人教版高中数学必修二第二章《点线面位置关系》教案
2高中数学必修2精品教案：2 点、直线、平面之间的位置关系 教案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2)一、知识结构1．2．空间中平行、垂直间的转化关系二、学习目标1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
等角定理 。
2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。
判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。
3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
三、课时安排全章约需10+2课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时小结----------------------------------1课时四、教学建议2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。
学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。
2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。
3．了解作为以后推理依据的三个公理。
教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。
要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。
文字语言——对图像的描述、解释与讨论。
符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。
人教A版高中数学必修2《 二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质》教案_12
平面与平面平行的性质教学设计一、教材分析：本节内容是人教版新教材必修二高一数学第二章第二节的第4课时。
平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、学情分析：本节内容是在学生已经学习了平行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。
三、教学目标：1、知识与技能（1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
（2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。
2、情感态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）通过证明问题，树立创新意识。
四、教学重、难点：1、重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。
2、难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。
五、教学过程：教学内容设计教学意图一、复习回顾：1. 直线与平面平行的判定定理 α∥∥ααa b a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄a即直线a 不在平面α内，若存在α内一条直线b 与直线a 平行，则直线a 与平面α平行。
线线平行→线面平行2. 平面与平面平行的判定定理β∥αα∥α∥ββ⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a b a P b a即a 、b 为平面β内两相交直线，若a 、b 分别平行于平面α，则平面α平行于平面β。
线面平行→面面平行3. 直线与平面平行的性质定理b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂b a 直线a 与平面α平行，则过a 的任一平面β和α平面的交线b ，与这条直线a 平行。
线面平行→线线平行思考：线线平行→线面平行（判定定理） 线线平行←线面平行（性质定理） 已知复习线面平行、面面平行的判定定理，强调线线平行→线面平行→面面平行的推理思路，为后续证明做铺垫。
最新人教版高中数学必修2第二章《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案(第3课时)
第二章第一节空间点、直线、平面之间的位置关系第三课时第1课时设计理念高中立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标．在处理方式上，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式．注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证．另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程．教学内容分析本教学设计的内容是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书，数学必修②第二章§2.1.2“空间中直线与直线之间的位置关系”第一课时的内容．本节课主要学习两个内容：①平行关系的传递性；②异面直线的概念．本节教科书在内容的处理上，按照“直观感知——操作确认——思辨论证”的认识过程展开．先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念、公理4.通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线的位置关系，平行关系的传递性，学会准确地使用公理4解决一些简单的推理论证及应用问题．本节课主要是在学生已有同一平面内两条直线有两种位置关系的基础上，从教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线以及天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线这两例出发，引出了异面直线的概念．平行的传递性是一种非常重要的关系，它不仅应用多，而且是学习直线与平面位置关系的基础．进一步说明可以利用公理4来判定直线与平面平行，由此来引发探索这一节内容的需要．学生学习情况分析1．知识掌握上：高一的学生对立体几何的那种抽象和对概念的理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识的遗忘，所以应全面系统地加以引导．2．学生学习本节课的知识障碍：学生对异面直线的概念和公理4不易理解，容易造成画图中立体感体现的不够，空间想象力较差等现象，所以在教学过程中教师应加以利用身边的事物，深入浅出地分析．3．由于高一学生的理解力、思维特征和生理特征，有自己的见解，又不喜欢太张扬自己，所以在教学中应抓住学生这一心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性．4．心理上：学生对数学课的兴趣，老师应抓住这一有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性．教学目标1．知识与技能掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，理解公理4并能应用它证明简单的几何题．2．过程与方法通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律．3．情感态度与价值观通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力．感悟数学的奇异美、简洁美、和谐美，培养学生的美学意识．4．教学重点和难点教学重点：(1)异面直线的概念；(2)公理4及其应用．