2009年北京大学自主招生数学试题及解答
2009年清华自主招生数学试题(理科文科)
1．设5151+-的整数部分为a ，小数部分为b()1求,a b ；()2求222ab a b ++；()3求()2lim n n b b b →∞++2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥()2,,a b c 为正实数，求证：3a b c xyz++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆22221x y ab+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ ，2OP ，A R 成等比数列5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++6．随机挑选一个三位数I()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率7．四面体A B C D 中，A B C D =，A C B D =，A D B C =()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；()2设三个面与底面BC D 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数9．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P1．求值：265522iie e ππ++2．请写出一个整系数多项式()f x ，使得323+是其一个根3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。
da2009年高考数学(北京)理
平面 垂足为点 ．
是 与平面 所成的角．
．
与平面 所成的角的大小为 ．
（Ⅲ）同解法一．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 因为事件 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” 所以事件 的概率为 ．
（Ⅱ）由题意可得 可能取的值为0 2 4 6 8（单位： ） 事件“ ”等价于事件“该学生在上学路上遇到 次红灯”（ ）
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）点 在圆 上，
圆在点 处的切线 的方程为
化简得 ．
由 及 得
①
．②
因为切线 与双曲线 交于不同的两点 所以 ．
设 两点的坐标分别为
则
所以 ．
所以 的大小为 ．
（因为 且 所以 ，从而当 时 方程①与方程②的判别式均大于0）
20．（共13分）
(Ⅰ)解：由于 与 均不属于数集｛1，3，4｝，
所以该数集不具有性质 ．
由于 都属于数集{1，2，3，6}，
所以该数集具有性质 ．
（Ⅱ）证明：因为 具有性质
所以 与 中至少有一个属于
由于
所以 故 ．
从而 故 ．
因为
所以 故 ．
由 具有性质 可知 ．
又因为
所以
从而 ．
故 ．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当 时 有 即 ．
因为
所以 故 ．
由 具有性质 可知
2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．D
自主招生考试试题——北京大学(2009年)
2009年北京大学保送生考试试题（P龙独家回忆）鏖战两个月，终于等到了今天……我把我能回忆起的试题发到这里给有志于参加北大保送的学弟学妹们看看吧～就当我为贴吧做点贡献～我一个多小时的心血啊～手好痛……语文一、举出两个被人们曲解了意思的成语，并学着曲解其意思。
二、修改病句：（1）我们都有一个家，名字叫中国。
（2）素胚勾勒出青花笔锋浓转淡三、对对联：上联——博雅塔前人博雅对出下联四、翻译文言文：给出一大段不加标点的文言文，要求通篇翻译。
具体内容肯定记不清了，大概是讲做人不能太高调吧！五、现代文阅读：鲁迅的《求乞者》我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
另外有几个人，各自走路。
微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，而拦着磕头，追着哀呼。
我厌恶他的声调，态度。
我憎恶他并不悲哀，近于儿戏；我烦厌他这追着哀呼。
我走路。
另外有几个人各自走路。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，但是哑的，摊开手，装着手势。
我就憎恶他这手势。
而且，他或者并不哑，这不过是一种求乞的法子。
我不布施，我无布施心，我但居布施者之上，给与烦腻，疑心，憎恶。
我顺着倒败的泥墙走路，断砖叠在墙缺口，墙里面没有什么。
微风起来，送秋寒穿透我的夹衣；四面都是灰土。
我想着我将用什么方法求乞：发声，用怎样声调？装哑，用怎样手势？……另外有几个人各自走路。
我将得不到布施，得不到布施心；我将得到自居于布施之上者的烦腻，疑心，憎恶。
我将用无所为和沉默求乞……我至少将得到虚无。
微风起来，四面都是灰土。
另外有几个人各自走路。
灰土，灰土，……………………灰土……1、“高墙”、“灰土”、“各自走路的人”各象征什么？2、“乞求”和“布施”个象征什么？这象征着人与人之间什么样的关系？3、前面一个问记不清了。
这篇文章体现了鲁迅什么样的世界观和思想命题？4、评价本文的艺术特点六、翻译：吴人之妇有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也七、作文。
北京大学2009年数学分析试题及解答
因此 又因为 故
∫A
∫A
f (x) dx
1
dx
⩾
A2 ,
A
A f (x)
4
2
2
1 A2
∫A f (x) dx
0
⩾
1 A2
∫A
f (x) dx
A 2
⩾
1
4
∫
A
A
f
(x)
dx
,
2
∫A
lim
f (x) dx = 0,
A→+∞ A
2
lim
A→+∞
1 A2
∫A
0
f (x)
dx
=
+∞.
