f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f π3 <f π4 B.3f -π4 >2f -π6C.3f π4 <2f -π6D.f π6<3f -π3题型五：利用同构比大小14.(2024·四川·模拟预测)已知a =ln 32,b =13,c =e -2，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a15.(2023·广东·模拟预测)已知a =tan0.01，b =1-cos0.01，c =0.015，则()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a16.(2024·安徽芜湖·模拟预测)已知a =19，b =ln 109，c =(lg11-1)ln9，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c b >cB.b >c >aC.c >a >bD.a >c >b题型六：化为和差同构模型18.若不等式x m e x +x ≤e mx +mx m x -ln x 恒成立，则实数m 的取值范围是()A.1e +1,+∞ B.1,+∞C.ee -1,+∞ D.e -1,+∞19.函数f x =e mx +m -1 x -ln x m ∈R ．若对任意x >0，都有f x ≥0，则实数m 的取值范围为．20.已知不等式ln x +a ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞) 恒成立，则a 的取值范围为.21.已知λ>0，对任意的x >1，不等式e 2λx -ln x2λ≥0恒成立，则λ的取值范围为.题型七：化为乘积，商式同构模型22.若关于x 的不等式e a +x ⋅ln x <x 2+ax 对∀x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围为()A.-∞,0B.-1,0C.-1,+∞D.0,+∞23.设实数a >0，若不等式a e 2ax +1 ≥x +1xln x 对任意x >0恒成立，则a 的最小值为()A.12eB.1eC.eD.2e24.已知函数f x =ax 2ln x -x ln ax 2，若对任意x ∈e -12,1 ，都有f x <0，则a 的取值范围为.25.已知函数f x =e x -e a a +ln x .(1)当a =1时，求f x 的单调递增区间；(2)若f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.题型八：添项后构造乘积型同构模型26.若存在正实数x ，使得不等式a ⋅2ax ⋅ln2-ln x ≤0a >0 成立，则a 的最大值为．27.若存在正实数x ，使得不等式1aln x ≥3ax ln3a >0 成立(e 是自然对数的底数)，则a 的最大值为.28.已知正数x ,y 满足y ln x +y ln y =e x ，则xy -2x 的最小值为．29.已知正数x ，y 满足y ln x +y ln y =e x ，则函数f x =xy sin x +cos x (0<x ≤2024π)的极小值点的个数为．题型九：添项后构造和差型同构模型30.已知不等式e x ≥a a x -1eln a >0 恒成立,则实数a 的最大值为31.已知不等式x +a ln ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则a 的取值范围为．32.已知ae ax -ln x +2a-2≥0在-2a ,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围．题型十：同构后再换元构造新函数33.已知f (x )=axe 2x a ∈R ，若关于x 的f (x )-2x -x ln ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.34.已知函数f (x )=2x -a x ln ，若函数f (x )≥a +2 x -xe x 恒成立，求实数a 的取值范围．35.已知函数f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，则实数k 的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,-1-1eC.-1-1e,-1 D.-1-1e ,0方法1：同构要使f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，只需k =x ln -x -xe -x =x ln -x -e xln e -x设x ln -x =t ，求导可知t ∈-∞,-1而k =t -e t ，求导可知函数k =t -e t 在-∞,-1 上单调递增，故k ∈-∞,1-1e方法2：分参求导k =x ln -x -xe -x ，令g (x )=x ln -x -xe -x ，则g (x )=1x -1-e -x +xe -x =1-x 1x -1ex∵1x -1ex >0故g (x )=x ln -x -xe -x 在0,1 递增，1,+∞ 递减，故g (x )max =g (1)=-1-1e，故选B .注：由常见不等式e x ≥x +1得到，即e x -x >01x -1ex >0；或者令h (x )=1x -1e x =e x -x xe x，h (x )=e x -1x 2e 2x ，因为x >0,故h (x )>0方法3：直接求导(可以消掉k )f(x )=1x -1+x e x -1e x =-xe x +e x +x 2-x xe x =x -1 x -e xxe x，不难得出x -e x 在0,+∞ 上恒小于0，故f (x )在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上递减，故f (x )max =f (1)=-1-1e -k ，当x 0时，f (x ) -∞，故f (x )的值域为-∞,-1-1e -k ，则-1-1e -k ≥0 k ≤-1-1e .题型十一：同构后放缩36.已知函数f (x )=m ln (x +1)-mx ，若不等式f (x )>x +1-e x 在0,+∞ 上恒成立，则实数m 的取值范围是.37.已知a >b >1，若e a +be a =ae b +1+a ，则A.ln (a +b )>1 B.ln (a -b )<0 C.3a +3-b <23 D.3a -1<3b【答案】A总结：一般都是去括号，这题反过来，可能一下子看不出来，后续计算量很小第一步，提公因式：e a +be a =ae b +1+a ⇒b +1 e a =a e b +1+1第二步，局部同构：b +1 e a =a e b +1+1 ⇒b +1e b +1+1=ae a 第三步，构造函数：令g (x )=x e x ，易知g (x )在1,+∞ ↓，则有g (b +1)=b +1e b +1>b +1e b +1+1=ae a ，故g (b +1)>g (a )⇒b +1<a ，则A 正确38.若正实数a ，b 满足a ln b -ln a +a ≥be a -1，则1ab的最小值为．题型十二：局部同构39.已知函数f(x)=ax+ln x+1-xe2x对任意的x>0，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-∞，0]B.(-∞，2]C.(-∞，1]D.(-∞，3]40.若当x∈0,π2时，关于x的不等式e x-x cos x+cos x lncos x+ax2≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为()A.1B.2C.3D.441.已知关于x的不等式e x-1+a>a ln ax-2a(a>0)恒成立，则实数a的取值范围为.巩固提升1.(2024·山东潍坊·三模)已知函数f x 的导函数为f x ，且f1 =e，当x>0时，f x <1x+e x，则不等式f x -ln xe x>1的解集为()A.0,1B.0,+∞C.(1,+∞)D.0,1∪1,+∞2.(2024·重庆沙坪坝·二模)已知a=1e，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b3.(2024沈阳市一模)设定义域为R的函数f x 满足f x >f x ，则不等式e x-1f x <f2x-1的解集为()A.-∞,eB.-∞,1C.e,+∞D.1,+∞4.(2024·广东佛山·模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为0,+∞,f2 =-1，且f x + xf x =1对于x∈0,+∞恒成立，则()A.f1 =0B.f3 =0C.f4 =0D.f6 =05.(2024陕西省宝鸡市二模)已知函数f x 的定义域为-3,3，其导函数为f x ，对任意x∈R,f x > f x 恒成立，且f1 =1，则不等式ef x >e x的解集为()A.1,3B.1,+∞C.-3,1D.-1,16.(2024·广西柳州·一模)已知f x 是定义在0,π上的函数f x 的导函数，有f x cos x>f x sin x，若a=fπ3，b=0，c=-3f5π6 ，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b7.(2023·河南信阳·一模)已知函数y=f(x)对x∈(0,π)均满足f (x)sin x-f(x)cos x=1x-1，其中f (x)是f(x)的导数，则下列不等式恒成立的是()A.2fπ6<fπ4 B.fπ3 <32fπ2 C.fπ3 <f2π3 D.32fπ2 <f2π38.(多选)(2024·湖南长沙·三模)设函数f(x)在R上存在导函数f (x)，对任意的x∈R有f(x)+f(-x)= x2，且在[0,+∞)上f (x)>x，若f(2-a)+2a>f(a)+2，则实数a的可能取值为()A.-1B.0C.1D.29.(多选)(2024·湖北·二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有()A.e x-e y>x-yB.ln x-ln y>x-yC.ln x≥1-1x D.e xy>eyx10.(多选)(2023·河北保定·三模)已知2n-1⋅ln1+lg2023>lg2023⋅ln2+ln n，满足条件的正整数n 的值有()A.2B.3C.4D.511.(多选)(2024·贵州遵义·三模)已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，且不等式xf x + 2f x >2恒成立，则()A.4f1 -f12>3 B.4f2 -f1 <3 C.9f3 -4f2 >3 D.16f2 -f12 >15 12.(2024·湖南·三模)已知e是自然对数的底数．若∀x∈0,+∞，me mx≥ln x成立，则实数m的最小值是．13.(2024·云南·模拟预测)已知f x 是定义域为0,π2的函数f x 的导函数，且f x sin x+f x cos x<0，则不等式f x sin x>12fπ6的解集为．14.(2024高三第二次模拟考试数学(理)试题)定义在R上的偶函数f x 的导函数满足f x <f x ，且f x ⋅f x+3=e2，若f2015=e，则不等式f x <e x的解集为．15.(2024·广东东莞·三模)若a=2,b=e1e,c=π1π，则a,b,c的大小关系为．16.(2024·广东深圳·一模)已知定义在0,+∞上的函数f x =x⋅e ax.(1)若a∈R，讨论f x 的单调性；(2)若a>0，且当x∈0,+∞时，不等式e axx2a≥ln x ax恒成立，求实数a的取值范围.走进高考1.(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b2.(2021·全国·高考真题)设a=2ln1.01，b=ln1.02，c= 1.04-1．则()A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b3.(2007·陕西·高考真题)f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′x +f x ≤0．对任意正数a，b，若a<b，则必有()A.af b ≤bf aB.bf a ≤af bC.af a ≤f bD.bf b ≤f a4.(2023·全国·高考真题)已知函数f x =ax-sin xcos2x ,x∈0,π2．(1)当a=1时，讨论f x 的单调性；(2)若f x +sin x<0，求a的取值范围．5.(2023·天津·高考真题)已知函数f x =1x +1 2ln x+1．(1)求曲线y=f x 在x=2处的切线斜率；(2)求证：当x>0时，f x >1；(3)证明：56<ln n!-n+12ln n+n≤1．6.(2021·全国·高考真题)已知函数f x =x1-xln.(1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b aln-a bln=a-b，证明：2<1a +1b<e.。

导数的综合运用：同构、构造函数选择填空压轴题(解析版)