难点：异面直线的概念及公理4的应用．：平行于同一条直线的两条直线平行，如图，空间四边形ABCD，BC，CD，EFGH是平行四边形．3.异面直线的画法为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．(1)如图是一个正方体的展开图，如果将它画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：①平行直线，②相交直线，③异面直线；空间四边形ABCD(A、B、CM为AD上的点，F、§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)1．平行关系公理4例2例2变式题2．空间中两直线的位置关系设计说明1．对例2的处理及它的变式题．例2是公理4的一个转化，空间问题转化为平面问题．先让学生审题，弄清楚题设和结论，思考证明方法，师生共同分析，寻找证题的方法．用几何画板拖动图形，观察四边形EFGH 的变化，引入变式题．通过例题及变式，达到应用公理4，巩固公理4的目的．2．异面直线的画法用几何画板，通过两条直线的运动操作演示，探究异面直线的画法，合情推理，得出结论，人人动手，互相帮助，合作交流，以达到画异面直线的目的．3．识别异面直线课本本节探究用几何画板将同学们熟悉的正方体展开图制作成可动的图形，通过正方体——正方体展开图之间的重复操作演示过程，尝试探究，合情推理，增强印象．点评：本节课有两个主要内容：异面直线的概念，公理4及其应用．课标对必修2立体几何的教学要求是：“直观感知——操作确认——思辨论证”．本设计中，教师能遵循从具体到抽象的原则，引导学生通过对长方体图形的观察，思考，抽象出异面直线的概念，归纳出空间两条直线的位置关系．教学中，还可以罗列一些似是而非、容易混淆的对象让学生进行辨析，比如，不妨再问学生：空间两直线不平行，那么它们的位置关系是什么等，以加深对两条直线的位置关系的认识．对于初学者来说，立体几何入门的第一关是：学会在文字语言、符号语言、图形语言之间的相互翻译转化，其中画图是难点，也是重点．在本案例中，教师已注意到这一点：设计了一道作图练习题，让学生练习，它有利于培养学生的空间想象能力，训练学生正确地认识和描述空间图形，为后面的顺利学习奠定基础．。
人教A版高中数学必修2《二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系》教案_21
平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标：1、了解空间中平面与平面的两种位置关系；2、能够判断两个平面的位置关系；3、会用符号语言和图形语言表示平面和平面之间的位置关系。
二、教学重点、难点重点：平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体、长方体模型四、教学过程（一）复习回顾、导入课题1、空间中两条直线有几种位置关系？分别是什么？（1）相交；（2）平行；（3）异面2、直线与平面存在几种位置关系？分别是什么？（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点教师以生活中的实例以及课本P50的思考题为载体，提出：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P50 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P50 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业α β α β L1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第7、8题。
最新人教版高中数学必修2第二章“空间点、直线、平面之间的位置关系”教案
空间点、直线、平面之间的位置关系第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。
学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。
2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。
3．了解作为以后推理依据的三个公理。
教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。
要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。
文字语言——对图像的描述、解释与讨论。
符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。
在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。
课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。
注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。
2．两个重要模型四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。
建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。
3．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
作用：确定平面的依据。
课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：判定两个平面相交的依据，为画图提供理论——两个平面相交有一条交线；可用于判定点在直线上。
建议：适当进行不同角度的两个相交平面直观图画法的练习，提高学习兴趣，提高空间想象能力，为在空间图形中进行命题论证奠定基础——过画图关。
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系教学内容空间两条直线之间的位置关系，等角定理。
新课标人教A版高中数学必修二第二章第一节《空间点、线、面之间的位置关系》教案
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案一、课题2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系二、教学目标1、知识与技能①理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质②熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换③掌握三条公理，并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系2、过程与方法①通过三种语言的学习，培养学生分析问题的能力，作图能力以及空间想象能力②学生亲历两条公理归纳过程，学会利用已有的知识与经验归纳新的知识3、情感态度与价值观通过语言、符号、图形的转换，使学生体会到数学的乐趣，激发其学习数学的兴趣三、课型新授课四、课时第一课时五、教学重难点④重点：文字语言、图形语言、符号语言转换，运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系难点：文字语言、图形语言、符号语言转换六、教学过程1、新课引入师：图示是我们生活中常见的物体，观察图片，你能总结出它们的共同特点吗？（课桌面、黑板面、海平面）生：它们都是平面师：非常好，那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢？（设计意图：通过生活中的实际例子出发，提出问题，引发思考，导入新课）2、教授新课生：......师：几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的，但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分，不可度量。
