2020年江苏省高三第五次百校联考-数学

2020年江苏省高三第五次百校联考
数 学
数学Ⅰ试题
2020
年5月
参考公式：
样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差211()n
i i s x x n ==-∑，其中11n
i i x x n ==∑；
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：13
V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．． 。

1. 已知集合A ={1, 2}, A ∪B ={1, 2, 3}, 则集合中B 必定含有的元素是 ▲ ．
2. 已知复数i (a +i )的模为1 (其中i 为虚数单位), 则实数a 的值是 ▲ ．
3. 下图是一个算法的流程图, 则输出k 的值是 ▲ ．
4. 已知一组数据1, 3, 5, 7, 9, 则该组数据的方差是 ▲ ．
5. 已知双曲线 x 2a 2－y 2
9=1(a ＞0)的左、右顶点与点(0, 3)构成等腰直
角三角形, 则该双曲线的渐近线方程是 ▲ ．
6. 已知函数y = tan x 与 y = sin(3x －φ) (0≤φ<π) ,它们图象有一个交 点的横坐标为π
4
, 则φ的值是 ▲ ．
7. 斐波那契数列又称黄金分割数列, 因数学家列昂纳多・斐波那契以
兔子繁殖为例而引入, 故又称为“免子数列”．在数学上, 斐波那契 数列被以下递推方法定义: 数列{a n }满足a 1 = a 2=1, a n+2= a n + a n+1, 现从该数列的前12项中随机抽取1项, 能被3整除的概率是 ▲ ． 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , 且a 2 a 4＋a 3= 0, S 3＝－1, 则a n ＝ ▲ ．
9. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2, 则三棱锥 B －A 1C 1D 的体积是 ▲ ．
10.已知角α, β满足tanα = 2tanβ , 若sin(α＋β) = 3
5
，则
开始
k ←1 k ←k ＋1
k 2－7k ＋10＞0
Y
输出k
N
结束 （第3题）
A
C
D
C 1
B 1
A 1
B 1
sin(α－β)的值是 ▲ ．
11.若函数f (x )=(x －a )・x (其中a ＞0)在区间[1，9]上的最小值为1
8, 则a 的值是 ▲ ．
12.如图, 已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2=1 (a >b >0)上一点, 它关于原点的
对称点为B , 点F 为圆的右焦点,且以AB 为直径的圆过点F , 当 ∠ABF = π
6
时, 该椭圆的离心率是 ▲ ．
13.已知x , y 均为正实数, 且x ＋1y ＝1, 则 y
x
＋8y 的最小值是 ▲ ．
14.已知当x >0时, 函数f (x )=a ln x (a >0),且f (x )=f (-x ).若g (x )=2x 2-m (m >0)的图象与f (x )的图象
在第二象限有公共点, 且在该点处的切线相同, 当实数m 变化时,实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内．．．．．．．．．
作答解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步驟． 15. (本小题满分14分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知C =π
6, m =(sin A ,－1), n =(cos B ,1),且
m ∥n ．
(1) 求A 的值;
(2) 若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点, 且AD = 21, 求△ABC 的面积．
16. (本小题满分14分)
在三棱柱A －BCD 中,E ,F 分别为AD , DC 的中点,且BA =BD ,平面ABD ⊥平面ADC ． (1) 证明: EF ∥平面ABC ． (2) 证明: CD ⊥BE ．
（第12题） x
y A
o
F
B F
A C
D E
17. (本小题满分14分)
一胸针图样由等腰三角形OAB 及圆心C 在中轴线上的圆弧AB 构成, 已知OA =OB =1, ∠ACB =
2π
3
. 为了增加胸针的美观程度,设计师准备焊接三条金丝线CO ,CA ,CB ,且AC 长度不小
于OC 长度．设∠AOC =θ．
(1) 试求出金丝线的总长度L (θ), 并求出的取值范围;
(2) 当θ为何值时,金丝线的总长度L (θ)最小, 并求出L (θ)的最小．
18. (本小题满分16分)
已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)右集点F 的盤标为(1,0), 点P (1, 3
2)为椭圆C 上一点．
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 过椭圆C 的右焦点F 作斜率为－3的直线l 交椭圆C 于M , N 两点, 且OM →＋ON →
＋OH →
＝0,
求△MNH 的面积．
19. (本小题满分16分)
已知函数f (x )=x 3＋x 2－a x (a ∈R ), g (x )=x l n x ． (1) 求曲线在x ＝1处的切线方程；
(2) 对任意x ∈(0, a ], f (x )＞g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 当x ∈(0, a ]时, 试求方程f (x )=g (x )的根的个数．
20. (本小题满分16分)
己知数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝λa n
1+ a λ
n
，n ∈N *． B
A θ M
C
O
（第17题）
(1) 若λ＝1,
(ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；
(ⅱ) 证明: 对∀n ∈N *，a 1 a 2 a 3＋a 2 a 3 a 4＋…＋a n a n +1 a n +2＝ n （n +5）
12（n +2）(n +3)
．
(2) 若λ＝2, 且对∀n ∈N *，有0＜a n ＜l, 证明: a n +1－a n ＜2＋1
8
．
江苏省百校联考2020届高三年级第五次试卷
数 学
数学Ⅱ（附加题）
2020
年5月
21A.[选修4－2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1 ，A 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 1 ，求A -1.
22B.[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1
2t ，
y ＝1＋3
2
t ，(t 为参数) .若以直角坐标系
xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系, 得曲线C 的极坐标方程为
ρ=2cos ⎝⎛⎭
⎫α－π
3. (1) 求直线l 的倾斜角；
(2) 若直线l 与曲线C 交于A , B 两点, 求AB 的长度.
23C .(本小题满分10分)
如图,在四棱锥P －ABCD 中, 底面ABCD 为梯形,AB ∥CD .若棱AB , AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2,且向量PC →与BD →
夹角的余弦值为1515.
(1) 求CD 的长度
(2) 求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.
A B
C
P
D
24D .(本小题满分10分)
记f (α)为(ax ＋1)n 二项展开式中的x 3项的系数, 其中a ∈{1,2,3,…,n },n ≥3. (1) 求f (1), f (2), f (3)；
(2) 证明: a =1n
f (α) = C n n+1(n 3＋n 2)
11。