注 此题与北京大学 2011 年数学分析第 9 题本质上相同.
SN (x)
=
a0 2
+
∑ N an
cos nx
+ bn
sin nx,
lim SN (x) = g(x).
N →+∞
n=1
则
lim σn(x)
n→+∞
=
1 n
∑ n−1 Sk(x)
=
g(x),
k=0
由 Fejér 定理, {σn(x)} 一致收敛于 f (x), 故
因此
lim σn(x) = f (x),
n→∞
hn = c − an > 0, F (c − hn) > m, 同时 F (c + hn) ⩽ m, 于是 F (c + hn) − F (c − hn) < 0, 故 D+F (c) ⩽ 0.
3
下面来证明原命题.
∀ε > 0, F (x) = f (x)+εx 在 (a, b) 上应该单调不减. 事实上, 若前一句话不成立, 则 ∃x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2, 但 F (x1) > F (x2). 由上面证得的引理, ∃ξ ∈ (x1, x2), 使得 D+F (ξ) ⩽ 0. 而 D+F (ξ) = D+f (ξ) + ε > 0, 矛 盾.
2009年北京大学自主招生数学卷及答案
2009北京大学自主招生数学试题(理科)1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？参考答案1、不妨设角ADC为a,那么角ABC=π-a。
由余弦定理可得AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出cosa=5/7.即有sina=2(根号6)/7. 代入cosa=5/7,可得AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是AC/2sina.2、设13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为(m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么2009就不在这个数列中了。
3、挺简单，设a=tanx+（根3）,b=cotx+(根号3）,假设均为有理数。
那么由(a-（根号3））（b-（根号3））=1 可得（a+b）根号3=ab+2.若a+b非零，除过来就矛盾了。
所以必有a+b=0，此时ab+2也是0. 显然与a，b是有理数矛盾。
4、b=0的时候可知得有|a|≤1.,此时a+b≤1.下面考虑b不等于0的情况。
代入+1和-1后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有b≥-1) 对称轴的位置是x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候那么1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出b≤1/3.此时a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有(1)式也成立。
2009年高考北京数学（理科）试题及参考答案
2009年高考北京数学（理科）试题及参考答案教学工作总结2012年上学期一学期以来，我校的教学工作在区教研室的指导下，在中心学校的领导下，经过全体师生的共同努力，学校教学工作始终以全面推进素质教育和打造特色教育的精品为目标，以实施课程改革和提升教育质量为中心，深化教育科研，加强队伍建设，狠抓教育管理，开展了一系列教学活动，取得了一些成绩，现总结如下。
一、加强理论学习，转变教育观念。
开学以来，通过组织教师认真学习区局2012年教学工作会议精神，使教师深刻地理解了教学质量的内涵，形成了抓质量的共识，增强了抓质量的紧迫感和责任感，并切实认识到了课堂教学质量与课程改革是统一的，二者之间并不矛盾：首先，课程改革的根本目的就是为学生的终身发展服务，其次，随着课程改革的不断深入和命题方向的不断改进，试卷检测无疑仍然是衡量教学质量优劣的主要手段。
实践证明，综合素质好的学生往往科学文化素质也很好，在考试的时候也往往能考出较好的成绩，而综合素质差的学生则相反。
通过以上工作的开展。
使我校教师真正形成了质量意识，大家心往一处想，力往一处使，努力提高教学质量，目前已取得了初步成效。
二、加强教师培训、提高教师素质教师是文化的继承者和传播者，是课程改革的具体实施者，师资队伍的水平直接影响到教学质量的提高。
近年来，我校在确保抓好教师业务学习的同时，还切实加强了对教师的培训工作，积极选拔教师参加各级各类培训。
学校还建立了以校为本的教研制度，使教师更新了教育理念，充实了理论知识，激发了创新热情，提升了教育教学水平。
三、坚持质量立校，提高办学效益教学工作是学校的中心工作，教学质量的高低是衡量一所学校办学水平的重要标尺。
近年来，我校坚持以课改为中心，不断加大研讨力度和对教学工作的全程管理，以学会求知为目标，积极探索，大胆实践，努力构建精细化的管理模式，确保了管理行为的准确有效和管理效力的无处不在。
1、加强对备课的指导。
备好课是上好课的前提。
北京大学自主招生-保送生笔试考试试题
北京大学自主招生-保送生笔试考试试题2009年北京大学自主招生保送生笔试考试试题一，数学：1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆的半径。
2 已知一正无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为该数列中某一项。
3 是否存在实数x使tanx+√3 与cotx+ √ 3为有理数？4 已知对任意x均有a cosx + b cos2x≥- 1 恒成立，求a+b的最大值。
5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
称做对3道及以下的人为不及格，做对6道及以上的人为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？二，语文：1，目前人们对成语的误解很严重，如：度日如年，有人说是日子过得很好，每天都像在过年。
请写出两个四字成语,要求按照例子那样曲解它的意思。
（6分）2，从语法角度分析下列病句错在何处（6分）（1）我们都有一个家，名字叫中国。
（2）素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。
3，请对上这个对联：（8分）博雅塔前人博雅4，翻译下面的文言文（给出的文言文未加标点）。
