【自主招生】2018年北京大学自主招生数学模拟试题 Word版
北京大学自主招生强基计划北大自招数学2018
2018北大自招数学笔试试题整理1、(5+3√3)2018写成十进制小数，十分位、百分位、千分位数字之和为（）A.0B.9C.27D.都不对2、三棱锥P-ABC ，地面三角形ABC 为∠A =90°的直角三角形。
PA =AB +AC ，且PA 垂直于地面ABC 。
求∠APC +∠CPB +∠PBA =()A.60°B.75°C.90°D.都不对3、正数a,b 满足a +b =1。
则1a +27b 3的最小值为（）A.47+13√132 B.55+15√132C.281D.都不对 4、过椭圆22194x y +=上一点P 向圆222x y +=作两条切线，过两切点的直线交两坐标轴与AB 两点，其与原点O 组成的三角形AOB 的面积的最小值为A ．12 B.23 C.34D.都不对5、椭圆x 24+y 2=1上一点(x,y),则|3x +4y −12|取值范围是： A.[0,+∞] B.[12−2√13,12+2√13] C.[0,12+2√13] D.都不对6、已知a ≠b ,有a 2(b +c )=b 2(a +c )=1,求c 2(a +b )−abc =A.0B.1C.2D.都不对7、f (t )=t 2+2t 则集合{(x,y)|f (x )+f (y )≤2 且 f (x )≥f (y )}中的点构成的图形面积为：A.4πB.2πC.πD.都不对8、设f (x )=ax 2+bx +c,(a ≠0).已知f (x )=x 无实数解，f n (x )=f(f n−1(x )),(n ≥2,n ∈N ∗)，则f 2018(x)实数解的个数为A.0B.2018C.4036D.都不对9、S n 表示一等差数列的前n 项和，若S 10=0,S 15=25.求nS n 的最小值A.-10B.-25C.-48D.都不对10、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，在平面A 1B 1C 1D 1内一动点P 满足∠DD 1A 1=∠DD 1P ,则点P 的轨迹为A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.都不对。
2018年北京高职自主招生数学(理科)模拟试题一【含答案】
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
A
B
B
C
二、填空题（30分）
题号
9
10
11
答案
48
题号
12
13
14
答案
三、解答题（80分）
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题知
.
由 （ ），
解得 .
所以 单调递增区间为 （ ）.……………6分
（Ⅱ）依题意，由正弦定理， .
因为在三角形中 ，所以 .
即
当 时， ；
当 时， .
A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分D.圆的一部分
7.已知函数 的图象与直线 的公共点不少于两个，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8.如图1，矩形 中， .点 在 边上， 且 .如图2， 沿直线 向上折起成 ．记二面角 的平面角为 ，当 时，
存在某个位置，使 ；
存在某个位置，使 ；
即 .
设 成等差数列， ，
则对于每个和式 ，其值等于 （ ）或
中的一个.去掉重复的一个 ,
所以对于这样的集合 , .
则 的最小值为 .……………13分
所以 平面 ．………………8分
（Ⅲ）如图，取 的中点 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 两两垂直．
以 为原点，分别以 为
轴建立空间坐标系（如图）.