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题一、单选题1.若对∀x ∈12e ,12，不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(0,4e ]B.(4e ,+∞)C.[4e ,+∞)D.(4e ,+∞)【答案】C【分析】不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2变形为ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2，令f x =ln xx ，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】由已知得：a >0，由ax -4 ln x <2ln a -ax ln2，得ax ln 2x <2ln a +2ln x 即ax ln (2x )2<ln (ax 2)，可得ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2．令f x =ln xx，x ∈0,+∞ ，则f (2x )<f (ax 2)，求导得f (x )=1-ln x x2，f(x )>0，解得0<x <e ；f (x )<0，解得x >e ，∴f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，且当0<x <1时f (x )<0；当x >1时，f (x )>0，函数图像如图所示．∵x ∈12е,12，∴2x ∈1е,1，∴f (2x )<0，由f (2x )<f (ax 2)及f x =ln x x 的图像可知，2x <ax 2恒成立，即a >2x成立，而2x ∈(4,4e )，∴a ≥4е，实数a 的取值范围是[4e ,+∞).故选：C ．2.对任意x ∈0,+∞ ，k e kx +1 -1+1xln x >0恒成立，则实数k 的可能取值为()A.-1B.13C.1eD.2e【答案】D【分析】将恒成立的不等式化为e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，构造函数f x =x +1 ln x ，利用导数可求得f x 单调性，从而得到e kx >x ，分离变量可得k >ln x x ；令h x =ln xx，利用导数可求得h x 最大值，由此可得k 的范围，从而确定k 可能的取值.【详解】当x >0时，由k e kx +1 -1+1xln x >0得：kx e kx +1 >x +1 ln x ，∴e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +1+1x，令g x =f x ，则g x =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，g x <0；当x ∈1,+∞ 时，g x >0；∴f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f 1 =2>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，由e kx +1 ln e kx >x +1 ln x 得：f e kx >f x ，∴e kx >x ，即k >ln xx；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x ≤h e =1e，∴当x >0时，k >ln x x 恒成立，则k >1e，∴实数k 的可能取值为2e，ABC 错误，D 正确.故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.3.已知对任意的x ∈0,+∞ ，不等式kx e kx +1 -x +1 ln x >0恒成立，则实数k 的取值范围是()A.e ,+∞B.1e ,eC.1e,+∞D.1e2,1e【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x2，当0<x <1时，g(x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故选：C .4.设实数a >0，对任意的x ∈1e3,+∞，不等式e 2ax -ln x 2a ≥1a -e 2ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1e ,+∞B.12e,+∞ C.0,1eD.1e2,+∞【答案】B【分析】将e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax化简为e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，再构造函数f x =x ln x +2 ，求导分析单调性可得e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax恒成立即2axe 2ax -x ln x ≥2x -2e 2ax ，可得e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，令f x =x ln x +2 ，则f e 2ax ≥f x 恒成立.又f x =ln x +3，故当x ∈1e 3,+∞时，fx >0，故f x =x ln x +2 在区间1e3,+∞上为增函数.又f e 2ax ≥f x 恒成立，则e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，即2ax ≥ln x ，2a ≥ln xx .构造g x =ln x x ,x ∈1e 3,+∞，则g x =1-ln xx2，令g x =0有x =e ，故当x ∈1e3,e时g x >0，g x 为增函数；当x ∈e ,+∞ 时g x <0，g x 为减函数.故g x ≤g e =1e ，故2a ≥1e ，即a ≥12e.故选：B 【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .5.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是()A.14,+∞B.12,+∞C.14,+∞ D.12,+∞ 【答案】D【分析】构造函数g (x )=f (x )-2x =ln x +ax 2-2x (x >0)，则转化得到g x 在(0,+∞)上单调递增，将题目转化为g (x )=1x+2ax -2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设x 1>x 2>0,因为对任意两个不等的正实数x 1,x 2,都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2,所以f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2,即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2,构造函数g(x)=f(x)-2x=ln x+ax2-2x(x>0),则g x1>g x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g (x)=1x+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥1x-12x2在(0,+∞)上恒成立,设m(x)=1x-12x2(x>0),则m (x)=-1x2+1x3=1-xx3，所以当x∈(0,1)时,m (x)>0,m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,m (x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=1-12=12，所以a≥1 2 .故选：D.6.已知f x 是定义在R上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a=2f2 ,b=ef e ,c=3f3 的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】A【分析】构建g x =xf x ，求导，利用导数判断g x 的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建g x =xf x ，则g x =f x +xf x ，因为f x +xf x <0对于x∈R恒成立，所以g x <0，故g x 在R上单调递减，由于a=2f2 =g2 ,b=ef e =g e ,c=3f3 =g3 ，且2<e<3，所以g2 >g e >g3 ，即a>b>c.故选：A.【点睛】结论点睛：1.f x +xf x 的形式，常构建xf x ；f x -xf x 的形式，常构建f x x；2.f x +f x 的形式，常构建e x⋅f x ；f x -f x 的形式，常构建f x e x.7.若函数f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-eC.-e,0D.-e,0【答案】A【分析】将问题转化为函数y=-a与y=e x2-2ln xx2-2ln x图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=e x2-2ln x x2-2ln x 转化为g t =e tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2=e x2-2ln x+a x2-2ln x，设h(x)=x2-2ln x(x>0)，则h (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，令h (x)>0⇒x>1，令h (x)<0⇒0<x<1，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h (1)=1，所以h (x )min =h (1)=1，所以h (x )≥1，函数f (x )有两个不同的零点等价于方程f (x )=0有两个不同的解，则e x 2-2ln x+a x 2-2ln x =0⇒-a =e x 2-2ln x x 2-2ln x，等价于函数y =-a 与y =e x 2-2ln xx 2-2ln x 图象有两个不同的交点.令x 2-2ln x =t ，g t =e t t ,t >1，则函数y =-a 与g t =e tt ,t >1图象有一个交点，则g t =te t -et t 2=e t t -1 t2>0，所以函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，所以g t >g 1 =e ，且t 趋向于正无穷时，g t =e tt趋向于正无穷，所以-a >e ，解得a <-e.故选：A .【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.8.函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足f x +2xf x >0，若不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax在x ∈1,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,1eB.1e ,+∞C.0,eD.1e,+∞【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数g x =x 2f x ，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成g ax≥g ln x ，即a ≥ln x x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，求出函数ln xx在1,+∞ 上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设g x =x 2f x ，x >0，g x =x 2f x +2xf x =x 2fx +2x f x >0所以函数g x 在0,+∞ 上为增函数．由f x 的定义域为0,+∞ 可知ax >0，得a >0，将不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax整理得a 2x 2⋅f ax ≥f ln x ⋅ln 2x ，即g ax ≥g ln x ，可得ax ≥ln x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈1,+∞ 上恒成立；令φx =ln xx ，其中x >1，所以a ≥φx maxφ x =1-ln xx2，令φ x =0，得x =e ．当x ∈1,e 时，φ x >0，所以φx 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，φ x <0，所以φx 在e ,+∞ 上单调递减；所以φx max =φe =1e ，即a ≥1e故选：B ．9.已知函数f (x )=xe x -a ln x +x -x a +1，若f (x )>0在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,e )B.0,eC.(-∞,1)D.0,1【答案】B【分析】构造函数g x =x +e x ，从而原不等式可转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，根据g x 的单调性可得x -a ln x >0，根据a 不同取值分类讨论求解即可.【详解】由f x >0得xe x +x >a ln x +x a +1，所以xe x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，即e x +ln x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，构造函数g x =x +e x ，则不等式转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，又易知g x 在R 上单调递增，故不等式等价于x +ln x >a ln x +ln x ，即x -a ln x >0.设h x =x -a ln x ，若a <0，h e1a=e1a-a lne 1a =e 1a-1<0，不符合题意；若a =0，则当x >0时，h x =x >0，符合题意；若a >0，则h x =1-ax,h x 在0,a 上单调递减，在a ,+∞ 上单调递增，所以h (x )min =h a ，要使h x >0恒成立，只需h a =a 1-ln a >0，所以0<a <e.综上可知a 的取值范围是0,e .故选：B .10.已知函数f (x )=xe x +e x ,g (x )=x ln x +x ，若f x 1 =g x 2 >0，则x 2x 1可取()A.-1 B.-1eC.1D.e【答案】A【分析】探讨函数g x 在1e 2,+∞上单调性，由已知可得x 2=e x 1(x 1>-1)，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由g x 2 =x 2(ln x 2+1)>0得x 2>1e，令g x =2+ln x >0，函数g x 在1e 2,+∞上单调递增，由f x 1 =e x 1x 1+1 >0得x 1>-1，则f x =e x ln e x +1 =g (e x )，由f x 1 =g x 2 >0得：g (e x 1)=g (x 2)，又e x 1>1e ,x 2>1e，于是得x 2=e x 1(x 1>-1)，x 2x 1=ex1x 1，令h (x )=e x x (x >-1)，求导得h(x )=e x (x -1)x 2，当-1<x <0,0<x <1时，h (x )<0，当x >1时，h (x )>0，即函数h (x )在(-1,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x >0时，h (x )min =h (1)=e ，且x →+∞，h (x )→+∞，h (-1)=-1e ，且x →0-，h (x )→-∞，故h (x )∈-∞,-1e∪[e ,+∞)即x 2x 1∈-∞,-1e ∪[e ,+∞)，显然选项A 符合要求，选项B ，C ，D 都不符合要求.故选：A 一、填空题11.设实数m >0，若对∀x ∈0,+∞ ,不等式e mx -ln xm≥0恒成立，则m 的取值范围为．【答案】m ≥1e【分析】构造函数f x =xe x 判定其单调性得mx ≥ln x ，分离参数根据恒成立求y =ln xx max即可.