高考数学(理)培优练习-二项分布及其应用(含2019高考原题)

[基础题组练]

1．小明同学喜欢打篮球，假设他每一次投篮投中的概率为2

3，则小明投篮四次，恰好两

次投中的概率是( )

A.481

B.881

C.427

D.827

解析：选D.假设小明每一次投篮投中的概率为2

3，满足X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，投篮四次，恰好两次投中的概率

P ＝C 24

⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132

＝827

.故选D.

2．(2019·石家庄摸底考试)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出

现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )

A.1

10 B.15 C.25

D.12

解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝25

，故选C.

3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )

A.14

B.89

C.116

D.532

解析：选D.两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝⎛⎭⎫262

＝8

9；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1，2)或(2，1)或(2，2)，概率为13×16×2＋16×16＝5

36.故所求条件概率为5

3689

＝532

.

4．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：

在30天以上的概率为( )

A.1316

B.2764

C.2532

D.2732

解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为150200＝34

，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342

×14＋⎝⎛⎭⎫343＝27

32

. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )

A ．0.7

B ．0.6

C ．0.4

D ．0.3

解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所

以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1

－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.

6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．

解析：该同学通过测试的概率P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63

＝0.432＋0.216＝0.648.

答案：0.648

7．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是________．

解析：由题意知，P (AB )＝1020×510＝1

4，P (B )＝5＋420＝920

，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）

＝1

4920

＝5

9.

答案：14，59

8．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．

解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.

答案：0.09

9．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14

.

(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14

， P (X ＝1)＝1

2×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝1

24.

所以，随机变量X 的分布列为

(2)概率为

P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148

. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11

48

.

10．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality