第三章(王)资料

第3章 随机信号分析3.1 本章重点3.1.1 引言本章主要介绍随机过程的基本概念、几种常见随机过程以及随机过程通过线性系统的分析方法等。

3.1.2概率论的基本概念1．随机变量随机事件：在随机实验E 中，每种可能结果的一个集合。

随机变量：对于一个样本空间}{e S =，若每一个S e ∈，都有一个实数)(e ξ与之对应，则这个定义在S 上的单值实值函数)(e ξ称为随机变量。

2． 随机变量的统计特性 （1） 离散型随机变量 分布函数：∑∑≤≤===≤=xx ixx ii i x P x P x P x F )(}{}{)(ξξ （3.1）（2） 连续型随机变量 分布函数：⎰∞-=≤=xdu u f x P x F )(}{)(ξ，∞<<-∞x （3.2）概率密度函数： )()(x F x f '= （3.3） 3. 随机变量的数字特征 （1） 均值（数学期望）E离散型随机变量：∑==ni i i P x E 1][ξ （3.4）连续型随机变量：⎰∞∞-=dx x xf E )(][ξ （3.5）（2） 方差][ξD离散型随机变量：∑=-=-=ni i i p E x E E D 122)]([)]([][ξξξξ （3.6）连续型随机变量：⎰∞∞--=-=dx x f E x E E D )()]([)]([][22ξξξξ （3.7）（3） 协方差12121211221212()[][][][()][()](,)B E E E x E x E f x x dx dx ξξξξξξεε∞∞-∞-∞=⋅-⋅=--⎰⎰， （3.8）（4） 相关函数][),(2121ξξξξ，E R = （3.9）3.1.3随机过程的基本概念1． 随机过程的定义：设E 是随机试验，每一次试验都得到一个时间波形（称为样本函数或实现），记作)(t x i ，所有可能出现的结果的总体})()()({21 ，，，，t x t x t x n 就构成一个随机过程，记作)(t ξ。

简而言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

2． 随机过程的统计特性 n 维分布函数： })()()({)(22112121n n n n n x t x t x t P t t t x x x F ≤≤≤=ξξξ，，，，，；，，， （3.10） 概率密度函数：)()(2121212121n n n nn n n n t t t x x x f x x x t t t x x x F ，，，；，，，，，；，，， =∂∂∂∂（3.11）3． 随机过程的数字特征(1) 数学期望⎰∞∞-==dx t x xf t E t a )()]([)(1，ξ （3.12）(2) 方差2122222)]([)()]([)]([})]()({[)]([)(t a dx t x f x t a t E t a t E t D t -=-=-==⎰∞∞-，ξξξσ （3.13）(3) 协方差和相关函数⎰⎰∞∞-∞∞---=-=--=212121222112121221121)()]()][([)()()]()([)]}()()][()({[)(dx dx t t x x f t a x t a x t a t a t t E t a t t a t E t t B ，；，，ξξξξ （3.14）⎰⎰∞∞-∞∞-==2121212212121)()]()([)(dx dx t t x x f x x t t E t t R ，；，，ξξ （3.15）(4) 互协方差函数和互相关函数互协方差函数)]}()()][()({[)(221121t a t t a t E t t B ηξξηηξ--=， （3.16）互相关函数)]()([)(2121t t E t t R ηξξη=， （3.17）3.1.4 平稳随机过程1．平稳随机过程的定义（1）狭义平稳：随机过程的n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即)()(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x f t t t x x x f ，，，；，，，，，，；，，， （3.18）一维分布和t 无关 )()(11111x f t x f =，二维分布只与τ有关 )()(2121212τ；，，；，x x f t t x x f =（2）广义平稳：随机过程的数学期望及方差为常数，而自相关函数仅与时间间隔τ有关。

2．平稳随机过程的各态历经性（遍历性）平稳随机过程的数学期望（统计平均值）可以由任意一个实现的时间平均值来代替。

即⎪⎩⎪⎨⎧===)()(22ττσσR R a a （3.19） 3.1.5 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。

其一，平稳随机过程的数字特征可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。

1．相关函数的性质设)(t ξ为平稳随机过程，则它的自相关函数)]()([)(τξξτ+=t t E R （3.20） 具有下列主要性质：（1） ])([)]([)0(2的平均功率t S t E R ξξ== （3.21） （2） ])([)]([)(2的直流功率t t E R ξξ=∞ （3.22）)]([)]([)]([)]()([lim )(lim 2t E t E t E t t E R ξτξξτξξτττ=+⋅=+=∞→∞→（3） ][)()(的偶函数τττ-=R R （3.23） （4） ])([)0()(的上界ττR R R ≤ （3.24）（5） ])([)()0(2的交流功率方差，t R R ξσ=∞- （3.25）2．平稳随机过程的功率谱密度及其与相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度应看作是每一个可能实现的功率谱的统计平均，即TF E P E P T T f ])([lim)]([)(2ωωωξ∞→== （3.26）经过理论推导，)(t ξ的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅立叶变换关系，即)()(ωτξP R ↔ （3.27）3.1.6 高斯过程1．定义若随机过程)(t ξ的任意n 维)21( ，，=n 分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。