【详解】由e mx -ln xm≥0⇔mxe mx ≥x ln x =ln x ⋅e ln x ，构造函数f x =xe x x >0 ⇒f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 为增函数，则mx ⋅e mx ≥ln x ⋅e ln x ⇔mx ≥ln x 即对∀x ∈0,+∞ ,不等式mx ≥ln x 恒成立，则∀x ∈0,+∞ ,m ≥ln xx max，构造函数g x =ln x x ⇒g x =1-ln xx 2,令g x >0，得0<x <e ；令g x <0，得x >e ；∴g x =ln xx在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴g x max =g e =1e ，即m ≥1e .故答案为：m ≥1e .12.已知函数f (x )=e x +1-a ln x ，若f (x )≥a (ln a -1)对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】0,e 2【分析】对不等式进行合理变形同构得e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知a >0，由e x +1-a ln x ≥a (ln a -1)可得e x +1a+1-ln a ≥ln x ，即e x +1-ln a +1-ln a ≥ln x ，则有e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，设h (x )=e x +x ，易知h x 在R 上单调递增，故h (x +1-ln a )≥h (ln x )，所以x +1-ln a ≥ln x ，即x -ln x ≥ln a -1，设g (x )=x -ln x ⇒g x =x -1x，令g x >0⇒x >1，g x <0⇒0<x <1，故g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以g x ≥g 1 =1，则有1≥ln a -1，解之得a ∈0,e 2 ．故答案为：0,e 2 .13.已知a >1，若对于任意的x ∈13,+∞，不等式13x -2x +ln3x ≤1ae2x +ln a 恒成立，则a 的最小值为.【答案】32e【分析】根据题意可得13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，再构造f (x )=1x +ln x (x ≥1)，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x ≤ae 2x ，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为ln a +2x =ln a +ln e 2x =ln ae 2x ，所以13x -2x +ln3x ≤1ae 2x +ln a 可化为13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，设f (x )=1x +ln x (x ≥1)，则f (x )=-1x 2+1x =x -1x 2≥0，∴f (x )在1,+∞ 上单调递增，因为a >1，x ∈13,+∞，所以3x ≥1，e 2x ≥e 23>1，ae 2x >1，所以13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x 可化为f (3x )≤f (ae 2x )，所以3x ≤ae 2x ，∴a ≥3x e2x 在x ∈13,+∞ 上恒成立，∴a ≥3x e2xmax ，x ∈13,+∞ ，设g (x )=3x e 2x ，x ∈13,+∞ ，则g(x )=3(1-2x )e 2x，令g (x )>0，得13≤x <12；g (x )<0，得x >12，所以g (x )在13,12上单调递增，在12,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 12 =32e ，所以a ≥32e ，即a 的最小值为32e ．故答案为：32e．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x ，再构造函数.14.若不等式ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，则实数a 的最小值为．【答案】13e【分析】将不等式变形为e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，构造函数g x =e x +x ，求导得单调性，进而问题进一步转化为ln a ≥ln x -3x 成立，构造h x =ln x -3x ，即可由导数求最值求解.【详解】因为ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，不等式可变形为:ae 3x +3x +ln a ≥ln x +x ，即e ln a e 3x +3x +ln a ≥ln x +e ln x ，即e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，记g x =e x +x ，则g x =e x +1>0，所以g x 在R 上单调递增，则e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 可写为g 3x +ln a ≥g ln x ，根据g x 单调性可知，只需3x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立即可，即ln a ≥ln x -3x 成立，记h x =ln x -3x ，即只需ln a ≥h x max ，因为h x =1x -3=1-3x x ，故在x ∈0,13 上，h x >0，h x 单调递增，在x ∈13,+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，所以h x max =h 13 =ln 13-1=ln 13e，所以只需ln a ≥ln 13e 即可，解得a ≥13e.故答案为:13e【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.15.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是【答案】12,+∞ 【分析】设x 2>x 1>0，令g x =f x -2x ，将问题转化为g x 在0,+∞ 上单调递增，即g x ≥0在0,+∞ 上恒成立，采用分离变量的方式可得2a ≥-1x 2+2x ，结合二次函数性质可确定2a ≥1，由此可得结果.【详解】不妨设x 2>x 1>0，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2得：f x 1 -2x 1<f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x ，则g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g x =1x +2ax -2≥0在0,+∞ 上恒成立，∴2a ≥-1x 2+2x ，当1x =1，即x =1时，y =-1x2+2x 取得最大值1，∴2a ≥1，解得：a ≥12，∴实数a 的取值范围为12,+∞ .故答案为：12,+∞ .16.已知函数f x =12x 2-a ln x +1，当-2≤a <0，对任意x 1,x 2∈1,2 ，不等式f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2恒成立，则m 的取值范围为．【答案】12，+∞【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求m 的取值范围即可.【详解】因为-2≤a <0，函数f x 在1,2 上单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2，则f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2，可化为f x 2 +m x 2≤f x 1 +mx 1，设h x =f x +mx=12x2-a ln x+1+mx，则h x1≥h x2，所以h x 为1,2上的减函数，即h x =x-ax-mx2≤0在1,2上恒成立，等价于m≥x3-ax在1,2上恒成立，设g x =x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g x =3x2-a>0，所以函数g x 在1,2上是增函数，所以g(x)max=g2 =8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立)．所以m≥12.故答案为：12，+∞．17.已知实数x，y满足e x=xy2ln x+ln y，则xy的取值范围为.【答案】[e,+∞)【分析】把e x=xy2ln x+ln y化为xe x=x2y⋅ln(x2y)，构造函数f(x)=xe x(x>0)，可得xy=e xx，再求出函数g(x)=e xx(x>0)的值域即可得答案.【详解】依题意有x>0,y>0，设f(x)=xe x(x>0)，则f (x)=(x+1)e x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由e x=xy2ln x+ln y，得xe x=x2y⋅ln(x2y)，即有f(x)=f(ln(x2y))，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以有x=ln(x2y)，即x2y=e x，所以xy=e x x，设g(x)=e xx(x>0)，则g (x)=(x-1)e xx2，令g (x)=0，得x=1，x∈(0,1)时，g (x)<0，g(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，g (x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=e，所以x∈(0,+∞)时，g(x)∈[e,+∞)，所以xy的取值范围为[e,+∞).故答案为：[e,+∞)18.已知x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则ln x0x0=.【答案】3【分析】依题意得e3x0+3x0=x0+ln x0，构造函数f(x)=e x+x，则有f(3x0)=f(ln x0)，得出f(x)的单调性即可求解.【详解】因为x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则x0>0，所以e3x0-ln x0+2x0=0，即e3x0+3x0=x0+ln x0，令f(x)=e x+x，则f (x)=e x+1>0，所以f(x)在R单调递增，又e3x0+3x0=x0+ln x0，即f(3x0)=f(ln x0)，所以3x0=ln x0，所以ln x0x0=3.故答案为：319.已知函数f x =e ax-2ln x-x2+ax，若f x >0恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】2e,+∞ 【分析】根据f x >0恒成立，可得到含有x ，a 的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围.【详解】已知函数f x =e ax -2ln x -x 2+ax ，若f x >0恒成立，则实数a 的取值范围为令g x =e x +x ，g x =e x +1>0，所以g x 单调递增，因为f x =e ax -2ln x -x 2+ax >0x >0 ，所以e ax +ax >ln x 2+e ln x 2，可得g ax >g ln x 2 ，所以ax >ln x 2，所以a >ln x 2xx >0 恒成立，即求ln x 2x max x >0 ，令F x =ln x 2x x >0 ，F x =ln x 2 x -x ln x 2x 2=21-ln x x 2，当x ∈0,e 时，F x >0，F x 单调递增，当x ∈e ,+∞ 时，F x <0，F x 单调递减，所以F x ≤F e =2e ，可得a <2e .故答案为：2e ,+∞ .【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得f x >a 恒成立，可得出f x min >a ；对于任意的x ，使得f x <a 恒成立，可得出f x max <a .20.若ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，则实数a 的取值范围为．【答案】0<a ≤e 2【分析】利用同构法，构造函数f (x )=ln x +x ，将问题转化为f (2ax )≤f (e x)，从而得到2a ≤e x x恒成立问题，再构造g (x )=e x x，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，a >0,x >0⇔ln (2ax )-x +2ax -e x ≤0,⇔ln (2ax )+2ax ≤x +e x =ln e x +e x ，令f (x )=ln x +x ,x >0，则原式等价于f (2ax )≤f (e x )，f (x )=1x +1=1+x x>0恒成立，所以f (x )在定义域内单调递增，所以2ax ≤e x ⇒2a ≤e x x，令g (x )=e x x (x >0),g (x )=e x (x -1)x 2，则x >1时，g (x )>0，g (x )在(1,+∞)单调递增，0<x <1时，g (x )<0，g (x )在(0,1)单调递减，所以g (x )min =g (1)=e ，则2a ≤e ,a ≤e 2.又a 为正数，故答案为：0<a ≤e 2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知a <0，不等式xe x +a ln x x a ≥0对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为.【答案】-e 【分析】将不等式等价变形为xe x ≥-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，进而问题转化成x ≥-a ln x ，构造g (x )=x ln x ，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】xe x ≥-a ln x x a =-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，f x =x +1 e x >0x >0 ，故f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-x ln x 任意的实数x >1恒成立．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x ，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-x ln x max=-e ．故答案为：-e【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别22.关于x 的不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的最小值是.【答案】22e【分析】不等式转化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，构造函数f x =e x +x ，判断函数单调递增得到2x +1+ln a ≥ln x ，转化为2x +1-ln x +ln a ≥0，构造函数g x =2x +1-ln x +ln a ，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0，即e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f 2x +1+2ln a ≥f ln x ，即2x +1+2ln a ≥ln x ，即2x +1-ln x +2ln a ≥0在(0,+∞)上恒成立.设g x =2x +1-ln x +2ln a ，g x =2x -1x ，当x ∈12,+∞ 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈0,12 时，g x <0，函数单调递减；故g x min =g 12=2+ln2+2ln a ≥0，即2ln a ≥-2-ln2=-ln2e 2，解得a ≥22e.所以a 的最小值是22e.故答案为：22e.【点睛】方法点睛：将不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥e ln x +ln x ，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．。

