第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
(1) 如果 m＝2，求经过多长时间，物体的温度为 5 ℃； 【解答】 若 m＝2，则 θ＝2·2t＋21－t＝22t＋21t， 当 θ＝5 时，2t＋21t＝52， 令 2t＝x≥1，则 x＋1x＝52， 即 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝12(舍去)，此时 t＝1. 所以经过 1 min，物体的温度为 5 ℃.
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
第二章 基本初等函数 第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
第1页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
栏 目 导 航
第2页
栏目导航
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
60 000－100x，x＞400. 当 0≤x≤400 时，P(x)＝300x－12x2－20 000＝－12(x－300)2＋25 000，所以当 x＝300
时，P(x)max＝P(300)＝25 000.
当 x＞400 时，函数 P(x)＝60 000－100x 是减函数，没有最大值，且 p(x)<20 000.
A. 该食品在 6 ℃的保鲜时间是 8 h B. 当 x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 的增大而逐渐减少 C. 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D. 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
第25页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
第15页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
(2) 若物体的温度总不低于 2 ℃，求 m 的取值范围． 【解答】 物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立， 即 m·2t＋22t ≥2 恒成立，亦即 m≥221t－212t恒成立． 令21t＝x，则 0<x≤1，所以 m≥2(x－x2)． 由于 x－x2≤14，所以 m≥12， 因此 m 的取值范围是12，＋∞.
第22页
栏目导航
第二章 基本初等函数
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
(3) 从 2019 年起，还能砍伐多少年？ 【解答】 设从 2019 年起还能砍伐 n 年， 则 n 年后剩余面积为 22a(1－x)n. 令 22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥ 42， 所以121n0 ≥1232 ，解得 n≤15， 故从 2019 年起还能砍伐 15 年．
第16页
栏目导航
第二章 基本初等函数
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
已知函数模型解决实际问题：(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3) 利用该函数模型，借助函数的 性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
第23页
栏目导航
第二章 基本初等函数
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据 代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其中 N 是基 础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基础数，x 为增长 率，n 为时间)的形式表示．解题时，经常用到对数运算．
第8页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
知识聚焦 1. 数学模型及数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学的角度来反映或近似地 反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述． 数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实 际问题的一般数学方法． 2. 解函数应用题时，要注意四个步骤： 第一步：阅读理解； 第二步：引入数学符号，建立数学模型；
链教材 ·夯基固本
第3页
栏目导航
第二章 基本初等函数
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
激活思维
1. 用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则
隔墙的长度为( A )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
【解析】 设隔墙的长为 x(0＜x＜6)，矩形面积为 y，则 y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)
＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，y 最大．
第4页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量/L 加油时的累计里程/km
2015 年 5 月 1 日
12
35 000
2015 年 5 月 15 日 48
栏目导航
第二章 基本初等函数
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
分类解析 目标 1 利用函数的图表刻画实际问题
2018 年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，如图反 映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始 15 min 内的速度 v(x)与时间 x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0， x]内的最大速度与最小速度的差，则 u(x)的图象是( D )
第9页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果； 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答． 以上过程用框图表示如下：
第10页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
研题型 ·技法通关
第11页
【解析】 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量
是均匀的，故为一次函数模型．
第14页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
目标 2 已知函数模型求解实际问题
已知某物体的温度 θ(单位：℃)随时间 t(单位：min)的变化规律为 θ＝m·2t＋
第13页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( A )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A. 一次函数模型
B. 幂函数模型
C. 指数函数模型
பைடு நூலகம்
D. 对数函数模型
400x－12x2，0≤x≤400， 求总利润最大时，该网店经营的天数． 80 000，x＞400，
第18页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
【解答】 由题意知，总成本 C(x)＝20 000＋100x，所以总利润 P(x)＝R(x)－C(x) ＝300x－x22－20 000，0≤x≤400，
【解析】 a(1＋x)(2 020－2 017)＝a(1＋x)3，故选 A.
