衍生品定价的基本方法

若c-S-p+Xe-r(T-t) ＞0 构造组合A：借入S+（p-c）现金 构造组合B：以上述资金购买标的物资产、卖出看
涨期权且买入看跌期权 以下自证、、、
相对定价法之2：风险中性定价法
在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资 者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益 率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可 以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是 风险中性定价原理。
SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S= c- p+Xe-r(T-t) （无套利情况下即得看涨、看跌期权平价公式）
t,S
T, ST
证明：c-S-p+Xe-r(T-t) =0，欧式看涨（c）
、看跌期权（p）间平价公式
S：标的现价；X：协议价；r：无风险利率；p ：欧式看跌期价；c：欧式看涨期权价。
别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。（详见：郑振龙：金 融新思维） 如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重 新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。 根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使 得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。
无套利定价法案例1
续：
购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一 个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什 么情况，都能够产生和证券A一样的现金流
PA=πuuPA+πddPA 或1=πuu+πdd 由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什
么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组 合，其收益率应该是无风险收益率r
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概 率为P，下跌的概率为1-P。
e0.10.25 11P （ 9 1 P）10
P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我 们就可以就出该期权的价值：
f e0.10.25 (0.5 0.6266 0 0.3734) 0.31元
见下页：
续：
简图：

Su
S0

Sd
V u NS u er(T t) B cu , V d NS d er(T t ) B cd .
续：
所以
N (cu cd ) /(S u S d ) ((cu cd ) /[(u d )S0 ], B (S d cu S ucd ) /[(S u S d )er (T t ) ] (NS d cd )er (T t )
我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值 特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于 做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。 该组合的成本是N S0-B，到了期末，该组合的价值V是N S1-RB，R是利率因子。对应于S1的两种可能，V有两个取值： 如果S1=Su,则V=Vu= N Su-RB，如果S1=Sd, 则V=Vd= N Sd-RB。
f e（r T1） Pfu (1 P) fd
er(T t) d P
ud
风险中性定价的思路
假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于 股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须 等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下
式求得S e（r T t)[SuP Sd (1 P)]
为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空 头和Δ 单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在 期权到期时无风险，Δ 必须满足下式：
11Δ - 0.5(11-10.5) = 9Δ; Δ=0.25;该组价值为:2.25
该无风险组合的现值应为：
2.25e-0.1*0.25 = 2.19 元
（衍生证券；如利率平价理论；B-L期权定价） 绝对定价法具有一般性，易于理解，但难以应用；相 对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生证券
相对定价法之1：无套利定价法
套利：利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何损失风险且 无需自有资金的情况下获取利润的行为。
严格套利的三大特征：无风险/复制/零投资 在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到 无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。 无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区
首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头 组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的 Δ值。
无套利定价法的思路
如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值 一定是（SuΔ-fu）e-r（T-t）,而构造该组合的成本是 SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。 即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-r(T-t) ，所以
一般情况下
假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股 票价格为S，基于该股票的某个期权的价值 是f，期权的有效期是T，在这个有效期内， 股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。 当股票价格上升到Su时，我们假设期权的 收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期 权的收益为fd。
无套利定价法的思路
解答
由于ห้องสมุดไป่ตู้
S XerT t 50 40*e10%*0.5 11.95 C P 7
因而存在套利机会。套利方法为：卖空股票(先卖后买)，
买入看涨期权，卖出看跌期权(思考：此组合功能?)，将所
有现金投资于无风险利率，到期无论价格如何，都需要用
40元执行价格买入股票，对冲股票空头头寸，从而获得的
可以套利(e0.10×0.5 ×er×0.5 =e0.12 r=14%>11% 借短贷长)
套利过程是： 第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假
设1000万元） 第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定
该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。 第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为 1000万元。 第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （1000e0.12×1），并用1110万元（1051e0.11×0.5） 偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）
无风险利润。
思考：若将题中条件“欧式看涨和欧式看跌期权价格相差 7美元”改为“13”，如何？
详见：复习题P3
无套利定价法的应用
1、金融工具的模仿。 即通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的
金融工具具有相同或相似的盈亏状况。 例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖
出一份看跌期权（协议价格相等）来模仿股票 的盈亏(买入买权且卖出卖权) 。即：上述组合 无论到期时市价如何其市值均为：St-X-c+p；若 期权费相等，则为：St-X（请推导）
无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境 地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没 有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相 等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量 状况。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们 知道在3 个月后，该股票价格或者为11 元，或者 为9 元。假设现在的无风险年利率为10% ，如何 为一份3 个月期协议价格为10.5 元的该股票欧式 看涨期权定价？
(dcu ucd )er(T t) /(u d )
由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有N
S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看涨期权的价值 公式 c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)
其 中
p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-
风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人 为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适 用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
例子
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格 为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
注意：单个期权交易盈亏状况及其组合
2、 金融工具的合成
金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合 使之与被模仿的金融工具具有相同价值。
例如：合成股票的构成是：一个看涨期权（call option）的多头，一个看跌期权（put option） 的空头和无风险债券(买入远期债券,价格为协议 价X；看涨、看跌期权协议价均为X)
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25 单位股票多 头，而目前股票市场为10 元，因此：10 * 0.25 - f =2.19
f = 0.31 元(f为该期权价格)
案例2
例子：假设现在6个月即期年利率为10%（连 续复利，下同），1年期的即期利率是12%。 如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为 11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？
续：
所以
u

uer (T t ) ud
1，
d
1 der(T t )
ud
只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够 通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。
关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出 的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响为有价证 券定价的结论。
P er(T t) d ud
f erT Pfu (1 P) fd
状态价格定价技术
状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为 0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N 种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未 来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就 可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。
无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与 结果同市场参与者的风险偏好无关。