专题09 利用同构解决双参数恒成立问题-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析

专题09 利用同构解决双参数恒成立问题[高考真题]例1 （2020·山东·21）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+，若()1f x ≥，求a 的取值范围.【解析】将()1f x ≥按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：由1()e ln ln 1x f x a x a -=-+≥移项得：1e ln ln 1x a a x -+≥⇔+即ln 1e ln ln 1a x a x +-+≥+，两边同时加（1x -）得ln 1e ln 1ln a x x a x x +-++-≥+即()ln 1ln e ln 1ln a x x x a x e +-++-≥+设()e x g x x =+，则()1e 0x g x '=+>，所以()g x 单增所以ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 10x x a -+-≥设()ln ln 1h x x x a =-+-，则1()1h x x'=-，所以()h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增，所以min ()(1)ln 10h x h a ==-≥，所以1a ≥.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．例2 对于任意实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，求a 的取值范围.解法一：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为22ln x x ae a ≥，212ln x x e a a≥（说明：将参数移至一边）两边同时乘x 得22ln x x x xe a a≥（说明：目的是凑右边的结构）即ln 22ln ln x xa x x x xe e a a a ≥=（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设()x g x xe =，则()()10x g x x e '=+>，()g x 单增故由（#）得2ln x x a≥，ln ln 2a x x ≥- 再令()ln 2h x x x =-，则1()2h x x '=-，易知当max 1()()ln 212h x h ==-- 所以ln ln21a ≥--，即12a e≥. 解法二：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为ln 22ln ln 0a x e x a +-+≥，即ln 22ln 2ln 2a x e a x ++≥ ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2a x x e x a x x e x +++≥+=+设()x g x e x =+，易知()g x 单增故2ln2ln2x a x +≥（以下同解法一，从略）.点评：（1）为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：ln x x e=、ln x x x xe e +=、22ln x x x x e e +=、ln x x x e e x-+=、ln ln ln x a ax +=、ln 1ln x x e-=，有时也需要对两边同时加、乘某式等. （2） ln x x 与x xe 为常见同构式：ln ln ln x x x xe =，ln x x x xe e e =；ln x x +与x x e +为常见同构式：ln ln ln x x x x e +=+，ln x x x x e e e +=+.[强化训练]1. 对于任意实数0x >，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值是_____. 【答案】e2. 关于x 的不等式1ln (1)x xe k x k x +≥++对任意0x >（其中0k >）恒成立，则k 的取值范围是_____.【答案】(]0,e3. 关于x 的不等式23(3)2ln 1x x e k x x ≥+++对任意0x >恒成立，则k 的取值范围是_____.【答案】(],0-∞如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。

导数中的同构问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

导数中的同构问题专练【八大题型】【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】 (2)【题型2 同构：利用f(x)与e x构造函数】 (3)【题型3 同构：利用f(x)与sin x，cos x构造函数】 (3)【题型4 指对同构问题】 (4)【题型5 利用同构比较大小】 (5)【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】 (5)【题型7 利用同构证明不等式】 (6)【题型8 与零点有关的同构问题】 (7)1、导数中的同构问题导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大.【知识点1 导数中的同构问题的解题策略】1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：(1)利用f(x)与x构造函数①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=x n f(x).②出现xf'(x)-nf(x)(2)利用f(x)与e x构造函数.(3)利用f(x)与sin x，cos x构造函数.2．同构式的应用(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.【知识点2 指对同构问题】1．指对同构解决不等式问题在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：.(2)三种基本模式：三种同构方式①积型：【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】【例1】（2024·全国·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)=0，当x>0时，xf′(x)―f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是（）A．(―∞,―2)∪(2,+∞)B．(―2,2)C．(―∞,―2)∪(0,2)D．(―2,0)∪(2,+∞)【变式1-1】（2024·安徽·一模）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （2）＝1，当x ＞0时，xf ′（x ）+f （x ）＞1，则不等式f(x)―1x<0的解集为（）A ．(-∞，2)∪(2，+∞)B ．(-∞，2)∪(0，2)C ．(-2，0)∪(2，+∞)D ．(-2，0)∪(0，2)【变式1-2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知f (x )是定义在(―∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，若对于任意的x ∈(0,+∞)，都有2f (x )+xf ′(x )>0成立，且f (2)=12，则不等式f (x )―2x 2>0解集为（）A ．(2,+∞)B ．(―2,0)∪(0,2)C ．(0,2)D ．(―2,0)∪(2,+∞)【变式1-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，有xf ′(x )+2f (x )>0恒成立，则（）A ．f (1)>4f (2)B ．f (―1)<4f (―2)C ．4f (2)<9f (3)D ．4f (―2)<9f (―3)【题型2 同构：利用f (x )与e x 构造函数】【例2】（2024·湖北武汉·一模）若函数f (x )的定义域为R ，满足f (0)=2，∀x ∈R ，都有f (x )+f ′(x )>1，则关于x 的不等式f (x )>e ―x +1的解集为（）A ．{x |x >0}B ．{x |x >e}C ．{x |x <0}D ．{x |0<x <e}【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则下列不等式关系正确的是（）A ．f (1)>e f (0)，f (2023)<e 2023f (0)B ．f (1)<e f (0)，f (1)>e 2f (―1)C ．f (1)<e f (0)，f (1)<e 2f (―1)D ．f (1)<e f (0)，f (2023)>e 2023f (0)【变式2-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知函数f (x )及其导函数f ′(x )定义域均为R ，且f (x )―f ′(x )>0，f (0)=e ，则关于x 的不等式f (x )>e x +1的解集为（）A ．{x |x >0 }B ．{x |x <0 }C ．{x |x <e }D ．{x |x >e }【变式2-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f(x ―12)+f(―x ―1)=0，e 4f(2022)=1，若f(x)>f ′(―x)，则关于x 的不等式f(x +2)>1e x 的解集为（）A ．（4，+∞）B ．（-∞，4）C ．（-∞，3）D ．（3，+∞）【题型3 同构：利用f (x )与sin x ，cos x 构造函数】【例3】（2023·重庆九龙坡·二模）已知偶函数f (x )的定义域为―π2f ′(x )，当0≤x <π2时，有f ′(x )cos x +f (x )sin x >0成立，则关于x 的不等式f (x )>⋅cos x 的解集为（）A ．―π3BC ．―π2,∪D ．―π3,0∪【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在―π2f (x )满足f (―x )=f (x )，当x ∈不等式f (x )sin x +f ′(x )cos x <0恒成立（f ′(x )为f (x )的导函数），若a cos1=f (―1)，b cos 12=f (―，c = ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【变式3-2】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )―f (―x )=0，且对于任意的x ∈0,f ′(x )cos x >f (―x )sin (―x )．则下列不等式一定成立的是（）A <f cos 12B ．f >C ．f (―1)<D >f 【变式3-3】（2024·河南信阳·一模）已知函数y =f (x )对x ∈(0,π)均满足f ′(x )sin x ―f (x )cos x =1x ―1，其中f ′(x )是f (x )的导数，则下列不等式恒成立的是（）A 0恒成立，则正实数a 的取值范围是（）A ．0<a <eB ．a >e 2C ．a >eD ．a >2e【变式4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数f (x )=e kx +1，g (x )=1x .若kf (x )≥g (x )，则k 的取值范围为（）A ．(0,e]B ．[e,+∞)C +∞D ．【变式4-3】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x 的不等式e x +x +2ln 1x ≥mx 2+ln m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．12B ．e 24C ．e 22D ．e 2【题型5 利用同构比较大小】【例5】（2024·湖南益阳·三模）若a =2ln1.1，b =0.21，c =tan0.21，则（）A ．b <c <aB ．a <c <bC ．c <a <bD ．a e x 1+ln x 2B ．e x 2+ln x 1<e x 1+ln x 2C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设a =ln1.01，b =sin0.01，c =1101，则a ，b ，c 大小关系（）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．a <c <b【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知实数x1,x 2,x 3满足x 12―x 1=e x 22―1==120，则（）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】【例6】（2024·内蒙古·三模）已知函数f (x )=x 2―ax +2ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a >0,f (x )≤e ax 恒成立，求a 的取值范围.【变式6-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=a e ax―ln x+ln a+1．x(1)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；(2)若f(x)≥2a2―a恒成立，求实数a的取值范围．【变式6-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知f(x)=a x―x a（x≥0，a>0且a≠1）.(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；(2)当a=e时，求证：f(x)在(e,+∞)上单调递增；(3)设a>e，已知∀x∈a,+∞，有不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知函数f(x)=a ln x―x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)≤―1.【题型7 利用同构证明不等式】【例7】（2024·湖北荆州·三模）已知函数f(x)=x e x―a(ln x+x)，其中e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜截式方程；(2)当a=e时，求出函数f(x)的所有零点；(3)证明：x2e x>(x+2)ln x+2sin x.【变式7-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数f(x)=x e ax（a>0）.(1)求f(x)在区间[―1,1]上的最大值与最小值；(2)当a≥1时，求证：f(x)≥ln x+x+1.【变式7-2】（2024·山东·二模）已知函数f(x)=mx―ln x,x∈(1,+∞).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若e(m―1)x+1f(x)≥x2―x恒成立，求实数m的取值范围.【变式7-3】（2024·四川眉山·三模）已知函数f(x)=x ln x―ax2―2x.(1)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同极值点x1,x2.①求a的取值范围；②当x1>4x2时，证明：x1x22>16e3.【题型8 与零点有关的同构问题】【例8】（2024·四川自贡·三模）已知函数f(x)=1+1x +a ln x(a >0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)有唯一零点x 1，函数g(x)=x ―sin x ―ae 2在R 上的零点为x 2．证明：x 1<x 2．【变式8-1】（2024·广东茂名·一模）设函数f (x )=e x +a sin x ，x ∈[0,+∞).(1)当a =―1时，f (x )≥bx +1在[0,+∞)上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若a >0,f (x )在[0,+∞)上存在零点，求实数a 的取值范围.【变式8-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数f (x )=x ―1x +a ln x ，其中a ∈R .(1)当x ∈[1,+∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围.(2)若a <―2，证明：f (x )x 1，x 2，x 3（x 1<x 2<x 3），且x 1，x 2，x 3成等比数列.【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x )=x 2ln x ―m 有两个不同的零点x 1，x 2，且t =x 21+x 22．(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：t <1；(3)比较t 与2e 及2m +3e 的大小，并证明．一、单选题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知a =ln 65,b=16,c =17e 17，则（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b2．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知a ∈N ∗，函数f (x )=e 3x ―x a >0恒成立，则a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．6D ．73．（2024·四川南充·模拟预测）设a >0，b >0，且a +b =1，则下列结论正确的个数为（）①log 2a +log 2b ≥―2 ②2a +2b ≥③a +ln b <0A ．0B ．1C ．2D ．34．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在(0,+∞)上的单调函数f (x )，对任意的x ∈(0,+∞)有f [f (x )―ln x ]=1恒成立，若方程f (x )⋅f ′(x )=m 有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．(―∞,1)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(―∞,1]5．（2024·四川南充·模拟预测）设a >0,b >0,且a +b =1,则下列结论正确的个数为（）①log 2a +log 2b ≥―2 ②2a +2b ≥③a +ln b <0 ④sin a sin b <14A ．1B ．2C ．3D ．46．（2024·河南郑州·三模）设x 1,x 2∈(0,+∞)，且e x 1+ln x 2=1，则（）A ．若x 1=x 2，则x 1∈B ．若x 1x 2=1，则x 1存在且不唯一C ．x 1+x 2>1D ．x 1+ln x 2>07．（2024·四川·三模）已知关于x 的方程e 2x ―ax e x +9e 2x 2=0有4个不同的实数根，分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则(e x 1x 1―e)(e x 2x 2―e)(e x 3x 3―e)(e x 4x 4―e)的取值范围为（）A ．(0,16e 4)B ．(0,12e 4)C ．(0,4e 4)D ．(0,8e 4)8．（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x )=ln x ，g (x )为f (x )的反函数，若f (x )、g (x )的图像与直线y =―x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，则下列说法正确的为（）A ．x 2>ln x 1B ．x 1+x 2<0C ．x 1∈D ．x 1―x 2∈1,12+ln2二、多选题9．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数f(x)=xln x ，下列说法正确的是（）A ．函数f(x)的单调递减区间为(0,1)∪(1,e)B ．f(π)<f(2)C ．若方程|f(|x|)|=k 有6个不等实数根，则k >eD ．对任意正实数x 1,x 2，且x 1≠x 2，若f (x 1)=f (x 2)，则x 1x 2>e 210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数f (x )=x cos x ―sin x ，下列结论中正确的是（）A ．函数f (x )在x =π2时，取得极小值―1B ．对于∀x ∈[0,π]，f (x )≤0恒成立C ．若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sin x 1sin x 2D ．若对于∀x ∈a <sin x xx 1ln x 2C ．∃a ∈(0,1),x 2―x 1>e aD ．∀a ∈(0,1),x 1ln x 1+x 2>a三、填空题12．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)=(x ―1)e x +|e x ―a |有且只有两个零点，则a 的范围是．13．（2024·四川成都·三模）若不等式e mx (mx ―ln2)―x ln x 2≥0，对任意x ∈+∞恒成立，则正实数m的取值范围是.14．（2024·四川凉山·三模）已知函数f (x )=e x ―2e x ln x x―x 2ln x x >t ，则2t 3e t―1=．四、解答题15．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x ln x ，g(x)=2f(x)x―x +1x .(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若当x >0时，mx 2―e x ≤mf(x)恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数f(x)=e x+(a―1)x―1，其中a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，证明：f(x)>x ln x―cos x．17．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f(x)=(ax―b)a x(a>0,a≠1)，b∈R．(1)若y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=e x，求a，b的值；(2)当b=1时，y=f(x)存在极小值点x0，求证：f(x0)≤―e1e．18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f(x)=ln x+ax+1,a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；≤e2x．(2)当a≤2时，证明：f(x)x19．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数f(x)=ln(e x)，其中e为自然对数的底数．ax(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2．(i)求a的取值范围；(ii)证明：x21+x22>2．。