（20分）吴人之归有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也5，阅读下列文章作答。
（20分）我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
另外有几个人，各自走路。
微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，近于儿戏；我烦腻他这追着哀呼。
我走路。
另外有几个人各自走路。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，但是哑的，摊开手，装着手势。
2009年北京大学自主招生考试数学试题和参考答案
2009年北京大学自主招生考试数学试题解答题：（共5小题，每题20分，共100分）1．（本题20分）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为1,2,3AB BC CD ===，4DA =，求四边形ABCD 外接圆的半径．2．（本题20分）已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是13，25，41，汪明：这个数列中有一项等于2009．3．（本题20分）是否存在实数x ，使得tan x cot x4．（本题20分）已知对任意实数x 有cos cos 21a x b x +-≥，求a b +的最大值．5．（本题20分）在一次考试中333个同学共答对了1000道题．至多答对3题者为不及格，至少答对6题者为优秀，已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同．成绩不及格者和成绩优秀者人数哪个多？2009年北京大学自主招生考试试题参考答案解答题（本大题共100分）1．[解答]设DAB θ∠=，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DCB πθ∠=-． 由余弦定理，得()222222cos 2cos BD AB AD AB AD CD CB CB CD θπθ=+-=+--， 即178cos 1312cos θθ-=+，解得1cos ,5DB θ== 又由正弦定理，得四边形ABCD的外接圆半径2sin 24DB R θ==． 2．[解答]设等差数列{}n a 的公差为d ，13p a =，25q a =，41r a =．依题意，0d >．且p q r <<，p 、q 、r ∈N *．由()()12,28,q p d r p d -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得37q p r p -=-． 设()3,7q p k k N r p k*-=⎧∈⎨-=⎩，解得3,7q p k r p k =+⎧⎨=+⎩且4kd =． 又因为2009-13＝1996＝499kd ．所以数列的第499p k +项，4994992009p k p a a kd +=+=．即这个数列中有一项等于2009．3．[解答]假设存在实数x，使tan ,cot x p x q ==，其中p q Q ∈、．则(tan cot 1p q x x ==，即)31pq p q ++=． 若0p q +≠2pq Q p q +=∈+，矛盾． 若0p q +=，则tan cot tan cot 1,x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩即tan cot x x 、是方程210t ++=的两根．解得tan x =tan x =tan x Q 矛盾． 综上所述，不存在实数x，使得tan xcot x4．[解答]取23x π=，得11122a b ---≥，即2a b +≤． 下面证明当42,33a b ==时，不等式cos cos 21a x b x +-≥对一切x R ∈恒成立．因为24cos cos 21cos 2cos 133a xb x x x ++=++ 2212cos 2cos 32x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ()212cos 103x =+≥ 恒成立，所以()max 2a b +=．[评注] 在题设条件下，用类似的方法可求()min a b +．取0x =，得1a b +-≥，令41,55a b =-=-，则 ()()224123cos cos 2cos 2cos 1cos 15555a xb x x x x +=---=-++ 83155-+=-≥， 所以()min 1a b +=-．5．[解答]设不及格的有x 人，优秀的有y 人，则x ＋y ≤333．因为不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同，所以这333个人至少答对了()643331y x y +--+道题，否则所有人答对0、4或6道题，矛盾．()643331133342y x y x y +--+=-+()133333332100033x y y x y ---+=-+≥，即1000331000x y -+≤． 等号成立当且仅当,333,x y x y =⎧⎨+=⎩即3332x y ==，不符合实际情况． 所以1000331000x y -+<．推出x y >．所以成绩不及格者比成绩优秀者多．。
历年来北大自主招生数学试题
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）IH GFE1111x x-1【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ===-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当210s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]x x x =∈，矛盾！()()1132，(1的交点的直线方程6x +()()1132得⎪⎪⎨⎪⎪⎩解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab+-= 312422ab abab -≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
2009年清华大学自主招生数学试卷及参考答案(理科)