第6页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
4. 某商品的单价为 5 000 元，若一次性购买超过 5 件，但不超过 10 件，则每件优
惠 500 元；若一次性购买超过 10 件，则每件优惠 1 000 元．某单位购买 x 件(x∈N*，x≤15)，
第20页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相
等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要
保留原面积的14.已知到
2019
年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1) 求每年砍伐面积的百分比； 【解答】 设每年砍伐面积的百分比为 x(0＜x＜1)，则 a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝
第5页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
3. 某人 2017 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元，若年利率为 x，按复利计算，
到 2020 年 7 月 1 日可取回款( A ) A. a(1＋x)3 元 C. a＋a(1＋x)3 元
B. a(1＋x)4 元 D. a(1＋x3)元
第17页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
目标 3 构造函数模型求解实际问题 2018 届大学毕业生小赵想开一家网上服装专卖店，经过预算，该网店前期投
入需要费用为 20 000 元，每天需要各项费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素 的 影 响 ， 专 卖 网 店 销 售 总 收 益 R 与 网 店 经 营 天 数 x 的 关 系 是 R(x) ＝
综上，总利润最大时，该网店经营的天数为 300.
第19页
栏目导航
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第二章 基本初等函数
实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系 式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下 两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的 最大(或最小)值．
第二章 基本初等函数
A
B
C
D
第12页
栏目导航
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
函数模型及其应用
x
☞累计回报表：
方案一
方案二 方案三
1 2 回报 天数 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案 方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
方案三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
投资天数、回报金额
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数 描述这些数量关系？ 解:设第x天所得回报是 y元，则
方案一： y40(xN);
方案二： y10x(xN*); 方案三： y0.42x1(xN).
上述的三个数学模型,第一个是常数函数, 另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方 案作出选择？
55
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
80
105 130 155
y 4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151
关于x呈指数型函数变化的变量是
y2
。
1.005
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售 利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖 金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加 而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超 过 利 润 的 25%. 现 有 三 个 奖 励 模 型 ： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中 哪个模 型能 符合公司的要求？
结论: ①投资1~6天,应选择方案一; ②投资7天,应选择方案一或二; ③投资8~10天,应选择方案二; ④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
函数模型及其应用-课件PPT
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )A． y＝ 11ຫໍສະໝຸດ 0exB．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
函数模型及其应用PPT课件
T 10 d 0.69914 1.499738 0.1999d 1.4997 0.2d 2 .
这 就 是 开 普 勒 第 三 定 律的 数 学 表 达 式,它 揭 示 了" 公 转 时 间 的 平 方 与 平 均 距 离 的 立 方 成正 比" 这 一 天 体 运 动 规 律. 利 用 数 据 拟 合 解 决 问 题, 首 先 应 作 出 数 据 的 散 点图, 然 后 通 过 观 察 散 点 趋 势 选 用 适 当的 模 型 进 行 拟 合.
88
24
1 2
h
,即
1 4
1 2
h
, 解得h
10,
t
故T
24
88
24
1 2
10
.当T
35 时, 代入上式, 得
t
t
35
24
88
24
1 2
10
,
即
1 2
10
11 64 .
两边取对数,
用计算器求得t 25.因此,约需要25 min, 可降到350 C.