专题01 同构函数型-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析

专题01 同构函数型[高考真题]1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（）A ．B ．C ．D ．2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若，则（）A. B. C. D.[强化训练]1.（2012·全国联赛）如果，，则的取值范围是______________. 2.（2012·辽宁竞赛）不等式的解集是______________. 3.（2020·南通五月模拟·14）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为． 4.（2019·南师附中期中·14）已知函数，，则t 的取值范围是． 5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a ，b (0，2)，且满足，则a ＋b 的值为_______． 6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数，满足，5533cossin 7(cos sin )θθθθ-<-[0,2)θπ∈θ3381050(1)1x x x x+-->++()33x x f x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥2233x y x y ---<-ln(1)0y x -+>ln(1)0y x -+<ln ||0x y ->ln ||0x y -<242log 42log a b a b +=+2a b >2a b <2a b >2a b <[)0,2θπ∈k ()33sin cos k θθ≤-(],2-∞-θ∈2244242a b a b b --=--1x 2x 131x x e e =，则______.7.设方程的根为，设方程的根为，则= . 8.已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是 . 9.(宿迁·2018·期中)不等式的解集是 .解析：专题01 同构函数型[高考真题]1.【答案】A【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.【解析】由移项变形为设易知是定义在R 上的增函数，故由，可得，所以从而，故选A ．2.【答案】B【分析】∵ ∴设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.()522ln 2x x e -=12x x =24x x +=m 2log 4x x +=n m n +x x x x x x 63242-+2+≤-+2++2()()2233x y x y ---<-2233x y x y ---<-2323x x y y ---<-()23x x f x -=-()f x 2323x x y y ---<-x y <011,y x y x ->⇒-+>ln(1)0y x -+>2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b b b b b +=+=+=+-2222log 2log 21a b a b +==+-2()2log x f x x =+()f x。