师：下面请同学们做一道小练习：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象数学概念。
其中正确的说法是师：那么我们应该如何画平面呢？生：......师：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°.且横边长等于其邻边长的2倍，如图所示。
师：如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图所示。
师：同学们还要注意到，在表示平面时，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图所示；当然也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，即：平面α，平面ABCD，平面AC。
人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。
思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。
高中数学 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学教案
第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程（一）导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A ∉α,B∈α,则a ⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.（三）应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P 与直线BC的位置关系.图17解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q 、R 三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行,∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ，则P ∈l 1⊂α,P∈l 2⊂γ,∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.（四）知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC ，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD ，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.（五）拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.（六）课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.（七）作业课本习题2.1 A组5、6.§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
详解 5： 明确点和平面之间是属于和不属于 线和平面之间是含于和不含于 可以将点当做元素，直线和平面是点组成的，相当于一个集合
详解 6 在之前，我们已经完成了基础的学习，学生已经了解点线面三者的各种位置关
系，我们可以很自然的引出下一章：一些特殊常见的位置关系 平行和垂直
详解 7 如果在平面α内有直线 b 与平面α外一条直线 a 平行，那么 a 与平面α的位置
系中的几种
特殊位置关系而
已
。
4
4、同步例题：
1-思考辨析： （1）：俩个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直 线（×） （2）：俩俩相交的三条直线最多可以确定三个平面（√） （3）：如果俩个平面有三个公共点，则这俩个平面重合（×） （4）：若直线 a 不平行于平面α，且 a 不含于α，则α内的所有直线于 a 异面（×）
详解 详解 详解
详解 1： 可以通过教室的一些墙面以及黑板举例，通过现在流行曲面屏，球面等去对比
平面。再此过程中要让学生明白几何中的平面是无限延伸的，区别于生活中的有 限平面。
要让学生明白平面可以看成是点的集合，平面内有无数个点 紧接着就可以很顺畅的提问学生：一个确定的平面，平面内这无数个点有什么 共性吗？以此引出公理 1 和 2
详解 2： 平面可以看做是点构成的线构成的，让学生自主思考： 几个点可以组成一个有限确定平面 几条直线可以构成一个确定平面 构成一个确定平面的点或者线有什么条件（三个不在同一条直线上的点）
详解 3： 直线与直线的位置关系
可以通过六方体的螺母讲解三种位置关系
2
点线面位置关系讲解图如下：
详解 4： 帮助学生明确平面中和空间中平行线的传递性都可用 但 垂直传递不行
3、整体教学过程：
点线面三者位置关系 首先 讲解平面的概念、画法、表示 再者 讲解平面的构成等（公理 1、2） 其次 讲解点、直线、平面三者的位置关系 紧接 讲解空间中平行线的传递性 最后 讲解部分数学符号在该章节的运用
详解下见（1） 详解下见（2） 详解下见（3） 详解下见（4） 详解下见（5）
注：以上教学过程是帮助学生打好空间基础的，教师在教学过程中要有足够的耐 心
当上述教学过程已完成，教师可以自然而然（见详解 6）的引出下一小节的 知识点
线面平行与面面平行的判定和性质
1
首先 以例子引出线面平行判定定理 下见（7）
再者 以例子引出面面平行判定定理 下见（8）
其次讲解线面平行的性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面面平行的性质 下见（9）
线面垂直于面面垂直的判定和性质同上 【详解下见 10】
（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（×） （2）若直线 a∥平面α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条（×） （3）如果一个平面内的俩条直线平行于另一个平面，那么这俩个平面平行（×） （4）如果俩个平面平行，那么分别在这俩个平面内的俩条直线平行或者异面 （√）
关系如何？
详解 9 无论是什么性质，我们要让学生明白这是一个已知条件，例如我们已经知道线
面平行，通过线面平行的性质我们应该可以得到一个线线平行
【小结】：
本章节的关联性十分高，教学过程中要注意串联知识点，不要割裂判定定理
和点线面位置关系，要让学生明白学习点线面的位置关系是帮助自己搭建空间，
了解空间中一些特殊的位置关系，而后面的线面判定和性质是考察点线面位置关
② 定义型：a 直线与直线的平行、垂直、相交位置关系 b 直线与平面的平行、相交以及线在面内位置关系 c 平面与平面的平行、相交位置关系
③ 判定及其性质：a 线面平行的判定 and 面面平行的判定 b 线面垂直的判定 and 面面垂直的判定 b 线面平行的性质 and 面面垂直的性质
④ 其他： a 平面公理与定理 b 部分数学符号（属于，含于，交，并）在该章节的运用
5
（1）垂直于同一个平面的俩平面平行（×） （2）直线 l 与平面α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α（×）
5、解题思路教学：
1.引导学生逻辑化化分析问题，明确自己卡在哪一步，以后重点加强 2.证线面找线线，给线面化线线 3.线段长度数据多，考虑勾股定理找垂直
6
点、直线、平面之间的位置关系
教案介绍： 本教案内容详实，充分考虑了学生初次接触立体几何的情景，教师可以根据
班级实际情况选择性阅读。【文末配有基础小练习和实用解题技巧】
1、教学目标：
通过综合学习，能够清楚的构建物体的 3D 视图，了解空间中点线面的位置关系 以及证明
2、知识点概括（详细版）：
① 概念型：a 什么是点、直线、平面 b 直线与平面如何形成