由（Ⅰ）可知， 平面 ,
所以 ．
又因为 ， ,
所以 平面 ，所以 ，
所以四边形 为菱形．
由已知 ，
则 ， ， ， ．
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
2018北京大学自主招生试题(含语文数学英语)
北京大学【注意事项】本试卷分为语文、数学、英语三部分。
【考试时间】3 个小时语文部分【注意事项】本试卷语文部分分为基础知识题和阅读题两部分．一共 50 道选择题。
第Ⅰ卷（基础知识题）1．【真题】对下面一首诗的赏析，不恰当的一项是（）海臧克家从碧澄澄的天空，摸着潮湿的衣角，看到了你的颜色：触到了你的体温；从一阵阵的清风，深夜醒来，嗅到了你的气息：耳边传来了你有力的呼吸。
（1956 年）A．诗人用平实的语言．分别从视觉、嗅觉、触觉、听觉四个方面写出了他对大海的感受。
B．这首诗反映了诗人对大自然壮观的惊喜，也反映了他的人生哲学，表现了一定的人生哲理。
C．由远而近、从白天到夜晚，大海给诗人的感觉不尽相同，这些形成了全诗的发展层次。
D．诗人将自己的感觉加以升华，使大海人格化、生命化、向我们展示出大海的整体形象。
4．【真题】下列各句中使用，全部正确的一项是（）①在称雄之前，刘备成功地把自己装扮成一个胸无大志的庸才，这一韬光养晦的做法让他得以与强大的曹操和孙权一起称雄三国时代。
②“手如柔荑，肤如凝脂”，《诗经·硕人》通过对齐女庄姜的细腻描绘，刻画了一个珠圆玉润、亮丽动人的古典美人。
③自 8 月 1 日滴滴收购优步中国的消息正式宣布后，网上盛传商务部反垄断局已两次约谈滴滴并依法进行调查，滴滴对此讳莫如深。
④由于缺少有效监督，《公共场所控烟条例》在许多地方沦为一纸空文，只有真正令行禁止，才能达到公共场所“无烟化”的目标。
⑤城市规划大师卡罗琳·博斯在做主题演讲时说，城市环境和建筑休戚相关，所以要改善城市环境不能忽视城市建筑的整体规划。
⑥他此时正心事重重，尽管窗外鸟语花香，一片春意盎然，他也目不窥园，无心欣赏，还时不时的叹上一口气。
A．①②⑤B．①③④C．②⑤⑥D．③④⑥5．【真题】下图是两副吟咏郑成功的对联，请依文意与对联组成原则，选出最适合填入甲、乙、丙、丁处的内容（）四镇多贰心，两岛屯师。
（丙）南天留祠宇，雄图虽渺。
2018年清华北大自招真题
值为（ ）
A. 63
B. 1009
C. 2018
D. 前三个答案都不
对
【解答】D
【考点】数列问题以及基本不等式的应用
【解析】令 x = k + r(k Z且0 k n −1, 0 r 1) ，当 k = 0 时 x[x] = 0 ； k 1时，则
k2 x[x] = (k + r)k k 2 + k ， x[x] 有 k 个取值；
x2 − 2a x − a − 2ax +1 = 0 (x − a)2 − 2a x − a +1− a2 = 0 ( x − a − a)2 = 2a2 −1
，
2a2
−1
0
x − a = a
2a2 −1 0
2a2
−1
，要使原方程有三个互不相等实根，则
a
2019 2018
−1=
2018
，
−a1
+
a2
−
a3
+
... −
a2017
+
a2018
=
(1−
1)(1− 1
1 )(1 − 2
1)...(1− 3
1) 2018
−1
=
−1
，
两式相加即得
a2
+
a4
+ ... +
a2018
=
2018 −1 2
=
2017 2
.
6. 已知实数 A,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（-3， 2），点 N 的坐标为（2，3），过点 P 作直线 Ax+by+c=0 的垂线，垂足为点 M，则 M,N 间的 距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
2018年北京高职自主招生数学(文科)模拟试题一【含答案】
2018年北京高职自主招生数学（文科）模拟试题一【含答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}，集合B={﹣1，0，1}，那么A∪B等于（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣B．y=C．y=x3 D．y=log2x3．（5分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是（）A．﹣2或2 B．﹣2或C．﹣或D．﹣或24．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A．B．16 C．D．325．（5分）已知a∈R，那么“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知a，b∈R，a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．tana＞tanb C．|log2a|＞|log2b| D．a•2﹣b＞b•2﹣a7．（5分）已知点A（2，﹣1），点P（x，y）满足线性约束条件O为坐标原点，那么的最小值是（）A．11 B．0 C．﹣1 D．﹣58．（5分）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）已知复数的实部与虚部相等，那么实数a= ．10．（5分）已知点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，那么点P到抛物线准线的距离是．11．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=6，A=60°，那么BC= ．12．（5分）已知向量，，若||=3，||=，=6，则，夹角的度数为．13．（5分）已知圆C的圆心在x轴上，半径长是，且与直线x﹣2y=0相切，那么圆C的方程是．14．（5分）已知函数f（x）=（1）若a=﹣，则f（x）的零点是．（2）若f（x）无零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）某市准备引进优秀企业进行城市建设．城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业．若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．注：方差．17．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，2an+1=Sn+1．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=2an﹣2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥底面BCDE，AB=AE=BE，点M，N分别是AE，AD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）求证：BM⊥平面ADE；（Ⅲ）在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并说明理由．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）过点（0，﹣1），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（m，0），过点（1，0）作斜率为k（k≠0）直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若函数F（x）=f（x），当a=2时，F（x）的最大值为M，求证：M＜．2018年北京高职自主招生数学（文科）模拟试题一参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}，集合B={﹣1，0，1}，那么A∪B等于（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【分析】分别求出集合A，集合B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}={∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，集合B={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣B．y=C．y=x3 D．y=log2x【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．y=﹣在定义域上是奇函数，但不是单调函数，不满足条件．B．y=是减函数且为非奇非偶函数，不满足条件．C．y=x3在其定义域上既是奇函数又是增函数，满足条件．D．y=log2x在（0，+∞）上是增函数，是非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是（）A．﹣2或2 B．﹣2或C．﹣或D．﹣或2【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值，若输出的y的值为1，可根据分段函数的解析式，逆推出自变量x的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=|x|﹣1=1，解得：x=﹣2当x≥0时，y=x2﹣1=1，解得：x=，故选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A．B．16 C．D．32【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，然后由棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，∴该四面体的体积是V=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5．（5分）已知a∈R，那么“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直，可得：a•（﹣4a）=﹣1，解得a即可判断出结论．【解答】解：由直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直，可得：a•（﹣4a）=﹣1，解得a=．∴“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）已知a，b∈R，a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．tana＞tanb C．|log2a|＞|log2b| D．a•2﹣b＞b•2﹣a【分析】由a＞b＞0，利用不等式的基本性质与函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴，tana与tanb的大小关系不确定，log2a＞log2b，但是|log2a|＞|log2b|不一定成立，a•2a＞b•2b一定成立．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质与函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知点A（2，﹣1），点P（x，y）满足线性约束条件O为坐标原点，那么的最小值是（）A．11 B．0 C．﹣1 D．﹣5【分析】根据向量数量积的定义化简目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：=2x﹣y，作出约束条件可行区域如图，作直线l0：y=﹣x，当l0移到过A（﹣2，﹣3）时，Zmin=﹣2×2+3=﹣1，故的最小值为﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC 于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN 有无数个．【解答】解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG ∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．故选：D【点评】不本题考查了空间线面位置关系，转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）已知复数的实部与虚部相等，那么实数a=2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于虚部求得a值．【解答】解：∵=的实部与虚部相等，∴a=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．（5分）已知点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，那么点P到抛物线准线的距离是3．【分析】根据点P（2，）为抛物线y2=2px上一点可求出p的值，由抛物线的性质可知焦点坐标，可知抛物线的焦点和准线方程，从而求出所求．【解答】解：∵点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，∴（2）2=2p×2，解得p=2，∴抛物线焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，∴点P到抛物线的准线的距离为2+1=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，解题的关键弄清抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=6，A=60°，那么BC=2．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：BC2=42+62﹣2×4×6cos60°=28，解得BC=2．故答案为：2．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知向量，，若||=3，||=，=6，则，夹角的度数为．【分析】根据题意，设，夹角为θ，||=t，（t＞0），由数量积的计算公式可得若||=，则有（﹣）2=2﹣2•+2=9﹣2×6+t2=13，解可得t的值，又由cosθ=，计算可得cosθ的值，由θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，夹角为θ，||=t，（t＞0），若||=，则有（﹣）2=2﹣2•+2=9﹣2×6+t2=13，解可得t=4，则cosθ==，则θ=；故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的计算公式，注意求出||的值．13．（5分）已知圆C的圆心在x轴上，半径长是，且与直线x﹣2y=0相切，那么圆C的方程是（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．【分析】由题意设出圆心坐标（a，0），利用点到直线的距离公式列式求得a值，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：由题意设圆心坐标为（a，0），由，得a=±5．又圆的半径r=．圆C的方程是（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．故答案为：（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）=（1）若a=﹣，则f（x）的零点是．（2）若f（x）无零点，则实数a的取值范围是（∞，﹣4]∪[0，2）．【分析】（1）由零点的定义，解方程即可得到所求值；（2）讨论x＜2，x≥2时，f（x）=0无实数解，即可得到a的范围．【解答】解：（1）若a=﹣，则f（x）=，当x＜2时，由2x﹣=0，可得x=；由x≥2时，﹣﹣x=0，可得x=﹣＜2，不成立．则f（x）的零点为；（2）若f（x）无零点，即f（x）=0无实数解，当x＜2时，2x+a=0即﹣a=2x无实数解，可得﹣a≥4或﹣a≤0，即为a≤﹣4或a≥0；由x≥2可得a﹣x=0无实数解，即有a＜2．综上可得a的范围是（∞，﹣4]∪[0，2）．故答案为：，（∞，﹣4]∪[0，2）．【点评】本题考查函数的零点的求法，注意运用定义和指数函数的值域和单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）根据x在[0，]上，求解内层函数的范围，即可求解最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+cos2x=2sin2x+cos2x=sin（2x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；由，得≤x≤所以f（x）的单调递增区间是[，]，k∈Z．（Ⅱ）因为x∈[0，]上，所以2x+∈[，]所以当2x+=，即x=时，函数取得最大值是．当2x+=，即x=时，函数取得最小值﹣1．所以f（x）在[0，]区间上的最大值和最小值分别为和﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的综合运用．属于基础题．16．（13分）某市准备引进优秀企业进行城市建设．城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业．若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．注：方差．【分析】（Ⅰ）根据定义计算乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值．【解答】解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是×（97+94+88+83+78）=88，方差是×[（97﹣88）2+（94﹣88）2+（88﹣88）2+（83﹣88）2+（78﹣88）2]=48.4；…（4分）（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有（96，97），（96，94），（96，88），（93，97），（93，94），（93，88），（89，97），（89，94），（89，88），（86，97），（86，94），（86，88）共12组，…（8分）设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A，则事件A包含有（96，97），（96，94），（93，97），（93，94），（93，88），（89，94），（89，88），（86，88）共8组；…（11分）所以P（A）==；所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是．…（13分）【点评】本题考查了计算平均数与方差的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．17．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，2an+1=Sn+1．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=2an﹣2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用分组法求出数列的和．【解答】解：（Ⅰ）因为数列{an}的前n项和为Sn，，2an+1=Sn+1．所以：2a2=S1+1=，解得：．所以：2a3=S2+1=a1+a2+1=，解得：．（Ⅱ）因为2an+1=Sn+1，所以：2an=Sn﹣1+1，（n≥2）则：2an+1﹣2an=Sn﹣Sn﹣1=an，所以：．由于：，则：数列{an}是首项，公比是的等比数列．所以：．因为bn=2an﹣2n﹣1，所以：．所以：Tn=b1+b2+…+bn，=+…+，=﹣（3+5+…+2n+1），=，=．所以数列的前n项和为：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和．18．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥底面BCDE，AB=AE=BE，点M，N分别是AE，AD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）求证：BM⊥平面ADE；（Ⅲ）在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并说明理由．【分析】（Ⅰ）只需证明MN∥BC．即可证明MN∥平面ABC．（Ⅱ）可得DE⊥平面ABE，DE⊥BM，BM⊥AE，即可证明BM⊥平面ADE．（Ⅲ）取BE中点F，连接AF，DF，过C点作CP⊥DF，交DE于点P．则点P即为所求作的点．【解答】解：（Ⅰ）因为点M，N分别是AE，AD的中点，所以MN∥DE．因为底面BCDE四边形为正方形，所以BC∥DE所以MN∥BC．因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC…（4分）（Ⅱ）因为平面ABE⊥底面BCDE，DE⊥BE，所以DE⊥平面ABE因为MB⊂平面ABE，所以DE⊥BM因为AB=AE=BE，点M是AE的中点，所以BM⊥AE因为DE∩AE=E，DE⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，所以BM⊥平面ADE…（9分）（Ⅲ）取BE中点F，连接AF，DF，过C点作CP⊥DF，交DE于点P．则点P即为所求作的点．…（11分）理由：因为AB=AE=BE，点F是BE的中点，所以AF⊥BE因为平面ABE⊥底面BCDE，所以AF⊥平面BCDE．所以AF⊥CP因为CP⊥DF，AF∩DF=F，所以CP⊥平面ADF因为AD⊂平面ADF，所以CP⊥AD…（14分）【点评】本题考查了线面陪平行、垂直的判定，空间动点问题，属于中档题，19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）过点（0，﹣1），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（m，0），过点（1，0）作斜率为k（k≠0）直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值．【分析】（Ⅰ）根据过点（0，﹣1），离心率e=，可得b=1，=，再根据a2=b2+c2，即可求出，（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣1），联立方程组消去y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设点M（x1，y1），N（x1，y1），根据韦达定理以及kMP+kNP=0，即可求出m的值【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，过点（0，﹣1），离心率e=，所以b=1，=，所以由a2=b2+c2，得a2=2，所以椭圆C的标准方程是+y2=1，（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是y=k（x﹣1）．联立方程组消去y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，显然△＞0，设点M（x1，y1），N（x1，y1），所以x1+x2=，x1x2=，因为x轴平分∠MPN，所以∠MPO=∠NPO．所以kMP+kNP=0，所以+=0，所以y1（x2﹣m）+y2（x1﹣m）=0，所以k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，所以2kx1x2﹣（k+km）（x1+x2）+2km=0，所以2•+（1+m）+2m=0所以=0…（12分）所以﹣4+2m=0，所以m=2．【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若函数F（x）=f（x），当a=2时，F（x）的最大值为M，求证：M＜．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）求出函数的导数，令g（x）=2﹣x﹣4lnx，所以g（x）是单调递减函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x+alnx，且a=1，所以f（x）=x+lnx，x∈（0，+∞），所以f′（x）=1+，所以f（1）=1，f′（1）=2，所以曲线在x=1处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）因为函数f（x）=x+alnx（x＞0），所以f′（x）=1+=，（1）当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以函数f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，即x+a＞0，所以x＞﹣a，令f′（x）＜0，x+a＜0，所以x＜﹣a；（i）当0＜﹣a≤1，即a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1；（ii）当1＜﹣a＜e，即﹣e≤a≤﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上单调递减，在（﹣a，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a），（iii）当﹣a≥e，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=e+a，综上所述，当a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1，当﹣e≤a≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a），当a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=e+a；（Ⅲ）因为函数F（x）=f（x），所以F（x）=+，所以当a=2时，F′（x）=，令g（x）=2﹣x﹣4lnx，所以g（x）是单调递减函数．