特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）（解析版）

特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。

找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。

具有相同结构的两个代数式称为同构式。

例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。

第一类：常见类型同构函数(1) 构造函数xf (x )，f (x )x ：当条件中含“＋”时优先考虑xf (x )；当条件中含“－”时优先考虑f (x )x .(2)构造函数f xxn ：条件中含“xf ′(x)－nf(x)”的形式；构造函数xf(nx)：条件中含“nxf ′(nx)＋f(nx)”的形式.(3)构造函数f xex ：条件中含“f ′(x)－f(x)”的形式.(4)构造函数f xsin x ：条件中含“f ′(x)sin x －f(x)cos x ”的形式.例1： 1.已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，33log 9(log 9)b f =⋅，则,,a b c 的大小关系（） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >>解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则当0x <时，()F x 单调递减. 又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时，()F x 单调递减.又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A. 2.设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（（ A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【详解】构造新函数()()f xg x x =,()()()2 'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f xg x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=（（3（()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =（（4（()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数.3.已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（） A. (1)f e>B. (0)(2)f f e<C. (1)(2)f e >D. 2(0)(4)f e f >解析：设12()2()x F x e f x =，则1112221'()2[()()][()2()]2x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >, 则(1)f e>A.4.已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（） A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅>⋅ B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅ C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅<⋅ D. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅ 解析：设()()xf x F x e =，则22()()[()()]'()x x xx xf x e f x e f x f x e F x e e ''--==. 由()()f x f x '<，得()()0f x f x '-<，则'()0F x <,()F x 在定义域上单调递减，所以(1)(0)F F >,(2012)(0)F F >即答案为A.举一反三：1.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（）. A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C. (,1)(1,0)-∞-- D. (0,1)(1,)+∞ 解析：设()()f x F x x=，则2()()'()xf x f x F x x'-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减.又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x=为偶函数，且(1)(1)0F F -==,则当0x <时，()F x 单调递增. 当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >. 当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >. 所以()0f x >成立的x 取值范围(,1)(0,1)-∞-，即答案为A..对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x=，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.2.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（） 3()2()43ππB. (1)2()sin16f f π>2()()64f ππ>3()()63f ππ>解析：因为(0,)2x π∈，所以sin 0x >，cos 0>.由()()tan f x f x x '>，得()cos ()sin 0f x x f x x '-> 设()()sin f x F x x=，则2()sin ()cos '()sin f x x f x xF x x'-=，可得'()0F x <, 则()F x 在定义域上单调递减，所以()()43F F ππ>,3()2()43ππ，即答案为A.3.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >>B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >>解：因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选A.4. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有 A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f > D ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f <解：构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e --><，，也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ．5. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为（）A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x解：构造新函数1()()()22x F x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D. 二、指对数同构①()来进行研究可构造函数x x x x xe x f e x xe x x xe =≥⇒≥,.ln ln ln λλλλ②()xx x f xax a x x x a a x x x a a a x x ln ,ln ln ln ln ln ln ln 22==⇒=⇒-=可构造函数来进行研究③()()()()11ln ln 1ln ln 10ln 1-+->-+⇒-+>+⇒>->+x x a x a e x a a e a a ax a e xx x()()来进行研究可构造函数x x x f x x a e a e xx ln ,11ln ln +=-+->+⇒ ④()()来进行研究，可构造函数x x x f x x e e x x x e x a a x x a a x ln ln 1ln 10ln 1-=-≥-⇒>-≥+ ⑤()来进行研究可构造函数xx a x ax x a xe x f e x a xe xx a xe x a e x =-≥⇒-≥⇒-≥-+,.ln ln ln ln 1指对互化关系()01ln >++≥x x x xe x()0ln >=-x e xe x x x同构转化关系：已知含有b b ae aln ≤则可同构转化如下 (同左边)b a e b ae ln )(ln ≤,则构造函数x xe x f =)( (同右边)b b e e a a ln ln ≤,则构造函数x x x f ln )(=(取对数))ln(ln ln ln b b a a +≤+,则构造函数x x x f ln )(+=例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x ∈（e 2，+∞），关于x 的不等式λe λx ﹣lnx ≥0恒成立，则λ的最小值为：．分析： λe λx ﹣lnx ≥0x x x x xe xe x x xe x e ln ln ln ,ln ≥∴≥≥∴λλλλλλ令()()()()()xxx x x f x f x f xe x f x ln ln ,0,ln ≥⇒≥∴+∞≥∴=λλλ上单调递增在显然 ()()()()()上单减，在时，当令+∞∈<-=+∞∈=,,0ln 1',,ln 222e x x g xxx g e x x x x g ().2,2ln 222maxe e e g x x 的最小值为故λλ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∴2.不等式()01212202210112≤-++-x x x 的解集为：．分析：()()011210112210112≤++-+-x x x x 不等式变形为，()()21011221011211x x x x -+-≤+()()()()222210111,1x x R x f x f x f x x x f -≤∴-≤∴+=上单调递增，在显然令,212≤x 2222-≤≤x 故不等式的解集为.22,22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3.已知对任意给定的m m me a b a b mb 则实数成立使存在,)0(ln ,0>=≥>的取值范围为：．分析：b mb mb e b b b mbe b me a ln )(ln ln ,ln ln =≥∴≥=b mb b mb e b mbe e b mbe b b ln ln .ln 0.ln ,0100ln ≥∴≤>≤<≤时，即当显然成立， ()()()b f mb f xe x f b b x ln 10ln ≥∴=>>时，构造函数即当显然()(),ln ,ln 0bbm b mb x f ≥≥∴∞+上单调递增，，在 ()()()()()()↓+∞↑⇒=⇒=-==,,10',ln 1',ln 2e e b g e b b g bbb g b b b g ，上在令设 ()()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞≥∴==∴,1,1,1max e m e m e e g b g 的取值范围为故实数.注释：本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离mb me a =ln 较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方的变量[)+∞∈=,ln ,,b a me a b a mb 在只需让为此我们先固定住上有解即可，的值域内即可！落在即让a me mb ln 故而得到分离，但不等式显然不好参变量接着处理任意一方的变,.ln ln b b me a mb ≥=求导还要借助隐零点处理过程也不简单.仔细观察发现，不等式两边同乘形式比较接近后，不等式两边函数的b ，可以利用同构来进行处理，接着就可以参变分离了，借助恒成立问题处理策略，即可使问题得以解决!4.已知方程a x a a a x x 个实数根，则实数有3ln ln ln 2-=的取值范围是：．分析：由xa x a x x x a a x x x a a a x x ln ln lnln ln ln ln 22=⇒=-=得当a x xax ==时，；21ln 12ln ln ln ln ln ln ln ln -≥⇒+-≥---=--=++⇒=≠a x ax xa x x a x x x a x a x x x a x a x x x a x a x x a x 时，由.102ea <<⇒举一反三1.a x x a e x a x a 恒成立，则实数对任意的实数不等式已知10ln ,01>≥+<+的最小值为：．分析：x a a x x a e x a xxa xe x a e x ln 1.ln ln 0ln -+-=-≥∴≥+构造函数()()()()xa x x f x a f x f xe x f x ln ,0)(,ln -≥+∞-≥∴=上单调递增，故在显然x x a ln -≥⇒ .ln maxe x x a -=⎪⎭⎫⎝⎛-≥易得故实数.e a -的最小值为2.已知不等式()的恒成立，则实数对a x x ex a x a x +∞∈>++,11ln 最小值为（）A. e -B.2e- C. e - D. e 2-分析：aa x x a a a x a x x x e e x x x a x e x x e x a x ln 1ln 1ln ln 1,1ln -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴-=-≥+∴≥++ ， ()()()x x x x f x f e f x x x f a x 111'1ln -=-=≥⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 构造函数()()()↓∞+↑⇒，，上在11,0x f最小时，的大小不定，但当实数与时，当a x ex a x1,1101<<>只需考虑其为负数的情况，10<<a x 此时()x a x x e x f x ax ln ,110<-<<<两边取对数得单调递减，故时，而当xx a ln ->∴令()()()()()↓+∞↑⇒+-=-=,1ln 1ln ',ln 2e e x g xx x g x x x g ，上，在则()()e e g x g -=≤∴ 故.e a -的最小值是3.设()abe b b ax a e a a ax 在定义域内恒成立，则若≥+->ln ,02的最大值为：．分析：()()b ax a abe b b ax a e ax ax +≥-∴≥+-ln ln 2 令()()()()()()x x f abe xf x f b ax a x f ax ≤-=+=-由题意知的反函数为显然,,ln 1在定义域内恒成立，()()恒成立恒成立，0ln ln ≤-+≤+∴x b ax a x b ax a()()()()a ba x x gb ax a x g x b ax a x g -=⇒=-+=-+=0',1',ln 2令设()↑⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇒上在a b a abx g ,()0ln ,ln ,22max ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴↓⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-a b a a a a b a a a a b a g x g a b a 故只需，上()()()()a a a a e a h a a a e a h a a a e ab e a a a b a a a a ln 21ln 2',ln 2),ln 2,ln 222---=-=-≤-≤∴（设()()01122121ln 222ln 21',ln 21ln 2<-=--<--=---=---=aa a a a a a F a a a a a F 令()()()01,0=+∞∴F a F 上单调递减，注意到在()()()()↓<<>↑>><<a h a h a F a a h a h a F a ,0)(',01;,0)(',010时，当时，故当()().1,,1max 时取等当且仅当的最大值为故====∴b a e abe e h a h a注释：得式子，即由变形整理构造出同构的本题也可以通过对式子b b ax a e ax ≥+-)ln(2()()()()()b ax b b ax b ax b ax ax a bx e a x a bx b ax ax e a x a xa x +-++=+≥-⇒≥+-ln ln ln ln()()()b ax b b ax e abxe a x b ax a x+-+≥-⇒+ln ln ln 于是想到构造函数()()()b ax f a x f bx xe x f x +≥⎪⎭⎫⎝⎛∴-=ln 的形式，但是函数的增减性不确定，另外括号内两个变量的范围前面()正负也不确定，后面b ax a x+>ln ,0所以可能遇到取值范围的问题，分类讨论的话时间成本及计算成本也比较大，这时同构反而不占优势，所以不如从反函数入手反而会占优势一些! 4.已知函数()()a a x f x a x x x x f 则实数存在四个不同实数根，的方程关于=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,ln 2的取值范围是（）A. ()()e ,11,0B. ⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛1,1e D. ()1,0 分析：首先由()()0ln ,ln ,00222=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>⇒>x aa x x a a x x a a x f a a x x f 得由的定义域知设()()()()()()上在故，注意到上在时，当0,,00,0,ln 2∞-=-↑∞-<--=x g a g x g x xa a x x x g 有唯一实根xax x a x x a x a x x a a x x x a a x x x a ==-+∴=+∴=-=-->-ln ln ln ln 0ln 0.222得时，由当()()(),1',ln ,ln ln x x x h x a h x h x x x h x a x a x x -=⎪⎭⎫⎝⎛=∴-=-=-令()()，上在↓1,0x h ()↑∞+上，1当a x xax ==即时，满足题意；.10.ln ln 1ln ln <<∴=>--=-=-≠a a x a x x a x xa x x a x a x x x a x 得时，由当综上，实数().1,0的取值范围是a 注释：对数平均不等式：2ln ln 0,212121212121xx x x x x x x x x x x +<--<≠>则且对任意的指数平均不等式：2,2121212122121x x x x x x e e x x e e ex x R x x +<--<≠∈+则且对任意 5.若函数()()a x a e x x f x 没有零点，则整数1ln 2---=的最大值为：．分析：()()()()∞+>>+∞→，在没有零点，只需要使函数时注意到00,0x f x f x f x 上恒成立()()()x a x ax x x x ax e x a e x x f x x x -=--++≥---=---=+2ln 1ln 21ln 1ln ln 22而令()00ln 2202x x x a x a ，记其零点为，且上面不等式取等时=+<⇒>- 当()()1ln 21ln 1ln 200ln 200ln 2020000000=---≤---=---=≥++x x e x ax e x a e x x f a x x x x x 时，显然不合题意，.1,2的最大值为故整数综上：a a <6.已知函f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）分析：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立，∴，∴e x ﹣lna +x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1，∴e x ﹣lna +x ﹣lna ＞e ln （x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ．∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2，∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）．故选：B ．注释：也可以这样变形()()()()1ln ln ln 1ln 0-+=->+->+⇔>x a a ax ae a ax a a e xf xx即()()11ln ln 11ln ln -+->-+⇒-->-⇒x x a x ae x a a e xx ()()()1ln ,11ln ln ->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+=-+->+x f a e f x x x f x x a e a e x xx 构造函数，，显然()()↑+∞上在,0x f11-<⇒->∴x e a x a e xx ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）巩固提升一、单选题1．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e x f x +>的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()1e xf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1exf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -< D ．()()2e 39ef f -> 【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39e f f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(),1-∞ C ．()()1,22,3⋃ D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题目特征构造函数()(2)()g x x f x =-，先根据()f x 的对称性得到()g x 的图象关于(2,0)对称且()31g =，根据()g x 的单调性解不等式得到解集，再根据【详解】根据题意，设()(2)()g x x f x =-，则()()111g f =-=-，则有(2)(2)g x xf x +=+，(2)(2)g x xf x -=--，即有(2)(2)g x g x +=--，故函数()g x 的图象关于(2,0)对称，则有()()311g g =-=，当2x >时，()(2)()g x x f x =-，()(2)()()g x x f x f x '=-'+，又由当2x >时，()()2()xf x f x f x ''+>，即当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在区间(2,)+∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x -<，即()()13g x g <=，23x ∴<<，函数()g x 的图象关于(2,0)对称，∴函数()g x 在区间(,2)-∞为增函数，且()0g x <在(,2)-∞上恒成立，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x ->，即()1g x >，此时x 不存在. 综上：不等式解集为(2,3). 故选：A 【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式 4．函数()f x 的导函数为fx ，对x ∀∈R ，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解集是（）A ．0,1B ．()ln 4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,ln 4【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()2=x f x g x e，利用导数可判断()g x 的单调性，再根据()ln 42f =，求得()ln 41g =，再根据不等式()()()()21ln 4xg x g f x e g x >>>⇔⇔，结合函数的单调性，即可求出结果．【详解】∴x ∀∈R ，都有()()2f x f x '>成立，∴()()102f x f x -'>，令()()2=xf xg x e，则于是有()()()()'22120x xf x f x f xg x e e -⎛⎫ ⎪==> ⎪''⎝⎭，所以()g x 在R 上单调递增， ∴()ln 42f =，∴()ln 41g =，∴不等式()()()()21ln 4xg x g f x e g x >>>⇔⇔， ∴ln 4x >，即不等式()2xf x e >的解集是()ln 4,+∞. 故选：B ．5．已知函数()f x 对于任意的()0,x π∈满足()()32cos xf x f x x '-，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则下列各式正确的是（） A ．3264f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．343f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．4343f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令()()0f x F x x x =≠，，结合题意可得232cos ()xF x -'=，利用导数讨论函数 ()F x 的单调性，进而得出()()()643F F F πππ<<，变形即可得出结果.【详解】令()()0f x F x x x=≠，，则2()()()xf x f x F x x ''-=，又()()32cos xf x f x x '-=-，所以()()232cos 0,πxF x x x -=∈'，，令()0π6F x x π'>⇒<<，令()006F x x π<⇒<<'，所以函数()F x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,π6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()()()643F F F πππ<<，即()()()634643f f f ππππππ<<，则2343,2464363f ff f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫><< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 故选：C6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>.若12x x <，则（）A ．()()1221x xe f x e f x > B ．()()1221x xe f x e f x <C ．()()1221x xe f x e f x =D ．()12x e f x 与()21xe f x 的大小关系不确定【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()xf x F x e=，利用导数判断函数()F x 的单调性，从而即可比较函数值的大小关系. 【详解】解：因为()()f x f x '>，所以()()0f x f x '->，构造函数()()xf x F x e =，则()()()()()()20x xxx f x e f x e f x f x F x e e ''⋅-⋅-'==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，又12x x <，所以()()12F x F x <，即()()1212x x f x f x e e<，所以()()1221x xe f x e f x >，故选：A.7．已知ππln π,,ln 8e 8a b c ===,,a b c 的大小关系是（） A ．b a c <，则212eln ()ln e e x x h x x x x-'=-=令()2eln (0)p x x x x =->，则2e 2e ()1xp x x x-'=-= 当02e x <<时，()0p x '>，()p x 单调递增，当2e x >时，()0p x '<，()p x 单调递减，()p x 在=2e x 取得最大值，又(e)2eln e e=e>0p =-，22222(e )2e ln e e =3e 0p =-> 则当2e e x <<时，()0p x >，2eln ()0e x x h x x -'=>，21()ln eh x x x =-单调递增则22πe (π)ln π(e)=ln e 0e e h h =->-=，即2πln πe>，则πln πe>a b > 综上，实数,,a b c 的大小关系是b a c << 故选：A8．设函数()f x '是偶函数()f x （x ∈R ）的导函数，()10f -=，当0x <时，()()0xf x f x -<'，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】令()()f xg x x =，则()()()2xf x f x g x x -=''， ∴()()0xf x f x -<'，∴()0g x '<，∴()g x 在(),0∞-上为减函数，又∴()()g x g x -=-，∴函数()g x 为定义域上的奇函数，()g x 在()0,+∞上为减函数. 又∴()10g -=，∴()10g =， ∴不等式()()00f x x g x <⇔⋅<， ∴0x >，()0g x <或0x <，()0g x >， ∴1x >，或1x <-，∴()0f x <成立的x 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞，故选：D9．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x '++≥.若不等式()()221331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】通过构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.【详解】构造函数()()2F x f x x x =++，当0x ≥时，()()()''210,F x f x x F x =++≥递增，由于()()2f x f x x =--，所以()()()()22f x x x f x x x ++=-+-+-，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，所以当0x <时，()F x 递减.不等式()()221331f x x x f x +++>+等价于：()()()()()()22212121111f x x x f x x x +++++>+++++，即()()211F x F x +>+，所以211x x +>+，两边平方并化简得()320x x +>，解得23x <-或0x >，所以不等式()()221331f x x x f x +++>+的解集为()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D10．已知定义在R 上的偶函数()f x （函数()f x 的导函数为()'f x ）满足()1102f x f x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，3e (2021)1f =，若()'()f x f x >-，则关于x 的不等式1(2)ex f x +>的解集为（）A ．(3),-∞B ．(3,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】首先判断()f x 的周期性，利用构造函数法，结合导数来求得不等式1(2)e xf x +>的解集. 【详解】依题意()()1110,122f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-++=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 为偶函数，()()13321222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=++=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1111222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-++=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.3e (2021)1f =，333e (2021)e (6732)e (2)1f f f =+==，由于()f x 为偶函数，所以()()()'''(),()0f x f x f x f x f x >-=-+>，构造函数()()()()()''e ,e 0x xF x f x F x f x f x ⎡⎤=⋅=+⋅>⎣⎦，()F x 在(),-∞+∞上递增，不等式1(2)ex f x +>，()()325e (2)1,e (2)e 2,e (2)e 5x x x f x f x f f x f ++>+>+>， ()()25F x F +>，25,3x x +>>.所以不等式1(2)e xf x +>的解集为(3,)+∞. 故选：B 二、填空题11．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为________________ . 【答案】,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.证明出()g x 为奇函数且为减函数. 吧()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即可解出.【详解】记函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ()()cos()f xg x x --=-.因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--==-=--，所以()g x 为奇函数. 则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=.当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 为减函数.又()g x 为奇函数，所以()g x 的图像关于原点对称，所以，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上()g x 为减函数.关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()()4g x g π<，所以42x ππ<<.故答案为：,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x --=；其导函数为fx .若0x >时，()2f x x '<，则不等式()()221321f x f x x x -->+-的解集是__________.【答案】1(1,)3-【解析】【分析】题设不等式可化为22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---，构造2()y f x x =-，结合条件判断y 的区间单调性及奇偶性，进而利用其奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由()()221321f x f x x x -->+-可得：22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---，令2()y f x x =-，又()2f x x '<，即()20f x x '-<，所以y 在(0,)+∞上为减函数，因为()()f x f x =-，易知()f x 为偶函数，所以22()()()f x x f x x ---=-，故y 也为偶函数，所以y 在(,0)-∞上为增函数，综上，|2||1|x x <-，解得113x -<<，故不等式解集为1(1,)3-.故答案为：1(1,)3-【点睛】关键点点睛：根据题设条件，将问题转化为利用2()y f x x =-的单调性、奇偶性求解集. 13．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()20f =，对()0,x ∀∈+∞，()()0f x xf x '+>成立，则()()10x f x -≥的解集为_________．【答案】(][][),20,12,-∞-+∞【解析】【分析】根据题意可以设()()()0F x xf x x =>，求其导数可知在()0,+∞上的单调性，由()f x 是R 上的奇函数，可知()F x 的奇偶性，进而可知()F x 在(),0-∞上的单调性，由()20f =可知()F x 的零点，最后分类讨论即可. 【详解】设()()F x xf x =，则对()0,x ∀∈+∞，()()()0F x f x xf x ''=+>，则()F x 在()0,+∞上为单调递增函数，∴函数()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴()()()()()F x x f x xf x F x -=--==，∴()F x 为偶函数，∴()F x 在(),0-∞上为单调递减函数，又∴()20f =，∴()()220F F -==，由已知得()00F =，所以当2x <-时，()()0,0F x f x ><；当20x -<<时，()()0,0F x f x <>；当02x <<时，()()0,0F x f x <<；当2x >时，()()0,0F x f x >>；若()()10x f x -=，则0,1,2,2x =-；若()()10x f x ->，则()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩，解得2x >或2x <-或01x <<；则()()10x f x -≥的解集为(][][),20,12,-∞-+∞.故答案为：(][][),20,12,-∞-+∞.14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x ∈R ，()()0f x f x '-<，若()22e f =，()e t f t <，则t 的取值范围是___________. 【答案】()2,+∞ 【解析】【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，将所求不等式变形为()()2g t g <，结合函数()g x 的单调性可得解. 【详解】构造函数()()x f x g x =e ，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，故函数()g x 在R 上单调递减，由已知可得()()2221ef g ==，由()e tf t <可得()()()12e t f tg t g =<=，可得2t >.故答案为：()2,+∞.15．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意实数x 都有()()2e xf x f x -=.当0x <时，()()0f x f x '+<，若()()2e 311a f a f a -≥-，则a 的取值范围是______.【答案】0a ≤或12a ≥ 【解析】【分析】令()()x g x e f x =，可知当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递减；根据()()2xf x f x e -=得到()()g x g x -=，知()g x 为偶函数，将所求不等式转化为()()311g a g a -≥-，由单调性可得311a a -≥-，解不等式可求得结果. 【详解】当0x <时，()()0f x f x '+<，∴当0x <时，()()()0xx e f x e f x f x ''⎡⎤⎡⎤=+<⎣⎦⎣⎦；令()()xg x e f x =，则()g x 在(),0∞-上单调递减；()()2x f x f x e -=，()()x x e f x e f x -∴-=，即()()g x g x -=， ()g x ∴为R 上的偶函数，∴()g x 在()0,∞+上单调递增；()f x 是R 上的可导函数，()f x ∴在R 上连续，()g x ∴在R 上连续；由()()2311a e f a f a -≥-得：()()311311a a e f a e f a ---≥-，即()()311g a g a -≥-，311a a ∴-≥-，解得：0a ≤或12a ≥. 故答案为：0a ≤或12a ≥. 16．已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意的x ∈R 都有()4f x x '>，则当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα+>的解集为_________．【答案】5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()221g x f x x =-+，利用导数求出单调性，不等式可化为()1sin 2g g α⎛⎫ ⎪>⎝⎭，即可求解.【详解】设()()221g x f x x =-+，则()()40g x f x x ''=->，所以函数()g x 在R 上为增函数.2111210222g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()2sin sin 2sin 1sin cos20g f f ααααα∴=-+=+>，即()1sin 2g g α⎛⎫⎪>⎝⎭，得1sin 2α>，又02απ≤≤，566ππα∴<<，所以不等式()sin cos20f αα+>的解集为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