例3 在经济学中,函数 f x的边际函数Mf x定义为 Mf x f x 1 f x.某公司每月最多生产100台报
隼舂
恫岚
quán duì yùn lèi
鬈碓 愠 酹
měng shàn shào xīsū
懵 讪 潲 窸窣
铤而走险 呕心沥血
身陷囹圄 姹紫嫣红
步履蹒跚 揶揄(yéyú）
初涉文本
•读第一部分，假如你是导演，你 将如何拍摄故事的开端？ •主人公是谁？身份如何？为何要 夜半出门？为什么要猎狐？他和 狐狸之间有什么恩怨？
•戈文亮渴望自己成为什么样的人？ •他对男子汉的理解 是什么？
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
函数模型及其应用 (共29张PPT)
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
函数模型的应用实例 课件
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．
高考数学一轮复习第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
第14讲数学建模——函数的模型及其应用激活思维1.某沙漠地区的某天某时段气温(单位：℃)与时间(单位：h)的函数关系是f(t)＝－t2＋24t －101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是( )A. 54 ℃B. 58 ℃C. 64 ℃D. 68 ℃2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A. 3B. 4C. 6D. 123. 将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4 L，则m的值为( )A. 5B. 8C. 9D. 104.某人2017年7月1日到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，到2020年7月1日可取回款( )A. a(1＋x)3元B. a(1＋x)4元C. a＋a(1＋x)3元D. a(1＋x3)元5. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，yA. y＝2xB. y＝x2－1C. y＝2x－2D. y＝log2x知识聚焦1. 数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．2. 解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步：阅读理解；第二步：引入数学符号，建立数学模型；第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．以上过程用框图表示如下：3. 指数、对数、幂函数模型性质比较分类解析目标1 利用函数的图表刻画实际问题(例1)2018年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，如图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15min内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是( )A BC D物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )目标2 已知函数模型求解实际问题(1) 研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度f(x)＝0.1＋15lnaa－x.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，则该学科是(参考数据：e0.05≈1.05，e0.85≈2.34)( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 三者均可能(2) (2021·青岛调研)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(单位：万件)与广告费x(单位：万元)之间的函数关系为y＝1＋3x x＋2(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(单位：元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A. 30.5万元B. 31.5万元C. 32.5万元D. 33.5万元天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为m i的星的亮度为E i(i＝1,2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27目标3 构造函数模型求解实际问题响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，当年产量不足8万件时，W(x)＝1 3x2＋2x，当年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋100 x－37.每件产品售价6元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？(2020·西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(单位：元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A. y＝(x－50)2＋500B. y＝10x25＋500C. y＝11 000(x－50)3＋625D. y＝50[10＋lg(2x＋1)]课堂评价1.如图给出了某种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( )(第1题)A. y＝2t2(t＞0)B. y＝log2t(t＞0)C. y＝t3(t＞0)D. y＝2t(t＞0)2.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋9 00x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A. 11 000元B. 22 000元C. 33 000元D. 40 000元3.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出a，b的值；(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？。
第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
第14讲数学建模——函数的模型及其应用一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过________年，质量可放射消耗到0.125克()A. 5 730B. 11 460C. 22 920D. 45 8402. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A. y＝2x－2B. y＝2(x2－1)C. y＝log2xD. y＝log 1 2x3. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天4. (2021·厦门模拟)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q100成正比．当v＝1 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890，则当v＝2 m/s时，其耗氧量的单位数为()A. 2 670B. 7 120C. 7 921D. 8 010二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (单位：天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.(第5题)则下列说法正确的是( )A. 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B. 第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多C. 9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D. 26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%6. (2020·烟台期末)为了预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y (单位：mg)随时间x (单位：h)的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18x －a (a 为常数)，则( )(第6题)A. 当0≤x ≤0.2时，y ＝5xB. 当x ＞0.2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18x －0.1 C. 2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg 以下D. 1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg 以下三、 填空题(精准计算，整洁表达)7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭的质量m (单位：kg)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s.8. (2020·福州三模)“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到k 月份(2＜k ＜8且k ∈N )，每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从k ＋1月份到9月份不再增加新的生产线．计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加________条熔喷布生产线．(参考数据：1.18≈2.14,1.19≈2.36)9. (2021·天一中学)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/100 kg.四、 解答题(让规范成为一种习惯)10. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1) 下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝kx ＋b ；③y ＝log a x ＋b ；④y ＝ax ＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由．(2) 当人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ，当人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少．11. 近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p 与投入a (单位：万元)满足p ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋2，80≤a ≤120，32，120<a ≤160.设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元)．(1) 当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；(2) 试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？。