2．性质（1）高斯过程的n 维分布完全由n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定；（2）如果高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的；（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么这些取值也是统计独立的； （4）高斯过程经过线性变换（或经过线性系统）后的过程仍是高斯过程。

3． 一维高斯随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222)(exp 21)(σσπa x x f （3.28）式中，a 为高斯随机变量的数学期望，2σ为方差。

)(x f 的曲线如图3.1所示，它具有下面几项特性。

（1）)(x f 对称于a x =这条直线；（2）)(x f 在),(a ∞-内单调上升，在),(∞a 内单调下降，且在点a 处达到最大值⎪⎪⎭⎫⎝⎛σπ21，在-∞→x 或+∞→x 时，0)(→x f ； 图3.1 一维概率密度函数（3） 1)(=⎰∞∞-dx x f （3.29）且有21)()(==⎰⎰∞∞-aadx x f dx x f （3.30） （4）a 表示分布中心，σ表示集中程度。

对不同的a （固定σ），表现为)(x f 的图形左右平移；对不同的σ（固定a ），)(x f 的图形将随着σ的减小而变高和变窄；（5）当0=a ，1=σ时，称)(x f 为标准正态分布的密度函数，这时有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2exp 21)(2x x f π （3.31）4．几种特殊函数（1）正态分布函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σa x x F )( （3.32）（2）概率积分函数： ⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φx dt t x 2exp 21)(2π （3.33）（3）误差函数：2()2(2)1x t erf x e dt x π-==Φ-⎰（3.34）（4）互补误差函数：2()1()22(2)t xerfc x erf x e dt x π∞-=-==-Φ⎰（3.35）3.1.7 窄带随机过程1．窄带随机过程的概念窄带波形的定义可用它的频谱图3.2来说明。

(1) 频域：c f f <<∆(2) 时域：包络和相位缓慢变化图3.2 窄带过程的频谱和波形2．表示方法可表示为： 0)()](cos[)()(≥+=t a t t t a t c ξξξϕωξ， （3.36） 也可表示为：t t t t t c s c c ωξωξξsin )(cos )()(-= （3.37） 其中，)(cos )()(t t a t c ξξϕξ=为()t ξ的同相分量，)(sin )()(t t a t s ξξϕξ=为()t ξ的正交分量。

3. 同相分量和正交分量的统计特性对于一个均值为零，方差为2ξσ窄带平稳高斯过程：（1）它的同相分量)(t c ξ和正交分量)(t s ξ也是零均值的平稳高斯过程，而且方差相同，在同一时刻得到)(t c ξ和)(t s ξ不相关或统计独立；（2）包络)(t a ξ的一维分布是瑞利分布，相位)(t ξϕ的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，)(t a ξ与)(t ξϕ是统计独立的。

3.1.8 正弦波加窄带随机过程)](cos[)(sin )(cos )(sin )](sin [cos )](cos [)()cos(cos )(t t t z t t z t t z t t n A t t n A t n t A t r c c s c c c s c c c ϕωωωωθωθθω+=-=+-+=++= （3.38） 式中)(cos )(t n A t z c c +=θ （3.39） )(sin )(t n A t z s s +=θ （3.40） 1． 在 ()()cos ()sin c c s c r t z t t z t t ωω=-中，当θ给定时，()c z t ,()s z t 是平稳高斯过程，均值不为零，而且方差相同，在同一时刻得到的()c z t ,()s z t 统计独立。

2． 在()()cos[()]c r t z t t t ωϕ=+ 中0)()()(22≥+=z t z t z t z s c ，（3.41） πϕϕ20)()(arctan )(≤≤=，t z t z t c s （3.42）3.1.9 随机过程通过线性系统 ⎰∞-=i o )()()(ττξτξd t h t （3.43）1． 输出过程)(0t ξ的数学期望)0()]([o H a t E ⋅=ξ （3.44）2． 输出过程)(0t ξ的自相关函数)()]()()()(o 0i 11o τβαβατβατR d d R h h t t R =-+=+⎰⎰∞∞， （3.45）由以上两式可得：若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。