【2021年高考数学压轴题】专题01 同构函数型

2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练专题01同构函数型[高考真题]1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若2233xyxy ---<-，则（）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将已知2233x y xy ---<-按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.【解析】由2233x y xy ---<-移项变形为2323x x y y---<-设()23xxf x -=-易知()f x 是定义在R 上的增函数，故由2323x xy y ---<-，可得x y <，所以011,y x y x ->⇒-+>从而ln(1)0y x -+>，故选A ．2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若242log 42log aba b +=+，则（）A.2a b >B.2a b< C.2a b > D.2a b <【答案】B【分析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21bbb b b b b b +=+=+=+-∴2222log 2log 21aba b +==+-设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21bbb b b b b b +=+=+=+-∴2222log 2log 21aba b +=+-，故2222log 2log 2a b a b+<+设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误.故选B.【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值.[强化训练]1.（2012·全国联赛）如果5533cos sin 7(cos sin )θθθθ-<-，[0,2)θπ∈，则θ的取值范围是______________.【答案】5(,44ππ2.（2012·辽宁竞赛）不等式3381050(1)1x x x x +-->++的解集是______________.【解析】原不等式可化为：33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭构造函数3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>，()f x 在R 上单增所以21x x >+，解之得21x x <-<<或-1所以原不等式解集是{}21x x x <-<<或-1.3.（2020·南通五月模拟·14）已知[)0,2θπ∈，若关于k 的不等式()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为．【答案】0,4π⎡⎤⎢⎣⎦【分析】本题的实质是含参数θ（这里当然是sin θ、cos θ）的不等式恒成立问题，应抓住()33sin cos k θθ≤-的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.()33sin coskθθ≤-想“对称结构”，将它变形为：33sin cosk kθθ-≥，设3()f x kx=-2()3f x kx'=-易知当(],2k∈-∞-时，2()30f x kx'=-，故()f x在[)0,+∞单减，所以sin cossin0cos0θθθθ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解之得：04πθ≤≤所以θ的取值范围0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4.（2019·南师附中期中·14）已知函数()33x xf x-=-，3313(12log)(3log1)logf t f t t-+-≥，则t的取值范围是．【答案】[1,)+∞【分析】这里可以发现13333log log(2log1)(3log1)t t t t=-=---,将3313(12log)(3log1)logf t f t t-+-≥移项变形为3333(3log1)(3log1)(2log1)(12log)t tf t f t-+-≥+--，易知()33x xf x-=-是奇函数，33(12log)(2log1)tf t f--=+，故进一步变形为3333(3log1)(3log1)(2log1)(2log1)f t t f t t-+-≥-+-，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令()()F x f x x=+，问题转化为33(3log1)(2log1)t tF F-≥-，只需研究()()F x f x x=+的单调性，逆用该函数的单调性即可.【解析】∵13333log log(12log)(3log1)t t t t=-=----∴3313(12log)(3log1)logf t f t t-+-≥可变形为：3333(3log1)(3log1)(2log1)(12log)t tf t f t-+-≥---∵()33x xf x-=-是奇函数∴33(12log )(2log 1)tf t f --=-∴3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-令()()33xxF x f x x x -=+=-+，则()ln 33ln 3310x x F x -'=⋅+⋅+>∴()F x 单增∴333log 12log 1tt-≥-，即3log 0t≥，解之得1t ≥所以t 的取值范围是[1,)+∞．5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242a b a b b --=--，则a ＋b 的值为_______．【答案】2【分析】将2244242a b a b b --=--化为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b 的值.【解析】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，设()22xf x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数1x ，2x 满足131xx e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令222ln 2,t x t x e+-==，得到3t te e =，研究函数()xf x xe =的单调性，求出1,x t 关系，即可求解.解法一：实数1x ，2x 满足131xx e e =，()522ln 2x x e -=，2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而31()()f x f t e ==，5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.解析二：对131x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，对()522ln 2x x e -=两边取自然对数得：()22ln ln ln 25x x +-=（※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：()()22ln 2ln ln 23x x -+-=设()ln f x x x =+，则1()10f x x'=+>所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.∴12ln 2x x =-，∴()51222ln 2x x x x e=-=【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.7.设方程24x x +=的根为m ，设方程2log 4x x +=的根为n ，则m n +=.【答案】48.已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是.【解析】由题意知a 3－3a 2＋5a －3＝－2，b 3－3b 2＋5b －3＝2，设f (x )＝x 3－3x 2＋5x －3，则f (a )＝－2，f (b )＝2.因为f (x )图象的对称中心为(1,0)，所以a ＋b ＝2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x )y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 其对称中心为(x 0，f (x 0))，其中f ″(x 0)＝0.9.(宿迁·2018·期中)不等式x x x x x x 63242-+2+≤-+2++2()()的解集是.【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有x x +2()、两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：x x x x x x 64232-+≤+2-+2++2()()()，构造函数f x x x x 32=-+()，题目转化为求解f x f x 2≤+2()()的问题.因为f x x x 2'=3-2+1()，易知f x x x 2'=3-2+1>0()恒成立，故f x ()为R 上的单调增函数，所以由f x f x 2≤+2()()立得：x x 2≤+2，解之得x -1≤≤2.【方法点拨】1.一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1);2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入.。

2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练《专题05 形如f(x)e^x+g(x)型》

h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.
【解析】 f (x) 1 x3 1等价于 (1 x3 ax2 x 1)ex 1 .
2
2
设函数 g(x) (1 x3 ax2 x 1)ex (x 0) ，则 2
g(x) ( 1 x3 ax2 x 1 3 x2 2ax 1)e x 1 x[x2 (2a 3)x 4a 2]ex
2
2
2
1 x(x 2a 1)(x 2)ex . 2
（i）若2a+1≤0，即 a 1 ，则当x∈（0，2）时， g(x) >0.所以g（x）在（0，2）单调 2
递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即 1 a 1 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，
2.已知 x＋ex ≥t 对一切正实数 x 恒成立，则实数 t 的最大值为________． 2x＋1
【答案】 1
【解析】因为 ex≥x＋1,所以 x＋ex ≥x＋x＋1＝1.则 t≤1,所以 t 的最大值为 1. 2x＋1 2x＋1
3.已知函数 f(x)＝ex－1－x－ax2，当 x≥0 时,f(x)≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
＝(1－e－x)·(ex－2a),故当 x∈(0,ln2a)时,f′(x)＜0,而 f(0)＝0,于是当 x∈(0,ln2a)时,f(x)＜0,不
合题意．
－∞，1
综上所述,实数 a 的取值范围为
2.
【解析二】因为 ex≥x＋1,所以当 a≤0 时,ex≥ax2＋x＋1 恒成立,故只需讨论 a＞0 的情形．令 F(x)

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专题01 同构函数型[高考真题]1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -< 【答案】A【分析】将已知2233x y x y ---<-按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性. 【解析】由2233x y x y ---<-移项变形为2323x x y y ---<- 设()23x x f x -=-易知()f x 是定义在R 上的增函数，故由2323x x y y ---<-，可得x y <，所以011,y x y x ->⇒-+> 从而ln(1)0y x -+>，故选A ． 2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若242log 42log a b a b +=+，则（） A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D.2a b <【答案】B【分析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b bb b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a ba b +==+-设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b bb b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b a b +=+-，故2222log 2log 2a ba b +<+设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log bb b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选B.【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值. [强化训练]1.（2012·全国联赛）如果5533cos sin 7(cos sin )θθθθ-<-，[0,2)θπ∈，则θ的取值范围是______________. 【答案】5(,)44ππ2.（2012·辽宁竞赛）不等式3381050(1)1x x x x +-->++的解集是______________.【解析】原不等式可化为：33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭构造函数3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>，()f x 在R 上单增所以21x x >+，解之得21x x <-<<或-1 所以原不等式解集是{}21x x x <-<<或-1.3.（2020·南通五月模拟·14）已知[)0,2θπ∈，若关于k 的不等式()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为．【答案】0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】本题的实质是含参数θ（这里当然是sin θ、cos θ）的不等式恒成立问题，()33sin cos k θθ≤-的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.【解析】看到()33sin cos k θθ-想“对称结构”，将它变形为：33sin cos k k θθ设3()f x kx =-2()3f x kx '=易知当(],2k ∈-∞-时，2()30f x kx '=<，故()f x 在[)0,+∞单减，所以sin cos sin 0cos 0θθθθ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解之得：04πθ≤≤ 所以θ的取值范围0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4.（2019·南师附中期中·14）已知函数，，则t 的取值范围是．【答案】[1,)+∞【分析】这里可以发现13333log log (2log 1)(3log 1)t t t t =-=---,将移项变形为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥+--，易知是奇函数，33(12log )(2log 1)t f t f --=+，故进一步变形为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-，此时,得到一个()33x x f x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t-+-≥()33x xf x -=-“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令()()F x f x x =+，问题转化为33(3log 1)(2log 1)t t F F -≥-，只需研究()()F x f x x =+的单调性，逆用该函数的单调性即可.【解析】∵13333log log (12log )(3log 1)t t t t =-=----∴可变形为：3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥--- ∵是奇函数 ∴33(12log )(2log 1)t f t f --=-∴3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+- 令()()33x x F x f x x x -=+=-+，则()ln 33ln 3310x x F x -'=⋅+⋅+> ∴()F x 单增∴333log 12log 1t t -≥-，即3log 0t ≥，解之得1t ≥ 所以t 的取值范围是[1,)+∞．5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242ab a b b --=--，则a ＋b 的值为_______．【答案】2【分析】将2244242a b a b b --=--化为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b的值.【解析】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x x f x -=-设()22xf x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令222ln 2,t x t x e +-==，得到3t te e =，研究函数()x f x xe =的单调性，求出1,x t 关系，即可求解.解法一：实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而31()()f x f t e ==，5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.解析二：对131x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，对()522ln 2x x e -=两边取自然对数得：()22ln ln ln 25x x +-= （※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：()()22ln 2ln ln 23x x -+-=设()ln f x x x =+，则1()10f x x'=+>所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.∴12ln 2x x =-， ∴()51222ln 2x x x x e =-=【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.7.设方程24x x +=的根为m ，设方程2log 4x x +=的根为n ，则m n += . 【答案】48.已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是 . 【解析】由题意知a 3－3a 2＋5a －3＝－2，b 3－3b 2＋5b －3＝2，设f (x )＝x 3－3x 2＋5x －3，则f (a )＝－2，f (b )＝2. 因为f (x )图象的对称中心为(1,0)，所以a ＋b ＝2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x )y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 其对称中心为(x 0，f (x 0))，其中f ″(x 0)＝0. 9.(宿迁·2018·期中)不等式x x x x x x 63242-+2+≤-+2++2()()的解集是 .【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有x x +2()、两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：x x x x x x 64232-+≤+2-+2++2()()()，构造函数f x x x x 32=-+()，题目转化为求解f x f x 2≤+2()()的问题. 因为f x x x 2'=3-2+1()，易知f x x x 2'=3-2+1>0()恒成立，故f x ()为R 上的单调增函数，所以由f x f x 2≤+2()()立得：x x 2≤+2，解之得x -1≤≤2.【方法点拨】1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1);2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入.。