2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．2．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．6．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．7．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．【解答】解：（1）因为2＜＜3，而设m＝＝则得到2＜2m﹣3＜3，求出2.5＜m＜3则a＝2，b＝m﹣2＝；（2）把a＝2，b＝m﹣2＝代入得：＝4++＝5；（3）数列b，b2，b3，…，b n为首项为b，公比为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1则前n项和为，则＝＝02．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．【解答】解：因为，要使原不等式恒成立，则只需≥9，即所以正数a的最小值是4．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．【解答】解：根据题意，已知公差为8，有8＝3×2+2，设第一个数为m，则这三个数依次为m、m+3×2+2、m+3×5+1，则这三个数中就有其中一个能被3整除，而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数，又有公差为8，则这三个数为3，11，19；所以是3，11，19．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．【解答】解：设过左顶点A的直线L解析式为：y﹣0＝k（x+a）即y＝kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；AR＝；联立得到AQ＝2；则过原点的直线为y＝kx，与椭圆的交点为P，联立得：所以P（，k），OP＝．得：2OP2＝AQ•AR故AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．【解答】解：sin t+cos t＝1∴（sin t+cos t）2＝1+2sin t•cos t＝1∴2sin t•cos t＝sin2t＝0则cos t＝0，sin t＝1或cos t＝1，sin t＝0，当cos t＝0，sin t＝1时，s＝cos t+i sin t＝i则f（s）＝1+s+s2+…s n＝当cos t＝1，sin t＝0时，s＝cos t+i sin t＝1则f（s）＝1+s+s2+…s n＝n+16．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1＝900个，满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数，其中5的倍数有C91C101C21＝180个∴概率P＝＝0.2（2）可以从构造一个三位数的角度来考虑，即任选三个数码构成三位数，那么就有900个三位数其中按照相同的数码是否是0分情况：如果相同的数码是0，那么只能是十位和各位为0，因此有9个（100，200，…900）如果相同的数码不是0，那么百位、十位、个位都可以．在此基础上再分情况：三位数是否含0如果三位数中没有0，则先选择1个数码作为重复的数码（9种）再从剩下的8个数字选择1个数码（8种），排列形成三位数就有9×3×8＝2160不能放在百位，因此重复的数码只能是百位、十位或者百位、个位两种放法，先选择一个数码作为重复的数码（9种），放在数位上（2种），接下来把0填入，所以形成三位数就有9×2＝18种因此符合条件的三位数就有9+216+18＝243∴概率P＝＝0.277．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．【解答】解：＝＝（1+sin a）^2/[1﹣（sin a）^2]＝因为A是第四象限的角所以cos＞0又因为sinα＜﹣1所以1+sin a＞0所以＝同理＝所以﹣＝﹣＝2＝2tanα原式得证．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．【解答】解：＝得x＝4．又函数在（0，+∞）内递减，y2＝log2x在（0，+∞）内递增，所以当0＜x＜4时，；当x≥4时，．所以．f（x）＜2等价于：①或②．解得：0＜x＜4或x＞4，故f（x）＜2的解集为（0，4）∪（4，+∞）．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．【解答】证明：①当a1，a2，…，a2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，故性质P成立．②下面证明：当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．反证法：假设a1，a2，…，a2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a1，若a1在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，这与性质P矛盾，故假设不成立，所以，当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．综合①②可得，a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．。
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2009年北京大学自主招生保送生考试
数学试题
第一题：圆内接四边形ABCD，其中AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求四边形ABCD 外接圆的半径。
第二题：已知一正无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为数列中的某一项。
第三题：是否存在实数x，使tanx+3与cotx+3都是有理数？
第四题：已知对任意实数x，acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值
第五题：某次考试共有333名学生参加，一共做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，做对6道及以上为优秀，不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同，问不及格和优秀的人数哪个多？
2009年北京大学自主招生保送生考试
数学试题参考解答。