因为g（1）=1＞0，g（2）=﹣4ln2＜0，所以在（1，2）上存在x0，使得g（x0）=0，即2﹣x0﹣4lnx0=0，所以当x∈（1，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，2）时，g（x）＜0，即当x∈（1，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，2）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减．所以当x=x0时，F（x）取得最大值是M=F（x0）=，因为2﹣x﹣4lnx=0，所以M=﹣；因为x0∈（1，2），所以∈（，1），所以M＜．【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．。
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H
G
D
A B E F
A
D E 2018年北京大学自主招生数学模拟试题
答题时注意:
1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.
2、试卷共三大题，计1６道题。
考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）
1、如果关于x 的方程2
2
30x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ） A 、26 B 、28 C 、24 D 、30
3 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：
6
663
3
6
3
3
)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式
xyz z y x 33
33-++的值是………………… （ ）
A 、0
B 、1
C 、3
D 、条件不足，无法计算
4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知：
︒=∠=∠=30,5
3
cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长
是………………… （ ）
A 、89
B 、73
C 、4+33
D 、3+43
5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ）
A 、296
B 、221
C 、225
D 、641
二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）
6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。
9、已知：2
53+=
x ，则2可用含x 的
有理系数三次多项式来表示为：2= 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2
2
2
3
r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。
三、解答题（共6题，共90分）
11、（本题满分12分）
赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z L L ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326L ，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：
⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]2
1[26(1]2[x x x x
y ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不
超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]2
1
8[8=++→，即q h 变成 ，再如
61]2
11
[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw
wcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写
出翻译过程。
12、（本题满分15分）
如果有理数m 可以表示成2
2
562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？
⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
13、（本题满分15分）
如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积之比是3∶1∶4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设k EA
DE
GD BG ==。
⑴求32207+k 的值； ⑵若点H 分线段BE 成
2=HE
BH
的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。
14、（本题满分16分）
观察下列各个等式：ΛΛΛ,304321,14321,521,112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++=++=+=。
⑴你能从中推导出计算2
22224321n +++++Λ的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线322
++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OA
n 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、Λ，分别过这1-n 个点作x 轴
的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、
、、、、、Λ，设△1OBA 、 △211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为
n S S S S S 、、、、、Λ4321 。
①当2010n =时，求123452010S S S S S S ++++++L 的值；
A
K
N
O
P
S W
Y
②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？ 15、（本题满分16分）
有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC ； ②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL ； ③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN ；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ 。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；
⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
16、（本题满分16分）
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。
⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EF
DE
=，试作出分别以m
n
n m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。